• 4.59
  • 9-cu sinif
  • Vektorlar

Vektorun ədədə vurulması

Videoda velosipedçi saniyədə 5 metr sağa gedir. Videonu 2× sürətlə, 0,5× sürətlə oynatsan, pauza versən və ya geri çəksən, ekranda onun sürəti necə dəyişər? Hər düymə sürət vektorunu bir ədədə vurur: 2v, 0,5v, 0 və −v.

Bu dərsdə

  • k·a vektorunun uzunluğunu və istiqamətini tapacaq, onu çəkəcək və k = 0 olanda niyə sıfır vektor alındığını izah edəcəksən;
  • kollinear vektorları biri digərinin ədədə hasili kimi yazacaq, k ədədini uzunluqlar və istiqamətlə tapacaqsan;
  • qanunlarla ifadələri sadələşdirəcək, fiqurda vektorları iki vektorla ifadə edəcəksən.
Oynatma sürəti velosipedçinin sürət vektorunu ədədə vururVideo ekranında velosipedçi 5 m/san sürətlə sağa gedir: mavi v vektoru. Aşağıda eyni başlanğıcdan beş sətir: 1× — v; 2× — iki dəfə uzun 2v, sağa; 0,5× — yarı uzunluqda 0,5v, sağa; pauza — sıfır vektor, yalnız nöqtə; −1× (geri) — eyni uzunluqda, sola yönəlmiş −v.v5 m/san1×v2×2v0,5×0,5vpauza0−1×−v
  1. Kəşf et
  2. Qayda
  3. Laboratoriya
  4. Kollinear vektorlar
  5. Qanunlar
  6. Hesabla
  7. Diqqət
  8. Həyatda
  9. Özünü yoxla

1 · Kəşf et

Düymə ədədə vurur

Yadına sal: vektorun uzunluğu (modulu) və istiqaməti var. Velosipedçinin sürəti v vektorudur: |v| = 5 m/san, istiqaməti sağa. Oynatma sürətini dəyişəndə o, ekranda yenə eyni düz xətt boyunca hərəkət edir — dəyişən yalnız sürətin modulu və bəzən istiqamətidir.

Oynatma sürəti və ekrandakı sürət vektoru
DüyməkSürətModul, m/sanHara?
1×1v5sağa
2×22v2 · 5 = 10sağa
0,5×0,50,5v0,5 · 5 = 2,5sağa
pauza000 · 5 = 0—
−1× (geri)−1−v1 · 5 = 5sola
−2× (geri)−2−2v2 · 5 = 10sola

Cədvəldə iki qayda görünür. Modul həmişə k-nın işarəsiz qiymətinə, yəni |k|-ya vurulur: −2× düyməsi də sürəti 10 m/san edir, −10 yox — uzunluq mənfi olmur. İstiqaməti isə işarə həll edir: müsbət k velosipedçini sağda saxlayır, mənfi k onu sola çevirir. Pauza (k = 0) hərəkəti tamam silir: sürət sıfır vektordur, 0.

2 · Qayda

Vektorun ədədə hasili

Yadda saxla

«u vektorunun k ədədinə (k ∈ R) hasili k·u kimi işarə edilir və bu vektorun uzunluğu |k|·|u|-ya bərabərdir. k > 0 olarsa, ku vektoru u vektoru ilə eyni istiqamətli olur. k < 0 olarsa, ku vektoru u vektoru ilə əks istiqamətli olur.»

|k·a| = |k| · |a|

Dərslik, «8-4. Vektorun ədədə vurulması».

a vektoru və onun 3, −1,5 və 0 ədədlərinə hasiliXanalı fonda eyni başlanğıcdan dörd sətir. Mavi a vektoru 2 xana sağa. Yaşıl 3a 6 xana sağa — üç dəfə uzun, eyni istiqamətli. Narıncı −1,5a 3 xana sola — bir yarım dəfə uzun, əks istiqamətli. Sonuncu sətirdə 0·a sıfır vektordur: yalnız nöqtə.a3a−1,5a0·a = 0
a 2 xanadır. 3a — 6 xana, eyni istiqamətdə; −1,5a — 3 xana, əks istiqamətdə; 0·a — heç bir ox yox, yalnız nöqtə.

k = 0 olanda nə olur? Dərslik bunu ayrıca demir, amma uzunluq düsturu cavab verir: |0·a| = 0 · |a| = 0. Uzunluğu sıfır olan vektor sıfır vektordur, deməli 0·a = 0. Nəticə ədəd 0 deyil, vektordur — ona görə üstündə ox var. Eyni səbəbdən istənilən k üçün k·0 = 0.

k = 1

1·a = a

Uzunluq 1 dəfə, istiqamət eyni: vektorun özü.

k = −1

(−1)·a = −a

Eyni uzunluq, əks istiqamət: a-nın əks vektoru (4.55).

Ədədi vektorun qarşısında yazırıq: 3a, −1,5a, 12 / a. Ədəd 1-dən böyükdürsə ox uzanır, 0 ilə 1 arasındadırsa qısalır; mənfi işarə onu əlavə olaraq çevirir.

3 · Laboratoriya

k-nı dəyiş, oxa bax

Dəftərin xanası 0,5 sm-dir. a vektoru O nöqtəsindən 4 xana sağa və 3 xana yuxarı gedir; Pifaqor teoremi ilə onun uzunluğu √(4² + 3²) = 5 xana, yəni |a| = 2,5 sm. k-nı seç: yaşıl ox k > 0, narıncı ox k < 0 olanda k·a vektorudur. Kiçik çərtiklər oxu a uzunluğunda hissələrə bölür.

k ədədini seç
a vektoru və seçilmiş k üçün k·a vektoruDəftər xanaları olan torda O nöqtəsindən mavi a vektoru 4 xana sağa, 3 xana yuxarı gedir. Seçilmiş k üçün k·a vektoru da O-dan çəkilir: k müsbət olanda yaşıl və a ilə eyni istiqamətli, mənfi olanda narıncı və əks istiqamətli, k = 0 olanda yalnız O nöqtəsi qalır. Kiçik çərtiklər oxu a uzunluğunda hissələrə bölür.a−2aOa−aOa−0,5aOa0·a = 0Oa0,5aOaaOa2aOa3aO

k = −2: −2a vektoru a-ya əks istiqamətlidir. Uzunluğu 2 · 2,5 = 5 sm (10 xana): 8 xana sola, 6 xana aşağı.

k = −1: −a — a-nın əks vektoru. Uzunluğu eynidir, 1 · 2,5 = 2,5 sm, istiqaməti əksdir.

k = −12 / : −12 / a həm qısalır, həm çevrilir: uzunluğu 12 / · 2,5 = 1,25 sm (2,5 xana), istiqaməti əksdir.

k = 0: 0·a = 0 — sıfır vektor: uzunluq 0 · 2,5 = 0, ox yox olur, yalnız O nöqtəsi qalır.

k = 12 / : 12 / a vektoru a-nın yarısıdır: 2 xana sağa, 1,5 xana yuxarı, uzunluğu 1,25 sm, eyni istiqamətli.

k = 1: 1·a = a — yaşıl ox mavi oxun tam üstünə düşür. Uzunluq 2,5 sm.

k = 2: 2a eyni istiqamətlidir, iki dəfə uzundur: 2 · 2,5 = 5 sm (10 xana), 8 xana sağa, 6 xana yuxarı. Çərtik ortadadır.

k = 3: 3a üç a-nın ucu-uca düzülüşüdür: a + a + a = 3a, uzunluğu 3 · 2,5 = 7,5 sm. İki çərtik onu üç bərabər hissəyə bölür.

Mavi ox həmişə a-dır; seçilmiş k·a O nöqtəsindən çəkilir.

Laboratoriyada yoxla.

  • k = 2 və k = −2 seç. Bu iki vektorun nəyi eynidir, nəyi fərqlidir?
  • k = 12 / seçəndə ox neçə xana sağa və neçə xana yuxarı gedir? Bu saylar a-nın saylarından necə alınır?
  • k-nı 3-dən 0-a qədər azalt. Ox necə dəyişir və hansı k-da yox olur?
Cavablara bax

2a ilə −2a-nın uzunluğu eynidir (5 sm), istiqamətləri əksdir — onlar bir-birinin əks vektorlarıdır. 12 / a 2 xana sağa və 1,5 xana yuxarı gedir: a-nın hər iki sayı yarıya bölünür. k azaldıqca ox öz düz xətti üzərində qısalır və k = 0 olanda nöqtəyə çevrilir; mənfi k-da yenidən uzanır, amma əks tərəfə.

4 · Kollinear vektorlar

Biri digərinin ədədə hasilidir

Laboratoriyada bütün oxlar bir düz xətt üzərində qaldı. Bu təsadüf deyil: vektoru ədədə vurmaq onu öz düz xəttindən çıxarmır.

Yadda saxla

«Verilən vektorla onun (sıfırdan fərqli) ədədə hasilini ifadə edən vektor kollineardır. u ≠ 0 və v vektorları kollineardırsa, onda elə yeganə k ədədi var ki, v = k·u olur.»

Dərslik, «8-4».

k-nı tapmaq üçün iki sual ver: neçə dəfə uzundur? — |k| = |v| : |u|; istiqamət eynidir, yoxsa əks? — eynidirsə k > 0, əksdirsə k < 0. Məsələn, |u| = 4, |v| = 14 və onlar əks istiqamətlidirsə, |k| = 14 : 4 = 3,5 və v = −3,5u.

Hansı vektorlar u vektorunun ədədə hasilidir?Torda dörd vektor. Mavi u 4 xana sağa, 2 xana aşağı gedir. Yaşıl p 6 xana sağa, 3 xana aşağı. Narıncı q 2 xana sola, 1 xana yuxarı. Boz w 4 xana sağa, 1 xana aşağı.upqw
Xanaları say: u 4 xana sağa, 2 xana aşağı gedir. Hansı vektor u-nun ədədə hasilidir?
  • p: 6 xana sağa, 3 xana aşağı. Hər iki say u-nun saylarından 1,5 dəfə böyükdür, istiqamət eynidir: p = 1,5u.
  • q: 2 xana sola, 1 xana yuxarı — u-nun yarısı, əks tərəfə: q = −12 / u.
  • w: 4 xana sağa, 1 xana aşağı. Sağa sayı u-nunku ilə eynidir (onda k = 1 olardı), aşağı sayı isə 2 dəfə azdır — hər iki saya uyğun gələn bir k yoxdur. w vektoru u-nun ədədə hasili deyil, onlar kollinear deyil.

Niyə u ≠ 0 şərti var? Sıfır vektorun istənilən ədədə hasili yenə 0-dır, ona görə sıfırdan fərqli heç bir vektoru k·0 şəklində almaq olmaz.

5 · Qanunlar

Ədədlərlə olduğu kimi

Vektorun ədədə vurulmasının xassələri

1. Qruplaşdırma qanunu. k və n istənilən ədəddir:

(kn)·u = k(n·u)

2. Paylama qanunu. k və n istənilən ədəddir:

(k + n)u = ku + nuk(u + v) = ku + kv

Dərslik, «8-4». Dərslik ikinci bərabərliyi (u + v)k şəklində yazır; ədədi önə yazmaq daha adətdir.

Qruplaşdırma — videoda. Videonu əvvəl 0,5× sürətlə yazıb, sonra bu yavaş videonu 2× sürətlə oynatsan, ekranda sürət 2·(0,5v) olur. Qanun deyir ki, bu (2 · 0,5)v = 1·v = v deməkdir — velosipedçi yenə əsl sürəti ilə gedir.

Ədədlərin cəmi. 2a + 3a = 5a: eyni istiqamətli iki oxu ucu-uca qoysaq (4.56), uzunluqlar toplanır — 2 və 3 dəfə uzun oxlar 5 dəfə uzun ox verir.

Paraleloqramı 2 dəfə böyütmək: 2(a + b) = 2a + 2bOrtaq başlanğıcdan mavi a və qara b vektorları kiçik paraleloqram qurur, yaşıl diaqonal a + b-dir. Vektorlar 2 dəfə uzadılanda 2a və 2b böyük paraleloqram qurur. Onun diaqonalı kiçik diaqonalın davamıdır və iki dəfə uzundur: 2(a + b) = 2a + 2b.ab2a2ba + b2(a + b)
Paraleloqramı 2 dəfə böyüdəndə diaqonal da 2 dəfə uzanır və öz düz xəttində qalır.

Vektorların cəmi. a və b paraleloqram qurur, diaqonalı a + b-dir. Hər iki tərəfi 2 dəfə uzatsaq, oxşar, 2 dəfə böyük paraleloqram alınır: tərəfləri 2a və 2b, diaqonalı 2a + 2b. Bu diaqonal kiçik diaqonalın davamıdır və ondan 2 dəfə uzundur, yəni 2(a + b)-dir:

2(a + b) = 2a + 2b

Çıxma da belədir: a − b = a + (−1)b, ona görə k(a − b) = ka − kb. Deməli, vektor ifadələrində mötərizələri ədədlərdəki kimi açır və oxşar hədləri birləşdiririk.

6 · Hesabla

Fiqurda vektoru ifadə et

Əksər məsələlərdə iki vektor verilir (məsələn, a və b) və fiqurdakı başqa bir vektoru onlarla yazmaq lazımdır. Plan həmişə eynidir: üçbucaq qaydası ilə yolu verilən vektorlar üzərindən sal, parçanın hissəsini isə ədədə vurma ilə yaz.

Nümunə 1Mötərizələri aç

İfadəni sadələşdirin: 5(a − b) − 2(2a − 3b).

  1. Paylama qanunu ilə mötərizələri açırıq: 5a − 5b − 4a + 6b. Diqqət: (−2)·(−3b) = 6b.
  2. Oxşar hədləri qruplaşdırırıq: (5 − 4)a + (−5 + 6)b.

    a + b

Nümunə 2Parçanı nisbətdə bölən nöqtə

T nöqtəsi PQ parçası üzərindədir və PT : TQ = 2 : 3. PT və QT vektorlarını PQ ilə ifadə edin.

PQ parçası 5 bərabər hissədə, PT : TQ = 2 : 3PQ parçası beş bərabər hissəyə bölünüb, T nöqtəsi P-dən iki hissə sonradır. Yaşıl PT vektoru P-dən T-yə sağa, narıncı QT vektoru Q-dan T-yə sola yönəlib.PTQPTQT2 hissə3 hissə
  1. Parça 2 + 3 = 5 bərabər hissəyə bölünür: PT — 2 hissə, TQ — 3 hissə. Deməli, PT = 25 / PQ, TQ = 35 / PQ.
  2. PT vektoru PQ ilə eyni istiqamətlidir: PT = 25 / PQ.
  3. QT vektoru Q-dan P-yə tərəf, PQ-nin əksinə gedir: QT = −35 / PQ. Yoxlama: PT + TQ = 25 / PQ + 35 / PQ = PQ.

    PT = 25 / PQ, QT = −35 / PQ

Nümunə 3İki vektorla ifadə et

OAB üçbucağında OA = a, OB = b. M nöqtəsi AB tərəfi üzərindədir və AM : MB = 1 : 2. OM vektorunu a və b ilə ifadə edin.

OAB üçbucağı, M nöqtəsi AB-ni 1 : 2 nisbətində bölürO nöqtəsindən mavi a vektoru A-ya, qara b vektoru B-yə gedir. AB tərəfi üç bərabər hissəyə bölünüb; M nöqtəsi A-dan bir hissə sonradır. Yaşıl OM vektoru O-dan M-ə yönəlib.abOABM
  1. Üçbucaq qaydası: OM = OA + AM.
  2. AB = OB − OA = b − a. AM tərəfin 13 / -idir və istiqaməti eynidir: AM = 13 / (b − a).
  3. Toplayırıq və mötərizəni açırıq: OM = a + 13 / b − 13 / a.

    OM = 23 / a + 13 / b

Nümunə 4Orta nöqtələr və orta xətt

ABC üçbucağında M — AB-nin, N — AC-nin ortasıdır. MN vektorunu BC ilə ifadə edin.

ABC üçbucağının orta xətti MNABC üçbucağında M nöqtəsi AB-nin, N nöqtəsi AC-nin ortasıdır (bərabər hissələr çərtiklərlə). Mavi BC vektoru B-dən C-yə, yaşıl MN vektoru M-dən N-ə yönəlib; MN BC-yə paraleldir və onun yarısıdır.BCMNABCMN
  1. MN = MA + AN (üçbucaq qaydası).
  2. M və N ortalardır: MA = 12 / BA, AN = 12 / AC.
  3. Paylama qanunu: MN = 12 / (BA + AC) = 12 / BC.

    MN = 12 / BC

Nəticə tanışdır: MN və BC kollineardır, deməli MN ∥ BC, və MN = 12 / BC — üçbucağın orta xətti haqqında teorem vektorlarla bir sətirdə alınır.

Nümunə 5Paraleloqram diaqonallarla

KLMN paraleloqramında diaqonallar KM = p və LN = q. KL və KN tərəflərini p və q ilə ifadə edin.

KLMN paraleloqramı, diaqonallar p və qKLMN paraleloqramında mavi p vektoru K-dan M-ə, qara q vektoru L-dən N-ə gedən diaqonallardır; onlar ortada kəsişir. Yaşıl oxlar KL və KN tərəfləridir.pqKLMN
  1. Paraleloqram qaydası: p = KL + KN. Üçbucaq qaydası: q = LK + KN = KN − KL.
  2. Bərabərlikləri toplayırıq: p + q = 2KN, buradan KN = 12 / (p + q).
  3. Birincidən ikincini çıxırıq: p − q = 2KL, buradan KL = 12 / (p − q).

    KL = 12 / (p − q), KN = 12 / (p + q)

7 · Diqqət

Dörd tipik səhv

Mənfi uzunluq

|−2,5a| = −2,5|a|

Uzunluq mənfi ola bilməz.

Düzgün

|−2,5a| = 2,5|a|

Uzunluğa |k| vurulur; mənfi işarə yalnız istiqaməti çevirir.

Ədəd sıfır

0·a = 0

Vektoru ədədə vurmaq vektor verir, ədəd yox.

Sıfır vektor

0·a = 0

Uzunluğu 0 olan vektor; üstündəki ox onu ədəddən ayırır.

İşarə itdi

−2(p − 3q) = −2p − 6q

−2 ikinci hədd ilə də vurulmalıdır, işarəsi ilə birlikdə.

Düzgün

−2(p − 3q) = −2p + 6q

(−2)·(−3q) = 6q.

Nisbət əmsal sayıldı

PT : TQ = 2 : 3 → PT = 23 / PQ

23 / — iki hissənin nisbətidir, bütöv parçaya nisbət deyil.

Hissə bütövün neçədə biridir

PT = 25 / PQ

Bütöv parça 2 + 3 = 5 hissədir, PT onlardan 2-si.

8 · Həyatda

Ayda astronavt nə qədər «yüngüldür»?

Cismə təsir edən ağırlıq qüvvəsi kütləsi ilə qravitasiya təcilinin hasilidir: P = m·g. Dərslikdə deyildiyi kimi, bu qüvvəyə cismin çəkisi deyilir. Kütlə m müsbət ədəddir, ona görə P həmişə g ilə eyni istiqamətli — aşağı yönəlir; uzunluğu isə m dəfə böyükdür.

80 kq kütləli astronavtın çəkisi Yerdə və Aydaİki panel. Solda Yerdə astronavtın çəki vektoru P = 784 N, uzun mavi ox aşağı. Sağda Ayda P = 128 N, eyni istiqamətdə, təxminən 6 dəfə qısa ox. Altda qravitasiya təcilləri: 9,8 və 1,6 m/san².YerP = 784 Ng = 9,8AyP = 128 Ng = 1,6
Hər iki ox aşağıdır; Ayda ox təxminən 6 dəfə qısadır.

Skafandrla birlikdə kütləsi 80 kq olan astronavt. Yerdə qravitasiya təcili 9,8 m/san², Ayda 1,6 m/san²-dir (dərslik).

Yer: |P| = 80 · 9,8 = 784 NAy: |P| = 80 · 1,6 = 128 N

Ayda çəki 784 : 128 ≈ 6 dəfə azdır, kütlə isə dəyişmir — astronavt yenə 80 kq-dır. Vektor dili ilə: eyni ədəd (m = 80) iki fərqli g vektorunu uzadır.

9 · Özünü yoxla

Bacarığını sına

Cavabı seç — düzgün olanda yaşıl, səhv olanda qırmızı işıqlanacaq. Həllinə də baxa bilərsən.

  1. Asan

    |a| = 6. −12 / a vektorunun uzunluğu və istiqaməti necədir?

    Cavab variantları

    Düzdür! Uzunluq 12 / · 6 = 3, mənfi işarə istiqaməti çevirir.

    Yox. Uzunluq mənfi olmur və |k|-ya vurulur; istiqaməti k-nın işarəsi həll edir.

    Həllə bax

    |−12 / a| = 12 / · 6 = 3. k = −12 / < 0, ona görə vektor a-ya əks istiqamətlidir.

  2. Asan

    Hansı bərabərlik istənilən a vektoru üçün doğrudur?

    Cavab variantları

    Əla! Uzunluq 0 · |a| = 0 — sıfır vektor.

    Yox. Vektorun ədədə hasili həmişə vektordur; uzunluq düsturunu yoxla.

    Həllə bax

    |0·a| = 0 · |a| = 0, uzunluğu 0 olan vektor 0-dır. (−1)·a = −a (əks vektor), 1·a = a.

  3. Orta

    a və b kollinear və əks istiqamətlidir, |a| = 6, |b| = 15. b = k·a olarsa, k neçədir?

    Cavab variantları

    Düzdür: |k| = 15 : 6 = 2,5, əks istiqamət — mənfi.

    Yox. |k| — uzunluqların nisbətidir (|b| : |a|), işarə istiqamətdən gəlir.

    Həllə bax

    |k| = |b| : |a| = 15 : 6 = 2,5. Vektorlar əks istiqamətlidir, ona görə k = −2,5, b = −2,5a.

  4. Orta

    Sadələşdirin: 4(2a − b) − 3(a + 2b).

    Cavab variantları

    Əla! 8a − 4b − 3a − 6b = 5a − 10b.

    Yox. Hər mötərizədə hər həddi öz işarəsi ilə vur: −3·2b = −6b.

    Həllə bax

    4(2a − b) = 8a − 4b, −3(a + 2b) = −3a − 6b. Cəm: (8 − 3)a + (−4 − 6)b = 5a − 10b.

  5. Çətin

    ABC üçbucağında AB = p, AC = q. K nöqtəsi BC tərəfi üzərindədir və BK : KC = 3 : 1. AK vektorunu tapın.

    Cavab variantları

    Düzdür! K C-yə yaxındır, ona görə q-nun əmsalı böyükdür.

    Yox. AK = AB + BK yaz və BC = q − p olduğunu unutma.

    Həllə bax

    BC = q − p, BK = 34 / BC. AK = p + 34 / (q − p) = 14 / p + 34 / q.

  6. Çətin

    a və b kollinear deyil, AB = 3a − 6b, CD = −a + 2b. Hansı doğrudur?

    Cavab variantları

    Əla! 3a − 6b = −3(−a + 2b): vektorlar kollinear və əks istiqamətlidir.

    Yox. 3a − 6b ifadəsindən elə ədəd mötərizə xaricinə çıxar ki, mötərizədə −a + 2b qalsın.

    Həllə bax

    Paylama qanunu ilə: −3(−a + 2b) = 3a − 6b. Deməli, AB = −3CD: AB ∥ CD, vektorlar əks istiqamətlidir və AB parçası CD-dən 3 dəfə uzundur.

Xülasə

Yadda qalanlar

  • |k·a| = |k|·|a|k > 0 — eyni istiqamət, k < 0 — əks istiqamət, 0·a = 0.
  • v = k·uKollinear vektorlar biri digərinin ədədə hasilidir; |k| — uzunluqların nisbəti, işarə — istiqamət.
  • k(a + b) = ka + kbQanunlarla mötərizələri açır, üçbucaq qaydası ilə fiqurda vektorları iki vektorla ifadə edirik.

Növbəti mövzu: 4.60 Komponentləri ilə verilmiş vektorlar üzərində əməllər