4.58
9-cu sinif
Vektorlar

Vektorun komponentlərindən istifadə etməklə toplanması

Məktəb həyətində xəzinə axtarışı: bayraqdan başlayırsan, üç kart üç addım deyir — ⟨7; 1⟩, ⟨−3; 3⟩, ⟨4; 1⟩ (metrlə: birinci ədəd şərqə, ikinci şimala). Xəzinəyə bir düz addımla getmək olarmı? Şərqə gedilənləri ayrıca, şimala gedilənləri ayrıca topla: 7 − 3 + 4 = 8 və 1 + 3 + 1 = 5. Düz yol — ⟨8; 5⟩.

Bu dərsdə

komponentləri ilə verilmiş vektorları uyğun komponentlərini toplamaqla toplayacaq və bunun niyə doğru olduğunu üfüqi və şaquli addımlarla izah edəcəksən;
cəm vektorunun uzunluğunu Pifaqor teoremi ilə, meyil bucağını tangens və rüb vasitəsilə tapacaqsan;
uzunluğu və meyil bucağı ilə verilən vektoru əvvəl komponentlərə ayırıb, sonra toplayacaq və bunu yerdəyişmə, qüvvə və sürət məsələlərində tətbiq edəcəksən.

Başla Yenidən Yenidən

Kəşf et
Toplama qaydası
Uzunluq və bucaq
Bucaqla verilən vektor
Laboratoriya
Hesabla
Diqqət
Həyatda
Özünü yoxla

1 · Kəşf et

Addımları ayır, sonra topla

Yadına sal. Koordinat müstəvisində vektor AB = ⟨a; b⟩ kimi yazılır: a — üfüqi (absis oxu üzrə), b — şaquli (ordinat oxu üzrə) komponentdir. A(x₁; y₁) və B(x₂; y₂) üçün AB = ⟨x₂ − x₁; y₂ − y₁⟩. Vektorun uzunluğu √(a² + b²)-dir. Meyil bucağı θ absis oxunun müsbət istiqamətindən saat əqrəbinin hərəkətinə əks ölçülür və tg θ = v_y : v_x.

Bu dərsdə şərqə istiqaməti absis oxunun, şimala istiqaməti ordinat oxunun müsbət istiqaməti götürürük — dərslikdə olduğu kimi.

Hero-dakı üç kart üç vektordur. Ucu-uca düzüləndə onların cəmi bayraqdan xəzinəyə gedən bir vektordur (çoxbucaqlı qaydası). Bəs onun komponentləri nədir?

Hər ox iki addımdır: əvvəl şərqə və ya qərbə, sonra şimala və ya cənuba. Şərq–qərb addımı yalnız x-i, şimal–cənub addımı yalnız y-i dəyişir. Ona görə bütün üfüqi addımları bir sıraya, bütün şaquli addımları bir sütuna yığmaq olar — hero-da Başla düyməsi məhz bunu göstərir. Qərbə addım mənfi ədəddir:

Kart	şərqə (x)	şimala (y)
1	7	1
2	−3	3
3	4	1
Cəm	7 + (−3) + 4 = 8	1 + 3 + 1 = 5

Xəzinə bayraqdan ⟨8; 5⟩ vektoru qədər uzaqdadır. Düz məsafə Pifaqor teoremi ilə: √(8² + 5²) = √89 ≈ 9,4 m, kartlarla isə √50 + √18 + √17 ≈ 15,4 m yol gedirik. İstiqamət: tg θ = 58 / = 0,625, kalkulyatorla θ ≈ 32° — şərqdən şimala doğru 32°.

Praktik məşğələ: nöqtələrlə yoxla

Dərslik qaydanı belə yoxlamağı təklif edir: üç nöqtənin koordinatlarına görə AB, BC və AC vektorlarını yaz və üçbucaq qaydasındakı AB + BC = AC bərabərliyini komponentlərlə müqayisə et. Götürək A(−4; 1), B(1; −1), C(2; 5):

AB = ⟨1 − (−4); −1 − 1⟩ = ⟨5; −2⟩,BC = ⟨2 − 1; 5 − (−1)⟩ = ⟨1; 6⟩,AC = ⟨2 − (−4); 5 − 1⟩ = ⟨6; 4⟩.5 + 1 = 6 və −2 + 6 = 4.

BaşlaYenidənYenidən

Punktirlər hər vektorun üfüqi və şaquli addımlarıdır. AB: 5 sağa, 2 aşağı; BC: 1 sağa, 6 yuxarı; AC: 4 yuxarı, 6 sağa.

AC-nin komponentləri AB və BC-nin uyğun komponentlərinin cəmidir. Səbəb sadədir: (x_B − x_A) + (x_C − x_B) = x_C − x_A — ortadakı x_B ixtisar olunur; y üçün də eynilə.

2 · Qayda

Uyğun komponentləri topla

Yadda saxla

Dekart koordinat müstəvisi üzərində komponentləri ilə verilmiş vektorların toplanması qaydası: u = ⟨a₁; b₁⟩ və v = ⟨a₂; b₂⟩ vektorlarının cəmi

u + v = ⟨a₁ + a₂; b₁ + b₂⟩

vektorudur: üfüqi komponentlər öz aralarında, şaquli komponentlər öz aralarında toplanır.

u-nun ucundan v çəkilib. Aşağıda a₁ və a₂ bir düz xətt üzrə ardıcıl gedir, sağda b₁ və b₂. Yaşıl cəmin komponentləri onların cəmləridir.

Dərslikdəki 1. Nümunə: u = ⟨2; 5⟩, v = ⟨−4; −1⟩. «u və v vektorlarının uyğun komponentlərini — üfüqi (absis oxu üzrə) və şaquli (ordinat oxu üzrə) komponentlərini toplamaq lazımdır»:

u + v = ⟨2 + (−4); 5 + (−1)⟩= ⟨−2; 4⟩.

Üç və daha çox vektor eyni qayda ilə toplanır: bütün birinci komponentlər bir yerdə, bütün ikinci komponentlər bir yerdə. Hero-dakı üç kart buna nümunədir.
Ardıcıllıq fərq etmir: a₁ + a₂ = a₂ + a₁, ona görə u + v = v + u — həndəsədə gördüyümüz yerdəyişmə xassəsi komponentlərdə ədədlərin yerdəyişmə xassəsidir.
Qrafik qayda cəmi göstərir, komponent qaydası onu dəqiq hesablayır — tor, xətkeş və transportir lazım deyil.

3 · Qayda

Cəmin uzunluğu və meyil bucağı

Cəm w = ⟨x; y⟩ tapıldısa, onun uzunluğu və istiqaməti də komponentlərdən gəlir.

Uzunluq (modul)

|w| = √(x² + y²)

Komponentlər düzbucaqlı üçbucağın katetləri, vektor isə hipotenuzdur.

Meyil bucağı

Əvvəl iti bucaq α: tg α = |y| : |x|. Sonra işarələrə görə rübü tap və θ-nı yaz.

Rüb	işarələr	meyil bucağı
I	x > 0, y > 0	θ = α
II	x < 0, y > 0	θ = 180° − α
III	x < 0, y < 0	θ = 180° + α
IV	x > 0, y < 0	θ = 360° − α
oxlar	y = 0 və ya x = 0	0°, 180° və ya 90°, 270°

Kalkulyator tg θ = y : x üçün həmişə −90° ilə 90° arasında cavab verir — o, vektorun hansı rübdə olduğunu bilmir. Ona görə işarələrə özün baxmalısan. Bəzi cəmlərin bucağı kalkulyatorsuz, dəqiq tapılır:

cəm	tg α	θ
⟨k; k⟩, k > 0	1	45°
⟨k√3; k⟩, k > 0	1√3 /	30°
⟨k; k√3⟩, k > 0	√3	60°
⟨−k; −k⟩, k > 0	1	180° + 45° = 225°
⟨0; −k⟩, k > 0	—	270°

4 · Qayda

Uzunluq və bucaqla verilən vektor

Yadda saxla

Uzunluğu v, meyil bucağı θ olan vektorun komponentləri (dərslikdə triqonometrik nisbətlər və vektorun komponentləri):

v = ⟨v cos θ; v sin θ⟩

Uzunluqları toplamaq olmaz — vektorlar bir istiqamətdə deyilsə, cəmin uzunluğu uzunluqların cəmindən kiçikdir. Ona görə belə vektorları əvvəl komponentlərə ayırırıq, sonra toplayırıq.

θ iti bucaqdırsa, düsturu birbaşa tətbiq edirik: 30°, 45°, 60°-nin sinus və kosinusunu bilirsən. θ küt və ya daha böyükdürsə, rahat yol belədir: vektorla absis oxu arasındakı iti bucağı (α) tap, komponentlərin uzunluğunu v cos α və v sin α kimi hesabla, işarəni vektorun baxdığı tərəfə görə qoy (qərbə və ya cənuba — mənfi).

6 uzunluqlu, meyil bucağı 150° olan vektor:α = 180° − 150° = 30°, vektor şimal-qərbə baxır;üfüqi: −6 cos 30° = −6 · √32 / = −3√3;şaquli: 6 sin 30° = 6 · 12 / = 3;v = ⟨−3√3; 3⟩.

Bu, 6 cos 150° və 6 sin 150° ilə eyni nəticədir: cos 150° = −cos 30°, sin 150° = sin 30°.

5 · Laboratoriya

Komponent toplayıcısı

Dəst və neçə vektor toplanacağını seç. Fiqurda vektorlar O-dan ucu-uca düzülür, punktirlər onların addımlarıdır. Torun altında üfüqi addımlar, sağında şaquli addımlar ardıcıl yığılır; yaşıl oxlar onların cəmidir. Tor xanası 1 vahiddir.

Vektor dəsti

Dəst 1 Dəst 2 Dəst 3

Nəyi toplayırıq?

u + v u + v + w

vektor	x	y
u	6	1
v	−1	5
cəm	5	6

x: 6 + (−1) = 5; y: 1 + 5 = 6.

u + v = ⟨5; 6⟩

Uzunluq: √(5² + 6²) = √61 ≈ 7,8.

Meyil bucağı: tg α = 65 / , α ≈ 50,2°; I rüb, θ = α: θ ≈ 50,2°.

vektor	x	y
u	6	1
v	−1	5
w	2	−4
cəm	7	2

x: 6 + (−1) + 2 = 7; y: 1 + 5 + (−4) = 2.

u + v + w = ⟨7; 2⟩

Uzunluq: √(7² + 2²) = √53 ≈ 7,3.

Meyil bucağı: tg α = 27 / , α ≈ 15,9°; I rüb, θ = α: θ ≈ 15,9°.

vektor	x	y
u	−4	3
v	−2	−3
cəm	−6	0

x: −4 + (−2) = −6; y: 3 + (−3) = 0.

u + v = ⟨−6; 0⟩

Uzunluq: √((−6)² + 0²) = √36 = 6.

Meyil bucağı: y = 0, x < 0: cəm absis oxunun mənfi istiqamətindədir, θ = 180°.

vektor	x	y
u	−4	3
v	−2	−3
w	2	−2
cəm	−4	−2

x: −4 + (−2) + 2 = −4; y: 3 + (−3) + (−2) = −2.

u + v + w = ⟨−4; −2⟩

Uzunluq: √((−4)² + (−2)²) = √20 = 2√5 ≈ 4,5.

Meyil bucağı: tg α = 24 / , α ≈ 26,6°; III rüb, θ = 180° + α: θ ≈ 206,6°.

vektor	x	y
u	5	−7
v	−8	4
cəm	−3	−3

x: 5 + (−8) = −3; y: −7 + 4 = −3.

u + v = ⟨−3; −3⟩

Uzunluq: √((−3)² + (−3)²) = √18 = 3√2 ≈ 4,2.

Meyil bucağı: tg α = 33 / , α 45°; III rüb, θ = 180° + α: θ = 225°.

vektor	x	y
u	5	−7
v	−8	4
w	3	−2
cəm	0	−5

x: 5 + (−8) + 3 = 0; y: −7 + 4 + (−2) = −5.

u + v + w = ⟨0; −5⟩

Uzunluq: √(0² + (−5)²) = √25 = 5.

Meyil bucağı: x = 0, y < 0: cəm ordinat oxunun mənfi istiqamətindədir, θ = 270°.

Tapşırıqlar.

Dəst 2-də u + v-yə bax. Niyə yaşıl ox absis oxu üzərindədir? Sağdakı şaquli addımlar nə edir?
Dəst 3-də w-ni əlavə et. Cəmin üfüqi komponenti necə sıfır olur və meyil bucağı niyə 270°-dir?
Hər dəstdə yaşıl oxun uzunluğunu üç vektorun uzunluqlarının cəmi ilə müqayisə et. Hansı böyükdür?

6 · Hesabla

Üç nümunə

Nümunə 1Cəm, uzunluq və bucaq

a = ⟨−7; 3⟩ və b = ⟨2; 4⟩. a + b vektorunu, onun uzunluğunu və meyil bucağını tapın.

Uyğun komponentləri toplayırıq: a + b = ⟨−7 + 2; 3 + 4⟩ = ⟨−5; 7⟩.
Uzunluq: √((−5)² + 7²) = √(25 + 49) = √74 ≈ 8,6.
Rüb: x < 0, y > 0 — II rüb. Kalkulyator tg θ = 7 : (−5) üçün ≈ −54,5° verir; bu bucaq IV rübdədir, bizə uyğun deyil.
İti bucaq: tg α = 7 : 5 = 1,4, α ≈ 54,5°; II rübdə θ = 180° − α ≈ 125,5°.
⟨−5; 7⟩, √74 ≈ 8,6, θ ≈ 125,5°

α — cəmlə absis oxunun mənfi hissəsi arasındakı iti bucaq, θ — müsbət hissədən ölçülən meyil bucağı.

Nümunə 2Orientirləmə yarışı

Orientirləmə yarışında Leyla startdan 400 m meyil bucağı 30° istiqamətində, sonra 200 m meyil bucağı 150° istiqamətində qaçır (şərq — absis oxunun müsbət istiqaməti, şimal — ordinat oxunun). Finiş startdan hansı məsafədə və hansı istiqamətdədir?

Birinci hissə:
⟨400 cos 30°; 400 sin 30°⟩= ⟨200√3; 200⟩.
İkinci hissə: iti bucaq 180° − 150° = 30°, istiqamət şimal-qərb:
⟨−200 cos 30°; 200 sin 30°⟩= ⟨−100√3; 100⟩.
Toplayırıq:
⟨200√3 − 100√3; 200 + 100⟩= ⟨100√3; 300⟩.
Uzunluq:
√((100√3)² + 300²)= √(30 000 + 90 000)= √120 000 = 200√3 ≈ 346 m.
Bucaq: tg θ = 300 : (100√3) = √3, I rüb, θ = 60°.
≈ 346 m, meyil bucağı 60°

BaşlaYenidənYenidən

Punktirlər iki hissənin komponentləridir: 200√3 ≈ 346 m şərqə və 200 m şimala, sonra 100√3 ≈ 173 m qərbə və 100 m şimala.

Diqqət et: Leyla 400 + 200 = 600 m qaçıb, amma finiş startdan cəmi ≈ 346 m uzaqdadır.

Nümunə 3Üç it bir xizəyi çəkir

Xizəyi üç it çəkir: ortadakı 100 N qüvvə ilə düz şimala (meyil bucağı 90°), yandakılar 80 N-luq qüvvələrlə, meyil bucaqları 60° və 120°. Əvəzləyici qüvvəni tapın.

Komponentlər: ortadakı ⟨0; 100⟩; sağdakı
⟨80 cos 60°; 80 sin 60°⟩= ⟨40; 40√3⟩;
soldakı üçün iti bucaq 180° − 120° = 60°, istiqamət şimal-qərb: ⟨−40; 40√3⟩.
Üfüqi: 0 + 40 + (−40) = 0 — yan qüvvələrin yan hissələri bir-birini sıfırlayır.
Şaquli: 100 + 40√3 + 40√3 = 100 + 80√3.
Əvəzləyici ⟨0; 100 + 80√3⟩ düz şimala yönəlib, modulu 100 + 80√3 ≈ 238,6 N.
≈ 238,6 N, düz şimala

Solda qüvvələr xizəkdən çəkilib, sağda ucu-uca düzülüb (çoxbucaqlı qaydası). Yaşıl əvəzləyici şaquli çıxır, çünki üfüqi hissələr 40 və −40-dır.

Hər üç it düz şimala çəksəydi, əvəzləyici 100 + 80 + 80 = 260 N olardı; bucaq altında çəkəndə ≈ 21,4 N «itir».

7 · Diqqət

Tez-tez buraxılan səhvlər

Uzunluqlar toplanıb

|⟨1; 5⟩| + |⟨4; −2⟩| = √26 + √20 ≈ 9,6

Uzunluqlar yalnız vektorlar eyni istiqamətdə olanda toplanır.

Əvvəl cəm, sonra uzunluq

⟨5; 3⟩, √(25 + 9) = √34 ≈ 5,8

Komponentləri topla, Pifaqoru cəmə tətbiq et.

Sola addım müsbət oxunub

⟨−3; 2⟩ + ⟨7; 3⟩ = ⟨10; 5⟩

Sola və ya aşağı yönələn addımın komponenti mənfidir: −3 + 7 = 4, 3 + 7 deyil.

İşarə ilə topla

⟨−3; 2⟩ + ⟨7; 3⟩ = ⟨4; 5⟩

Tordan oxuyanda hər addımın istiqamətinə bax.

Rüb unudulub

cəm ⟨−2; −5⟩: tg θ = 2,5, θ ≈ 68,2°

68,2° I rübdədir, amma hər iki komponent mənfidir.

III rüb: 180° + α

α ≈ 68,2°, θ ≈ 248,2°

Kalkulyatorun bucağını işarələrlə yoxla.

cos və sin dəyişib

6 və 60° → ⟨3√3; 3⟩

Bu, meyil bucağı 30° olan vektordur.

Üfüqi — cos, şaquli — sin

6 və 60° → ⟨3; 3√3⟩

6 cos 60° = 3, 6 sin 60° = 3√3. Yoxla: 60°-li vektor şimala daha çox baxır, deməli y > x.

8 · Həyatda

Qaçan futbolçunun ötürməsi

Futbolçu meyil bucağı 45° istiqamətində 4√2 ≈ 5,7 m/san sürətlə qaçır və topu özünə nəzərən 16 m/san sürətlə meyil bucağı 120° istiqamətində ötürür. Top yerə nəzərən hara uçur? Topun sürəti futbolçunun sürəti ilə zərbənin verdiyi sürətin cəmidir:

qaçış: ⟨4√2 cos 45°; 4√2 sin 45°⟩ = ⟨4; 4⟩;zərbə: ⟨−16 cos 60°; 16 sin 60°⟩ = ⟨−8; 8√3⟩;top: ⟨4 − 8; 4 + 8√3⟩ ≈ ⟨−4; 17,9⟩;|top| = √(16 + (4 + 8√3)²) ≈ 18,3 m/san;tg α ≈ 17,9 : 4, α ≈ 77,4°, II rüb: θ ≈ 102,6°.

Top 120° istiqamətində deyil, ≈ 102,6° istiqamətində uçur — qaçışın sürəti onu «qabağa» aparır. Ona görə təcrübəli futbolçu topu bir az geriyə vurur: qaçış sürətini qabaqcadan nəzərə alır.

Mavi — futbolçunun sürəti, narıncı — topun ona nəzərən sürəti, yaşıl — topun yerə nəzərən sürəti.

Xülasə

Yadda qalanlar

Uyğun komponentləri toplaBirinci komponentlər öz aralarında, ikincilər öz aralarında toplanır: üfüqi addımlar bir sırada, şaquli addımlar bir sütunda.
Uzunluq və bucaq cəmdən√(x² + y²); tg α = |y| : |x|, sonra rübə görə θ.
Bucaqla verilibsə — əvvəl komponentlərÜfüqi v cos θ, şaquli v sin θ, işarə vektorun baxdığı tərəfə görə; uzunluqları toplamaq olmaz.

Növbəti mövzu: 4.59 Vektorun ədədə vurulması