• 4.55
  • 9-cu sinif
  • Vektorlar

Vektorların toplanması və çıxılması

Şahmat atı «iki xana irəli, bir xana sağa» gedir. Bu, iki yerdəyişmədir, yoxsa bir? Xanaları L boyunca saysaq da, at bir sıçrayışla son xanaya düşür: iki vektorun cəmi bir vektordur — PQ + QT = PT.

Bu dərsdə

  • vektorların ucu-uca toplanmasını yerdəyişmə ilə izah edəcək, üçbucaq və paraleloqram qaydalarının eyni fikir olduğunu görəcəksən;
  • sıfır və əks vektorları tanıyacaq, fərqi əks vektoru toplamaq kimi tapacaqsan;
  • yerdəyişmə və qruplaşdırma xassələri ilə hərflərlə yazılmış vektor zəncirlərini sadələşdirəcəksən.
Şahmat atının gedişi iki vektorun cəmi kimi Şahmat taxtasının a–d, 1–4 hissəsi. At b1 xanasındadır (P nöqtəsi). Mavi u vektoru P-dən iki xana irəli Q-ya (b3), narıncı v vektoru Q-dan bir xana sağa T-yə (c3) gedir. Lime ox P-dən birbaşa T-yə: atın sıçrayışı. Punktirlə ikinci yol: əvvəl v (P-dən R-ə, c1), sonra u (R-dən T-yə). Kartda: PQ + QT = PT və PR + RT = PT. abcd1234 vu uv QTRPu2 irəliv1 sağaPTsıçrayış PQ+QT=PTPR+RT=PT
  1. Yerdəyişmə
  2. Üçbucaq qaydası
  3. Paraleloqram
  4. Sıfır və əks
  5. Çıxma
  6. Xassələr
  7. Laboratoriya
  8. Hesabla
  9. Diqqət
  10. Həyatda
  11. Özünü yoxla

1 · Kəşf et

Yerdəyişmə ardınca yerdəyişmə

Vektor istiqamətlənmiş parçadır: onun başlanğıcı, sonu, uzunluğu və istiqaməti var. Vektora yerdəyişmə kimi baxmaq rahatdır: PQ «P nöqtəsindən Q nöqtəsinə köçmək» deməkdir.

Şəkildə at əvvəlcə P-dən Q-ya (iki xana irəli), sonra Q-dan T-yə (bir xana sağa) «gedir». İki yerdəyişmənin nəticəsi bir yerdəyişmədir: P-dən birbaşa T-yə. Ona görə yazırıq:

PQ + QT = PT

Bu cəmə əvəzləyici vektor da deyilir: o, iki vektoru birlikdə əvəz edir. Diqqət et: at L boyunca üç xana sayır, amma PT oxu bu yoldan qısadır. Vektorları toplayanda uzunluqlar toplanmır — nəticə yalnız ilk başlanğıcdan və son nöqtədən asılıdır.

Bəs ikinci vektor birincinin ucunda deyilsə? Yadına sal: istiqamətləri eyni, uzunluqları bərabər olan vektorlar bərabər vektorlardır. Bərabər vektoru istənilən nöqtədən çəkmək olar — bu, eyni yerdəyişmədir. Ona görə ikinci vektoru elə köçürürük ki, onun başlanğıcı birincinin sonuna düşsün: vektorları ucu-uca qoyuruq.

Atın ikinci yolu. Əvvəl bir xana sağa (PR), sonra iki xana irəli (RT). Burada PR = QT və RT = PQ: eyni yerdəyişmələr, sadəcə başqa sırada. At yenə T xanasına düşür:

PR + RT = PT

2 · Qayda

Üçbucaq qaydası

Yadda saxla

Dərslik toplamanı belə təsvir edir: «v vektorunu elə yerləşdirin ki, onun başlanğıcı u vektorunun sonu ilə üst-üstə düşsün. u vektorunun başlanğıcından v vektorunun sonuna yönəlmiş vektor u və v vektorlarının cəmini göstərib onların əvəzləyicisi olur.»

AB + BC = AC

Birinci vektorun sonu ikincinin başlanğıcıdır — yazılışda qonşu hərflər eynidir (B). Cəm birincinin başlanğıcından (A) ikincinin sonuna (C) gedir.

Üçbucaq qaydası: AB + BC = AC ABC üçbucağı. Mavi AB vektoru A-dan B-yə, narıncı BC vektoru B-dən C-yə gedir; onlar B nöqtəsində görüşür. Lime AC vektoru A-dan C-yə — onların cəmi. ABCABBCAC
Mavi və narıncı oxlar B nöqtəsində görüşür. Lime ox — onların cəmi: A-dan C-yə bir yerdəyişmə.

Üç və daha çox vektor da belə toplanır: hər növbəti vektor əvvəlkinin ucundan başlayır. Dərslik bunu çoxbucaqlı qaydası adlandırır:

XY + YZ + ZW = XW

Ortadakı hərflər zəncirin halqaları kimi bir-birinə bağlanır (Y ilə Y, Z ilə Z); cavab zəncirin ilk və son hərfindən ibarətdir.

3 · Qayda

Paraleloqram qaydası — eyni fikir

Bəzən iki vektor ortaq başlanğıcdan çəkilir: u = EF və v = EH. Onları ucu-uca qoymaq üçün v-ni F nöqtəsinə köçürək.

EFGH paraleloqramında qarşı tərəflər paralel və bərabərdir, ona görə EH = FG: istiqamət də, uzunluq da eynidir. Deməli,

EF + EH = EF + FG = EG

Paraleloqram qaydası: EF + EH = EG EFGH paraleloqramı. Mavi u = EF və narıncı v = EH vektorları E nöqtəsindən çıxır. v-nin surəti F nöqtəsinə sürüşür və FG olur. Lime diaqonal EG — u + v cəmi. HG tərəfi punktirlə. uv v u+v EFGH
v-nin surəti E-dən F-ə sürüşür və FG olur. Ucu-uca qoyulmuş u və v-nin cəmi E-dən çıxan diaqonaldır.

Dərslik: «… tərəfləri u və v olan paraleloqram quraq. Bu paraleloqramın u və v vektorlarının başlanğıc nöqtəsindən çıxan diaqonalı onların cəmini, u + v vektorunu göstərir.»

Paraleloqram qaydası yeni qayda deyil: diaqonal elə üçbucaq qaydasının cavabıdır. Atda da belə idi — PQTR düzbucaqlıdır (paraleloqramın xüsusi halı), PT isə onun diaqonalıdır.

4 · Qayda

Sıfır vektor və əks vektorlar

Dərslikdən: «Başlanğıc və son nöqtələri üst-üstə düşən vektor sıfır vektor adlanır … Sıfır vektorunun uzunluğu sıfıra bərabərdir, istiqaməti isə qeyri-müəyyəndir.» Məsələn, LL = 0.

İstiqamətləri əks, uzunluqları bərabər olan vektorlar əks vektorlardır. u-ya əks vektor −u kimi yazılır. LS-ə əks vektor SL-dir: eyni parça, ox o biri ucdadır.

L-dən S-ə gedib geri qayıtsaq, yerimizdən tərpənməmişik:

LS + SL = LL = 0,ümumiyyətlə u + (−u) = 0.

Əks vektorların cəmi sıfır vektordur Yuxarıda mavi LS vektoru L-dən S-ə, aşağıda narıncı SL vektoru S-dən L-ə: eyni parça, əks istiqamət. Altda lime kvadrat nöqtə: cəm LL, yəni sıfır vektor. LSLSLSSLcəm:==LL0
Gediş və qayıdış əks vektorlardır. Onların cəmi bir nöqtədir — sıfır vektor.

Sıfırı əlavə etmək

u + 0 = u

Yerdəyişməyə «yerində qalmağı» əlavə etsək, o dəyişmir.

Vektor və ədəd

|0| = 0

Əks vektorların cəmi sıfır vektordur (0), onun uzunluğu isə 0 ədədidir. Vektoru ədədlə qarışdırma.

5 · Qayda

Çıxma — əksini topla

Yadda saxla

Dərslik: «u − v fərqini tapmaq üçün u-nun üzərinə v-yə əks olan vektoru əlavə etmək lazımdır. Yəni u − v ifadəsi ilə u + (−v) ifadəsi ekvivalent ifadələrdir.»

u − v = u + (−v)

(a) şəklində u-nun ucundan −v çəkirik: cəm lime oxdur. (b) şəklində u və v eyni nöqtədən çıxır. Eyni lime ox burada v-nin ucundan u-nun ucuna gedir. Niyə? v ilə bu oxu ucu-uca toplasaq, u alınır: v + (u − v) = u.

Fərq u − v iki şəkildə (a) Mavi u vektorunun ucundan narıncı −v vektoru çəkilib; lime ox u-nun başlanğıcından −v-nin sonuna — u − v fərqi. (b) u və v eyni O nöqtəsindən çıxır; lime ox v-nin ucundan u-nun ucuna gedir və (a)-dakı lime oxla eynidir. (a) əksini ucu-uca qoş(b) ortaq başlanğıc u−vu−v uvu−v O
Hər iki şəkildə lime ox eynidir: eyni istiqamət, eyni uzunluq. (a) — əksini ucu-uca əlavə edirik, (b) — ortaq başlanğıcda v-nin ucundan u-nun ucuna.

Hərflərlə: ortaq başlanğıcı T olan iki vektor üçün

TM − TN = NM

Fərq çıxılanın sonundan (N) azalanın sonuna (M) gedir. Yoxla: TN + NM = TM.

6 · Qayda

Toplamanın xassələri

Dərslikdə: «İstənilən u, v və z vektorları üçün toplamanın aşağıdakı xassələri doğrudur»:

Yerdəyişmə xassəsi

u + v = v + u

Atın iki L yolu eyni xanaya çatır.

Qruplaşdırma xassəsi

(u + v) + z = u + (v + z)

Zəncir eyni oxlardan ibarətdir; mötərizə yalnız hansı iki oxu əvvəl birləşdirdiyimizi göstərir.

İdentiklik xassəsi

u + 0 = u

Yerində qalmaq yerdəyişməni dəyişmir.

Əks vektorların cəmi

u + (−u) = 0

Gedib geri qayıtmaq.

NümunəXassələrlə sadələşdir

x + (y − x) ifadəsini sadələşdirin və hər addımda hansı qaydadan istifadə etdiyinizi deyin.

  1. Çıxmanı əksin toplanması ilə əvəz edirik:

    = x + (y + (−x))

  2. Mötərizənin içində yerdəyişmə xassəsi:

    = x + ((−x) + y)

  3. Qruplaşdırma xassəsi:

    = (x + (−x)) + y

  4. Əks vektorların cəmi:

    = 0 + y

  5. Yerdəyişmə və identiklik: 0 + y = y + 0 = y.

    x + (y − x) = y

Şəkildə: x və y ortaq başlanğıcdan çəkilsə, y − x x-in ucundan y-in ucuna gedir. x-ə ucu-uca qoşanda y-in ucuna çatırıq.

7 · Laboratoriya

Ucu-uca qurucu

Torda üç vektor var: a (mavi), b (narıncı) və c (tünd). Hər biri üçün seç: zəncirə olduğu kimi (+), əksi ilə (−) daxil olsun, ya da heç daxil olmasın. Laboratoriya seçilən vektorları O nöqtəsindən başlayaraq ucu-uca düzür və nəticəni — lime r oxunu — çəkir.

Ucu-uca qurucutor: 14 × 14

Vektor a
Vektor b
Vektor c
Sıra
Ucu-uca qurucu 14 × 14 tor, mərkəzdə O nöqtəsi. Seçilən vektorlar O-dan başlayaraq ucu-uca çəkilir: a mavi, b narıncı, c tünd; əksi götürülən vektorun özü boz punktirlə göstərilir. Lime ox O-dan zəncirin sonuna gedir — cəm r. Zəncir qapananda O-da lime kvadrat və sıfır vektor işarəsi görünür. Seçilən vəziyyətin ifadəsi altdakı oxunuşda yazılıb. Oabc0Ocba0Oab−crO−cbarOabrObarOa−bcrOc−barOa−b−crO−c−barOa−brO−barOacrOcarOa−crO−carOarOarO−abcrOcb−arO−ab−crO−cb−arO−abrOb−arO−a−bcrOc−b−arO−a−b−c0O−c−b−a0O−a−brO−b−arO−acrOc−arO−a−crO−c−arO−arO−arObcrOcbrOb−crO−cbrObrObrO−bcrOc−brO−b−crO−c−brO−brO−brOcrOcrO−crO−crO0O0
  • zəncirdəki vektor
  • əksi götürülən vektorun özü
  • nəticə r
İfadə
a + b + c
Ucu-uca
a → b → c, hər biri əvvəlkinin ucundan.
Nəticə
zəncir qapandı: son nöqtə O ilə üst-üstə düşür, r = 0. «c, b, a» sırası ilə də eyni r alınır.
İfadə
c + b + a
Ucu-uca
c → b → a, hər biri əvvəlkinin ucundan.
Nəticə
zəncir qapandı: son nöqtə O ilə üst-üstə düşür, r = 0. «a, b, c» sırası ilə də eyni r alınır.
İfadə
a + b − c
Ucu-uca
a → b → −c, hər biri əvvəlkinin ucundan. −c — c-nin əksidir (punktir — c-nin özü). Yəni a + b − c = a + b + (−c).
Nəticə
r — O-dan zəncirin sonuna gedən lime ox. «c, b, a» sırası ilə də eyni r alınır.
İfadə
−c + b + a
Ucu-uca
−c → b → a, hər biri əvvəlkinin ucundan. −c — c-nin əksidir (punktir — c-nin özü). Yəni −c + b + a = −c + b + a.
Nəticə
r — O-dan zəncirin sonuna gedən lime ox. «a, b, c» sırası ilə də eyni r alınır.
İfadə
a + b
Ucu-uca
a → b, hər biri əvvəlkinin ucundan.
Nəticə
r = −c: c-yə əks vektordur. «c, b, a» sırası ilə də eyni r alınır.
İfadə
b + a
Ucu-uca
b → a, hər biri əvvəlkinin ucundan.
Nəticə
r = −c: c-yə əks vektordur. «a, b, c» sırası ilə də eyni r alınır.
İfadə
a − b + c
Ucu-uca
a → −b → c, hər biri əvvəlkinin ucundan. −b — b-nin əksidir (punktir — b-nin özü). Yəni a − b + c = a + (−b) + c.
Nəticə
r — O-dan zəncirin sonuna gedən lime ox. «c, b, a» sırası ilə də eyni r alınır.
İfadə
c − b + a
Ucu-uca
c → −b → a, hər biri əvvəlkinin ucundan. −b — b-nin əksidir (punktir — b-nin özü). Yəni c − b + a = c + (−b) + a.
Nəticə
r — O-dan zəncirin sonuna gedən lime ox. «a, b, c» sırası ilə də eyni r alınır.
İfadə
a − b − c
Ucu-uca
a → −b → −c, hər biri əvvəlkinin ucundan. −b — b-nin əksidir (punktir — b-nin özü). −c — c-nin əksidir (punktir — c-nin özü). Yəni a − b − c = a + (−b) + (−c).
Nəticə
r — O-dan zəncirin sonuna gedən lime ox. «c, b, a» sırası ilə də eyni r alınır.
İfadə
−c − b + a
Ucu-uca
−c → −b → a, hər biri əvvəlkinin ucundan. −c — c-nin əksidir (punktir — c-nin özü). −b — b-nin əksidir (punktir — b-nin özü). Yəni −c − b + a = −c + (−b) + a.
Nəticə
r — O-dan zəncirin sonuna gedən lime ox. «a, b, c» sırası ilə də eyni r alınır.
İfadə
a − b
Ucu-uca
a → −b, hər biri əvvəlkinin ucundan. −b — b-nin əksidir (punktir — b-nin özü). Yəni a − b = a + (−b).
Nəticə
r — O-dan zəncirin sonuna gedən lime ox. «c, b, a» sırası ilə də eyni r alınır.
İfadə
−b + a
Ucu-uca
−b → a, hər biri əvvəlkinin ucundan. −b — b-nin əksidir (punktir — b-nin özü). Yəni −b + a = −b + a.
Nəticə
r — O-dan zəncirin sonuna gedən lime ox. «a, b, c» sırası ilə də eyni r alınır.
İfadə
a + c
Ucu-uca
a → c, hər biri əvvəlkinin ucundan.
Nəticə
r = −b: b-yə əks vektordur. «c, b, a» sırası ilə də eyni r alınır.
İfadə
c + a
Ucu-uca
c → a, hər biri əvvəlkinin ucundan.
Nəticə
r = −b: b-yə əks vektordur. «a, b, c» sırası ilə də eyni r alınır.
İfadə
a − c
Ucu-uca
a → −c, hər biri əvvəlkinin ucundan. −c — c-nin əksidir (punktir — c-nin özü). Yəni a − c = a + (−c).
Nəticə
r — O-dan zəncirin sonuna gedən lime ox. «c, b, a» sırası ilə də eyni r alınır.
İfadə
−c + a
Ucu-uca
−c → a, hər biri əvvəlkinin ucundan. −c — c-nin əksidir (punktir — c-nin özü). Yəni −c + a = −c + a.
Nəticə
r — O-dan zəncirin sonuna gedən lime ox. «a, b, c» sırası ilə də eyni r alınır.
İfadə
a
Ucu-uca
a, hər biri əvvəlkinin ucundan.
Nəticə
r = a.
İfadə
a
Ucu-uca
a, hər biri əvvəlkinin ucundan.
Nəticə
r = a.
İfadə
−a + b + c
Ucu-uca
−a → b → c, hər biri əvvəlkinin ucundan. −a — a-nin əksidir (punktir — a-nin özü). Yəni −a + b + c = −a + b + c.
Nəticə
r — O-dan zəncirin sonuna gedən lime ox. «c, b, a» sırası ilə də eyni r alınır.
İfadə
c + b − a
Ucu-uca
c → b → −a, hər biri əvvəlkinin ucundan. −a — a-nin əksidir (punktir — a-nin özü). Yəni c + b − a = c + b + (−a).
Nəticə
r — O-dan zəncirin sonuna gedən lime ox. «a, b, c» sırası ilə də eyni r alınır.
İfadə
−a + b − c
Ucu-uca
−a → b → −c, hər biri əvvəlkinin ucundan. −a — a-nin əksidir (punktir — a-nin özü). −c — c-nin əksidir (punktir — c-nin özü). Yəni −a + b − c = −a + b + (−c).
Nəticə
r — O-dan zəncirin sonuna gedən lime ox. «c, b, a» sırası ilə də eyni r alınır.
İfadə
−c + b − a
Ucu-uca
−c → b → −a, hər biri əvvəlkinin ucundan. −c — c-nin əksidir (punktir — c-nin özü). −a — a-nin əksidir (punktir — a-nin özü). Yəni −c + b − a = −c + b + (−a).
Nəticə
r — O-dan zəncirin sonuna gedən lime ox. «a, b, c» sırası ilə də eyni r alınır.
İfadə
−a + b
Ucu-uca
−a → b, hər biri əvvəlkinin ucundan. −a — a-nin əksidir (punktir — a-nin özü). Yəni −a + b = −a + b.
Nəticə
r — O-dan zəncirin sonuna gedən lime ox. «c, b, a» sırası ilə də eyni r alınır.
İfadə
b − a
Ucu-uca
b → −a, hər biri əvvəlkinin ucundan. −a — a-nin əksidir (punktir — a-nin özü). Yəni b − a = b + (−a).
Nəticə
r — O-dan zəncirin sonuna gedən lime ox. «a, b, c» sırası ilə də eyni r alınır.
İfadə
−a − b + c
Ucu-uca
−a → −b → c, hər biri əvvəlkinin ucundan. −a — a-nin əksidir (punktir — a-nin özü). −b — b-nin əksidir (punktir — b-nin özü). Yəni −a − b + c = −a + (−b) + c.
Nəticə
r — O-dan zəncirin sonuna gedən lime ox. «c, b, a» sırası ilə də eyni r alınır.
İfadə
c − b − a
Ucu-uca
c → −b → −a, hər biri əvvəlkinin ucundan. −b — b-nin əksidir (punktir — b-nin özü). −a — a-nin əksidir (punktir — a-nin özü). Yəni c − b − a = c + (−b) + (−a).
Nəticə
r — O-dan zəncirin sonuna gedən lime ox. «a, b, c» sırası ilə də eyni r alınır.
İfadə
−a − b − c
Ucu-uca
−a → −b → −c, hər biri əvvəlkinin ucundan. −a — a-nin əksidir (punktir — a-nin özü). −b — b-nin əksidir (punktir — b-nin özü). −c — c-nin əksidir (punktir — c-nin özü). Yəni −a − b − c = −a + (−b) + (−c).
Nəticə
zəncir qapandı: son nöqtə O ilə üst-üstə düşür, r = 0. «c, b, a» sırası ilə də eyni r alınır.
İfadə
−c − b − a
Ucu-uca
−c → −b → −a, hər biri əvvəlkinin ucundan. −c — c-nin əksidir (punktir — c-nin özü). −b — b-nin əksidir (punktir — b-nin özü). −a — a-nin əksidir (punktir — a-nin özü). Yəni −c − b − a = −c + (−b) + (−a).
Nəticə
zəncir qapandı: son nöqtə O ilə üst-üstə düşür, r = 0. «a, b, c» sırası ilə də eyni r alınır.
İfadə
−a − b
Ucu-uca
−a → −b, hər biri əvvəlkinin ucundan. −a — a-nin əksidir (punktir — a-nin özü). −b — b-nin əksidir (punktir — b-nin özü). Yəni −a − b = −a + (−b).
Nəticə
r = c. «c, b, a» sırası ilə də eyni r alınır.
İfadə
−b − a
Ucu-uca
−b → −a, hər biri əvvəlkinin ucundan. −b — b-nin əksidir (punktir — b-nin özü). −a — a-nin əksidir (punktir — a-nin özü). Yəni −b − a = −b + (−a).
Nəticə
r = c. «a, b, c» sırası ilə də eyni r alınır.
İfadə
−a + c
Ucu-uca
−a → c, hər biri əvvəlkinin ucundan. −a — a-nin əksidir (punktir — a-nin özü). Yəni −a + c = −a + c.
Nəticə
r — O-dan zəncirin sonuna gedən lime ox. «c, b, a» sırası ilə də eyni r alınır.
İfadə
c − a
Ucu-uca
c → −a, hər biri əvvəlkinin ucundan. −a — a-nin əksidir (punktir — a-nin özü). Yəni c − a = c + (−a).
Nəticə
r — O-dan zəncirin sonuna gedən lime ox. «a, b, c» sırası ilə də eyni r alınır.
İfadə
−a − c
Ucu-uca
−a → −c, hər biri əvvəlkinin ucundan. −a — a-nin əksidir (punktir — a-nin özü). −c — c-nin əksidir (punktir — c-nin özü). Yəni −a − c = −a + (−c).
Nəticə
r = b. «c, b, a» sırası ilə də eyni r alınır.
İfadə
−c − a
Ucu-uca
−c → −a, hər biri əvvəlkinin ucundan. −c — c-nin əksidir (punktir — c-nin özü). −a — a-nin əksidir (punktir — a-nin özü). Yəni −c − a = −c + (−a).
Nəticə
r = b. «a, b, c» sırası ilə də eyni r alınır.
İfadə
−a
Ucu-uca
−a, hər biri əvvəlkinin ucundan. −a — a-nin əksidir (punktir — a-nin özü). Yəni −a = −a.
Nəticə
r = −a: a-yə əks vektordur.
İfadə
−a
Ucu-uca
−a, hər biri əvvəlkinin ucundan. −a — a-nin əksidir (punktir — a-nin özü). Yəni −a = −a.
Nəticə
r = −a: a-yə əks vektordur.
İfadə
b + c
Ucu-uca
b → c, hər biri əvvəlkinin ucundan.
Nəticə
r = −a: a-yə əks vektordur. «c, b, a» sırası ilə də eyni r alınır.
İfadə
c + b
Ucu-uca
c → b, hər biri əvvəlkinin ucundan.
Nəticə
r = −a: a-yə əks vektordur. «a, b, c» sırası ilə də eyni r alınır.
İfadə
b − c
Ucu-uca
b → −c, hər biri əvvəlkinin ucundan. −c — c-nin əksidir (punktir — c-nin özü). Yəni b − c = b + (−c).
Nəticə
r — O-dan zəncirin sonuna gedən lime ox. «c, b, a» sırası ilə də eyni r alınır.
İfadə
−c + b
Ucu-uca
−c → b, hər biri əvvəlkinin ucundan. −c — c-nin əksidir (punktir — c-nin özü). Yəni −c + b = −c + b.
Nəticə
r — O-dan zəncirin sonuna gedən lime ox. «a, b, c» sırası ilə də eyni r alınır.
İfadə
b
Ucu-uca
b, hər biri əvvəlkinin ucundan.
Nəticə
r = b.
İfadə
b
Ucu-uca
b, hər biri əvvəlkinin ucundan.
Nəticə
r = b.
İfadə
−b + c
Ucu-uca
−b → c, hər biri əvvəlkinin ucundan. −b — b-nin əksidir (punktir — b-nin özü). Yəni −b + c = −b + c.
Nəticə
r — O-dan zəncirin sonuna gedən lime ox. «c, b, a» sırası ilə də eyni r alınır.
İfadə
c − b
Ucu-uca
c → −b, hər biri əvvəlkinin ucundan. −b — b-nin əksidir (punktir — b-nin özü). Yəni c − b = c + (−b).
Nəticə
r — O-dan zəncirin sonuna gedən lime ox. «a, b, c» sırası ilə də eyni r alınır.
İfadə
−b − c
Ucu-uca
−b → −c, hər biri əvvəlkinin ucundan. −b — b-nin əksidir (punktir — b-nin özü). −c — c-nin əksidir (punktir — c-nin özü). Yəni −b − c = −b + (−c).
Nəticə
r = a. «c, b, a» sırası ilə də eyni r alınır.
İfadə
−c − b
Ucu-uca
−c → −b, hər biri əvvəlkinin ucundan. −c — c-nin əksidir (punktir — c-nin özü). −b — b-nin əksidir (punktir — b-nin özü). Yəni −c − b = −c + (−b).
Nəticə
r = a. «a, b, c» sırası ilə də eyni r alınır.
İfadə
−b
Ucu-uca
−b, hər biri əvvəlkinin ucundan. −b — b-nin əksidir (punktir — b-nin özü). Yəni −b = −b.
Nəticə
r = −b: b-yə əks vektordur.
İfadə
−b
Ucu-uca
−b, hər biri əvvəlkinin ucundan. −b — b-nin əksidir (punktir — b-nin özü). Yəni −b = −b.
Nəticə
r = −b: b-yə əks vektordur.
İfadə
c
Ucu-uca
c, hər biri əvvəlkinin ucundan.
Nəticə
r = c.
İfadə
c
Ucu-uca
c, hər biri əvvəlkinin ucundan.
Nəticə
r = c.
İfadə
−c
Ucu-uca
−c, hər biri əvvəlkinin ucundan. −c — c-nin əksidir (punktir — c-nin özü). Yəni −c = −c.
Nəticə
r = −c: c-yə əks vektordur.
İfadə
−c
Ucu-uca
−c, hər biri əvvəlkinin ucundan. −c — c-nin əksidir (punktir — c-nin özü). Yəni −c = −c.
Nəticə
r = −c: c-yə əks vektordur.
İfadə
0
Ucu-uca
Heç bir vektor seçilməyib: O nöqtəsindən tərpənmirik.
Nəticə
r = 0 — yerdəyişmə yoxdur.
İfadə
0
Ucu-uca
Heç bir vektor seçilməyib: O nöqtəsindən tərpənmirik.
Nəticə
r = 0 — yerdəyişmə yoxdur.

Laboratoriyada yoxla:

  1. a və b-ni «+», c-ni «yox» seç. Sonra sıranı «c, b, a» et. Lime ox dəyişdimi?
    Nə gördün?

    Dəyişmir: zəncir başqa yolla gedir (b əvvəl), amma b + a = a + b — yerdəyişmə xassəsi. Oxunuşa bax: bu ox −c-yə bərabərdir.

  2. Hər üç vektoru «+» seç. Nə alınır?
    Nə gördün?

    Zəncir qapanır: son nöqtə O-ya qayıdır. a + b + c = 0 — üç vektor üçbucaq təşkil edir.

  3. a «+», b «−», c «yox». Punktir ox nədir?
    Nə gördün?

    Punktir — b-nin özüdür; zəncirdə onun əksi, −b, işlənir. Lime ox a − b = a + (−b) fərqidir. a və b O nöqtəsindən çəkilsəydi, bu ox b-nin ucundan a-nın ucuna gedərdi.

8 · Hesabla

Hərflərlə zəncirlər

Hərflərlə verilmiş cəmlərdə şəkil çəkmək həmişə lazım deyil. Vektorları elə düzürük ki, qonşu hərflər görüşsün, çıxmanı isə əksin toplanması ilə əvəz edirik: XY-in əksi YX-dir.

Nümunə 1Zənciri düz

Sadələşdirin: SV + LD + DS.

  1. Yerdəyişmə xassəsi ilə toplananların yerini dəyişirik ki, hərflər görüşsün: LD + DS + SV.
  2. D və S görüşür: LD + DS = LS, sonra LS + SV = LV.

    LV

Nümunə 2Çıxma ilə

Sadələşdirin: MP − MK + PD.

  1. MP − MK: ortaq başlanğıc M-dir, fərq çıxılanın sonundan (K) azalanın sonuna (P) gedir: KP.
  2. Başqa yolla da yoxlayaq: −MK = KM, onda KM + MP = KP — eyni cavab.
  3. KP + PD = KD.

    KD

Nümunə 3Şəkildə bərabər vektorlar

DEF üçbucağında M nöqtəsi EF tərəfinin ortasıdır. DE + MF cəmini bir vektorla yazın.

DEF üçbucağı, M — EF-in ortası DEF üçbucağı, M nöqtəsi EF tərəfinin ortasıdır (iki bərabər hissə ştrixlərlə). Mavi DE, narıncı EM və MF bərabər vektorlardır, lime DM — median: DE + EM = DM. DEFMDEMFEMDM
  1. EM və MF eyni düz xətt üzərindədir, istiqamətləri eynidir, uzunluqları bərabərdir (M — orta nöqtə): MF = EM.
  2. Üçbucaq qaydası: DE + EM = DM. DM — üçbucağın medianıdır.

    DM

Nümunə 4Verilən vektorlarla ifadə et

GHK üçbucağında GH = s, GK = t. HK-nı s və t ilə ifadə edin.

  1. H-dan K-ya G nöqtəsindən keçərək getmək olar: HK = HG + GK.
  2. HG vektoru GH-ın əksidir: HG = −s.
  3. HK = −s + t = t − s. Bu, çıxma qaydasının özüdür: GK − GH = HK.

    HK = t − s

9 · Diqqət

Oxun istiqamətinə bax

Səhv

LM + MS = SL

Cəmin istiqaməti tərsinə yazılıb.

Düz

LM + MS = LS

Cəm birincinin başlanğıcından (L) sonuncunun sonuna (S) gedir.

Səhv

TM − TN = MN

Fərq azalanın sonundan başladılıb.

Düz

TM − TN = NM

Çıxılanın sonundan azalanın sonuna: TN + NM = TM.

Səhv

u + (−u) = 0

Vektorların cəmi ədəd deyil.

Düz

u + (−u) = 0

Cəm sıfır vektordur; 0 ədədi onun uzunluğudur: |0| = 0.

Səhv

u − v = v − u

Çıxmada yerdəyişmə xassəsi yoxdur.

Düz

v − u = −(u − v)

İki fərq əks vektorlardır: eyni parça, əks istiqamət.

«|LM + MS| = LM + MS» yazmaq olmaz. Cəmin uzunluğu uzunluqların cəmi deyil: LMS üçbucağında LS tərəfi LM + MS-dən qısadır — atın sıçrayışı L yolundan qısa olduğu kimi. Bərabərlik yalnız M nöqtəsi LS parçasının üzərində olanda doğrudur; bu halı növbəti mövzuda, kollinear vektorlarda öyrənəcəksən.

10 · Həyatda

Robot-tozsoran geri yolu necə tapır?

Robot-tozsoran otaqda hərəkət edəndə hər düz hissədə hansı istiqamətdə və nə qədər yer dəyişdiyini təkərlərinin dönməsindən təxmin edir. Sadələşdirilmiş modeldə robot bazadan çıxıb ardıcıl d, e və f yerdəyişmələrini edir.

Robot-tozsoranın yerdəyişmələri və geri yolu Döşəmə toru. Baza sol aşağıda. Robot mavi d vektoru ilə sağa, narıncı e ilə yuxarı, tünd f ilə sola-yuxarı gedir. Lime punktir ox robotun durduğu yerdən bazaya: d + e + f cəminin əksi. bazadefgeri
Rəngli oxlar robotun yoludur, lime punktir ox — bazaya birbaşa qayıdış.

Robotun bazaya nəzərən yeri — üç yerdəyişmənin ucu-uca cəmidir: d + e + f. Bazaya qayıtmaq üçün bütün yolu təkrarlamaq lazım deyil: geri yerdəyişmə bu cəmin əksidir:

−(d + e + f)

Yoxla: gediş ilə qayıdışın cəmi 0-dır — robot yenə bazadadır.

Şərti modeldir: real robotlar sensorlardan və otağın xəritəsindən də istifadə edir; yerdəyişmələri toplamaq ideyası isə eynidir.

11 · Özünü yoxla

Bacarığını sına

Cavabı seç — düzgün olanda yaşıl, səhv olanda qırmızı işıqlanacaq. Həllinə də baxa bilərsən.

  1. Asan

    Hansı cəm DZ vektoruna bərabərdir?

    Cavab variantları

    Düzdür! L hərfləri görüşür: D-dən L-ə, L-dən Z-yə.

    Yox. Birinci vektorun sonu ikincinin başlanğıcı olmalıdır, cəm isə D-dən Z-yə getməlidir.

    Həllə bax

    DL + LZ = DZ — üçbucaq qaydası. ZL + LD = ZD isə DZ-yə əks vektordur; qalan iki cəmdə hərflər görüşmür.

  2. Asan

    u − v hansı ifadəyə bərabərdir?

    Cavab variantları

    Əla! Çıxmaq — əks vektoru toplamaqdır.

    Yox. Qaydanı xatırla: u-nun üzərinə v-yə əks olan vektoru əlavə edirik.

    Həllə bax

    u − v = u + (−v). v − u isə bu fərqə əks vektordur.

  3. Orta

    HK − HE fərqi hansı vektordur?

    Cavab variantları

    Düzdür: çıxılanın sonundan (E) azalanın sonuna (K).

    Ortaq başlanğıc H-dır. Fərq çıxılanın sonundan azalanın sonuna gedir.

    Həllə bax

    −HE = EH, onda HK − HE = EH + HK = EK. Yoxla: HE + EK = HK.

  4. Orta

    MNPS paraleloqramdır. MN + MS cəmi hansı vektordur?

    Cavab variantları

    Əla! Ortaq başlanğıcdan (M) çıxan diaqonal.

    Paraleloqram qaydası: cəm vektorların ortaq başlanğıcından çıxan diaqonaldır.

    Həllə bax

    Qarşı tərəflər bərabər vektorlardır: MS = NP. Onda MN + MS = MN + NP = MP. NS — o biri diaqonaldır, o, MS − MN fərqinə bərabərdir.

  5. Çətin

    VL + KV − KL ifadəsini sadələşdirin.

    Cavab variantları

    Düzdür! KV + VL = KL, KL − KL = 0.

    Əvvəl hərfləri görüşdür: KV + VL. Vektorlardan vektor alınır, ədəd yox.

    Həllə bax

    Yerdəyişmə: KV + VL − KL. Üçbucaq qaydası: KV + VL = KL. KL − KL = KL + LK = KK = 0.

  6. Çətin

    DEF üçbucağında DE = p, EF = q. FD vektoru hansıdır?

    Cavab variantları

    Əla! Zəncir qapanır: p + q + FD = 0.

    p + q = DF. FD isə ona əksdir.

    Həllə bax

    DE + EF = DF = p + q. FD vektoru DF-in əksidir: FD = −p − q, çünki (p + q) + (−p) + (−q) = 0.

Xülasə

Yadda qalanlar

  • AB + BC = ACUcu-uca: ilk başlanğıcdan sonuncu vektorun sonuna. Paraleloqramda cəm ortaq başlanğıcdan çıxan diaqonaldır.
  • u − v = u + (−v)Ortaq başlanğıcda fərq çıxılanın sonundan azalanın sonuna gedir; u + (−u) = 0.
  • u + v = v + uYerdəyişmə və qruplaşdırma ilə zənciri elə düz ki, qonşu hərflər görüşsün.

Növbəti mövzu: 4.56 Kollinear vektorların toplanması