• 4.30
  • 9-cu sinif
  • Tənliklər

Rasional tənliklər və onların tətbiqi

Tənliyi düz həll etdin, iki ədəd tapdın — amma onlardan biri kök deyil. Necə? x²x − 5 / = 7x − 10x − 5 / tənliyində məxrəcləri atanda x² = 7x − 10 alınır: x = 2 və x = 5. Amma x = 5 olanda məxrəc 0 olur, ona görə kök yalnız 2-dir.

Bu dərsdə

  • rasional tənliyin DMQ-sini yazıb onu ortaq məxrəcə vurmaqla həll edəcək, tapılan ədədləri DMQ ilə yoxlayacaqsan;
  • artıq ədədin niyə yarandığını izah edəcək, ixtisarda DMQ-ni saxlayacaq və yeni dəyişən daxil edəcəksən;
  • harmonik orta, birgə iş və çayda hərəkət məsələlərini tənliklə həll edib cavabı mənaya görə yoxlayacaqsan.
x² = 7x − 10 tənliyinin iki namizədi və qadağan olunmuş x = 5 Koordinat müstəvisində mavi parabola y = x² və narıncı düz xətt y = 7x − 10. Onlar iki nöqtədə kəsişir: x = 2 olanda (2; 4) və x = 5 olanda (5; 25). x = 5 üzərindən qırmızı qırıq şaquli xətt çəkilib: ilkin tənlikdə bu qiymətdə məxrəc 0 olur. Ona görə (5; 25) nöqtəsi qırmızı xaçla silinib, (2; 4) isə yaşıl işarələnib. Altda: Cavab: {2}. x y 4 25 məxrəc 0 x = 2 x = 5 y = x² y = 7x − 10 Cavab: {2}
  1. Kəşf et
  2. Qayda
  3. Hesabla
  4. Yeni dəyişən
  5. Diqqət
  6. Həyatda
  7. Özünü yoxla

1 · Kəşf et

Artıq ədəd haradan gəldi?

Yadına sal: kəsrin məxrəci 0 ola bilməz. Məxrəci 0 etməyən qiymətlərə dəyişənin mümkün qiymətləri, qısaca DMQ deyilir. Hook-dakı tənlikdə hər iki məxrəc x − 5-dir, deməli DMQ: x ≠ 5.

Tənliyi həll etmək üçün hər iki tərəfi x − 5-ə vurduq və x² = 7x − 10 aldıq. Bu tənliyin iki həlli var — onları namizəd adlandıraq. İndi hər iki namizədi həm ilkin tənlikdə, həm də vurmadan sonrakı tənlikdə yoxlayaq:

Namizədlərin yoxlanması
Nəyi hesablayırıqx = 2x = 5
Sol tərəf
x²x − 5 / 		4−3 / 250 /
mənasız
Sağ tərəf
7x − 10x − 5 / 		4−3 / 250 /
mənasız
Vurmadan sonra
x² = 7x − 10		4 = 425 = 25
Nəticəkökdür ✓kök deyil ✗

Niyə belə oldu? Bərabərliyin hər iki tərəfini sıfırdan fərqli ədədə vurmaq onu nə pozur, nə də yeni bərabərlik yaradır. x ≠ 5 olanda x − 5 ≠ 0, ona görə DMQ-də iki tənliyin kökləri eynidir. x = 5 olanda isə hər iki tərəfi sıfıra vururuq: mənasız «250 / = 250 / » yazısı doğru «25 = 25» bərabərliyinə çevrilir. Yeni tənlik x ≠ 5 şərtini «unudur».

Deməli, ortaq məxrəcə vuranda artıq namizəd yalnız ortaq məxrəci 0 edən qiymətdən — yəni DMQ-dən kənardan gələ bilər. Hesabda səhv yoxdursa, DMQ-dəki namizəd kökdür, DMQ-dən kənardakı isə atılır. Hero-dakı şəkil də bunu göstərir: x² = 7x − 10 tənliyinin həlləri parabola ilə düz xəttin kəsişmə nöqtələridir, x = 5 xətti isə qadağandır.

2 · Qayda

Rasional tənlik necə həll olunur?

Yadda saxla

«Tənliyin sağ və sol tərəfinə daxil olan ifadələr rasional ifadələr olarsa, belə tənliyə rasional tənlik deyilir.»

Həll addımları:

  1. Tənlikdə dəyişənin mümkün qiymətləri (DMQ) müəyyən edilir.
  2. Tənliyə daxil olan kəsrlər ortaq məxrəcə gətirilir.
  3. Tənliyin hər iki tərəfi ortaq məxrəcə vurulur və alınan tənlik həll edilir.
  4. Yoxlama aparılır və cavab yazılır.

DMQ-ni tapmaq üçün hər məxrəci vuruqlara ayırırıq və hər vuruğu 0-dan fərqli yazırıq. Məsələn, x² + 3x = x(x + 3) olduğundan x ≠ 0 və x ≠ −3. Diqqət: x² + 1 kimi məxrəc heç vaxt 0 olmur, ona görə DMQ-yə şərt əlavə etmir.

Tənasüb

ab / = cd / ⇒ a · d = b · c

Burada b ≠ 0, d ≠ 0. Bu da ortaq məxrəcə (b · d) vurmaqdır, sadəcə qısa yazılışı.

Əks məxrəc

a5 − x / = −ax − 5 /

5 − x = −(x − 5): mənfini kəsrin qarşısına çıxarıb məxrəcləri eyniləşdiririk.

Cavabın yazılışı

{x₁; x₂}  və ya  Ø

Kökləri çoxluq kimi yazırıq; kök yoxdursa, boş çoxluq Ø yazırıq.

3 · Hesabla

Üç tipik tənlik

Hər nümunədə dörd addımı ardıcıl izləyirik. Rənglər: narıncı — DMQ, yaşıl — kök, qırmızı — atılan namizəd.

Nümunə 1Tənasüb

Tənliyi həll edin: x + 14 / = 5x + 2 /

  1. DMQ: x + 2 ≠ 0, yəni x ≠ −2.
  2. Tənasübün xassəsi: (x + 1)(x + 2) = 4 · 5 = 20.
  3. x² + 3x + 2 = 20 ⇒ x² + 3x − 18 = 0 ⇒ (x + 6)(x − 3) = 0 ⇒ x = −6 və ya x = 3.
  4. Hər iki ədəd −2-dən fərqlidir. Yoxlama: x = 3: 44 / = 55 / = 1 ✓; x = −6: −54 / = 5−4 / ✓.

    Cavab: {−6; 3}

Nümunə 2Ortaq məxrəc

Tənliyi həll edin:

xx − 6 / + 7x + 1 / = 42x² − 5x − 6 /

  1. Məxrəcləri vuruqlara ayırırıq: x² − 5x − 6 = (x − 6)(x + 1). DMQ: x ≠ 6, x ≠ −1.
  2. Ortaq məxrəc (x − 6)(x + 1). Birinci kəsrin əlavə vuruğu x + 1, ikincinin x − 6-dır.
  3. Hər iki tərəfi ortaq məxrəcə vururuq: x(x + 1) + 7(x − 6) = 42 ⇒ x² + 8x − 84 = 0. D = 8² + 4 · 84 = 400 ⇒ x = (−8 ± 20) : 2: x = 6 və ya x = −14.
  4. x = 6 DMQ-dən kənardır — atılır. Yoxlama x = −14: −14−20 / + 7−13 / = 21130 / və 42260 / = 21130 / ✓.

    Cavab: {−14}

Nümunə 3İxtisar və DMQ

Tənliyi həll edin: x² − 3x − 10x + 2 / = 3x − 1

  1. DMQ: x ≠ −2.
  2. Surəti vuruqlara ayırıb ixtisar edirik: (x − 5)(x + 2)x + 2 / = x − 5, amma x ≠ −2 şərti qalır.
  3. x − 5 = 3x − 1 ⇒ −2x = 4 ⇒ x = −2.
  4. Yeganə namizəd −2 DMQ-dən kənardır, başqa namizəd yoxdur.

    Cavab: Ø (kök yoxdur)

İxtisar tənliyi sadələşdirir, amma DMQ-ni dəyişmir: ixtisar olunan vuruq yenə 0 ola bilməz. DMQ-ni unutsaydıq, «x = −2» yazardıq.

4 · Yeni dəyişən

Təkrarlanan ifadəni t ilə əvəz et

Tənlikdə eyni ifadə bir neçə dəfə görünürsə, onu yeni dəyişən t ilə əvəz edirik, t üçün sadə tənliyi həll edirik, sonra hər t qiymətinə görə x-i tapırıq. Cavab x-lərdir, t-lər deyil.

Nə zaman hansı əvəzləmə
Tənlikdə görürsənƏvəzləmət üçün tənlik
eyni kəsr həm özü, həm kvadratı ilət = həmin kəsrkvadrat tənlik
kəsr və onun tərsi: AB / və BA / t = AB / , BA / = 1t / t + 1t / = c
x + kx / və ya x − kx / təkrarlanırt = x ± kx / kvadrat tənlik
x + 1x / və x² + 1x² / t = x + 1x / x² + 1x² / = t² − 2

Niyə t² − 2? Cəmin kvadratını açırıq; ortadakı hasil 1-ə bərabərdir:

t² = (x + 1x / )² = x² + 2 · x · 1x / + 1x² /     = x² + 2 + 1x² / ⇒ x² + 1x² / = t² − 2

Nümunə 4Kəsr və onun tərsi

Tənliyi həll edin: x + 2x / + xx + 2 / = 103 /

  1. DMQ: x ≠ 0, x ≠ −2.
  2. Kəsrlər bir-birinin tərsidir: t = x + 2x / desək, xx + 2 / = 1t / . Tənlik: t + 1t / = 103 / .
  3. Hər iki tərəfi 3t-yə vururuq (t ≠ 0): 3t² − 10t + 3 = 0 ⇒ t = 3 və ya t = 13 / .
  4. t = 3: x + 2x / = 3 ⇒ x + 2 = 3x ⇒ x = 1. t = 13 / : x + 2x / = 13 / ⇒ 3x + 6 = x ⇒ x = −3. Hər ikisi DMQ-dədir.

    Cavab: {−3; 1}

Nümunə 5x + 1/x əvəzləməsi

Tənliyi həll edin:

4(x² + 1x² / ) − 17(x + 1x / ) + 8 = 0

  1. DMQ: x ≠ 0.
  2. t = x + 1x / , onda x² + 1x² / = t² − 2: 4(t² − 2) − 17t + 8 = 0 ⇒ 4t² − 17t = 0.
  3. t(4t − 17) = 0 ⇒ t = 0 və ya t = 174 / .
  4. t = 0: x + 1x / = 0 ⇒ x² + 1 = 0 — həqiqi kök yoxdur. t = 174 / : 4x² − 17x + 4 = 0, D = 225 ⇒ x = 4 və ya x = 14 / .

    Cavab: {1/4; 4}

Yeni dəyişənlə həll: iki t budağı Tənlik 4(x² + 1/x²) − 17(x + 1/x) + 8 = 0. t = x + 1/x və x² + 1/x² = t² − 2 əvəzləməsi ilə 4t² − 17t = 0 alınır. Sol budaq t = 0: x² + 1 = 0, həqiqi kök yoxdur. Sağ budaq t = 17/4: 4x² − 17x + 4 = 0, x = 4 və x = 1/4. 4(x² + 1/x²) − 17(x + 1/x)+ 8 = 0 t = x + 1/xx² + 1/x² = t² − 2 4t² − 17t = 0 t = 0t = 17/4 x² + 1 = 04x² − 17x + 4 = 0 həqiqi kökyoxdur x = 4; x = 1/4
Bir t budağı boş çıxa bilər: x + 1/x = 0 olan həqiqi x yoxdur. Cavaba yalnız x-lər yazılır.

5 · Diqqət

Beş tipik səhv

Səhv

x ≠ 64

1x² − 64 / kəsrində şərt x² ≠ 64-dür, x ≠ 64 yox.

Düzgün

x ≠ 8, x ≠ −8

x² − 64 = (x − 8)(x + 8): hər vuruq 0-dan fərqli olmalıdır.

Səhv

Cavab: {2; 5}

Hook-dakı tənlikdə x = 5 məxrəci 0 edir.

Düzgün

Cavab: {2}

Namizədləri həmişə DMQ ilə yoxla.

Səhv

x³ = 49x ⇒ x² = 49 ⇒ {−7; 7}

x³x + 1 / = 49xx + 1 / tənliyində x-ə bölmək x = 0 kökünü itirir.

Düzgün

x(x² − 49) = 0 ⇒ {−7; 0; 7}

Bölmə əvəzinə vuruqlara ayır; 0 da DMQ-dədir (x ≠ −1).

Səhv

Cavab: {1/3; 3}

Nümunə 4-də bunlar t-nin qiymətləridir, x-in yox.

Düzgün

Cavab: {−3; 1}

Hər t qiymətindən x-ə qayıt.

Səhv

(x + 1x / )² = x² + 1x² /

Cəmin kvadratında ortadakı hədd unudulub.

Düzgün

(x + 1x / )² = x² + 2 + 1x² /

Ona görə x² + 1/x² = t² − 2, t² + 2 yox.

6 · Həyatda

Məsələdən rasional tənliyə

Məsələdə naməlumu x ilə işarə edirik, kəmiyyətləri cədvəldə yazırıq, tənlik qurub həll edirik. Sonda cavabı iki dəfə yoxlayırıq: DMQ ilə və məsələnin mənası ilə — vaxt, sürət və qiymət mənfi ola bilməz.

Harmonik orta

«Əgər 1x / ədədi 1a / və 1b / ədədlərinin ədədi ortasıdırsa, onda x ədədinə a və b ədədlərinin harmonik ortası deyilir.» Bərabər məbləğ iki fərqli qiymətlə xərclənəndə orta qiymət, bərabər yol iki fərqli sürətlə gediləndə orta sürət məhz harmonik ortadır.

Məsələ 1Orta qiymət

Ana iki dəfə bazardan alma aldı və hər dəfə 24 manat xərclədi. Birinci dəfə 1 kq alma 2 manat idi. İki alış üzrə 1 kq almanın orta qiyməti 2,4 manat oldu. İkinci dəfə 1 kq alma neçə manat idi?

  1. İkinci qiymət x manat (x > 0). Birinci dəfə 24 : 2 = 12 kq, ikinci dəfə 24x / kq alınıb.
  2. Orta qiymət = bütün pul : bütün kütlə: 4812 + 24/x / = 2,4. DMQ: x ≠ 0.
  3. 12 + 24x / = 48 : 2,4 = 20 ⇒ 24x / = 8 ⇒ x = 3.
  4. Yoxlama: 24 : 3 = 8 kq; 48 : (12 + 8) = 2,4 ✓.

    Cavab: 3 manat

2,4 ədədi 2 və 3-ün harmonik ortasıdır: 12,4 / = 512 / = (12 / + 13 / ) : 2. Ədədi orta 2,5 burada yanlışdır: ucuz almadan daha çox (12 kq) alınıb, ona görə orta qiymət ucuz qiymətə yaxındır.

Alınan almanın kütləsi və qiyməti: sahə = pul Üfüqi ox kütlədir (kq), şaquli ox 1 kq-ın qiymətidir (manat). Birinci düzbucaqlı: 12 kq, 2 manat, sahəsi 24 manat. İkinci düzbucaqlı: 8 kq, 3 manat, sahəsi yenə 24 manat. Qırıq üfüqi xətt 2,4 manatdadır: 20 kq · 2,4 = 48 manat, iki sahənin cəminə bərabərdir. orta qiymət 2,4 12 kq · 2 = 24 manat 8 kq · 3 = 24 manat 3 2,4 2 0 12 20 kütlə, kq 1 kq-ın qiyməti, manat
Düzbucaqlının eni — kütlə, hündürlüyü — qiymət, sahəsi — xərclənən pul. Qırıq xətt üzrə 20 kq-lıq zolağın sahəsi 20 · 2,4 = 48 manat, iki alışın cəmidir.
Məsələ 2Birgə iş

İki kombayn sahəni birlikdə 6 saata biçir. Birinci kombayn təkbaşına işləsə, bu işi ikincidən 9 saat tez görər. Hər kombayn sahəni təkbaşına neçə saata biçər?

Bütün iş 1-dir
KombaynVaxt, saat1 saatda görülən iş
Birincix1x /
İkincix + 91x + 9 /
Birlikdə616 /
  1. Tənlik: 1x / + 1x + 9 / = 16 / . DMQ: x ≠ 0, x ≠ −9.
  2. Ortaq məxrəc 6x(x + 9): 6(x + 9) + 6x = x(x + 9).
  3. x² − 3x − 54 = 0 ⇒ (x − 9)(x + 6) = 0 ⇒ x = 9 və ya x = −6.
  4. −6 DMQ-dədir, amma vaxt mənfi ola bilməz — atılır. Birinci 9 saat, ikinci 9 + 9 = 18 saat. Yoxlama: 19 / + 118 / = 318 / = 16 / ✓.

    Cavab: 9 saat və 18 saat

Məsələ 3Çayda hərəkət

Kater durğun suda saatda 21 km gedir. O, çay boyunca axınla 56 km gedib geri qayıtdı və yola cəmi 6 saat sərf etdi. Çayın axma sürətini tapın.

Axma sürəti c km/saat
HərəkətYol, kmSürət, km/saatVaxt, saat
Axınla5621 + c5621 + c /
Axına qarşı5621 − c5621 − c /
  1. Axına qarşı kater irəli getməlidir, ona görə 0 < c < 21. Tənlik: 5621 + c / + 5621 − c / = 6. DMQ: c ≠ ±21.
  2. Ortaq məxrəc (21 + c)(21 − c) = 441 − c².
  3. 56(21 − c) + 56(21 + c) = 6(441 − c²) ⇒ 2352 = 2646 − 6c² ⇒ c² = 49 ⇒ c = 7 və ya c = −7.
  4. Sürət mənfi ola bilməz: c = 7. Yoxlama: 56 : 28 = 2 saat, 56 : 14 = 4 saat, 2 + 4 = 6 ✓.

    Cavab: 7 km/saat

7 · Özünü yoxla

Bacarığını sına

Cavabı seç — düzgün olanda yaşıl, səhv olanda qırmızı işıqlanacaq. Həllinə də baxa bilərsən.

  1. Asan

    3x² + 7x / = 1x − 2 / tənliyinin DMQ-si hansıdır?

    Cavab variantları

    Düzdür! x² + 7x = x(x + 7) və x − 2.

    Hər məxrəci vuruqlara ayır: x² + 7x = x(x + 7); hər vuruq 0-dan fərqli olmalıdır, işarəyə də diqqət et.

    Həllə bax

    x(x + 7) ≠ 0 ⇒ x ≠ 0, x ≠ −7; x − 2 ≠ 0 ⇒ x ≠ 2.

  2. Asan

    Tənliyi həll edin: x² + 8x − 2 / = 6xx − 2 /

    Cavab variantları

    Düzdür! 2 məxrəci 0 edir, atılır.

    Namizədləri DMQ ilə yoxla: x ≠ 2.

    Həllə bax

    DMQ: x ≠ 2. x² + 8 = 6x ⇒ x² − 6x + 8 = 0 ⇒ x = 2 və ya x = 4. 2 atılır. Cavab: {4}.

  3. Orta

    x + 1x / = t olarsa, x² + 1x² / nəyə bərabərdir?

    Cavab variantları

    Düzdür! (x + 1/x)² = x² + 2 + 1/x².

    Cəmin kvadratını aç: ortadakı hədd 2 · x · 1/x = 2-dir.

    Həllə bax

    t² = x² + 2 + 1/x² ⇒ x² + 1/x² = t² − 2.

  4. Orta

    Su və duz məhlulunun yeni konsentrasiyası C = As + v / düsturu ilə hesablanır (A — duzun miqdarı, s — məhlulun ilkin miqdarı, v — əlavə edilən su). 1,8 kq 10%-li məhlula neçə kq su əlavə edilsə, məhlul 6%-li olar?

    Cavab variantları

    Düzdür! Son məhlul 3 kq olur, su 3 − 1,8 = 1,2 kq.

    A = 0,18 kq duzdur; məxrəcdə ilkin məhlul da var: 1,8 + v.

    Həllə bax

    A = 1,8 · 0,1 = 0,18 kq. 0,18 : (1,8 + v) = 0,06 ⇒ 1,8 + v = 3 ⇒ v = 1,2 kq. 3 kq son məhlulun kütləsidir, əlavə edilən su deyil.

  5. Çətin

    Tənlikdə t = x + 1x / əvəzləməsindən sonra t = 1 və t = 265 / alındı. Tənliyin kökləri hansılardır?

    Cavab variantları

    Düzdür! t = 1 budağı kök vermir.

    Cavab x-lərdir; hər t üçün x + 1/x = t tənliyini həll et və diskriminanta bax.

    Həllə bax

    t = 1: x² − x + 1 = 0, D = −3 < 0 — kök yoxdur. t = 26/5: 5x² − 26x + 5 = 0, D = 576 ⇒ x = 5 və ya x = 1/5.

  6. Çətin

    Tənliyi həll edin: x² + 2x − 24x + 6 / = x² + 6x − 10

    Cavab variantları

    Düzdür! İxtisardan sonra da x ≠ −6 qalır.

    İxtisar DMQ-ni dəyişmir: x ≠ −6. Vuruqlara ayırarkən işarələri yoxla.

    Həllə bax

    DMQ: x ≠ −6. x² + 2x − 24 = (x + 6)(x − 4), sol tərəf x − 4. x − 4 = x² + 6x − 10 ⇒ x² + 5x − 6 = 0 ⇒ x = −6 və ya x = 1. −6 atılır. Yoxlama: x = 1: −21 : 7 = −3 və 1 + 6 − 10 = −3 ✓.

Xülasə

Yadda qalanlar

  • DMQ → vur → yoxlaOrtaq məxrəcə vurmazdan əvvəl DMQ-ni yaz; sonda hər namizədi DMQ ilə, məsələdə həm də mənası ilə yoxla.
  • Artıq namizədYalnız ortaq məxrəci 0 edən qiymətdən gəlir; ixtisar DMQ-ni dəyişmir, x-ə bölmək isə kök itirə bilər.
  • t → xYeni dəyişəndən sonra hər t qiymətindən x-ə qayıt; x² + 1/x² = t² − 2.

Növbəti mövzu: 4.31 Modullu tənliklər