• 4.5
  • 9-cu sinif
  • Kök və qüvvət

n-ci dərəcədən kök

Kub formalı qutunun həcmi 1331 sm³-dir. Tili neçə santimetrdir? Kvadratın sahəsindən tərəfini kvadrat kök alaraq tapırdıq. Burada kubu 1331 olan ədəd lazımdır: 113 = 1331, deməli tili 3-cü dərəcədən kök altında 1331 kökün sonu  = 11 sm-dir.

Bu dərsdə

  • n-ci dərəcədən kökü və hesabi kökü fərqləndirəcək, kökü qüvvətə yüksəltməklə yoxlayacaqsan;
  • cüt və tək dərəcədən kökləri ayıracaq, mənfi ədədin hansı kökünün olduğunu biləcəksən;
  • xn = a tənliyini həll edəcək və kökü iki tam ədəd arasında yerləşdirəcəksən.
Həcmi 1331 kub santimetr olan kub qutu: tili 11 santimetrdirKub qutunun hər üzü 11 × 11 bərabər kvadrata bölünüb. Yuxarıda: V = 1331 sm³. Kartda: 11³ = 1331, deməli 1331-in kub kökü 11-dir. Altda: til a = 11 sm.V = 1331 sm³a11³ = 133131331= 11a = 11 sm
  1. Kvadratdan n-ə
  2. Laboratoriya
  3. Tərif
  4. Cüt və tək
  5. Hesabla
  6. Tənlik
  7. Tam ədədlər arası
  8. Diqqət
  9. Həyatda
  10. Özünü yoxla

1 · Kəşf et

Kvadratdan kuba, kubdan n-ə

8-ci sinifdə kvadrat kök altında a kökün sonu  = b yazılışı belə oxunurdu: b mənfi deyil və b2 = a. Kubun tilini tapanda eyni sualı kub üçün veririk: kubu 1331 olan ədəd hansıdır? Qüvvətin üstü 4, 5 və ya istənilən n olanda da sual eynidir.

Kökalma qüvvətə yüksəltmənin tərsidir
Qüvvətə yüksəltməKökalma
72 = 49kvadrat kök altında 49 kökün sonu = 7
113 = 13313-cü dərəcədən kök altında 1331 kökün sonu = 11
64 = 12964-cü dərəcədən kök altında 1296 kökün sonu = 6
105 = 100 0005-ci dərəcədən kök altında 100 000 kökün sonu = 10

Hər sətirdə eyni iki ədəd var, yalnız sual tərsinə verilib: qüvvətə yüksəltmədə əsas məlumdur, kökalmada isə qüvvət. Bəs (−6)4 = 1296 də doğrudur! Deməli, 4-cü qüvvəti 1296 olan ədəd təkcə 6 deyil. Bunun nə vaxt baş verdiyini laboratoriyada görək.

2 · Laboratoriya

Qüvvət pilləkəni

Solda b ədədləri, sağda onların n-ci qüvvətləri var; ox b-ni bn-ə aparır. Kökalma — oxu tərsinə izləməkdir: qiymətə neçə ox gəlirsə, onun o qədər n-ci dərəcədən kökü var. Üstü dəyiş və oxları müqayisə et.

Qüvvətin üstü n
Qüvvət pilləkəni: b ədədləri və onların n-ci qüvvətləriSolda b = 2, 1, 0, −1, −2. Oxlar hər b-ni onun n-ci qüvvətinə aparır. Cüt n-də 2 və −2 eyni müsbət ədədə, 1 və −1 isə 1-ə gedir, mənfi ədədlərə heç bir ox gəlmir. Tək n-də hər qiymətə bir ox gəlir və işarə saxlanır.bbⁿ210−1−2mənfiədədlərəox gəlmir410810−1−8mənfiədədlərəox gəlmir16103210−1−32
Sağ sütunda qiymətlər böyükdən kiçiyə düzülüb (miqyassız). Göy oxlar müsbət, narıncı oxlar mənfi b-dən çıxır.

n = 2 (cüt). 4-ə iki ox gəlir: 22 = 4 və (−2)2 = 4. 4-ün iki kvadrat kökü var: 2 və −2. Mənfi ədədlərə heç bir ox gəlmir: kvadrat mənfi olmur.

n = 3 (tək). Hər qiymətə düz bir ox gəlir: 23 = 8, (−2)3 = −8. Mənfi ədədin də kub kökü var və o, mənfidir; hər ədədin kub kökü yeganədir.

n = 4 (cüt). Oxlar yenə «qatlanır»: 2 və −2 eyni 16-ya, 1 və −1 eyni 1-ə gedir. Müsbət ədədin iki 4-cü dərəcədən kökü var, mənfi ədədin isə heç biri.

n = 5 (tək). 25 = 32, (−2)5 = −32: işarə saxlanır, hər qiymətə bir ox. Tək dərəcədə hər ədədin bir kökü var.

  • iki kök
  • bir kök
  • kök yoxdur

Nəticə: cüt üstdə müsbət ədədin iki kökü (biri müsbət, biri mənfi), 0-ın bir kökü var, mənfi ədədin kökü yoxdur. Tək üstdə istənilən ədədin bir kökü var və onun işarəsi ədədin işarəsi ilə eynidir.

3 · Tərif

n-ci dərəcədən kök və hesabi kök

Yadda saxla

Dərslik: «n-ci qüvvəti (n ≥ 2, n ∈ N) a-ya bərabər olan (yəni bn = a bərabərliyini ödəyən) b ədədinə a-nın n-ci dərəcədən kökü deyilir.»

Laboratoriyada gördük ki, belə kök iki dənə ola bilər. «Birqiymətliliyi təmin etmək üçün» dərslik hesabi kök anlayışını daxil edir: «Mənfi olmayan a ədədinin n-ci dərəcədən mənfi olmayan kökünə hesabi kök deyilir, n-ci dərəcədən kök altında a kökün sonu ilə işarə edilir».

n-ci dərəcədən kök altında a kökün sonu  = b ⇔ bn = a

burada a ≥ 0, b ≥ 0

ⁿ√a = b yazılışının hissələriKiçik n — kökün üstü (dərəcəsi), qarmaqlı xətt — kök (radikal) işarəsi, xəttin altındakı a — kökaltı ifadə, bərabərliyin sağındakı b — nəticə, hesabi kökdə b ≥ 0.na= bKökün üstü (dərəcəsi)Kök (radikal) işarəsiKökaltı ifadənəticə: b ≥ 0
Kiçik n — kökün üstü (dərəcəsi), xəttin altındakı a — kökaltı ifadə. n-ci dərəcədən kök altında a kökün sonu belə oxunur: «a-nın n-ci dərəcədən kökü».

Xüsusi halda n = 2 olanda kvadrat kök deyilir və üst yazılmır: kvadrat kök altında a kökün sonu . n = 3 olanda kub kök deyilir: 3-cü dərəcədən kök altında a kökün sonu . Hesabi kökü tapmaq qüvvətə yüksəltmənin tərsidir, ona görə cavabı həmişə qüvvətə yüksəltməklə yoxlayırıq.

1296-nın 4-cü dərəcədən kökləri

6 və −6

64 = 1296 və (−6)4 = 1296: hər ikisi tərifi ödəyir.

Hesabi kök — bir ədəd

4-cü dərəcədən kök altında 1296 kökün sonu  = 6

6 ≥ 0 və 64 = 1296. −6 isə −4-cü dərəcədən kök altında 1296 kökün sonu  kimi yazılır.

Sıfır və vahid

n-ci dərəcədən kök altında 0 kökün sonu  = 0, n-ci dərəcədən kök altında 1 kökün sonu  = 1

Çünki 0 və 1-in istənilən natural qüvvəti özüdür.

Kökün qüvvəti

(n-ci dərəcədən kök altında a kökün sonu )n = a

Kök mənalı olan hər yerdə doğrudur: kök məhz n-ci qüvvəti a olan ədəddir.

4 · Cüt və tək

Mənfi ədədin kökü varmı?

Dərslik laboratoriyadakı mənzərəni belə yazır: «Həqiqi ədədlər çoxluğunda istənilən ədədin tək dərəcədən yeganə kökü var, mənfi ədədin cüt dərəcədən kökü yoxdur, müsbət ədədin isə cüt dərəcədən iki kökü var və onlar qarşılıqlı əks ədədlərdir.»

Cüt n (2, 4, 6, …)

  • n-ci dərəcədən kök altında a kökün sonu  yalnız a ≥ 0 olanda mənalıdır və qiyməti mənfi deyil.
  • a > 0 olanda iki kök var: n-ci dərəcədən kök altında a kökün sonu  və −n-ci dərəcədən kök altında a kökün sonu .
  • 6-cı dərəcədən kök altında −11 kökün sonu  — mənası yoxdur: heç bir ədədin 6-cı qüvvəti mənfi deyil. Amma (6-cı dərəcədən kök altında 11 kökün sonu )6 = 11.

Tək n (3, 5, 7, …)

  • n-ci dərəcədən kök altında a kökün sonu  istənilən a üçün mənalıdır və a ilə eyni işarəlidir.
  • Mənfi ədədin kökü əks ədədin kökünün əksidir: 3-cü dərəcədən kök altında −1331 kökün sonu  = −3-cü dərəcədən kök altında 1331 kökün sonu  = −11, çünki (−11)3 = −1331.
  • Kökaltı mənfi ola bilər: (7-ci dərəcədən kök altında −5 kökün sonu )7 = −5.

Qüvvətin kökü: n-ci dərəcədən kök altında an kökün sonu 

Əvvəl qüvvətə yüksəldib sonra eyni dərəcədən kök alsaq, a-nı geri alırıqmı? Tək n-də — bəli. Cüt n-də isə qüvvət işarəni «silir», hesabi kök də mənfi ola bilməz, ona görə modul alınır (8-ci sinifdə kvadrat kök altında a2 kökün sonu  = |a| idi):

n-ci dərəcədən kök altında an kökün sonu  = |a| — n cüt n-ci dərəcədən kök altında an kökün sonu  = a — n tək

8-ci dərəcədən kök altında (−5)8 kökün sonu  = |−5| = 59-cu dərəcədən kök altında (−5)9 kökün sonu  = −5

a = −5 üçün n-ci dərəcədən qüvvətin köküYuxarı ədəd oxu, cüt n: −5 nöqtəsindən qövs 5-ə gedir, çünki kök |−5| = 5-dir. Aşağı ədəd oxu, tək n: nəticə −5-in özüdür.−505cüt n−505tək n|−5| = 5−5 yerində qalır
Cüt dərəcə −5-i 5-ə «qatlayır», tək dərəcə onu yerində saxlayır.

5 · Hesabla

Kökü tərifə görə tapırıq

Hər dəfə eyni sualı veririk: hansı ədədin n-ci qüvvəti kökaltı ifadəyə bərabərdir? Cüt üstdə cavab mənfi olmamalıdır, tək üstdə isə işarə kökaltı ifadənin işarəsidir. Sonda qüvvətə yüksəldib yoxlayırıq.

Nümunə 1Tərifə görə

4-cü dərəcədən kök altında 1296 kökün sonu  hesablayın.

  1. 1296-nı eyni vuruqlara ayırırıq: 1296 = 36 · 36 = 6 · 6 · 6 · 6 = 64.
  2. 6 ≥ 0 və 64 = 1296, deməli 6 hesabi kökdür.

    4-cü dərəcədən kök altında 1296 kökün sonu  = 6

Nümunə 2Mənfi onluq kəsr

3-cü dərəcədən kök altında −0,216 kökün sonu  hesablayın.

  1. Üst 3 təkdir — kök var və mənfidir: 3-cü dərəcədən kök altında −0,216 kökün sonu  = −3-cü dərəcədən kök altında 0,216 kökün sonu .
  2. 0,216 = 2161000 / , 63 = 216, 103 = 1000, ona görə 3-cü dərəcədən kök altında 0,216 kökün sonu  = 0,6.
  3. Yoxlama: (−0,6)3 = −0,216 ✓. Kökaltında vergüldən sonra 3 rəqəm var, kub kökdə 1 rəqəm.

    3-cü dərəcədən kök altında −0,216 kökün sonu  = −0,6

Nümunə 3Qarışıq ədəd

3-cü dərəcədən kök altında −4 1727 /  kökün sonu  hesablayın.

  1. Qarışıq ədədi kəsrə çeviririk: −4 1727 /  = −12527 / , çünki 4 · 27 + 17 = 125.
  2. 53 = 125 və 33 = 27, üst tək olduğu üçün işarə qalır.

    3-cü dərəcədən kök altında −4 1727 /  kökün sonu  = −53 /  = −1 23 / 

Nümunə 4İçdən çölə

3-cü dərəcədən kök altında 994 + 5-ci dərəcədən kök altında 7776 kökün sonu  kökün sonu  hesablayın.

  1. Əvvəl daxili kök: 65 = 7776, deməli 5-ci dərəcədən kök altında 7776 kökün sonu  = 6.
  2. Kökaltı ifadə: 994 + 6 = 1000.
  3. Xarici kök: 103 = 1000.

    3-cü dərəcədən kök altında 994 + 5-ci dərəcədən kök altında 7776 kökün sonu  kökün sonu  = 3-cü dərəcədən kök altında 1000 kökün sonu  = 10

Nümunə 5Vuruqlu kökün qüvvəti

(12 /  · 4-cü dərəcədən kök altında 48 kökün sonu )4 hesablayın.

  1. Hasilin qüvvətində hər vuruq qüvvətə yüksəlir: (12 / )4 · (4-cü dərəcədən kök altında 48 kökün sonu )4.
  2. (12 / )4 = 116 / , kökün qüvvəti isə (4-cü dərəcədən kök altında 48 kökün sonu )4 = 48.
  3. 116 /  · 48 = 3. Diqqət: 12 /  vuruğunu da 4-cü qüvvətə yüksəltmək lazımdır, yoxsa səhvən 24 alınar.

    (12 /  · 4-cü dərəcədən kök altında 48 kökün sonu )4 = 3

Nümunə 6Qüvvətin kökü

4-cü dərəcədən kök altında (2 − kvadrat kök altında 7 kökün sonu )4 kökün sonu  − 3-cü dərəcədən kök altında (2 − kvadrat kök altında 7 kökün sonu )3 kökün sonu  sadələşdirin.

  1. kvadrat kök altında 7 kökün sonu > 2, çünki 7 > 4. Deməli, 2 − kvadrat kök altında 7 kökün sonu  < 0.
  2. Cüt dərəcə modul verir: 4-cü dərəcədən kök altında (2 − kvadrat kök altında 7 kökün sonu )4 kökün sonu  = |2 − kvadrat kök altında 7 kökün sonu | = kvadrat kök altında 7 kökün sonu  − 2.
  3. Tək dərəcə işarəni saxlayır: 3-cü dərəcədən kök altında (2 − kvadrat kök altında 7 kökün sonu )3 kökün sonu  = 2 − kvadrat kök altında 7 kökün sonu .
  4. Fərq: (kvadrat kök altında 7 kökün sonu  − 2) − (2 − kvadrat kök altında 7 kökün sonu ) = 2kvadrat kök altında 7 kökün sonu  − 4.

    2kvadrat kök altında 7 kökün sonu  − 4

6 · Tənlik

xn = a tənliyi

Burada «kök» sözü tənliyin həllini bildirir: xn = a bərabərliyini ödəyən x ədədləri məhz a-nın n-ci dərəcədən kökləridir. Laboratoriyadakı oxların sayı həllərin sayıdır.

xn = a tənliyinin həqiqi kökləri
a > 0a = 0a < 0
n təkx = n-ci dərəcədən kök altında a kökün sonu x = 0x = n-ci dərəcədən kök altında a kökün sonu  < 0
n cütx = ±n-ci dərəcədən kök altında a kökün sonu x = 0həqiqi kök yoxdur
Nümunə 7Üç hal

Tənlikləri həll edin: a) x5 = −100 000; b) 3x4 = 3888; c) x8 + 3 = 0.

  1. a) Üst 5 təkdir — bir həqiqi kök: x = 5-ci dərəcədən kök altında −100 000 kökün sonu  = −10, çünki (−10)5 = −100 000.
  2. b) Hər iki tərəfi 3-ə bölürük: x4 = 3888 : 3 = 1296. Üst cütdür, 1296 > 0 — iki kök: x = ±4-cü dərəcədən kök altında 1296 kökün sonu  = ±6.
  3. c) x8 = −3. Cüt dərəcəli qüvvət mənfi ədədə bərabər ola bilməz.

    a) x = −10; b) x = −6 və x = 6; c) həqiqi kök yoxdur

Tək üstdə «±» yazmaq səhvdir: məsələn, x3 = −1331 tənliyinin yalnız bir kökü var, x = −11; 11 yoxlamadan keçmir, çünki 113 = 1331.

7 · Tam ədədlər arası

Kök hansı iki tam ədəd arasındadır?

Kökaltı ifadə tam n-ci qüvvət deyilsə, kök irrasionaldır, amma yerini tapmaq olar. Dərslik: «a > b ≥ 0 olduqda n-ci dərəcədən kök altında a kökün sonu  > n-ci dərəcədən kök altında b kökün sonu  münasibəti doğrudur», yəni böyük ədədin kökü də böyükdür. Ona görə kökaltı ifadəni iki ardıcıl tam ədədin n-ci qüvvətləri arasında yerləşdiririk:

kn < a < (k + 1)n ⇒ k < n-ci dərəcədən kök altında a kökün sonu  < k + 1
Nümunə 8Yerini, tam və kəsr hissəsini tap

3-cü dərəcədən kök altında 150 kökün sonu  hansı iki ardıcıl tam ədəd arasındadır? Tam və kəsr hissəsini yazın.

  1. Kubları sırayla yazırıq: 53 = 125, 63 = 216. 125 < 150 < 216.
  2. Deməli, 5 < 3-cü dərəcədən kök altında 150 kökün sonu  < 6: tam hissə 5, kəsr hissə 3-cü dərəcədən kök altında 150 kökün sonu  − 5.
  3. Daha dəqiq: 5,313 ≈ 149,7 və 5,323 ≈ 150,6, ona görə 3-cü dərəcədən kök altında 150 kökün sonu  ≈ 5,31.

    5 < 3-cü dərəcədən kök altında 150 kökün sonu  < 6

150-nin kub kökü 5 ilə 6 arasındadırƏdəd oxunda 4, 5, 6, 7. 5³ = 125 və 6³ = 216; 150 bu iki ədəd arasında olduğu üçün ∛150 nöqtəsi 5 ilə 6 arasındadır, təxminən 5,31.45675³ = 1256³ = 2163150≈ 5,31
Miqyasla: 150 ədədi 53 = 125 ilə 63 = 216 arasında olduğu üçün 3-cü dərəcədən kök altında 150 kökün sonu  də 5 ilə 6 arasındadır.

Mənfi ədəddə diqqətli ol: −6 < −3-cü dərəcədən kök altında 150 kökün sonu  < −5, ona görə −3-cü dərəcədən kök altında 150 kökün sonu  ədədinin tam hissəsi −5 yox, −6-dır (tam hissə ədəddən böyük olmayan ən böyük tam ədəddir). Üst böyüdükcə qüvvətlər sürətlə artır: 36 = 729 < 1000 < 4096 = 46, yəni 3 < 6-cı dərəcədən kök altında 1000 kökün sonu  < 4, halbuki 3-cü dərəcədən kök altında 1000 kökün sonu  = 10.

8 · Diqqət

Altı tipik səhv

Səhv

4-cü dərəcədən kök altında 0,0256 kökün sonu  = ±0,4

Hesabi kök bir ədəddir və mənfi deyil.

Düz

4-cü dərəcədən kök altında 0,0256 kökün sonu  = 0,4

0,4 və −0,4 hər ikisi 0,0256-nın 4-cü dərəcədən kökləridir, ± isə yalnız tənliyin həllində yazılır: x4 = 0,0256 ⇒ x = ±0,4.

Səhv

3-cü dərəcədən kök altında −125 kökün sonu  — mənası yoxdur

Tək dərəcədən kök mənfi ədəd üçün də var.

Düz

3-cü dərəcədən kök altında −125 kökün sonu  = −5

Çünki (−5)3 = −125. Mənası olmayan cüt dərəcədən kökdür: 4-cü dərəcədən kök altında −125 kökün sonu .

Səhv

4-cü dərəcədən kök altında 1296 kökün sonu  = 324

Kökün üstü bölən deyil: 1296 : 4 = 324.

Düz

4-cü dərəcədən kök altında 1296 kökün sonu  = 6

Kök vuruğun özünü axtarır: 6 · 6 · 6 · 6 = 1296. 3244 isə 11 milyarddan çoxdur.

Səhv

3-cü dərəcədən kök altında 0,729 kökün sonu  = 0,09

Vergül kvadrat kökdəki kimi sayılıb.

Düz

3-cü dərəcədən kök altında 0,729 kökün sonu  = 0,9

0,93 = 0,729, 0,093 = 0,000729. Kub kökdə kökaltının vergüldən sonrakı rəqəmləri 3-ə bölünür.

Səhv

6-cı dərəcədən kök altında −106 kökün sonu  = 10

Əvvəl qüvvət, sonra işarə: −106 = −1 000 000.

Düz

6-cı dərəcədən kök altında (−10)6 kökün sonu  = 10

Mötərizəli (−10)6 müsbətdir, 6-cı dərəcədən kök altında −106 kökün sonu  isə mənasızdır (cüt dərəcə, mənfi kökaltı).

Səhv

4-cü dərəcədən kök altında (−9)4 kökün sonu  = −9

Cüt dərəcədən hesabi kök mənfi ola bilməz.

Düz

4-cü dərəcədən kök altında (−9)4 kökün sonu  = |−9| = 9

Tək dərəcədə isə işarə qalır: 3-cü dərəcədən kök altında (−9)3 kökün sonu  = −9.

9 · Həyatda

Həcmdən til, artımdan illik əmsal

Kub şəkilli buz parçası: həcmi 15,625 sm³, tili 2,5 smKub buz parçası, yanında həcm V = 15,625 sm³ və nəticə a = 2,5 sm.aV = 15,625 sm³a = 2,5 sm
Buz kubu. Qəlibdəki kub buz parçasının həcmi 15,625 sm³-dir. Tili a = 3-cü dərəcədən kök altında 15,625 kökün sonu  = 2,5 sm, çünki 2,53 = 15,625. Kökaltında vergüldən sonra 3 rəqəm — kökdə 1 rəqəm.
Əmanət hər il 1,1 dəfə artırBeş sütun: başlanğıcda 1, sonra 1,1; 1,21; 1,331 və 4 ildən sonra 1,4641. Hər sütun əvvəlkindən 1,1 dəfə hündürdür.10 il1,11 il1,212 il1,3313 il1,46414 il
Əmanət. Bankdakı pul 4 ildə 1,4641 dəfə artıb; hər il eyni q dəfə artırsa, q4 = 1,4641. q = 4-cü dərəcədən kök altında 1,4641 kökün sonu  = 1,1: hər il 10 % artım.

Əmanət tənliyinin ikinci kökü də var: (−1,1)4 = 1,4641. Amma artım əmsalı mənfi ola bilməz, ona görə məhz hesabi kök götürülür. Tilin uzunluğu da mənfi olmur; kub kökdə isə sual yaranmır, çünki tək dərəcədən kök yeganədir.

10 · Özünü yoxla

Bacarığını sına

Cavabı seç — düzgün olanda yaşıl, səhv olanda qırmızı işıqlanacaq. Həllinə də baxa bilərsən.

  1. Asan

    3-cü dərəcədən kök altında −0,512 kökün sonu  neçəyə bərabərdir?

    Cavab variantları

    Düzdür: (−0,8)3 = −0,512.

    Üst 3 təkdir: kök var və kökaltı ifadə kimi mənfidir. Vergülü də yoxla: 0,512-də 3 onluq rəqəm var.

    Həllə bax

    3-cü dərəcədən kök altında −0,512 kökün sonu  = −3-cü dərəcədən kök altında 0,512 kökün sonu ; 83 = 512, 103 = 1000, ona görə 3-cü dərəcədən kök altında 0,512 kökün sonu  = 0,8. Cavab: −0,8.

  2. Asan

    Hansı ifadənin mənası yoxdur?

    Cavab variantları

    Düzdür: 4,5 − 5 = −0,5 < 0, üst isə cütdür.

    Tək dərəcədən kök mənfi ədəd üçün də var; kökün qarşısındakı mənfi işarə kökaltı ifadəyə aid deyil.

    Həllə bax

    Əvvəl kökaltı ifadəni hesablayırıq: 4,5 − 5 = −0,5. Cüt (4-cü) dərəcədən kök mənfi ədəd üçün yoxdur. 3-cü dərəcədən kök altında −9 kökün sonu  və 5-ci dərəcədən kök altında −1,5 kökün sonu  tək dərəcədəndir — mənalıdır; −6-cı dərəcədən kök altında 10 kökün sonu -da kökaltı 10 > 0-dır.

  3. Orta

    x4 = 2401 tənliyinin həqiqi kökləri hansılardır?

    Cavab variantları

    Düzdür: 74 = (−7)4 = 2401.

    Üst cütdür və 2401 > 0: iki kök var. 4-cü dərəcə — kvadratın kvadratı, yəni iki dəfə kök almaq lazımdır.

    Həllə bax

    x = ±4-cü dərəcədən kök altında 2401 kökün sonu . 74 = 49 · 49 = 2401, ona görə x = ±7. 492 = 2401 olduğu üçün ±49 kvadrat kökdür, 4-cü dərəcədən yox.

  4. Orta

    4-cü dərəcədən kök altında (3 − kvadrat kök altında 11 kökün sonu )4 kökün sonu  ifadəsini sadələşdirin.

    Cavab variantları

    Düzdür: cüt dərəcə modul verir, 3 − kvadrat kök altında 11 kökün sonu isə mənfidir.

    (3 − kvadrat kök altında 11 kökün sonu )4 müsbətdir, kök mənalıdır; amma cüt dərəcədən hesabi kök mənfi ola bilməz.

    Həllə bax

    4-cü dərəcədən kök altında (3 − kvadrat kök altında 11 kökün sonu )4 kökün sonu  = |3 − kvadrat kök altında 11 kökün sonu |. 11 > 9, yəni kvadrat kök altında 11 kökün sonu > 3 və 3 − kvadrat kök altında 11 kökün sonu  < 0. Modul əks ədədi verir: kvadrat kök altında 11 kökün sonu − 3.

  5. Çətin

    3-cü dərəcədən kök altında 700 kökün sonu  hansı iki ardıcıl tam ədəd arasında yerləşir?

    Cavab variantları

    Düzdür: 83 = 512 < 700 < 729 = 93.

    Kökaltı ifadəni ardıcıl tam ədədlərin kubları ilə müqayisə et (kvadratları ilə yox, 3-ə bölməklə də yox).

    Həllə bax

    512 < 700 < 729, yəni 83 < 700 < 93, ona görə 8 < 3-cü dərəcədən kök altında 700 kökün sonu  < 9.

  6. Çətin

    3-cü dərəcədən kök altında 2x − 3 kökün sonu  = −5 tənliyini həll edin.

    Cavab variantları

    Düzdür: 2 · (−61) − 3 = −125 və 3-cü dərəcədən kök altında −125 kökün sonu  = −5.

    Kub kök mənfi ola bilər. Kökü aradan qaldırmaq üçün hər iki tərəfi kuba yüksəlt (3-ə vurma).

    Həllə bax

    Tərifə görə 2x − 3 = (−5)3 = −125, 2x = −122, x = −61. Cüt dərəcə olsaydı, məsələn 4-cü dərəcədən kök altında 2x − 3 kökün sonu  = −5, həll olmazdı.

Xülasə

Yadda qalanlar

  • n-ci dərəcədən kök altında a kökün sonu  = b ⇔ bn = aHesabi kök: a ≥ 0, b ≥ 0. Kökü qüvvətə yüksəltməklə yoxla.
  • Cüt n / tək nCüt: mənfi ədədin kökü yoxdur, n-ci dərəcədən kök altında an kökün sonu  = |a|. Tək: işarə qalır, n-ci dərəcədən kök altında an kökün sonu  = a.
  • xn = aTək n — bir kök; cüt n — iki (±), bir (a = 0) və ya heç biri (a < 0).

Növbəti mövzu: 4.6 n-ci dərəcədən kökün xassələri