• 4.6
  • 9-cu sinif
  • n-ci dərəcədən kök

n-ci dərəcədən kökün xassələri

Pianinoda bir oktava 12 yarımtondur: hər yarımton səsin tezliyini eyni ədədə — 12-ci dərəcədən kök altında 2 (kökün sonu)-yə — vurur, 12-si birlikdə isə düz 2 dəfə artırır. La-dan yuxarıdakı Do-ya 3 yarımton var. Tezlik neçə dəfə artır? (12-ci dərəcədən kök altında 2 (kökün sonu))3 = 12-ci dərəcədən kök altında 23 (kökün sonu) = 4-cü dərəcədən kök altında 2 (kökün sonu) ≈ 1,19 — bu dərsin xassələri onu bir sətirdə deyir.

Bu dərsdə

  • hasilin və nisbətin n-ci dərəcədən kökünü tapacaq, üstləri bərabər olan kökləri vurub-böləcəksən;
  • kökün qüvvətini və kökdən kökü sadələşdirəcək, kökün üstünü dəyişməyi öyrənəcəksən;
  • müxtəlif üstlü kökləri ortaq üstə gətirib vuracaq, böləcək və müqayisə edəcəksən.
Pianinoda bir oktava: 12 yarımton tezliyi 2 dəfə, 3 yarımton ⁴√2 dəfə artırırBir oktavalıq klaviatura: Do, Re, Mi, Fa, Sol, La, Si, Do. Yuxarıda mötərizə: 12 yarımton, tezlik 2 dəfə artır. La düyməsindən yuxarıdakı Do-ya üç qövs çəkilib: La, La diyez, Si, Do — 3 yarımton. Kartda: 12-ci dərəcədən kök 2-nin kubu bərabərdir 4-cü dərəcədən kök 2, təxminən 1,19.DoReMiFaSolLaSiDo12 yarımton: × 2123La → Do: 3 yarımton(122)3 = 42≈ 1,19
  1. Kəşf et
  2. Hasil və nisbət
  3. Hesabla
  4. Qüvvət və kökdən kök
  5. Üstü dəyiş
  6. Laboratoriya
  7. Fərqli üstlər
  8. Diqqət
  9. Həyatda
  10. Özünü yoxla

1 · Kəşf et

Kvadrat kökdən n-ci dərəcəyə

8-ci sinifdən bilirsən: a ≥ 0, b ≥ 0 olduqda kvadrat kök altında a · b (kökün sonu) = kvadrat kök altında a (kökün sonu) · kvadrat kök altında b (kökün sonu). Bəs kub kökdə, 4-cü dərəcədən kökdə də hasilin kökünü hissə-hissə almaq olarmı? İki yolla hesablayaq.

kub kök altında 64 · 125 (kökün sonu)

Əvvəl vur: kub kök altında 8000 (kökün sonu) = 20

Hissə-hissə: kub kök altında 64 (kökün sonu) · kub kök altında 125 (kökün sonu) = 4 · 5 = 20

4-cü dərəcədən kök altında 625 · 0,0016 (kökün sonu)

Əvvəl vur: 4-cü dərəcədən kök altında 1 (kökün sonu) = 1

Hissə-hissə: 4-cü dərəcədən kök altında 625 (kökün sonu) · 4-cü dərəcədən kök altında 0,0016 (kökün sonu) = 5 · 0,2 = 1

Hər iki yol eyni cavabı verdi. Bu təsadüf deyil — səbəbi qüvvətin xassəsindədir. Tutaq ki, a ≥ 0, b ≥ 0:

  1. n-ci dərəcədən kök altında a (kökün sonu) ≥ 0 və n-ci dərəcədən kök altında b (kökün sonu) ≥ 0, deməli hasilləri də mənfi deyil.
  2. Hasilin qüvvəti: (n-ci dərəcədən kök altında a (kökün sonu) · n-ci dərəcədən kök altında b (kökün sonu))n = (n-ci dərəcədən kök altında a (kökün sonu))n · (n-ci dərəcədən kök altında b (kökün sonu))n.
  3. 4.5-dən (n-ci dərəcədən kök altında a (kökün sonu))n = a, ona görə bu qüvvət a · b-yə bərabərdir.
  4. Mənfi olmayan və n-ci qüvvəti ab olan ədəd elə n-ci dərəcədən kök altında a · b (kökün sonu)-dir (hesabi kökün tərifi).

2 · Qayda

Hasilin və nisbətin kökü

Xassə 1

«Mənfi olmayan vuruqların hasilinin n-ci dərəcədən kökü bu vuruqların n-ci dərəcədən kökləri hasilinə bərabərdir.»

n-ci dərəcədən kök altında a · b (kökün sonu) = n-ci dərəcədən kök altında a (kökün sonu) · n-ci dərəcədən kök altında b (kökün sonu)

Xassə 2

«Surəti mənfi olmayan, məxrəci isə müsbət olan kəsrin n-ci dərəcədən kökü surət və məxrəcin n-ci dərəcədən kökləri nisbətinə bərabərdir.»

n-ci dərəcədən kök altında ab /  (kökün sonu) = n-ci dərəcədən kök altında a (kökün sonu)n-ci dərəcədən kök altında b (kökün sonu) / b ≠ 0

Dərslik: «Burada a ≥ 0 və b ≥ 0 həqiqi ədədlər, m ≥ 2, n ≥ 2 və k natural ədədlərdir.» Rənglər: kökün üstü (dərəcəsi), kökaltı ifadə.

Sağdan sola oxu. Üstləri bərabər olan kökləri vurmaq üçün kökaltı ifadələri vurub, kökün üstünü əvvəlki kimi saxlamaq kifayətdir; bölmək üçün kökaltı ifadələri bölürük, üst yenə dəyişmir. Vuruq ikidən çox olanda da belədir: n-ci dərəcədən kök altında abc (kökün sonu) = n-ci dərəcədən kök altında a (kökün sonu) · n-ci dərəcədən kök altında b (kökün sonu) · n-ci dərəcədən kök altında c (kökün sonu).

Tək üst: mənfi vuruq da olar

Dərslik: «n tək ədəd olduqda 1-ci və 2-ci xassələr a və b mənfi ədədləri üçün də doğrudur.»

kub kök altında −5 (kökün sonu) · kub kök altında −25 (kökün sonu) = kub kök altında (−5) · (−25) (kökün sonu) = kub kök altında 125 (kökün sonu) = 5

Cüt üst: əvvəl hasil

4-cü dərəcədən kök altında −5 (kökün sonu) · 4-cü dərəcədən kök altında −125 (kökün sonu) yazılışının mənası yoxdur: mənfi ədədin cüt dərəcədən kökü yoxdur. Amma hasil müsbətdir: 4-cü dərəcədən kök altında (−5) · (−125) (kökün sonu) = 4-cü dərəcədən kök altında 625 (kökün sonu) = 5. Cüt üstdə xassəni yalnız mənfi olmayan vuruqlara tətbiq edirik.

3 · Hesabla

Eyni üstlü köklər

Hər nümunədə bir sətir — bir əməl. Sonda cavabı qüvvətə yüksəldib yoxlayırıq.

Nümunə 1Vuruqlara ayır

Hesablayın: kub kök altında 0,008 · 343 (kökün sonu)

  1. Hər vuruq tam kubdur: 0,008 = 0,23, 343 = 73.
  2. Xassə 1: kub kök altında 0,008 · 343 (kökün sonu) = kub kök altında 0,008 (kökün sonu) · kub kök altında 343 (kökün sonu) = 0,2 · 7.
  3. Yoxlama: 1,43 = 2,744 = 0,008 · 343.

    kub kök altında 0,008 · 343 (kökün sonu) = 1,4

Nümunə 2Qarışıq ədəd

Hesablayın: kub kök altında 1558 /  (kökün sonu)

  1. Əvvəl düzgün kəsrə çeviririk: 1558 /  = 1258 / .
  2. Xassə 2: kub kök altında 1258 /  (kökün sonu) = kub kök altında 125 (kökün sonu)kub kök altında 8 (kökün sonu) /  = 52 / .

    kub kök altında 1558 /  (kökün sonu) = 2,5

Nümunə 3Kökləri vur

Hesablayın: 4-cü dərəcədən kök altında 75 (kökün sonu) · 4-cü dərəcədən kök altında 675 (kökün sonu)

  1. Üstlər bərabərdir (4), kökaltıları vururuq: 4-cü dərəcədən kök altında 75 (kökün sonu) · 4-cü dərəcədən kök altında 675 (kökün sonu) = 4-cü dərəcədən kök altında 75 · 675 (kökün sonu).
  2. Vuruqları qruplaşdırırıq: 75 · 675 = 3 · 25 · 27 · 25 = 81 · 625.
  3. 4-cü dərəcədən kök altında 81 · 625 (kökün sonu) = 4-cü dərəcədən kök altında 81 (kökün sonu) · 4-cü dərəcədən kök altında 625 (kökün sonu) = 3 · 5.

    4-cü dərəcədən kök altında 75 (kökün sonu) · 4-cü dərəcədən kök altında 675 (kökün sonu) = 15

Nümunə 4Kökləri böl

Hesablayın: kub kök altında 4,32 (kökün sonu) : kub kök altında 0,02 (kökün sonu)

  1. Xassə 2 sağdan sola: kub kök altında 4,32 (kökün sonu) : kub kök altında 0,02 (kökün sonu) = kub kök altında 4,32 : 0,02 (kökün sonu) = kub kök altında 216 (kökün sonu).
  2. 63 = 216.

    kub kök altında 4,32 (kökün sonu) : kub kök altında 0,02 (kökün sonu) = 6

Nümunə 5Qoşma ifadələr

Hesablayın: kub kök altında 12 − kvadrat kök altında 80 (kökün sonu) (kökün sonu) · kub kök altında 12 + kvadrat kök altında 80 (kökün sonu) (kökün sonu)

  1. Bir kökün altında: kub kök altında (12 − kvadrat kök altında 80 (kökün sonu))(12 + kvadrat kök altında 80 (kökün sonu)) (kökün sonu).
  2. Kvadratlar fərqi: (12 − kvadrat kök altında 80 (kökün sonu))(12 + kvadrat kök altında 80 (kökün sonu)) = 144 − 80 = 64.
  3. kub kök altında 64 (kökün sonu) = 4. Üst təkdir, ona görə vuruqların işarəsini yoxlamağa ehtiyac yoxdur (onsuz da 12 > kvadrat kök altında 80 (kökün sonu), çünki 144 > 80).

    kub kök altında 12 − kvadrat kök altında 80 (kökün sonu) (kökün sonu) · kub kök altında 12 + kvadrat kök altında 80 (kökün sonu) (kökün sonu) = 4

4 · Qayda

Kökün qüvvəti və kökdən kök

Xassə 4

«Kökün qüvvəti kökaltı ifadənin qüvvətinin kökünə bərabərdir.»

(n-ci dərəcədən kök altında a (kökün sonu))m = n-ci dərəcədən kök altında am (kökün sonu)

Səbəb: (n-ci dərəcədən kök altında a (kökün sonu))m — m eyni kökün hasilidir, Xassə 1 onları bir kökün altında birləşdirir.

Xassə 5

«Kökdən kök almaq üçün kökaltı ifadə saxlanılır, köklərin üstləri vurulur.»

m-ci dərəcədən kök altında n-ci dərəcədən kök altında a (kökün sonu) (kökün sonu) = mn-ci dərəcədən kök altında a (kökün sonu)

Səbəb: x = m-ci dərəcədən kök altında n-ci dərəcədən kök altında a (kökün sonu) (kökün sonu) olsun. Onda xm = n-ci dərəcədən kök altında a (kökün sonu), buradan xmn = a, həm də x ≥ 0 — deməli x = mn-ci dərəcədən kök altında a (kökün sonu).

Nümunə 6Kökün qüvvəti

Hesablayın: (6-cı dərəcədən kök altında 125 (kökün sonu))2

  1. Xassə 4: (6-cı dərəcədən kök altında 125 (kökün sonu))2 = 6-cı dərəcədən kök altında 1252 (kökün sonu) = 6-cı dərəcədən kök altında 15 625 (kökün sonu).
  2. 56 = 15 625, deməli kök 5-dir.

    (6-cı dərəcədən kök altında 125 (kökün sonu))2 = 5

Hook-dakı hesab da belədir: (12-ci dərəcədən kök altında 2 (kökün sonu))3 = 12-ci dərəcədən kök altında 23 (kökün sonu) = 12-ci dərəcədən kök altında 8 (kökün sonu). Bunun niyə 4-cü dərəcədən kök altında 2 (kökün sonu) olduğunu 5-ci mərhələdə görəcəyik.

Kökdən kök: kvadrat kök içində kub kök 729 — 6-cı dərəcədən kök 729Yuxarıda iç-içə kök: kvadrat kök altında 729-un kub kökü. Addım 1: 729-un kub kökü 9-dur, çünki 9-un kubu 729-dur. Addım 2: 9-un kvadrat kökü 3-dür. Qısa yol: üstlər vurulur, 2 vur 3 bərabərdir 6, 729-un 6-cı dərəcədən kökü 3-dür, çünki 3-ün 6-cı qüvvəti 729-dur.37291)  3729 = 99³ = 7292)  9 = 33² = 9qısa yol: üstlər vurulur6729 = 32 · 3 = 6
İçdən çölə iki addım və ya bir addımda: üstlər vurulur, 2 · 3 = 6. Yoxlama: 36 = 729. kvadrat kök altında kub kök altında 729 (kökün sonu) (kökün sonu) ilə kub kök altında kvadrat kök altında 729 (kökün sonu) (kökün sonu) eynidir — sıra fərq etmir.

Bir yarımton

Üç yarımton tezliyi 4-cü dərəcədən kök altında 2 (kökün sonu) dəfə artırırsa, bir yarımton bunun kub köküdür: kub kök altında 4-cü dərəcədən kök altında 2 (kökün sonu) (kökün sonu) = 12-ci dərəcədən kök altında 2 (kökün sonu).

5 · Qayda

Kökün üstünü dəyişmək

Xassə 3

«Kökün üstünü (dərəcəsini) və kökaltı ifadənin qüvvət üstünü eyni bir natural ədədə vursaq və ya bölsək, kökün qiyməti dəyişməz.»

kn-ci dərəcədən kök altında akm (kökün sonu) = n-ci dərəcədən kök altında am (kökün sonu)a ≥ 0

Səbəb: hər iki tərəfi kn-ci qüvvətə yüksəltsək, ikisində də akm alınır, ikisi də mənfi deyil.

Nümunə 7Böl: sadələşdir

Sadələşdirin: 8-ci dərəcədən kök altında 625 (kökün sonu)

  1. 625 = 54, deməli 8-ci dərəcədən kök altında 625 (kökün sonu) = 8-ci dərəcədən kök altında 54 (kökün sonu).
  2. Üstü də, qüvvət üstünü də 4-ə bölürük: 8-ci dərəcədən kök altında 54 (kökün sonu) = kvadrat kök altında 51 (kökün sonu).

    8-ci dərəcədən kök altında 625 (kökün sonu) = kvadrat kök altında 5 (kökün sonu)

Nümunə 8Vur: üstü böyüt

kvadrat kök altında 5 (kökün sonu) ədədini 6-cı dərəcədən kök şəklində yazın.

  1. Üst 2-dir, 6 almaq üçün 3-ə vururuq; kökaltının qüvvət üstünü də 3-ə vururuq: kvadrat kök altında 51 (kökün sonu) = 6-cı dərəcədən kök altında 53 (kökün sonu).
  2. 53 = 125.

    kvadrat kök altında 5 (kökün sonu) = 6-cı dərəcədən kök altında 125 (kökün sonu)

İndi hook tamamlanır: 12-ci dərəcədən kök altında 8 (kökün sonu) = 12-ci dərəcədən kök altında 23 (kökün sonu) = 4-cü dərəcədən kök altında 2 (kökün sonu) (üst və qüvvət üstü 3-ə bölündü), deməli üç yarımton tezliyi 4-cü dərəcədən kök altında 2 (kökün sonu) ≈ 1,19 dəfə artırır.

Mənfi əsas

4-cü dərəcədən kök altında (−6)2 (kökün sonu)-də əsas mənfidir, Xassə 3 isə a ≥ 0 istəyir. Əvvəl qüvvəti hesablayırıq: 4-cü dərəcədən kök altında (−6)2 (kökün sonu) = 4-cü dərəcədən kök altında 36 (kökün sonu) = 4-cü dərəcədən kök altında 62 (kökün sonu) = kvadrat kök altında 6 (kökün sonu). kvadrat kök altında −6 (kökün sonu) yazmaq səhvdir — onun mənası da yoxdur.

Dərslikdəki nümunə

6-cı dərəcədən kök altında x4 (kökün sonu) = kub kök altında x2 (kökün sonu) əslində hər x üçün doğrudur: x4 = (x2)2 və x2 ≥ 0, ona görə əsas kimi x2 götürülür.

Beş xassə bir yerdə (dərslikdəki cədvəlin sırası ilə):

  • 1n-ci dərəcədən kök altında a · b (kökün sonu) = n-ci dərəcədən kök altında a (kökün sonu) · n-ci dərəcədən kök altında b (kökün sonu)hasilin kökü
  • 2n-ci dərəcədən kök altında ab /  (kökün sonu) = n-ci dərəcədən kök altında a (kökün sonu)n-ci dərəcədən kök altında b (kökün sonu) / nisbətin kökü (b ≠ 0)
  • 3kn-ci dərəcədən kök altında akm (kökün sonu) = n-ci dərəcədən kök altında am (kökün sonu)kökün üstünü dəyişmək
  • 4(n-ci dərəcədən kök altında a (kökün sonu))m = n-ci dərəcədən kök altında am (kökün sonu)kökün qüvvəti
  • 5m-ci dərəcədən kök altında n-ci dərəcədən kök altında a (kökün sonu) (kökün sonu) = mn-ci dərəcədən kök altında a (kökün sonu)kökdən kök

6 · Laboratoriya

Ortaq üst: kökləri müqayisə et

kvadrat kök altında 7 (kökün sonu) ilə kub kök altında 18 (kökün sonu)-dən hansı böyükdür? 18 > 7, amma üstlər fərqlidir — kökaltıları birbaşa müqayisə etmək olmaz. Xassə 3 ilə hər iki kökü eyni üstə gətiririk: ortaq üst üstlərin ən kiçik ortaq bölünənidir (ƏKOB). Eyni üstlü köklərdə isə kökaltısı böyük olan kök böyükdür (4.5: a > b ≥ 0 ⇒ n-ci dərəcədən kök altında a (kökün sonu) > n-ci dərəcədən kök altında b (kökün sonu)).

Cütü seç
Ortaq üst: iki kök eyni üstə gətirilir və kökaltıları müqayisə olunurSeçilmiş cüt: yuxarıda iki kök, ortada sual işarəsi. Oxlar üstün neçə dəfə artdığını göstərir. Altda eyni üstlü iki kök və onların kökaltıları zolaqlarla eyni miqyasda; böyük kökaltı yaşıl. Ən altda nəticə: hansı kök böyükdür. Seçimə uyğun ədədlər şəklin altındakı oxunuşda da yazılıb.7318?üst ×3üst ×263436324343324eyni üst 6: kökaltıları müqayisə et7 > 31837413?üst ×4üst ×312240112219724012197eyni üst 12: kökaltıları müqayisə et37 > 4134263?üst ×3üst ×212812989eyni üst 12: kökaltıları müqayisə et42 < 63

ƏKOB(2; 3) = 6. kvadrat kök altında 7 (kökün sonu) = 6-cı dərəcədən kök altında 73 (kökün sonu) = 6-cı dərəcədən kök altında 343 (kökün sonu), kub kök altında 18 (kökün sonu) = 6-cı dərəcədən kök altında 182 (kökün sonu) = 6-cı dərəcədən kök altında 324 (kökün sonu). 343 > 324 ⇒ kvadrat kök altında 7 (kökün sonu) > kub kök altında 18 (kökün sonu) — kökaltısı kiçik olan kök böyük çıxdı.

ƏKOB(3; 4) = 12. kub kök altında 7 (kökün sonu) = 12-ci dərəcədən kök altında 74 (kökün sonu) = 12-ci dərəcədən kök altında 2401 (kökün sonu), 4-cü dərəcədən kök altında 13 (kökün sonu) = 12-ci dərəcədən kök altında 133 (kökün sonu) = 12-ci dərəcədən kök altında 2197 (kökün sonu). 2401 > 2197 ⇒ kub kök altında 7 (kökün sonu) > 4-cü dərəcədən kök altında 13 (kökün sonu).

ƏKOB(4; 6) = 12 (24 də olar, amma ən kiçiyi kifayətdir). 4-cü dərəcədən kök altında 2 (kökün sonu) = 12-ci dərəcədən kök altında 23 (kökün sonu) = 12-ci dərəcədən kök altında 8 (kökün sonu), 6-cı dərəcədən kök altında 3 (kökün sonu) = 12-ci dərəcədən kök altında 32 (kökün sonu) = 12-ci dərəcədən kök altında 9 (kökün sonu). 8 < 9 ⇒ 4-cü dərəcədən kök altında 2 (kökün sonu) < 6-cı dərəcədən kök altında 3 (kökün sonu). 4-cü dərəcədən kök altında 2 (kökün sonu) — hook-dakı üç yarımtondur.

Narıncı oxlar üstün neçə dəfə artdığını göstərir; kökaltı da elə həmin qüvvətə yüksəlir. Zolaqlar ortaq üstdəki kökaltıları eyni miqyasda göstərir (hər cüt öz miqyasında).

7 · Hesabla

Müxtəlif üstlü köklərlə əməllər

Vurmaq və bölmək üçün də əvvəlcə ortaq üstə gətiririk, sonra Xassə 1 və 2 işləyir.

Nümunə 9Vur

Hesablayın: 4-cü dərəcədən kök altında 8 (kökün sonu) · 8-ci dərəcədən kök altında 4 (kökün sonu)

  1. ƏKOB(4; 8) = 8: 4-cü dərəcədən kök altında 8 (kökün sonu) = 8-ci dərəcədən kök altında 82 (kökün sonu) = 8-ci dərəcədən kök altında 64 (kökün sonu).
  2. 8-ci dərəcədən kök altında 64 (kökün sonu) · 8-ci dərəcədən kök altında 4 (kökün sonu) = 8-ci dərəcədən kök altında 256 (kökün sonu).
  3. 28 = 256.

    4-cü dərəcədən kök altında 8 (kökün sonu) · 8-ci dərəcədən kök altında 4 (kökün sonu) = 2

Nümunə 10Böl

Hesablayın: kub kök altında 25 (kökün sonu) : 6-cı dərəcədən kök altında 5 (kökün sonu)

  1. ƏKOB(3; 6) = 6: kub kök altında 25 (kökün sonu) = 6-cı dərəcədən kök altında 252 (kökün sonu) = 6-cı dərəcədən kök altında 625 (kökün sonu).
  2. 6-cı dərəcədən kök altında 625 (kökün sonu) : 6-cı dərəcədən kök altında 5 (kökün sonu) = 6-cı dərəcədən kök altında 125 (kökün sonu).
  3. 125 = 53, üst və qüvvət üstü 3-ə bölünür: 6-cı dərəcədən kök altında 53 (kökün sonu) = kvadrat kök altında 5 (kökün sonu).

    kub kök altında 25 (kökün sonu) : 6-cı dərəcədən kök altında 5 (kökün sonu) = kvadrat kök altında 5 (kökün sonu)

Nümunə 11Dəyişənlə

a ≥ 0 olduqda sadələşdirin: kub kök altında a2 (kökün sonu) · 6-cı dərəcədən kök altında a2 (kökün sonu)

  1. kub kök altında a2 (kökün sonu) = 6-cı dərəcədən kök altında a4 (kökün sonu) (üst və qüvvət üstü 2-yə vuruldu).
  2. 6-cı dərəcədən kök altında a4 (kökün sonu) · 6-cı dərəcədən kök altında a2 (kökün sonu) = 6-cı dərəcədən kök altında a6 (kökün sonu).
  3. a ≥ 0 olduğundan 6-cı dərəcədən kök altında a6 (kökün sonu) = a (mənfi a üçün |a| olardı).

    kub kök altında a2 (kökün sonu) · 6-cı dərəcədən kök altında a2 (kökün sonu) = a

8 · Diqqət

Beş tipik səhv

Səhv

kub kök altında 0,7 (kökün sonu) · kub kök altında 490 (kökün sonu) = 6-cı dərəcədən kök altında 343 (kökün sonu)

Üstlər toplanıb (3 + 3). Vurarkən üst dəyişmir; 6-cı dərəcədən kök altında 343 (kökün sonu) = kvadrat kök altında 7 (kökün sonu) ≈ 2,65 tamam başqa ədəddir.

Düzgün

kub kök altında 0,7 · 490 (kökün sonu) = kub kök altında 343 (kökün sonu) = 7

Kökaltıları vur, üst 3 qalsın.

Səhv

kub kök altında 64 (kökün sonu) + kub kök altında 125 (kökün sonu) = kub kök altında 189 (kökün sonu)

Cəm üçün belə xassə yoxdur.

Düzgün

kub kök altında 64 (kökün sonu) + kub kök altında 125 (kökün sonu) = 4 + 5 = 9

Yoxlama: 93 = 729, 189 deyil.

Səhv

kub kök altında kvadrat kök altında 15 (kökün sonu) (kökün sonu) = 5-ci dərəcədən kök altında 15 (kökün sonu)

Kökdən kökdə üstlər toplanıb.

Düzgün

kub kök altında kvadrat kök altında 15 (kökün sonu) (kökün sonu) = 6-cı dərəcədən kök altında 15 (kökün sonu)

Üstlər vurulur: 3 · 2 = 6.

Səhv

8-ci dərəcədən kök altında 74 (kökün sonu) = kvadrat kök altında 74 (kökün sonu) = 49

Yalnız kökün üstü 4-ə bölünüb, qüvvət üstü qalıb.

Düzgün

8-ci dərəcədən kök altında 74 (kökün sonu) = kvadrat kök altında 7 (kökün sonu)

Üstü də, qüvvət üstünü də eyni ədədə bölürük.

Səhv

13 > 7 ⇒ 4-cü dərəcədən kök altında 13 (kökün sonu) > kub kök altında 7 (kökün sonu)

Üstləri fərqli köklərdə kökaltılar birbaşa müqayisə olunmur.

Düzgün

kub kök altında 7 (kökün sonu) = 12-ci dərəcədən kök altında 2401 (kökün sonu) > 12-ci dərəcədən kök altında 2197 (kökün sonu) = 4-cü dərəcədən kök altında 13 (kökün sonu)

Əvvəl ortaq üst, sonra müqayisə.

9 · Həyatda

Pianinonun Sol səsi

Do-dan Sol-a 7 yarımton var. Pianinoda (bərabər temperasiya) tezlik (12-ci dərəcədən kök altında 2 (kökün sonu))7 = 12-ci dərəcədən kök altında 27 (kökün sonu) = 12-ci dərəcədən kök altında 128 (kökün sonu) dəfə artır. Musiqiçilər bu intervalı — kvintanı — qədimdən 3 : 2 nisbəti ilə tanıyır. Bəs 12-ci dərəcədən kök altında 128 (kökün sonu) düz 1,5-dirmi?

Do-dan Sol-a 7 yarımton: 261,63 Hz-dən 392,00 Hz-əBeş ağ düymə: Do, Re, Mi, Fa, Sol və üç qara düymə. Do və Sol yaşıl. Do üstündə 261,63 Hz, Sol üstündə 392,00 Hz. Mötərizə: 7 yarımton. Təmiz kvinta 1,5 dəfə olsaydı, Sol 392,44 Hz olardı.DoReMiFaSol261,63 Hz392,00 Hz7 yarımtontəmiz kvinta (× 1,5): 392,44 Hz
La = 440 Hz kökləməsində birinci oktavanın Do və Sol səsləri.
HəyatdaKvintanı müqayisə et

12-ci dərəcədən kök altında 128 (kökün sonu) ilə 1,5-i müqayisə edin.

  1. 1,5-i də 12-ci dərəcədən kök kimi yazırıq: 1,5 = 12-ci dərəcədən kök altında 1,512 (kökün sonu) = 12-ci dərəcədən kök altında 312212 /  (kökün sonu) = 12-ci dərəcədən kök altında 531 4414096 /  (kökün sonu).
  2. 531 4414096 /  ≈ 129,7, bu isə 128-dən böyükdür.
  3. Eyni üstlü köklərdə kökaltısı kiçik olan kiçikdir: 12-ci dərəcədən kök altında 128 (kökün sonu) < 1,5.

    12-ci dərəcədən kök altında 128 (kökün sonu) < 1,5

Rəqəmlərlə: Do ≈ 261,63 Hz, pianinonun Sol-u ≈ 392,00 Hz, təmiz kvinta isə 261,63 · 1,5 ≈ 392,44 Hz olardı. Fərq yarım hersdən azdır — qulaq onu demək olar ki, eşitmir, amma ortaq üst onu dəqiq göstərir.

10 · Özünü yoxla

Bacarığını sına

Cavabı seç — düzgün olanda yaşıl, səhv olanda qırmızı işıqlanacaq. Həllinə də baxa bilərsən.

  1. Asan

    Hesablayın: kub kök altında 0,32 (kökün sonu) · kub kök altında 0,2 (kökün sonu)

    Cavab variantları

    Düzdür! kub kök altında 0,064 (kökün sonu) = 0,4, çünki 0,43 = 0,064.

    Yox. Üstləri bərabər kökləri vururuq: kökaltıları vur, üst 3 qalsın, sonra kökü al.

    Həllə bax

    kub kök altında 0,32 (kökün sonu) · kub kök altında 0,2 (kökün sonu) = kub kök altında 0,32 · 0,2 (kökün sonu) = kub kök altında 0,064 (kökün sonu) = 0,4. 6-cı dərəcədən kök altında 0,064 (kökün sonu) üstləri toplayıb, kub kök altında 0,52 (kökün sonu) kökaltıları toplayıb, 0,064 isə kökü unudub.

  2. Asan

    Hesablayın: 5-ci dərəcədən kök altında −0,5 (kökün sonu) : 5-ci dərəcədən kök altında 16 (kökün sonu)

    Cavab variantları

    Düzdür! (−0,5)5 = −0,031 25.

    Yox. Üst təkdir — mənfi kökaltı da olar. Kökaltıları bu sırada böl: −0,5 : 16.

    Həllə bax

    5-ci dərəcədən kök altında −0,5 (kökün sonu) : 5-ci dərəcədən kök altında 16 (kökün sonu) = 5-ci dərəcədən kök altında −0,5 : 16 (kökün sonu) = 5-ci dərəcədən kök altında −0,031 25 (kökün sonu) = −0,5, çünki (−0,5)5 = −0,031 25. 0,5 işarəni itirib, −2 bölməni tərsinə aparıb (16 : (−0,5) = −32), «mənası yoxdur» isə tək üstlü kökü cüt üstlü kimi oxuyub.

  3. Orta

    Hansı ədəd kub kök altında 6 (kökün sonu)-ya bərabərdir?

    Cavab variantları

    Düzdür! kub kök altında 6 (kökün sonu) = 6-cı dərəcədən kök altında 62 (kökün sonu) = 6-cı dərəcədən kök altında 36 (kökün sonu).

    Yox. Üstü 2-yə vurursansa, kökaltını 2-yə vurma — kvadrata yüksəlt.

    Həllə bax

    Xassə 3, k = 2: kub kök altında 6 (kökün sonu) = 6-cı dərəcədən kök altında 62 (kökün sonu) = 6-cı dərəcədən kök altında 36 (kökün sonu). 6-cı dərəcədən kök altında 12 (kökün sonu) kökaltını 2-yə vurub, 9-cu dərəcədən kök altında 18 (kökün sonu) 3-ə vurub, 6-cı dərəcədən kök altında 216 (kökün sonu) isə kökaltını kuba yüksəldib — o, kvadrat kök altında 6 (kökün sonu)-dır.

  4. Orta

    x istənilən həqiqi ədəddir. Sadələşdirin: 4-cü dərəcədən kök altında kub kök altında x8 (kökün sonu) (kökün sonu)

    Cavab variantları

    Düzdür! 12-ci dərəcədən kök altında x8 (kökün sonu) = kub kök altında x2 (kökün sonu).

    Yox. Əvvəl kökdən kök (üstlər vurulur), sonra üstü və qüvvət üstünü eyni ədədə böl.

    Həllə bax

    Üstlər vurulur, 4 · 3 = 12: 12-ci dərəcədən kök altında x8 (kökün sonu). x8 = (x2)4 və x2 ≥ 0, ona görə Xassə 3 ilə 4-ə bölürük: 12-ci dərəcədən kök altında x8 (kökün sonu) = kub kök altında x2 (kökün sonu). 7-ci dərəcədən kök altında x8 (kökün sonu) üstləri toplayıb, kub kök altında x8 (kökün sonu) xarici kökü unudub, kub kök altında x4 (kökün sonu) üstü 4-ə, qüvvət üstünü 2-yə bölüb.

  5. Çətin

    a = kub kök altında 9 (kökün sonu), b = 4-cü dərəcədən kök altında 19 (kökün sonu), c = 6-cı dərəcədən kök altında 80 (kökün sonu). Düzgün sıranı seçin.

    Cavab variantları

    Düzdür! 6400 < 6561 < 6859.

    Yox. Üçünü də ortaq üstə — ƏKOB(3; 4; 6) = 12-yə — gətir və kökaltıları müqayisə et.

    Həllə bax

    a = 12-ci dərəcədən kök altında 94 (kökün sonu) = 12-ci dərəcədən kök altında 6561 (kökün sonu), b = 12-ci dərəcədən kök altında 193 (kökün sonu) = 12-ci dərəcədən kök altında 6859 (kökün sonu), c = 12-ci dərəcədən kök altında 802 (kökün sonu) = 12-ci dərəcədən kök altında 6400 (kökün sonu). 6400 < 6561 < 6859 ⇒ c < a < b. a < b < c kökaltıları (9, 19, 80) birbaşa müqayisə edib, c < b < a isə yalnız üstlərə baxıb.

  6. Çətin

    Hansı bərabərlik x-in bütün həqiqi qiymətlərində doğrudur?

    Cavab variantları

    Düzdür! x4 = (x2)2 və x2 ≥ 0.

    Yox. Mənfi x götürüb yoxla, məsələn x = −2.

    Həllə bax

    x4 = (x2)2 və x2 ≥ 0, ona görə üstü və qüvvət üstünü 2-yə bölmək olar: 10-cu dərəcədən kök altında x4 (kökün sonu) = 5-ci dərəcədən kök altında x2 (kökün sonu) hər x üçün. x < 0 olduqda 4-cü dərəcədən kök altında x (kökün sonu) mənasızdır; kvadrat kök altında 4-cü dərəcədən kök altında x8 (kökün sonu) (kökün sonu) = 8-ci dərəcədən kök altında x8 (kökün sonu) = |x|. Məsələn, x = −2: kvadrat kök altında 4-cü dərəcədən kök altında 256 (kökün sonu) (kökün sonu) = 2 ≠ −2.

Xülasə

Yadda qalanlar

  • n-ci dərəcədən kök altında ab (kökün sonu) = n-ci dərəcədən kök altında a (kökün sonu) · n-ci dərəcədən kök altında b (kökün sonu)Eyni üstlü köklərdə kökaltıları vur və ya böl, üst qalır; cüt üstdə vuruqlar mənfi olmamalıdır.
  • m-ci dərəcədən kök altında n-ci dərəcədən kök altında a (kökün sonu) (kökün sonu) = mn-ci dərəcədən kök altında a (kökün sonu)Kökdən kökdə üstlər vurulur; kökün qüvvəti kökaltının qüvvətinin köküdür.
  • kn-ci dərəcədən kök altında akm (kökün sonu) = n-ci dərəcədən kök altında am (kökün sonu)Üstü və qüvvət üstünü eyni ədədə vur və ya böl; fərqli üstləri ƏKOB-a gətirib vur, böl, müqayisə et.

Növbəti mövzu: 4.7 Vuruğun kök işarəsi altından çıxarılması