• 4.57
  • 9-cu sinif
  • Vektorlar

Kollinear olmayan vektorların toplanması və çıxılması

Parkın küncündən qarşı küncünə asfalt yolla getsən, əvvəl 150 m şərqə, sonra 80 m şimala — cəmi 230 m yol gedirsən. Çəmənin üstündəki cığır isə 170 m-dir. Hər iki yol eyni yerə aparır: iki yerdəyişmənin cəmi diaqonaldır, uzunluğu isə 150 + 80 deyil.

Bu dərsdə

  • iki vektoru üçbucaq və paraleloqram qaydası ilə toplayıb çıxacaq, cəmi və fərqi paraleloqramın iki diaqonalı kimi görəcəksən;
  • əvəzləyici vektorun uzunluğunu Pifaqor teoremi və xüsusi paraleloqramların xassələri ilə, istiqamətini tangenslə tapacaqsan;
  • |a + b| < |a| + |b| olmasını izah edib qaydanı qayıq, təyyarə və qüvvə məsələlərində tətbiq edəcəksən.
Parkda asfalt yol və cığırDüzbucaqlı park, ölçüsü 150 m-ə 80 m. A küncündən B-yə 150 m şərqə mavi ox a, B-dən C-yə 80 m şimala narıncı ox b. A-dan C-yə çəmənin üstündən keçən cığır yaşıl ox a + b, uzunluğu 170 m. Yuxarıda: yolla 230 m, cığırla 170 m. A B C a 150 m b 80 m a + b yolla 230 m cığırla 170 m Ş
  1. Kəşf et
  2. Üçbucaq qaydası
  3. Paraleloqram qaydası
  4. Çıxma
  5. Uzunluq və bucaq
  6. Laboratoriya
  7. Bərabərsizlik
  8. Hesabla
  9. Diqqət
  10. Həyatda
  11. Özünü yoxla

1 · Kəşf et

Yol uzundur, yerdəyişmə qısa

Yadına sal. Vektor istiqamətlənmiş parçadır, onun uzunluğu modul adlanır: |a|. Bir düz xətt və ya paralel düz xətlər üzərində yerləşən vektorlar kollinear vektorlardır. Vektorun istiqamətini meyil bucağı ilə veririk: bu bucaq absis oxunun müsbət istiqamətindən saat əqrəbinin hərəkətinə əks ölçülür. Bir neçə vektorun cəminə bərabər vektor əvəzləyici vektor adlanır.

Kollinear vektorlarda cəmin modulu ya modulların cəmi, ya da fərqi idi. Bu dərsdə vektorlar bir düz xətt üzərində deyil.

Asfalt yolun iki hissəsi iki yerdəyişmədir: a — 150 m şərqə, b — 80 m şimala. Onlar kollinear deyil, biri digərinə perpendikulyardır. Ardıcıl gedəndə a-nın sonu b-nin başlanğıcıdır və nəticə A-dan C-yə gedən bir yerdəyişmədir: AC = a + b. Cığır məhz bu vektor boyunca uzanır.

ABC üçbucağında B bucağı düzdür, ona görə Pifaqor teoremi işləyir:

|a + b|² = 150² + 80²= 22 500 + 6400 = 28 900,|a + b| = √28 900 = 170 m.

Yolla isə 150 + 80 = 230 m gedirik — cığır 60 m qısadır. İstiqaməti də tapmaq olar: cığır şərqlə θ bucağı əmələ gətirir, tg θ = 80150 / ≈ 0,533, kalkulyatorla θ ≈ 28,1°. Şərqi absis oxunun müsbət istiqaməti götürsək, bu, cəm vektorunun meyil bucağıdır.

Deməli, kollinear olmayan vektorları toplayanda modulları toplamaq olmaz: vektorları ucu-uca düzüb üçbucaq qurmaq lazımdır. Dərslik bunun iki qrafik qaydasını verir.

2 · Qayda

Üçbucaq qaydası

Yadda saxla

a + b cəmini qurmaq üçün b vektorunu elə köçürürük ki, onun başlanğıcı a-nın son nöqtəsi ilə üst-üstə düşsün. a-nın başlanğıcını b-nin son nöqtəsi ilə birləşdirən istiqamətlənmiş parça əvəzləyici vektor a + b-dir.

AB + BC = AC

Parkda olduğu kimi: A-dan B-yə, sonra B-dən C-yə getmək A-dan C-yə bir yerdəyişmədir.

Köçürmə zamanı vektorun uzunluğu və istiqaməti dəyişmir — vektor özünə bərabər qalır.

Üçbucaq qaydasıMavi a vektoru. Narıncı b vektoru öz yerindən sürüşdürülür ki, başlanğıcı a-nın son nöqtəsinə düşsün; punktir onun əvvəlki yeridir. a-nın başlanğıcından b-nin sonuna çəkilən yaşıl ox a + b cəmidir. a b b a + b
b sürüşür (punktir — onun əvvəlki yeri), sonra a-nın başlanğıcından b-nin sonuna yaşıl ox çəkilir.

Dərslikdə: «Vektorları istənilən ardıcıllıqla toplamaq olar. Ədədlər üçün toplama əməlinin yerdəyişmə xassəsi vektorları toplamaq üçün də doğrudur. Bu qayda ilə üç və daha çox vektoru da toplamaq olar (bu hal çoxbucaqlı qaydası adlanır).»

Dərslik həm də deyir ki, qrafik qaydada vektorlar və onların cəmini göstərən əvəzləyici vektor müəyyən miqyas seçilməklə xətkeşin (modul) və transportirin (meyil bucağı) köməyi ilə qurulur. Yəni cəmi qurub ölçmək də olar, hesablamaq da — hər ikisini aşağıda görəcəyik.

3 · Qayda

Paraleloqram qaydası

Yadda saxla

a və b vektorlarını başlanğıcları üst-üstə düşənə qədər sürüşdürürük və tərəfləri a və b olan paraleloqram qururuq. Paraleloqramın ortaq başlanğıcdan çıxan diaqonalı a + b cəmidir.

Dərslikdə: «Bu paraleloqramın u və v vektorlarının başlanğıc nöqtəsindən çıxan diaqonalı onların cəmini, u + v vektorunu göstərir.»

Paraleloqram qaydasıMavi a və narıncı b vektorları eyni nöqtədən çıxır. Punktir xətlər onların paralel köçürmələridir və paraleloqramı tamamlayır. Ortaq başlanğıcdan çıxan yaşıl diaqonal a + b cəmidir. a b b a + b
Punktirlər a və b-nin paralel köçürmələridir. Yuxarı sağdakı punktir b-yə bərabərdir — ona görə paraleloqram qaydası üçbucaq qaydası ilə eyni cavabı verir.

Niyə iki qayda eyni nəticə verir? Paraleloqramın qarşı tərəfləri bərabər və paraleldir. Deməli, a-nın sonundan çıxan tərəf b vektorunun özüdür: a-dan sonra b — bu, üçbucaq qaydasıdır. Paraleloqram qaydası iki qüvvə və ya iki sürət eyni nöqtəyə təsir edəndə rahatdır: hər iki ox bir nöqtədən çəkilir.

4 · Qayda

Fərq — ikinci diaqonal

Yadda saxla

a − b fərqini tapmaq üçün a-ya b-yə əks olan vektoru əlavə edirik:

a − b = a + (−b)

Qurma: 1) b-yə əks −b vektorunu çəkirik; 2) −b-nin başlanğıcını a-nın son nöqtəsinə köçürürük; 3) a-nın başlanğıcını −b-nin son nöqtəsi ilə birləşdirən istiqamətlənmiş parça a − b-dir.

Çıxma: a + (−b)Mavi a vektorunun sonundan b-yə əks olan −b vektoru (punktir narıncı) çəkilir. a-nın başlanğıcından −b-nin sonuna gedən qara ox a − b fərqidir. a −b a − b
Üçbucaq qaydası ilə: a, sonra −b (punktir narıncı). Qara ox — a − b.
Paraleloqramın iki diaqonalıOrtaq başlanğıcdan çıxan mavi a və narıncı b vektorları üzərində paraleloqram. Ortaq başlanğıcdan çıxan yaşıl diaqonal a + b, b-nin sonundan a-nın sonuna gedən qara diaqonal a − b-dir. a b a + b a − b
Bir paraleloqram — iki cavab: ortaq başlanğıcdan çıxan diaqonal a + b, b-nin sonundan a-nın sonuna gedən diaqonal a − b.

İkinci fiqurdakı qara diaqonal birinci fiqurdakı qara oxa bərabərdir (eyni uzunluq, eyni istiqamət). Yoxlama üçbucaq qaydası ilə: b + (a − b) = a — b-nin sonundan çıxıb a-nın sonuna çatırıq. Diaqonalın istiqamətinə diqqət et: fərq «çıxılanın» ucundan «azalanın» ucuna yönəlir.

5 · Qayda

Uzunluğu və istiqaməti necə tapırıq?

Cəmi qurduqdan sonra iki yol var.

Qur və ölç

Miqyas seç (məsələn, 1 sm : 1 km), vektorları xətkeş və transportirlə çək, əvəzləyicinin uzunluğunu xətkeşlə ölçüb miqyasla çevir, meyil bucağını transportirlə ölç. Cavab təqribidir — dərslikdəki nümunələr belə həll olunur.

Hesabla

Fiqurda düzbucaqlı üçbucaq tap. Bucaq düzdürsə: |a + b| = √(|a|² + |b|²), cəmlə a arasındakı θ bucağı üçün tg θ = |b| : |a|.

Bəzi paraleloqramların diaqonallarını xassələrindən bilirik. Fiqurlarda mavi — a, narıncı — b, yaşıl — a + b, qara — a − b:

Düzbucaqlı: a ⟂ b

DüzbucaqlıTərəfləri a və b olan düzbucaqlı; iki diaqonal bərabərdir.

Diaqonallar bərabərdir: |a + b| = |a − b| = √(|a|² + |b|²).

Kvadrat: |a| = |b| = s, düz bucaq

KvadratTərəfləri bərabər və perpendikulyar olan a və b; iki diaqonal bərabərdir.

Hər iki diaqonal s√2.

Romb, 60°: |a| = |b| = s

Romb, 60°Bərabər uzunluqlu a və b, aralarında 60°; qısa diaqonal a − b tərəfə bərabərdir. 60°

a, b və a − b bərabərtərəfli üçbucaq qurur: |a − b| = s, |a + b| = s√3.

Romb, 120°: |a| = |b| = s

Romb, 120°Bərabər uzunluqlu a və b, aralarında 120°; qısa diaqonal a + b tərəfə bərabərdir. 120°

İndi qısa diaqonal cəmdir: |a + b| = s, |a − b| = s√3.

Rombun diaqonalları perpendikulyardır və bir-birini yarı bölür, ona görə uzun diaqonalı Pifaqorla tapırıq: 60°-li rombda yarısı √(s² − (s/2)²) = s√3/2.

Bucaq 60° və ya 120°, uzunluqlar fərqli olanda

Paraleloqramın a-nın düz xəttindən ən uzaq təpəsindən həmin düz xəttə perpendikulyar endir. Alınan kiçik düzbucaqlı üçbucağın bir iti bucağı 30°-dir və 30° bucaq qarşısındakı katet hipotenuzun yarısıdır. Məsələn, |a| = 6, |b| = 4, bucaq 60°:

kiçik katet: 4 : 2 = 2;hündürlük: √(4² − 2²) = √12 = 2√3;|a + b|² = (6 + 2)² + (2√3)²= 64 + 12 = 76,|a + b| = √76 = 2√19 ≈ 8,7.

Başqa bucaqlarda (məsələn, 50°) bu üsul işləmir — onda cəmi miqyasla qurub ölçürük.

Hündürlük endirmək: |a| = 6, |b| = 4, bucaq 60°a vektoru 6 vahid sağa, b 4 vahid 60° bucaqla. Paraleloqramın C təpəsindən a-nın davamına perpendikulyar CH endirilib. AH = 2, CH = 2√3, OH = 8; a + b diaqonalı OC = √76. 60° 6 2 4 2√3 √76 H C O
H — perpendikulyarın oturacağı. OHC üçbucağında katetlər 8 və 2√3, hipotenuz a + b.

6 · Laboratoriya

Paraleloqram qurucusu

|a| = 6 vahid. Bucağı və |b|-ni seç: fiqur iki diaqonalı çəkir, kart onların uzunluqlarını dəqiq (kökaltı ilə) və təqribi yazır. Tor xanası 1 vahiddir.

a ilə b arasındakı bucaq
|b|
Paraleloqram qurucusuMavi a vektoru 6 vahid sağa, narıncı b vektoru seçilən bucaqla və uzunluqla çəkilir. Paraleloqramın ortaq başlanğıcdan çıxan yaşıl diaqonalı a + b, b-nin sonundan a-nın sonuna gedən qara diaqonalı a − b-dir. Tor xanası 1 vahiddir. 60° a b a + b a − b 60° a b a + b a − b 60° a b a + b a − b 90° a b a + b a − b 90° a b a + b a − b 90° a b a + b a − b 120° a b a + b a − b 120° a b a + b a − b 120° a b a + b a − b

60°, |b| = 3
|a + b| = √63 = 3√7 ≈ 7,9
|a − b| = √27 = 3√3 ≈ 5,2
|a| + |b| = 9
Hündürlük endir: 30°-li düzbucaqlı üçbucaqda katetlər 1,5 və 1,5√3. Cəm: 7,5² + (1,5√3)² = 63; fərq: 4,5² + (1,5√3)² = 27.

60°, |b| = 4
|a + b| = √76 = 2√19 ≈ 8,7
|a − b| = √28 = 2√7 ≈ 5,3
|a| + |b| = 10
Hündürlük endir: 30°-li düzbucaqlı üçbucaqda katetlər 2 və 2√3. Cəm: 8² + (2√3)² = 76; fərq: 4² + (2√3)² = 28.

60°, |b| = 6
|a + b| = √108 = 6√3 ≈ 10,4
|a − b| = 6
|a| + |b| = 12
Romb, bucaq 60°: a, b və a − b bərabərtərəfli üçbucaq qurur, ona görə |a − b| = 6. Uzun diaqonal: yarısı √(6² − 3²) = 3√3.

90°, |b| = 3
|a + b| = √45 = 3√5 ≈ 6,7
|a − b| = √45 = 3√5 ≈ 6,7
|a| + |b| = 9
Bucaq düzdür, paraleloqram düzbucaqlıdır: Pifaqorla 6² + 3² = 45. Düzbucaqlının diaqonalları bərabərdir.

90°, |b| = 4
|a + b| = √52 = 2√13 ≈ 7,2
|a − b| = √52 = 2√13 ≈ 7,2
|a| + |b| = 10
Bucaq düzdür, paraleloqram düzbucaqlıdır: Pifaqorla 6² + 4² = 52. Düzbucaqlının diaqonalları bərabərdir.

90°, |b| = 6
|a + b| = √72 = 6√2 ≈ 8,5
|a − b| = √72 = 6√2 ≈ 8,5
|a| + |b| = 12
Bucaq düzdür, paraleloqram düzbucaqlıdır: Pifaqorla 6² + 6² = 72. Düzbucaqlının diaqonalları bərabərdir.

120°, |b| = 3
|a + b| = √27 = 3√3 ≈ 5,2
|a − b| = √63 = 3√7 ≈ 7,9
|a| + |b| = 9
Hündürlük endir: 30°-li düzbucaqlı üçbucaqda katetlər 1,5 və 1,5√3. Cəm: 4,5² + (1,5√3)² = 27; fərq: 7,5² + (1,5√3)² = 63.

120°, |b| = 4
|a + b| = √28 = 2√7 ≈ 5,3
|a − b| = √76 = 2√19 ≈ 8,7
|a| + |b| = 10
Hündürlük endir: 30°-li düzbucaqlı üçbucaqda katetlər 2 və 2√3. Cəm: 4² + (2√3)² = 28; fərq: 8² + (2√3)² = 76.

120°, |b| = 6
|a + b| = 6
|a − b| = √108 = 6√3 ≈ 10,4
|a| + |b| = 12
Romb, bucaq 120°: qonşu bucaq 60°-dir, cəm diaqonalı bərabərtərəfli üçbucağın tərəfidir: |a + b| = 6. Uzun diaqonal 6√3.

Tapşırıqlar.

  1. 90° seç və |b|-ni dəyiş. Niyə hər dəfə |a + b| = |a − b| alınır?
  2. |b| = 4 saxla və 60°-dən 120°-yə keç. Diaqonallar necə dəyişir? Bucaq böyüdükcə cəm qısalır, fərq uzanır.
  3. |b| = 6 seç. Hansı fiqur alınır və hər bucaqda hansı diaqonal tərəfə bərabərdir?

7 · Bərabərsizlik

Niyə |a + b| < |a| + |b|?

Üçbucaq qaydasında a, b və a + b üçbucağın üç tərəfidir. Üçbucağın hər tərəfi digər iki tərəfin cəmindən kiçikdir, ona görə kollinear olmayan vektorlar üçün

|a + b| < |a| + |b|

Bərabərlik yalnız a ilə b eyni istiqamətdə olanda alınır — onda «üçbucaq» bir düz xəttə yatır (kollinear vektorlar). Dərslikdəki |u| + |v| ≥ |u + v| təklifi ona görə doğrudur.

Həm də üçbucağın tərəfi digər iki tərəfin fərqindən böyükdür: cəm heç vaxt |a| − |b|-dən qısa olmur. Bucaq 0°-dən 180°-yə böyüdükcə cəm 6-dan 2-yə qədər qısalır.

|a + b| bucaqdan asılıdıra vektoru 4 vahid, b vektoru 2 vahid. b 60°, 90° və 120° bucaqla çəkilib, hər biri üçün yaşıl cəm oxu. Aşağıda cəmin uzunluqları: 0° — 6, 60° — 5,29, 90° — 4,47, 120° — 3,46, 180° — 2. Hamısı 2 ilə 6 arasındadır. a 60° 90° 120° |a|+|b| |a|−|b| 0° 6 60° 5,29 90° 4,47 120° 3,46 180° 2
|a| = 4, |b| = 2. Bucaq böyüdükcə a + b qısalır, amma həmişə 2 ilə 6 arasında qalır.

8 · Hesabla

Dörd nümunə

Nümunə 1Qayıq çayı keçir

Qayıq suya nəzərən 4 m/san sürətlə sahilə perpendikulyar üzür, çayın axın sürəti 1,5 m/san-dir, çayın eni 120 m. Qayığın sahilə nəzərən sürətinin modulunu, onun axınla əmələ gətirdiyi bucağı və qayığın qarşı sahildə nə qədər aşağıda yan alacağını tapın.

  1. Sürətlər toplanır: sahilə nəzərən sürət qayığın öz sürəti ilə axın sürətinin cəmidir. Vektorlar perpendikulyardır, paraleloqram düzbucaqlıdır.
  2. Pifaqor: |v|² = 4² + 1,5² = 16 + 2,25 = 18,25, |v| = √18,25 ≈ 4,3 m/san.
  3. Axınla bucaq: tg θ = 4 : 1,5 ≈ 2,667, θ ≈ 69,4°.
  4. Qarşı sahilə çatmaq üçün qayıq sahilə perpendikulyar 120 m üzür: 120 : 4 = 30 san. Bu müddətdə axın onu 1,5 · 30 = 45 m aşağı aparır. Yoxlama: √(120² + 45²) ≈ 128 m ≈ 4,27 · 30.

    ≈ 4,3 m/san; ≈ 69,4°; 45 m aşağıda

Qayıq çayı keçirÇayın eni 120 m. Qayıq suya nəzərən 4 m/san sürətlə sahilə perpendikulyar (mavi ox), axın 1,5 m/san sağa (narıncı ox). Yaşıl ox — sahilə nəzərən sürət, təqribən 4,3 m/san; 30 saniyədə qayıq 45 m aşağıda yan alır. θ — yaşıl oxla axın arasındakı bucaq. θ 4 m/san 1,5 m/san ≈ 4,3 m/san axın 120 m
1 m/san 40 vahiddir, 120 m isə 160 vahid: sürətlər üçbucağı 30 saniyəlik yerdəyişmə üçbucağı ilə üst-üstə düşür.
Nümunə 2Miqyasla qur, sonra yoxla

Yaxta 3 km şərqə, sonra meyil bucağı 60° olan istiqamətdə 2 km üzdü. Yekun yerdəyişmənin modulunu və meyil bucağını əvvəlcə qurma ilə (1 sm : 1 km), sonra hesabla tapın.

  1. Qurma: 3 sm uzunluqda üfüqi ox çək; onun ucundan transportirlə 60° qeyd et və 2 sm çək. Başlanğıcı sonla birləşdir.
  2. Ölçmə: əvəzləyici təqribən 4,4 sm, deməli ≈ 4,4 km; transportirlə meyil bucağı ≈ 23°.
  3. Hesab: ikinci ucdan birinci oxun davamına perpendikulyar endiririk. 30°-li düzbucaqlı üçbucaqda katetlər 2 : 2 = 1 km və √(2² − 1²) = √3 km.
  4. Böyük düzbucaqlı üçbucaq: katetlər 3 + 1 = 4 və √3. |d|² = 16 + 3 = 19, |d| = √19 ≈ 4,4 km; tg θ = √3 : 4 ≈ 0,433, θ ≈ 23,4°.

    ≈ 4,4 km, meyil bucağı ≈ 23°

Yaxtanın yerdəyişməsi miqyaslaTor xanası 1 sm, miqyas 1 sm : 1 km. Mavi ox 3 km şərqə, narıncı ox 2 km, meyil bucağı 60°. Yaşıl ox — yekun yerdəyişmə, təqribən 4,4 km, meyil bucağı təqribən 23°. Punktir: a-nın davamı və perpendikulyar, katetləri 1 və √3. 60° θ 3 km 2 km 1 √3 ≈ 4,4 km
Tor xanası 1 sm = 1 km. Ölçmə ilə hesab üst-üstə düşür; hesab daha dəqiqdir.
Nümunə 3İki kəndir

Ağır yeşiyi iki kəndirlə çəkirlər. Hər kəndirin qüvvəsi 350 N, kəndirlər arasındakı bucaq 60°-dir. Əvəzləyici qüvvəni tapın.

  1. Qüvvələr bir nöqtəyə təsir edir — paraleloqram qaydası. Modullar bərabərdir, paraleloqram rombdur.
  2. Kəndirlərin uclarını birləşdirən diaqonal 60°-li bərabəryanlı üçbucağın oturacağıdır, üçbucaq bərabərtərəflidir: bu diaqonal 350-yə bərabərdir.
  3. Rombun diaqonalları perpendikulyardır və yarı bölünür. Uzun diaqonalın yarısı: √(350² − 175²) = √91 875 = 175√3.
  4. Əvəzləyici: 2 · 175√3 = 350√3 ≈ 606 N; rombun diaqonalı bucağı yarı böldüyü üçün o, hər kəndirlə 30° bucaq əmələ gətirir.

    350√3 ≈ 606 N, kəndirlərin arasından

İki kəndir 60° bucaq altındaAğır yeşik iki kəndirlə çəkilir, hər birinin qüvvəsi 350 N, aralarında 60°. Qüvvələr üzərində romb; uclarını birləşdirən punktir diaqonal 350 N-ə bərabərdir, yaşıl diaqonal — əvəzləyici qüvvə, 350√3 ≈ 606 N, hər kəndirlə 30° bucaq əmələ gətirir. 30° 30° 350 N 350 N 350 N ≈ 606 N
İki kəndir birlikdə 700 N yox, ≈ 606 N verir: bucaq altında qüvvənin bir hissəsi «itir».
Nümunə 4Düzbucaqlıda cəm və fərq

ABCD düzbucaqlısında AB = 4 sm, AD = 7 sm. |AB + AD| və |AB − AD| uzunluqlarını tapın.

  1. Paraleloqram qaydası: AB + AD A-dan çıxan AC diaqonalıdır.
  2. AB − AD — «çıxılanın» (D) ucundan «azalanın» (B) ucuna gedən DB diaqonalı.
  3. Düzbucaqlının diaqonalları bərabərdir: AC = DB = √(4² + 7²) = √65 ≈ 8,06 sm.

    hər ikisi √65 ≈ 8,06 sm

Düzbucaqlıda iki diaqonalABCD düzbucaqlısı, AB = 4 sm (mavi ox), AD = 7 sm (narıncı ox). Yaşıl diaqonal AC cəmə, qara diaqonal DB fərqə uyğundur; ikisi də √65 ≈ 8,06 sm. A B C D 4 sm 7 sm AB + AD AB − AD
Perpendikulyar vektorlarda cəm və fərq eyni uzunluqdadır, istiqamətləri isə fərqlidir.

9 · Diqqət

Tez-tez edilən dörd səhv

Modullar toplandı

7 N ⟂ 24 N → 31 N

Perpendikulyar qüvvələr bir istiqamətdə çəkmir.

Pifaqor

√(7² + 24²) = 25 N

Modulları toplamaq yalnız eyni istiqamətli vektorlar üçün doğrudur.

Fərq üçün səhv diaqonal

a − b: cəm diaqonalı

Ortaq başlanğıcdan çıxan diaqonal a + b-dir, fərq deyil.

İkinci diaqonal

b-nin ucundan a-nın ucuna

Yoxla: b + (a − b) = a.

Bucaq düz sayıldı

|a| = |b| = 6, 60° → 6√2

Pifaqor yalnız düz bucaqda işləyir.

Romb, 60°

6√3 ≈ 10,4

Uzun diaqonalın yarısı √(6² − 3²) = 3√3.

Bucaq səhv oxdan

tg θ = 1,5 : 4 → axınla 20,6°

20,6° qayığın yolunun sahilə perpendikulyarla bucağıdır.

Axınla bucaq

tg θ = 4 : 1,5 → 69,4°

Tangens: qarşı katet bölünür bucağa bitişik katetə; iki bucağın cəmi 90°-dir.

10 · Həyatda

Təyyarə yan küləkdə

Pilot şimaldakı şəhərə uçmalıdır. Təyyarənin havaya nəzərən sürəti 220 km/saat, qərbdən şərqə 50 km/saat külək əsir. Burnunu düz şimala tutsa, külək onu şərqə sürüşdürər. Burnu hara çevirməlidir?

Təyyarənin yerə nəzərən sürəti iki vektorun cəmidir: öz sürəti + külək. Bu cəm düz şimala yönəlməlidir. Üçbucaq qaydası ilə: mavi ox (öz sürəti, 220) hipotenuzdur, narıncı ox (külək, 50) və yaşıl ox (yerə nəzərən sürət) katetlərdir.

sin α = 50 : 220 ≈ 0,227,α ≈ 13,1°;yerə nəzərən sürət:√(220² − 50²) = √45 900≈ 214 km/saat.

Pilot burnu şimaldan təxminən 13° qərbə çevirir və şəhərə doğru saatda təxminən 214 km yaxınlaşır. Gəmilər axında, quşlar küləkdə eyni hesabla «yan» istiqamət götürürlər.

Yan küləkdə şimala uçuşTəyyarənin havaya nəzərən sürəti 220 km/saat (mavi ox), burnu şimaldan α ≈ 13,1° qərbə çevrilib. Külək 50 km/saat şərqə (narıncı ox). Üçbucaq qaydası ilə cəm — yaşıl ox — düz şimala yönəlib, uzunluğu təqribən 214 km/saat. α 220 km/saat külək 50 ≈ 214 km/saat şimal
Öz sürəti + külək = yerə nəzərən sürət. Cəm şimala yönəlsin deyə mavi ox küləyə qarşı əyilib.

11 · Özünü yoxla

Bacarığını sına

Cavabı seç — düzgün olanda yaşıl, səhv olanda qırmızı işıqlanacaq. Həllinə də baxa bilərsən.

  1. Asan

    Robot 0,9 m şərqə, sonra 4 m şimala getdi. O, başlanğıc nöqtədən nə qədər uzaqdadır?

    Cavab variantları

    Düzdür: √(0,81 + 16) = √16,81 = 4,1.

    Yollar perpendikulyardır — katetlərin kvadratlarını topla, sonra kök al.

    Həllə bax

    Yerdəyişmələr perpendikulyardır: √(0,9² + 4²) = √(0,81 + 16) = √16,81 = 4,1 m. 4,9 — modullar toplanıb, 3,1 — çıxılıb, ≈ 3,9 — kvadratlar çıxılıb.

  2. Asan

    Kollinear olmayan a və b üçün |a + b| = |a − b| bərabərliyi nə vaxt doğrudur?

    Cavab variantları

    Bəli: düzbucaqlının diaqonalları bərabərdir.

    Cəm və fərq paraleloqramın iki diaqonalıdır. Hansı paraleloqramda diaqonallar bərabərdir?

    Həllə bax

    Cəm və fərq paraleloqramın iki diaqonalıdır. Diaqonallar düzbucaqlıda (və kvadratda) bərabərdir, yəni vektorlar perpendikulyar olanda. Rombda (|a| = |b|) diaqonallar ümumiyyətlə bərabər deyil.

  3. Orta

    |a| = |b| = 8, vektorlar arasındakı bucaq 60°-dir. |a + b| nəyə bərabərdir?

    Cavab variantları

    Düzdür: 60°-li rombun uzun diaqonalı s√3-dür.

    Paraleloqram rombdur, bucaq düz deyil. Uzun diaqonalın yarısını Pifaqorla tap.

    Həllə bax

    Romb, 60°: qısa diaqonal (fərq) 8-dir, uzun diaqonalın yarısı √(8² − 4²) = √48 = 4√3, bütöv diaqonal 8√3 ≈ 13,9. 16 — modullar toplanıb, 8√2 — bucaq düz sayılıb, 8 — fərq diaqonalı.

  4. Orta

    Qayıq suya nəzərən 1,8 m/san sürətlə sahilə perpendikulyar üzür, axın sürəti 0,8 m/san-dir. Qayığın sahilə nəzərən sürəti axın istiqaməti ilə hansı bucağı əmələ gətirir?

    Cavab variantları

    Düzdür: tg θ = 1,8 : 0,8 = 2,25, θ ≈ 66°.

    Axın istiqamətinə bitişik katet 0,8-dir, qarşı katet 1,8.

    Həllə bax

    tg θ = 1,8 : 0,8 = 2,25, θ ≈ 66°. 24° — nisbət tərsinə götürülüb (sahilə perpendikulyarla bucaq), 90° — axın nəzərə alınmayıb.

  5. Çətin

    Təyyarə havaya nəzərən 185 km/saat sürətlə uçur, şərqə 60 km/saat sürətlə külək əsir. Pilot burnu elə çevirib ki, təyyarə düz şimala uçur. Təyyarənin yerə nəzərən sürəti nə qədərdir?

    Cavab variantları

    Düzdür: 185 hipotenuzdur, √(185² − 60²) = 175.

    Öz sürəti cəmin hipotenuzudur, çünki cəm küləyə perpendikulyardır.

    Həllə bax

    Öz sürəti + külək = yerə nəzərən sürət, cəm şimala, külək şərqə — düz bucaq cəm ilə külək arasındadır. Hipotenuz 185-dir: √(185² − 60²) = √(34 225 − 3600) = √30 625 = 175. ≈ 194,5 — 185 katet sayılıb.

  6. Çətin

    |a| = |b| = |a − b| = 7. a ilə b arasındakı bucaq neçə dərəcədir?

    Cavab variantları

    Bəli: üçbucaq bərabərtərəflidir.

    a, b və a − b bir üçbucağın tərəfləridir. Üç tərəf bərabərdirsə…

    Həllə bax

    Ortaq başlanğıcdan çəkilən a, b və onların uclarını birləşdirən a − b üçbucaq qurur; üç tərəfin hamısı 7-dir, üçbucaq bərabərtərəflidir, bucaqları 60°. 120° — cəm diaqonalı tərəfə bərabər olanda alınardı.

Xülasə

Yadda qalanlar

  • Ucu-uca və ya bir nöqtədənÜçbucaq qaydası: a-nın başlanğıcından b-nin sonuna. Paraleloqram qaydası: ortaq başlanğıcdan çıxan diaqonal.
  • a − b = a + (−b)Paraleloqramın ikinci diaqonalı: b-nin ucundan a-nın ucuna.
  • Pifaqor, tg, xassələrDüz bucaqda Pifaqor və tg; romb, kvadrat, düzbucaqlının diaqonalları; həmişə |a + b| < |a| + |b|.

Növbəti mövzu: 4.58 Vektorun komponentlərindən istifadə etməklə toplanması