• 4.62
  • 9-cu sinif
  • Hərəkət

Hərəkət və konqruyent fiqurlar

Kartondan üçbucaq şablon kəsdin. Onu vərəqdə sürüşdürür, döndərir, sonra arxası üstə çevirirsən və hər dəfə kənarından xətt çəkirsən. İzlər müxtəlif yerdədir, amma hamısı eyni üçbucaqdır. Səbəb: kartonun heç bir iki nöqtəsi arasındakı məsafə dəyişmir. Riyaziyyatda belə çevrilməyə hərəkət deyilir.

Bu dərsdə

  • çevrilmənin hərəkət olub-olmadığını nöqtələr arasındakı məsafələrlə yoxlayacaq, dörd hərəkəti tanıyacaqsan;
  • hərəkətdə parçanın parçaya, üçbucağın konqruyent üçbucağa çevrildiyini və əksetmənin hərəkət olduğunu isbat edəcəksən;
  • iki fiqurun konqruyent olduğunu hərəkətlə göstərəcək, ardıcıl əksetmələrin nəticəsini və ən qısa yolu tapacaqsan.
Şablon üç dəfə hərəkət edirMavi üçbucaq şablonun ilk izidir. Şablon 7 xana sağa sürüşdürülür, sonra bir nöqtə ətrafında 90° saat əqrəbinə əks istiqamətdə döndərilir, sonra şaquli xəttə nəzərən arxası üstə çevrilir. Hər dəfə qalan yaşıl iz ilk üçbucağın dəqiq surətidir; kiçik dairə şablondakı deşikdir və vəziyyəti göstərir.ABC1 sürüşdür2 döndər3 çevir
  1. Kəşf et
  2. Hərəkət
  3. Parça teoremi
  4. Nəticə
  5. Əksetmə
  6. Konqruyent fiqurlar
  7. Hesabla
  8. Diqqət
  9. Həyatda
  10. Özünü yoxla

1 · Kəşf et

Hansı çevrilmə məsafəni saxlayır?

Dərslikdə deyildiyi kimi: «Tutaq ki, F fiqurunun hər bir nöqtəsinə müstəvinin müəyyən nöqtəsi qarşı qoyulub. Belə nöqtələr çoxluğu ümumi halda F-dən fərqli F′ fiqurunu əmələ gətirir. Bu halda deyilir ki, F′ fiquru F fiqurunun çevrilməsi ilə alınmışdır.» F′ fiquruna F-in surəti də deyirik. Koordinat müstəvisində çevrilməni qayda ilə vermək olar: hər (x; y) nöqtəsinə yeni nöqtə qarşı qoyulur.

Yadına sal: A(x1; y1) və B(x2; y2) nöqtələri arasındakı məsafə

AB = √((x2 − x1)² + (y2 − y1)²).

P(−4; 4), Q(4; 3), R(4; −4) üçbucağının tərəfləri: PQ = √(8² + 1²) = √65, QR = 7, PR = √(8² + 8²) = 8√2. Qaydanı seç və surətin tərəflərini müqayisə et.

Çevrilmənin qaydası: (x; y) →
Laboratoriya: PQR üçbucağı və onun surətiKoordinat torunda mavi PQR üçbucağı: P(−4; 4), Q(4; 3), R(4; −4). Seçilmiş qaydanın verdiyi P′Q′R′ surəti yaşıl (hərəkət) və ya qırmızı (hərəkət deyil) çəkilir.xyO−6−226PQRP′Q′R′P′Q′R′P′Q′R′P′Q′R′

Hərəkətdir. P′(4; 4), Q′(−4; 3), R′(−4; −4): P′Q′ = √65, Q′R′ = 7, P′R′ = 8√2 — üç məsafə də saxlanır. Bu, Oy oxuna nəzərən əksetmədir (ox simmetriyası).

Hərəkətdir. P′(4; −4), Q′(−4; −3), R′(−4; 4): P′ R-in, R′ isə P-nin yerinə düşür. Tərəflər yenə √65, 7 və 8√2. Bu, O nöqtəsinə nəzərən mərkəzi simmetriyadır.

Hərəkət deyil. P′(−8; 4), Q′(8; 3), R′(8; −4): Q′R′ = 7 saxlanır, amma P′Q′ = √257 ≈ 16,0, P′R′ = √320 = 8√5 ≈ 17,9. Fiqur üfüqi istiqamətdə dartılıb.

Hərəkət deyil. P və Q yerində qalır, R′(4; 4). P′Q′ = √65 saxlanır, amma Q′R′ = 1 (7 idi), P′R′ = 8 (8√2 idi). Vərəq Ox boyunca qatlanıb: aşağı yarım yuxarı yarımın üstünə düşüb.

Mavi — ilkin PQR üçbucağı; surət yaşıldırsa çevrilmə hərəkətdir, qırmızıdırsa hərəkət deyil.

Birinci iki qayda üçbucağın bütün tərəflərini saxlayır və bu, təsadüf deyil: məsələn, (−x2) − (−x1) = −(x2 − x1), kvadratı isə eynidir, ona görə istənilən iki nöqtə arasındakı məsafə saxlanır. Son iki qayda bəzi məsafələri saxlasa da, başqalarını dəyişir. Deməli, bir-iki cütü yoxlamaq kifayət deyil: məsafə hər cüt nöqtə üçün saxlanmalıdır.

2 · Hərəkət

Məsafəni saxlayan çevrilmə

Yadda saxla

«Fiqurların çevrilməsində nöqtələr arasındakı məsafə saxlanarsa, fiqurun bütün həndəsi xassələri saxlanılır və fiqur özünə konqruyent fiqura çevrilir. Belə çevrilmələrə hərəkət deyilir. İki ardıcıl hərəkətin nəticəsi də hərəkətdir.»

A′B′ = AB

— istənilən A və B nöqtələri və onların A′, B′ surətləri üçün.

Dərslik, «8-7. Hərəkət və konqruyent fiqurlar».

Dərslik dörd hərəkəti adlandırır. Hamısını artıq tanıyırsan:

Paralel köçürmə

Hər nöqtə eyni vektor qədər sürüşür (4.61). Şablonun 1-ci addımı.

Mərkəzi simmetriya

O nöqtəsi AA′ parçasının ortasıdır. Laboratoriyada (−x; −y).

Ox simmetriyası (əksetmə)

m düz xətti AA′ parçasının orta perpendikulyarıdır. Şablonun 3-cü addımı.

Dönmə

OA′ = OA və ∠AOA′ verilmiş bucaqdır (8-ci sinif). Şablonun 2-ci addımı.

Niyə iki ardıcıl hərəkət də hərəkətdir? Birinci hərəkət P və Q nöqtələrini P′ və Q′-ə, ikinci hərəkət isə P′ və Q′-ü P″ və Q″-ə aparır. Hər hərəkət məsafəni saxlayır: P″Q″ = P′Q′ = PQ. Dərsin əvvəlindəki şablon da üç ardıcıl hərəkətdən keçdi və son iz ilk izə konqruyentdir.

Hərəkət olmayan çevrilmələr də var: laboratoriyadakı dartma və qatlama, şəkli böyüdən və ya kiçildən çevrilmələr. Onlar məsafəni dəyişir, fiquru da konqruyent fiqura çevirmir.

3 · Parça teoremi

Parça niyə parçaya çevrilir?

Teorem

«Hərəkətdə parça parçaya çevrilir.»

Dərslik teoremi isbatsız verir. Səbəbi 7-ci sinifdən tanış üçbucaq bərabərsizliyindədir: istənilən X, Y, Z nöqtələri üçün XY + YZ ≥ XZ, bərabərlik isə yalnız Y nöqtəsi XZ parçası üzərində olanda doğrudur.

Parça parçaya çevrilirAB parçası və onun daxili M nöqtəsi hərəkətlə A′B′ parçasına və M′ nöqtəsinə çevrilir. Qırmızı qırıq xətt: M′ parçadan kənarda olsaydı, A′-dan B′-yə onun üzərindən gedən yol A′B′-dən uzun olardı.ABMhərəkətM*A′B′M′M* olsaydı: A′M* + M*B′ > A′B′
M′ parçadan kənarda ola bilməz: onda A′-dan B′-yə M′ üzərindən gedən yol A′B′-dən uzun olardı.
  1. M nöqtəsi AB parçasının istənilən nöqtəsi olsun. Onda AM + MB = AB.
  2. Hərəkət A, M, B nöqtələrini A′, M′, B′-ə aparır və məsafələri saxlayır: A′M′ = AM, M′B′ = MB, A′B′ = AB. Deməli, A′M′ + M′B′ = A′B′.
  3. M′ A′B′ parçasından kənarda olsaydı, üçbucaq bərabərsizliyinə görə A′M′ + M′B′ > A′B′ olardı. Bərabərlik olduğuna görə M′ A′B′ parçası üzərindədir və A′-dan AM qədər uzaqdadır.
  4. Tərsinə: A′B′ parçasında A′-dan d məsafədəki nöqtəni götürək. AB üzərində A-dan d məsafədəki nöqtənin surəti 3-cü addıma görə məhz həmin nöqtədir. Deməli, A′B′-nin hər nöqtəsi AB-nin bir nöqtəsinin surətidir.

    AB parçası bütövlükdə A′B′ parçasına çevrilir

Yan nəticə: parçanın orta nöqtəsi surətin orta nöqtəsinə çevrilir, çünki ondan uclara qədər olan məsafələr saxlanır.

4 · Nəticə

Üçbucaq, düz xətt, şüa və bucaq

Nəticə

«Hərəkətdə üçbucağın hər bir tərəfi konqruyent parçaya çevrildiyindən üçbucaq konqruyent üçbucağa (TTT əlamətinə görə) çevrilir. Hərəkətdə düz xətt düz xəttə, şüa şüaya, bucaq özünə bərabər bucağa çevrilir. Paralel köçürmə, mərkəzi simmetriya, ox simmetriyası, dönmə hərəkətdir, yəni bu çevrilmələrdə fiqur konqruyent fiqura çevrilir.»

Dərslik, «8-7».

Üçbucaq konqruyent üçbucağa çevrilirABC üçbucağı O nöqtəsi ətrafında 70° döndərilib A′B′C′ alınıb. Uyğun tərəflərdə eyni sayda çərtik var, B və B′ bucaqlarında eyni qövs: uyğun tərəflər və bucaqlar bərabərdir.O70°ABCA′B′C′
ABC üçbucağı O ətrafında 70° döndərilib. Eyni sayda çərtik — bərabər tərəflər, narıncı qövs — bərabər bucaqlar.

Üçbucaq. Hərəkət A, B, C təpələrini A′, B′, C′-ə aparır, parça teoreminə görə tərəflər tərəflərə çevrilir: A′B′ = AB, B′C′ = BC, A′C′ = AC. TTT əlamətinə görə ΔA′B′C′ ≅ ΔABC.

Bucaq. ∠ABC-nin tərəflərində A və C nöqtələrini götürək. Hərəkət ABC üçbucağını konqruyent A′B′C′ üçbucağına çevirir, ona görə ∠A′B′C′ = ∠ABC. Bucaq saxlandığı üçün perpendikulyar düz xətlər perpendikulyar qalır.

Düz xətt və şüa. Onların istənilən parçası parçaya çevrilir, ona görə surətin nöqtələri də bir düz xətt üzərində düzülür.

5 · Əksetmə

Əksetmə məsafəni niyə saxlayır?

Teorem

«Düz xəttə nəzərən simmetriya çevrilməsi (əksetmə) hərəkətdir.»

Yadına sal: P′ nöqtəsi P-nin m düz xəttinə nəzərən simmetriyidir, əgər m PP′ parçasının orta perpendikulyarıdırsa. İsbat etməliyik: istənilən P və Q üçün P′Q′ = PQ. Dərslik P və Q nöqtələrinin m-ə nəzərən yerləşməsinin dörd halını ayırır.

Əksetmədə dörd halDörd panel: 1) P və Q m düz xəttinin bir tərəfində; 2) müxtəlif tərəflərində; 3) P m üzərində, PQ m-ə perpendikulyar deyil; 4) Q m üzərində və PQ m-ə perpendikulyardır. Hər paneldə P′Q′ PQ-nün m-ə nəzərən əksidir.m1PQP′Q′m2PQP′Q′m3P = P′QQ′m4PQ = Q′P′
1) P və Q m-in bir tərəfində; 2) müxtəlif tərəflərində; 3) bir nöqtə m üzərində, PQ m-ə perpendikulyar deyil; 4) Q m üzərində və PQ ⊥ m.
Əksetmə məsafəni saxlayır: 1-ci halP və Q m düz xəttinin bir tərəfindədir; P′ və Q′ onların əksidir. R və S perpendikulyarların oturacaqlarıdır. Mavi RQP və yaşıl RQ′P′ üçbucaqları iki tərəf və aralarındakı bucağa görə konqruyentdir, ona görə PQ = P′Q′.mPQP′Q′RS
1-ci hal: mavi RQP və yaşıl RQ′P′ üçbucaqları konqruyentdir.
  1. R və S — P-dən və Q-dan m-ə endirilmiş perpendikulyarların oturacaqlarıdır. m həm PP′, həm də QQ′ parçasının orta perpendikulyarıdır: PR = RP′, QS = SQ′.
  2. RSQ və RSQ′ düzbucaqlı üçbucaqlarında RS ortaq, SQ = SQ′. Onlar konqruyentdir, ona görə RQ = RQ′ və ∠QRS = ∠Q′RS.
  3. RP m-ə perpendikulyardır: ∠PRQ = 90° − ∠QRS və ∠P′RQ′ = 90° − ∠Q′RS. Deməli, ∠PRQ = ∠P′RQ′.
  4. RQP və RQ′P′ üçbucaqlarında RQ = RQ′, ∠PRQ = ∠P′RQ′, PR = P′R. TBT əlamətinə görə ΔRQP ≅ ΔRQ′P′.

    PQ = P′Q′

2-ci hal oxşar mühakimə ilə isbat olunur. 3-cü halda P m üzərindədir, ona görə P′ = P; P QQ′ parçasının orta perpendikulyarı üzərində olduğundan PQ′ = PQ, yəni P′Q′ = PQ. 4-cü halda Q nöqtəsi PP′ parçasının ortasıdır və Q′ = Q, ona görə P′Q′ = P′Q = PQ.

6 · Konqruyent fiqurlar

Konqruyent — hərəkətlə üst-üstə düşən

Yadda saxla

İki fiqur o zaman və yalnız o zaman konqruyentdir ki, onlardan birini hərəkətlə digərinə çevirmək mümkün olsun.

Bir istiqaməti artıq bilirik: hərəkət bütün məsafələri saxlayır, ona görə fiquru konqruyent fiqura çevirir. Bəs tərsi? Dərslik bunu ayrıca isbat etmir; üçbucaqlar üçün səbəb belədir. Tutaq ki, ΔABC ≅ ΔA′B′C′, yəni AB = A′B′, BC = B′C′, AC = A′C′. ABC-ni ən çoxu üç hərəkətlə A′B′C′-nin üstünə gətirək.

Addım 1: paralel köçürməABC üçbucağı A nöqtəsi A′-ə düşənə qədər paralel köçürülür.A′B′C′ABC1A → A′ köçürməAddım 2: dönməKöçürülmüş üçbucaq A′ ətrafında döndərilir, B nöqtəsi B′-ə düşür; C isə C′-nin A′B′-yə nəzərən simmetrik nöqtəsinə düşür.A′B′C′C2A′ ətrafında dönməAddım 3: əksetməA′B′ düz xəttinə nəzərən əksetmə C-ni C′-ə aparır, A′ və B′ yerində qalır: üçbucaq A′B′C′ ilə üst-üstə düşür.A′B′C′C3A′B′-yə nəzərən əksetmə
Yaşıl qırıq xətt — hədəf A′B′C′ üçbucağı; narıncı — hər addımdan sonra üçbucağın vəziyyəti.
  1. Paralel köçürmə. ABC-ni AA′ vektoru qədər köçürürük: A nöqtəsi A′-ə düşür.
  2. Dönmə. Üçbucağı A′ ətrafında döndərib B-ni B′-ə gətiririk. Bu mümkündür, çünki A′B = AB = A′B′: hər iki nöqtə A′ mərkəzli eyni çevrə üzərindədir.
  3. Lazım olsa, əksetmə. C indi A′-dan AC, B′-dan BC məsafədədir. Belə nöqtə ikidir (iki çevrənin kəsişməsi): C′ və onun A′B′ düz xəttinə nəzərən simmetriyi. C artıq C′-dədirsə, iş bitib; yoxsa A′B′-yə nəzərən əksetmə C-ni C′-ə aparır, A′ və B′ isə yerində qalır.

    Konqruyent üçbucaqlar hərəkətlə üst-üstə düşür

Nə vaxt əksetmə lazımdır? Təpələri A → B → C ardıcıllığı ilə dolananda saat əqrəbi istiqamətində və ya əks istiqamətdə gedirik. Paralel köçürmə və dönmə bu dolanma istiqamətini dəyişmir, əksetmə isə dəyişir. Ona görə A → B → C və A′ → B′ → C′ əks istiqamətdə dolanırsa, hərəkətdə mütləq əksetmə olmalıdır. Dərsin əvvəlindəki şablonun son izi məhz belədir: şablon arxası üstə çevrildi və kiçik deşik o biri tərəfə keçdi.

7 · Hesabla

Koordinatlarla hərəkətlər

Nümunə 1Ardıcıl iki əksetmə

D(1; 5), E(3; 6), F(5; 1) üçbucağını əvvəl Ox oxuna, sonra y = x düz xəttinə nəzərən əks etdirin. Son üçbucağı ilk üçbucaqdan bir hərəkətlə necə almaq olar?

Ox-a, sonra y = x-ə nəzərən əksetməMavi DEF üçbucağı Ox-a nəzərən əks etdirilir (boz qırıq D′E′F′), sonra y = x düz xəttinə nəzərən (yaşıl D″E″F″). Nəticə O ətrafında 90° saat əqrəbinə əks istiqamətdə dönmədir.xyOy = x90°DEFD′E′F′D″E″F″
Mavi — DEF, boz qırıq — birinci əksetmədən sonra, yaşıl — ikinci əksetmədən sonra.
  1. Ox-a nəzərən əksetmə ordinatın işarəsini dəyişir: (x; y) → (x; −y). D′(1; −5), E′(3; −6), F′(5; −1).
  2. y = x düz xəttinə nəzərən əksetmə koordinatların yerini dəyişir: (x; y) → (y; x). D″(−5; 1), E″(−6; 3), F″(−1; 5).
  3. Bütöv qayda: (x; y) → (x; −y) → (−y; x). Bu, 8-ci sinifdən tanış qaydadır: O nöqtəsi ətrafında saat əqrəbinin hərəkətinə əks istiqamətdə 90° dönmə.

    İki əksetmə = O ətrafında 90° dönmə

Ox və y = x arasındakı bucaq 45°-dir, dönmə bucağı isə ondan iki dəfə böyükdür. Ardıcıllığı dəyişsək, əvvəl y = x, sonra Ox: (x; y) → (y; x) → (y; −x) — bu, saat əqrəbi istiqamətində 90° dönmədir və D nöqtəsi (5; −1) nöqtəsinə düşür. Ardıcıl hərəkətlərdə sıra vacibdir.

Nümunə 2Güzgü xəttini tap

K(−1; −3), L(4; −2), N(7; −3) və K′(−2; −2), L′(−1; 3), N′(−2; 6). Üçbucaqların konqruyent olduğunu göstərin və birini digərinə çevirən əksetmənin oxunu tapın.

Güzgü xəttini tapmaqMavi KLN və yaşıl K′L′N′ üçbucaqları. Uyğun təpələri birləşdirən boz parçaların ortaları narıncı nöqtələrdir və hamısı y = x − 1 düz xətti üzərindədir.xyOy = x − 1KLNK′L′N′
Uyğun təpələri birləşdirən parçaların ortaları (narıncı) bir düz xətt üzərindədir.
  1. Tərəflər: KL = √(5² + 1²) = √26, KN = 8, LN = √(3² + 1²) = √10; K′L′ = √(1² + 5²) = √26, K′N′ = 8, L′N′ = √(1² + 3²) = √10. TTT əlamətinə görə ΔKLN ≅ ΔK′L′N′.
  2. K → L → N saat əqrəbi istiqamətində dolanır, K′ → L′ → N′ isə əks istiqamətdə. Deməli, axtarılan hərəkətdə əksetmə var; bir əksetmənin kifayət etdiyini yoxlayaq.
  3. Əksetmənin oxu KK′ parçasının orta perpendikulyarıdır, yəni K və K′-dən bərabər uzaqlıqda olan (x; y) nöqtələri:

    (x + 1)² + (y + 3)² = (x + 2)² + (y + 2)²2x + 1 + 6y + 9 = 4x + 4 + 4y + 42y = 2x − 2,  y = x − 1

  4. Eyni hesab L, L′ və N, N′ cütləri üçün də y = x − 1 verir. Məsələn, LL′-nin ortası (1,5; 0,5) bu düz xətt üzərindədir. Deməli, bir əksetmə kifayətdir.

    y = x − 1 düz xəttinə nəzərən əksetmə

Nümunə 3Ən qısa yol

A(−4; 3), B(6; 2). Ox oxu üzərində elə C nöqtəsi tapın ki, AC + CB cəmi ən kiçik olsun.

Ox üzərində ən qısa yolA(−4; 3) və B(6; 2). A′ A-nın Ox-a nəzərən əksidir. A′B parçası Ox-u C(2; 0) nöqtəsində kəsir; yaşıl A–C–B yolu ən qısadır. Qırmızı qırıq yol başqa X nöqtəsindən keçir və daha uzundur.xyO−46ABA′C(2; 0)X
Yaşıl A–C–B yolu A′B parçası qədərdir; qırmızı yol başqa X nöqtəsindən keçir.
  1. A-nı Ox-a nəzərən əks etdiririk: A′(−4; −3). Əksetmə hərəkətdir və Ox-un nöqtələri yerində qalır, ona görə Ox üzərindəki istənilən X nöqtəsi üçün AX = A′X.
  2. Deməli, AX + XB = A′X + XB. A′ və B Ox-un müxtəlif tərəflərindədir; üçbucaq bərabərsizliyinə görə A′X + XB ≥ A′B və bərabərlik yalnız X A′B parçası üzərində olanda doğrudur.
  3. A′B düz xətti: bucaq əmsalı (2 + 3) : (6 + 4) = ½, y + 3 = ½(x + 4), yəni y = ½x − 1. y = 0 olanda x = 2.
  4. Ən kiçik cəm: A′B = √(10² + 5²) = √125 = 5√5 ≈ 11,18. Yoxlama: AC = √(6² + 3²) = 3√5, CB = √(4² + 2²) = 2√5.

    C(2; 0), AC + CB = 5√5

Dərslik bu mühakiməni bir sətirdə yazır: Ox üzərindəki başqa X nöqtəsi üçün

AX + XB = A′X + XB > A′B = A′C + CB = AC + CB.

8 · Diqqət

Dörd tipik səhv

Bir neçə cüt kifayətdir

QR = Q′R′ ⇒ hərəkət

Laboratoriyada (2x; y) qaydası QR-i saxladı, amma hərəkət deyil.

İstənilən iki nöqtə

A′B′ = AB hər cüt üçün

Məsafə bütün nöqtə cütləri üçün saxlanmalıdır.

Tərəflər bəs edir

kvadrat ≅ romb?

Hər ikisinin tərəfi 3 sm-dir, deməli konqruyentdir — sanılır.

Bütün məsafələr

3√2 ≈ 4,24 ≠ 3

Diaqonallar fərqlidir, heç bir hərəkət kvadratı romba çevirmir. Üçbucaqda isə üç tərəf kifayətdir (TTT).

Tərəfləri bərabər kvadrat və rombTərəfi 3 sm olan kvadrat və bucağı 60° olan romb. Bütün tərəflər bərabərdir, amma kvadratın diaqonalı 3√2 sm, rombun qısa diaqonalı 3 sm-dir.3√23kvadratromb, 60°
Tərəflər eynidir, diaqonallar yox: kvadratın diaqonalı 3√2 ≈ 4,24 sm, rombun diaqonalları 3 sm və 3√3 ≈ 5,2 sm.

Güzgü əksi başqa fiqurdur

əks ≇ fiqur

«Onu sürüşdürüb, döndərib üst-üstə qoymaq olmur.»

Əksetmə də hərəkətdir

əks ≅ fiqur

Sağ və sol ayağın qumdakı izi kimi güzgü fiqurlar konqruyentdir; yalnız dolanma istiqaməti əksdir.

Sıra fərq etmir

D → (−5; 1) hər iki sırada

Ardıcıllığı dəyişmək olar sanılır.

Sıra vacibdir

D → (5; −1)

Əvvəl y = x, sonra Ox — dönmə əks tərəfə gedir (Nümunə 1).

9 · Həyatda

Bilyard: topu borta vur

A topunu elə vurmaq lazımdır ki, o əvvəl yan borta dəysin, sonra B topuna. Top bortdan, təxminən, düşdüyü bucaqla qayıdır (topun fırlanması və sürtünmə nəzərə alınmır). Oyunçular güzgü fikrindən istifadə edir: A-nın borta nəzərən simmetriyi A′-nü təsəvvür edib, A′-dan B-yə «düz» nişan alırlar.

Bilyard: bortdan qayıdan zərbəA topu bortdan 5 dm, B topu 7 dm məsafədədir, oturacaqlar arası 9 dm. A′ A-nın borta nəzərən əksidir. A′B düz xətti bortu C-də kəsir; A–C–B yolu ən qısadır və bortla bərabər bucaqlar əmələ gətirir.bortABA′C5 dm7 dm9 dm
A–C–B yolu A′B parçasına bərabərdir; C-də bortla əmələ gələn narıncı bucaqlar bərabərdir.

A topu bortdan 5 dm, B topu 7 dm məsafədədir, onların borta endirilmiş perpendikulyarlarının oturacaqları arası 9 dm-dir. Bortu Ox, A-nın oturacağını O qəbul edək: A(0; 5), B(9; 7), A′(0; −5).

A′B = √(9² + 12²) = √225 = 15 dmA′B: y = 43 / x − 5,  y = 0 ⇒ x = 3,75AC = 6,25 dm,  CB = 8,75 dm,  6,25 + 8,75 = 15

Deməli, top bortun A-nın oturacağından 3,75 dm uzaqdakı C nöqtəsinə vurulmalıdır, yol 1,5 m olacaq. Bucaqlar niyə bərabərdir? Əksetmə bucağı saxlayır: CA-nın bortla bucağı CA′-nün bortla bucağına bərabərdir. A′, C, B bir düz xətt üzərində olduğundan bu bucaq CB-nin bortla əmələ gətirdiyi qarşıqarşıya bucağa bərabərdir. Deməli, top bortdan düşdüyü bucaqla qayıdanda məhz ən qısa yolla gedir.

10 · Özünü yoxla

Bacarığını sına

Cavabı seç — düzgün olanda yaşıl, səhv olanda qırmızı işıqlanacaq. Həllinə də baxa bilərsən.

  1. Asan

    Hansı qayda hərəkətdir?

    Cavab variantları

    Düzdür! Bu, Ox-a nəzərən əksetmədir: ordinatların fərqinin yalnız işarəsi dəyişir, kvadratı yox.

    Yox. İki nöqtə götür və surətləri arasındakı məsafəni hesabla — o, ilkin məsafəyə bərabər olmalıdır.

    Həllə bax

    (2x; 2y) hər məsafəni 2 dəfə artırır, (x; 3y) şaquli məsafələri 3 dəfə artırır, (|x|; y) isə (−1; 0) və (1; 0) nöqtələrini eyni nöqtəyə aparır: 2 olan məsafə 0 olur. Yalnız (x; −y) hər məsafəni saxlayır.

  2. Asan

    Tərəfləri 5 sm, 8 sm və 11 sm olan üçbucaq hərəkətlə çevrilir. Surətin perimetri neçədir?

    Cavab variantları

    Əla! Hər tərəf bərabər parçaya çevrilir.

    Yox. Hərəkətin növündən asılı olmayaraq, məsafələr dəyişmir.

    Həllə bax

    Hərəkətdə üçbucaq konqruyent üçbucağa çevrilir, tərəflər yenə 5, 8 və 11 sm-dir: 5 + 8 + 11 = 24 sm.

  3. Orta

    (8; 3) nöqtəsi əvvəl y = x düz xəttinə, sonra Ox oxuna nəzərən əks etdirilir. Hansı nöqtə alınır?

    Cavab variantları

    Düzdür! Əvvəl koordinatlar yerini dəyişir, sonra ordinatın işarəsi.

    Yox. Əksetmələri verilən sıra ilə, bir-bir et.

    Həllə bax

    y = x: (8; 3) → (3; 8). Ox: (3; 8) → (3; −8). (−3; 8) əks sıranın nəticəsidir, (8; −3) və (3; 8) isə yalnız bir əksetmədir.

  4. Orta

    Hərəkət 72°-li ∠ABC-ni ∠A′B′C′-yə çevirir. ∠ABC-nin BD tənböləni nəyə çevrilir?

    Cavab variantları

    Əla! Şüa şüaya, bucaqlar bərabər bucaqlara çevrilir.

    Yox. Hərəkətdə şüa şüaya çevrilir və hər bucaq saxlanır — ∠ABD və ∠DBC-yə bax.

    Həllə bax

    BD şüası B′D′ şüasına çevrilir. ∠ABD = ∠DBC = 36° bucaqları bərabər bucaqlara keçir: ∠A′B′D′ = ∠D′B′C′ = 36°. Deməli, B′D′ ∠A′B′C′-nin tənbölənidir.

  5. Çətin

    ABC və A′B′C′ üçbucaqları konqruyentdir (AB = A′B′, BC = B′C′, AC = A′C′), amma A → B → C saat əqrəbi istiqamətində, A′ → B′ → C′ isə əks istiqamətdə dolanır. Hansı hərəkət ABC-ni A′B′C′-yə çevirə bilər?

    Cavab variantları

    Düzdür! Dolanma istiqamətini yalnız əksetmə dəyişir.

    Yox. Hansı hərəkətin dolanma istiqamətini dəyişdiyini düşün; güzgü fiqurlar da konqruyentdir.

    Həllə bax

    Üç tərəf bərabərdir, deməli üçbucaqlar konqruyentdir və onları hərəkətlə üst-üstə salmaq olar. Paralel köçürmə və dönmə dolanma istiqamətini saxlayır, ona görə hərəkətdə əksetmə olmalıdır (məsələn, köçürmə və dönmədən sonra əksetmə).

  6. Çətin

    A və B nöqtələri m düz xəttinin bir tərəfindədir: A m-dən 2 sm, B 6 sm uzaqdadır, onların m-ə endirilmiş perpendikulyarlarının oturacaqları arası 12 sm-dir. m üzərindəki C nöqtəsi üçün AC + CB ən kiçikdir. C A-nın oturacağından neçə sm uzaqdadır?

    Cavab variantları

    Əla! C A′B parçasının m ilə kəsişməsidir.

    Yox. A-nı m-ə nəzərən əks etdir və A′-nü B ilə birləşdir.

    Həllə bax

    m-i Ox, A-nın oturacağını O götürək: A(0; 2), B(12; 6), A′(0; −2). A′B düz xətti: y = 23 / x − 2, y = 0 olanda x = 3. 6 sm orta nöqtədir, 9 sm nisbəti tərsinə götürməkdir, 0 isə C-ni A-nın altına qoymaqdır.

Xülasə

Yadda qalanlar

  • A′B′ = ABHərəkət istənilən iki nöqtə arasındakı məsafəni saxlayır: paralel köçürmə, mərkəzi simmetriya, əksetmə, dönmə və onların ardıcıllığı.
  • parça → parçaHərəkətdə üçbucaq konqruyent üçbucağa, düz xətt düz xəttə, şüa şüaya, bucaq bərabər bucağa çevrilir; əksetmə də hərəkətdir.
  • konqruyent ⇔ hərəkətKonqruyent fiqurlar biri digərinə hərəkətlə çevrilən fiqurlardır; düz xəttə qədər ən qısa yolu əksetmə verir.

Növbəti mövzu: 4.63 Ədədi ardıcıllıq