• 4.34
  • 9-cu sinif
  • Tənliklər sistemi

Bir tənliyi birdərəcəli, digəri ikidərəcəli olan sistem

Rabitə qülləsi ətrafa 5 km radiusda siqnal verir. Düz yol bu zonaya harada girir, harada çıxır? Xəritədə zonanın sərhədi çevrədir, yol isə düz xətt: cavab onların kəsişmə nöqtələridir — (−3; −4) və (4; 3).

Bu dərsdə

  • iki qrafikin ortaq nöqtəsinin niyə sistemin həlli olduğunu izah edəcəksən;
  • sistemi qrafik üsulla həll edəcəksən: qrafikləri eyni koordinat müstəvisində quracaq, kəsişmə nöqtələrini oxuyacaq və yerinə yazmaqla yoxlayacaqsan;
  • düz xəttin parabola, çevrə və hiperbola ilə qarşılıqlı vəziyyətinə görə həllərin sayını şəkildən deyəcəksən.
Rabitə zonası və yol: sistemin iki həlliXəritə şəbəkəsində mərkəzi qüllədə olan, radiusu 5 km olan çevrə şəklində siqnal zonası və y = x − 1 düz xətti boyunca gedən yol. Yol zonaya (−3; −4) nöqtəsində girir, (4; 3) nöqtəsində çıxır. Altdakı kartda x² + y² = 25 və y = x − 1 sistemi və onun 2 həlli.5 km(−3; −4)(4; 3)x² + y² = 25y = x − 1→2 həll
  1. Ortaq nöqtə
  2. Qrafik üsul
  3. Laboratoriya
  4. Hesabla
  5. Diqqət
  6. Həyatda
  7. Özünü yoxla

1 · Kəşf et

Həll hər iki qrafikdə olmalıdır

Yadına sal: ikidəyişənli tənliyin qrafiki onu ödəyən bütün (x; y) cütlərinə uyğun nöqtələrdən ibarətdir. Sistemin həlli isə sistemin hər iki tənliyini eyni zamanda ödəyən cütdür.

Bu sistemə baxaq:

sistem: y = 4 − x2; y = −2x + 1

Birinci tənlik ikidərəcəlidir, qrafiki paraboladır. İkinci tənlik birdərəcəlidir, qrafiki düz xəttdir. Hər ikisini eyni koordinat müstəvisində quraq və şəkildəki beş nöqtəyə baxaq: onlardan hansılar sistemin həllidir?

Parabola y = 4 − x² və düz xətt y = −2x + 1Parabola və düz xətt (−1; 3) və (3; −5) nöqtələrində kəsişir (lime). Qırmızı nöqtələr (0; 4), (−2; 0), (0,5; 0) qrafiklərdən yalnız birinin üstündədir.xy0−4−4−2−22244y = 4 − x²y = −2x + 1(0; 4)(−2; 0)(0,5; 0)(−1; 3)(3; −5)
Qırmızı nöqtələr qrafiklərdən yalnız birinin üstündədir: parabolanın təpəsi, parabolanın Ox oxu ilə kəsişməsi və düz xəttin Ox oxu ilə kəsişməsi. Lime nöqtələr hər iki qrafikdədir.

Hər nöqtəni iki tənlikdə yerinə yazıb yoxlayaq:

Nöqtə hansı tənliyi ödəyir?
Nöqtəy = 4 − x2y = −2x + 1Həlldir?
(0; 4)4 − 0² = 4 ✓−2 · 0 + 1 = 1 ≠ 4 ✗yox
(−2; 0)4 − (−2)² = 0 ✓−2 · (−2) + 1 = 5 ≠ 0 ✗yox
(0,5; 0)4 − 0,5² = 3,75 ≠ 0 ✗−2 · 0,5 + 1 = 0 ✓yox
(−1; 3)4 − (−1)² = 3 ✓−2 · (−1) + 1 = 3 ✓bəli
(3; −5)4 − 3² = −5 ✓−2 · 3 + 1 = −5 ✓bəli

Nöqtə parabolanın üstündədirsə, birinci tənliyi ödəyir; düz xəttin üstündədirsə, ikincini. İki tənliyi birlikdə yalnız qrafiklərin ortaq nöqtələri, yəni kəsişmə nöqtələri ödəyir. Deməli, sistemin iki həlli var: (−1; 3) və (3; −5).

2 · Qayda

Qrafik üsul

Yadda saxla

«Sistemə daxil olan tənliklərin qrafiklərini eyni koordinat müstəvisində qurub, kəsişmə nöqtələrinin koordinatlarını tapmaqla sistemin həllərini (müəyyən dəqiqliklə) tapmaq olar.»

  1. Hər tənliyin qrafikini eyni koordinat müstəvisində qur.
  2. Qrafiklərin kəsişmə nöqtələrini tap və koordinatlarını (x; y) şəklində oxu: əvvəl x, sonra y.
  3. Hər nöqtəni hər iki tənlikdə yerinə yazıb yoxla: sol tərəf sağ tərəfə bərabər olmalıdır.
  4. Cavabı cütlərlə yaz. Kəsişmə nöqtəsi yoxdursa, sistemin həlli yoxdur.

Bu dərsdə hər sistemin bir tənliyi birdərəcəlidir. Onun qrafiki həmişə düz xəttdir; düz xətti qurmaq üçün iki nöqtə kifayətdir. İkinci tənlik ikidərəcəlidir və qrafiki aşağıdakı əyrilərdən biri ola bilər.

Düz xətt

y = kx + b

və ya ax + by = c — birdərəcəli tənlik.

Parabola

y = ax2 + bx + c

a > 0 olduqda qolları yuxarı, a < 0 olduqda aşağı yönəlir.

Çevrə

x2 + y2 = r2

Mərkəzi O(0; 0) nöqtəsində, radiusu r olan çevrə.

Hiperbola

xy = k

Yəni y = k/x. k > 0 olduqda qolları I və III, k < 0 olduqda II və IV rübdədir.

Niyə yoxlayırıq? Dərslik deyir: həllər «müəyyən dəqiqliklə» tapılır. Şəkil əl ilə və ya ekranda çəkilir, kəsişmə nöqtəsi isə şəbəkənin düyünündə olmaya da bilər. Yerinə yazmaq oxunan cütün dəqiq olub-olmadığını göstərir; dəqiq deyilsə, cavabı təqribi yazırıq.

3 · Laboratoriya

Neçə həll ola bilər?

«Qrafik üsulla həll sistemin həllərinin sayı haqqında fikir söyləmək üçün daha əlverişlidir.» Düz xəttin əyriyə nəzərən vəziyyətindən asılı olaraq həllərin sayı müxtəlif olur:

  • Düz xətt əyrini iki nöqtədə kəsir — sistemin iki həlli var.
  • Düz xətt əyriyə toxunur (əyrinin toxunanıdır) — sistemin bir həlli var.
  • Düz xəttin əyri ilə ortaq nöqtəsi yoxdur — sistemin həlli yoxdur.

Əyrini və bir-birinə paralel üç düz xəttdən birini seç. Qırıq xətlər seçilməyən xətlərdir; oxunuş sistemi, ortaq nöqtələri və həllərin sayını yazacaq.

Qrafik laboratoriyasışəbəkə: 1 vahid

İkidərəcəli tənliyin qrafiki
Düz xətt
Qrafik laboratoriyasıSeçilmiş ikidərəcəli tənliyin qrafiki (mavi), ona paralel üç düz xətt (qırıq) və seçilmiş düz xətt (narıncı); ortaq nöqtələr lime rənglə və koordinatları ilə.xy0−4−4−2−22244(−3; 3)(1; −1)(−1; −3)(−2; 1)(2; −1)(1; 2)(−2; −1)(−0,5; −4)(−1; −2)
Sistem
sistem: y = x2 + x − 3; y = −x
Vəziyyət
kəsir — iki ortaq nöqtə
Ortaq nöqtələr
(−3; 3), (1; −1)
Həllər sayı
iki həll
Sistem
sistem: y = x2 + x − 3; y = −x − 4
Vəziyyət
toxunur — bir ortaq nöqtə
Ortaq nöqtələr
(−1; −3)
Həllər sayı
bir həll
Sistem
sistem: y = x2 + x − 3; y = −x − 6
Vəziyyət
ortaq nöqtəsi yoxdur
Ortaq nöqtələr
yoxdur
Həllər sayı
həlli yoxdur
Sistem
sistem: x2 + y2 = 5; x + 2y = 0
Vəziyyət
kəsir — iki ortaq nöqtə
Ortaq nöqtələr
(−2; 1), (2; −1)
Həllər sayı
iki həll
Sistem
sistem: x2 + y2 = 5; x + 2y = 5
Vəziyyət
toxunur — bir ortaq nöqtə
Ortaq nöqtələr
(1; 2)
Həllər sayı
bir həll
Sistem
sistem: x2 + y2 = 5; x + 2y = 8
Vəziyyət
ortaq nöqtəsi yoxdur
Ortaq nöqtələr
yoxdur
Həllər sayı
həlli yoxdur
Sistem
sistem: xy = 2; y = −2x − 5
Vəziyyət
kəsir — iki ortaq nöqtə
Ortaq nöqtələr
(−2; −1), (−0,5; −4)
Həllər sayı
iki həll
Sistem
sistem: xy = 2; y = −2x − 4
Vəziyyət
toxunur — bir ortaq nöqtə
Ortaq nöqtələr
(−1; −2)
Həllər sayı
bir həll
Sistem
sistem: xy = 2; y = −2x − 3
Vəziyyət
ortaq nöqtəsi yoxdur
Ortaq nöqtələr
yoxdur
Həllər sayı
həlli yoxdur

Laboratoriyada yoxla:

  1. Parabolanı seç və 1-ci, 2-ci, 3-cü xətt arasında keç. Paralel xətt aşağı sürüşdükcə həllərin sayı necə dəyişir?
    Nə gördün?

    2 → 1 → 0. Əvvəl xətt parabolanı iki nöqtədə kəsir, sonra ona bir nöqtədə toxunur, ən sonda isə paraboladan tamamilə aşağıda qalır.

  2. Çevrəni və 1-ci xətti seç. Bu xətt çevrənin mərkəzindən keçir. Mərkəzdən keçən düz xətt çevrəni neçə nöqtədə kəsir?
    Nə gördün?

    Həmişə iki nöqtədə: xətt mərkəzdən hər iki tərəfə radius qədər gedəndə çevrə ilə görüşür. Ümumiyyətlə, çevrənin daxilindəki bir nöqtədən keçən istənilən düz xətt çevrəni iki nöqtədə kəsir.

  3. Hiperbolanı seç. 1-ci xəttin iki ortaq nöqtəsi hiperbolanın bir qolundadır, yoxsa iki qolunda?
    Nə gördün?

    Hər ikisi III rübdəki qoldadır. Bu xətlər I rübdən keçmir, ona görə I rübdəki qolla görüşmür və həllər sayını yalnız bir qol müəyyən edir.

Bir ortaq nöqtə həmişə toxunma demək deyil. Məsələn, şaquli x = 1 xətti istənilən parabolanı bir nöqtədə kəsir, üfüqi y = 4 xətti də xy = 2 hiperbolasını bir nöqtədə, (0,5; 4) nöqtəsində kəsir. Hər iki halda sistemin bir həlli var. Ona görə həllər sayını «kəsir — toxunur» sözü ilə yox, ortaq nöqtələri sayaraq deyirik.

4 · Hesabla

Qrafik üsulla həll edirik

Hər nümunədə eyni yol: qur → oxu → yoxla → yaz. Yoxlamanı dərslikdəki kimi «Sol / Sağ» cədvəli ilə aparırıq.

Nümunə 1Parabola və düz xətt

Sistemi qrafik üsulla həll edin: sistem: y = x2 − 4x; y = 3 − 2x

Nümunə 1: y = x² − 4x və y = 3 − 2xYuxarı açılan parabola (təpəsi (2; −4)) və azalan düz xətt (−1; 5) və (3; −3) nöqtələrində kəsişir. Boş dairələr (0; 0), (4; 0), (0; 3) yalnız bir qrafikin nöqtələridir.xy0−2−22244−46y = x² − 4xy = 3 − 2xtəpə(−1; 5)(3; −3)
  1. Parabola: a = 1 > 0, qolları yuxarıdır. Təpənin absisi x = 4 : 2 = 2, ordinatı 22 − 4·2 = −4: təpə (2; −4). Bir neçə nöqtə: (−1; 5), (0; 0), (1; −3), (2; −4), (3; −3), (4; 0), (5; 5).
  2. Düz xətt: iki nöqtə kifayətdir — x = 0 olduqda y = 3, x = 3 olduqda y = −3.
  3. Şəkildə qrafiklər iki nöqtədə kəsişir: (−1; 5) və (3; −3). (0; 0), (4; 0) və (0; 3) nöqtələri isə qrafiklərdən yalnız birinindir — onlar həll deyil.
  4. Yerinə yazmaqla yoxlayırıq:
    Yoxlama
    Nöqtə1-ci tənlik2-ci tənlik
    Sol: ySağ: x2 − 4xSol: ySağ: 3 − 2x
    (−1; 5)5(−1)² − 4 · (−1) = 5 ✓53 − 2 · (−1) = 5 ✓
    (3; −3)−33² − 4 · 3 = −3 ✓−33 − 2 · 3 = −3 ✓

    (−1; 5), (3; −3)

Nümunə 2Hiperbola və düz xətt

Sistemi qrafik üsulla həll edin: sistem: xy = −3; y = x − 4

Nümunə 2: xy = −3 və y = x − 4Qolları II və IV rübdə olan hiperbola və y = x − 4 düz xətti. Xətt IV rübdəki qolu (1; −3) və (3; −1) nöqtələrində kəsir, II rübdəki qolla görüşmür.xy0−4−4−2−22244IIIVxy = −3y = x − 4(1; −3)(3; −1)
  1. Hiperbola: k = −3 < 0, ona görə qolları II və IV rübdədir. Nöqtələr: (−3; 1), (−1; 3), (1; −3), (3; −1).
  2. Düz xətt: (0; −4) və (4; 0) nöqtələrindən keçir. O, II rübdən keçmir, ona görə hiperbolanın II rübdəki qolu ilə görüşmür.
  3. Xətt IV rübdəki qolu iki nöqtədə kəsir: (1; −3) və (3; −1).
  4. Yoxlama: 1·(−3) = −3 və 1 − 4 = −3; 3·(−1) = −3 və 3 − 4 = −1. Hər iki cüt hər iki tənliyi ödəyir.

    (1; −3), (3; −1)

Nümunə 3Yalnız həllərin sayı

Sistemin neçə həlli olduğunu müəyyən edin: sistem: x2 + y2 = 16; y = x − 2

Nümunə 3: x² + y² = 16 və y = x − 2Radiusu 4 olan çevrə və onun içindəki (0; −2) nöqtəsindən keçən düz xətt. Xətt çevrəni iki nöqtədə kəsir: A təqribən (3,6; 1,6), B təqribən (−1,6; −3,6).xy0−4−4−2−22244x² + y² = 16y = x − 2(0; −2)BA
  1. Çevrə: mərkəzi O(0; 0), radiusu r = 4, çünki 42 = 16.
  2. Düz xətt: (0; −2) və (4; 2) nöqtələrindən keçir. (0; −2) nöqtəsi çevrənin içindədir: mərkəzdən məsafəsi 2-dir, 4-dən kiçikdir.
  3. Çevrənin içindən keçən düz xətt onu mütləq iki nöqtədə kəsir. Şəkil də bunu göstərir.
  4. Kəsişmə nöqtələri şəbəkə düyünlərində deyil. Şəkildən təqribən A(3,6; 1,6) və B(−1,6; −3,6) oxunur. Yoxlayaq:

    çevrə: 3,62 + 1,62 = 12,96 + 2,56 = 15,52çevrə: (−1,6)2 + (−3,6)2 = 15,52düz xətt: 3,6 − 2 = 1,6, −1,6 − 2 = −3,6

    Bu cütlər düz xətti ödəyir, çevrəni isə yalnız təqribən (15,52 ≈ 16): oxunuş təqribidir.

    iki həll var

Nümunə 3-də sual yalnız həllərin sayıdır — qrafik üsul onu dəqiq verir, koordinatları isə təqribən. Kəsişmə nöqtələrinin dəqiq koordinatlarını cəbri üsullarla tapacağıq (4.35).

5 · Diqqət

Dörd tipik səhv

Yeri dəyişmiş cüt

(−5; 3)

1-ci mərhələdəki sistemin (3; −5) həlli tərsinə yazılıb: əvvəl y oxunub. Yoxla: 4 − (−5)2 = −21, 3 deyil.

Düzgün

(3; −5)

Cütdə həmişə əvvəl absis x, sonra ordinat y yazılır.

Oxla kəsişmə nöqtəsi

(−2; 0)

Bu, parabolanın Ox oxu ilə kəsişməsidir; düz xətti ödəmir: −2·(−2) + 1 = 5, 0 deyil.

Düzgün

yalnız ortaq nöqtələr

Təpə və oxlarla kəsişmə nöqtələri yalnız bir qrafikə aiddir, həll deyil.

Toxunanı iki saymaq

2 həll

«Xətt parabolanın iki tərəfinə dəyir» düşüncəsi: y = −x − 4 və y = x2 + x − 3.

Düzgün

1 həll: (−1; −3)

Toxunanın əyri ilə yalnız bir ortaq nöqtəsi var.

Təqribi oxunuş dəqiq kimi

(3,6; 1,6) — dəqiq həll

Nümunə 3: 3,62 + 1,62 = 15,52, 16 deyil.

Düzgün

≈ (3,6; 1,6)

Yoxlama tam ödənmirsə, cavab təqribidir; bunu «≈» ilə göstər.

6 · Həyatda

Yük maşını tuneldən keçərmi?

Tunelin tağı parabola şəklindədir. Koordinat başlanğıcını yolun ortasında götürsək (vahid — metr), tağın tənliyi y = 5 − 0,2x2 olur: ən hündür yeri 5 m, yolda eni 10 m. Hündürlüyü 3,2 m, eni 2,5 m olan yük maşını tunelin ortası ilə keçə bilərmi?

Tunel tağı və yük maşınıKərpic divarda y = 5 − 0,2x² parabolası şəklində tağ (yolda eni 10 m, hündürlüyü 5 m), ortada eni 2,5 m, hündürlüyü 3,2 m olan yük maşını. y = 3,2 qırıq xətti tağı A(−3; 3,2) və B(3; 3,2) nöqtələrində kəsir; bu hündürlükdə tunelin eni 6 m.2,5 m6 m3,2 mABy = 5 − 0,2x²y = 3,2
Narıncı qırıq xətt y = 3,2 maşının üst səviyyəsidir. O, tağı A və B nöqtələrində kəsir; aralarındakı məsafə bu hündürlükdə tunelin enidir.

Maşının üst kənarı y = 3,2 düz xətti üzərindədir. Sistemə baxırıq:

sistem: y = 5 − 0,2x2; y = 3,2

Qrafiklər (−3; 3,2) və (3; 3,2) nöqtələrində kəsişir. Yoxlama: 5 − 0,2·32 = 5 − 1,8 = 3,2; x = −3 üçün də eynidir, çünki (−3)2 = 9.

Deməli, 3,2 m hündürlükdə tunelin eni 3 − (−3) = 6 m-dir. Maşının eni 2,5 m < 6 m — maşın ortadan keçər, hər tərəfdə 1,75 m ehtiyat qalır.

Şərti nümunədir: tunelin və maşının ölçüləri bu dərs üçün seçilib.

7 · Özünü yoxla

Bacarığını sına

Cavabı seç — düzgün olanda yaşıl, səhv olanda qırmızı işıqlanacaq. Həllinə də baxa bilərsən.

  1. Asan

    sistem: y = x2 + 2; y = 4 − x sisteminin qrafikləri iki nöqtədə kəsişir. Hansı cavab sistemin bütün həllərini göstərir?

    Cavab variantları

    Düzdür! Hər iki cüt hər iki tənliyi ödəyir.

    Yox. Cütdə əvvəl x yazılır və iki kəsişmə nöqtəsi iki həll verir.

    Həllə bax

    (−2)2 + 2 = 6 və 4 − (−2) = 6; 12 + 2 = 3 və 4 − 1 = 3 — hər iki cüt hər iki tənliyi ödəyir. (6; −2) və (3; 1) cütlərində koordinatların yeri dəyişib: məsələn, 32 + 2 = 11, 1 deyil. «Yalnız (1; 3)» cavabında ikinci kəsişmə nöqtəsi unudulub.

  2. Asan

    Sistemin düz xətti parabolaya toxunur. Sistemin neçə həlli var?

    Cavab variantları

    Əla! Toxunanın parabola ilə bir ortaq nöqtəsi var.

    Yox. Toxunma nöqtəsi bir nöqtədir və o, hər iki qrafikdədir.

    Həllə bax

    Toxunan əyri ilə yalnız bir ortaq nöqtəyə malikdir. Bu nöqtə hər iki tənliyi ödəyir, ona görə sistemin bir həlli var.

  3. Orta

    (−2; 5) cütü sistem: x2 + y2 = 29; y = −2x − 1 sisteminin həllidirmi?

    Cavab variantları

    Düzdür! Nöqtə çevrənin üstündədir, düz xəttin üstündə deyil.

    Hər iki tənliyi ayrıca yoxla: biri ödənir, digəri yox.

    Həllə bax

    Birinci tənlik: (−2)2 + 52 = 4 + 25 = 29 — ödənir. İkinci tənlik: −2·(−2) − 1 = 3, 5 deyil — ödənmir. Cüt yalnız bir tənliyi ödədiyi üçün sistemin həlli deyil. Diqqət: işarələri dəyişmiş (2; −5) cütü isə hər iki tənliyi ödəyir: 4 + 25 = 29, −2·2 − 1 = −5.

  4. Orta

    sistem: xy = 5; y = −x sisteminin neçə həlli var?

    Cavab variantları

    Əla! Qollar I və III rübdədir, düz xətt isə II və IV rübdən keçir.

    Rüblərə bax: k = 5 > 0 olduqda qollar hansı rüblərdədir, y = −x hansı rüblərdən keçir?

    Həllə bax

    k = 5 > 0, ona görə hiperbolanın qolları I və III rübdədir: orada x və y eyni işarəlidir. y = −x düz xətti II və IV rübdən (və O nöqtəsindən) keçir: orada x və y müxtəlif işarəlidir, hasil isə mənfi və ya sıfırdır. Ortaq nöqtə yoxdur — sistemin həlli yoxdur.

  5. Çətin

    Hansı düz xəttin y = (x − 1)2 parabolası ilə iki ortaq nöqtəsi var?

    Cavab variantları

    Düzdür! Təpədən yuxarıdakı üfüqi xətt yuxarı açılan parabolanı iki nöqtədə kəsir.

    Təpəyə bax: (1; 0). Təpədən keçən üfüqi xətt toxunandır, ondan aşağıdakı xəttin ortaq nöqtəsi yoxdur.

    Həllə bax

    Parabolanın təpəsi (1; 0), qolları yuxarıdır. y = 0 təpədən keçir — toxunandır, bir ortaq nöqtə. y = −3 təpədən aşağıdadır — ortaq nöqtə yoxdur. y = 4 təpədən yuxarıdadır — iki nöqtədə kəsir: (−1; 4) və (3; 4); yoxlama: (−1 − 1)2 = 4, (3 − 1)2 = 4.

  6. Çətin

    sistem: x2 + y2 = 50; y = −x sisteminin həlləri hansılardır?

    Cavab variantları

    Əla! Mərkəzdən keçən xətt çevrəni iki qarşı nöqtədə kəsir.

    Düz xətt çevrənin mərkəzindən keçir — neçə ortaq nöqtə olmalıdır? Hər cütü y = −x-də də yoxla.

    Həllə bax

    y = −x çevrənin mərkəzindən keçir, ona görə çevrəni iki qarşı nöqtədə kəsir. (5; −5): 25 + 25 = 50 və −5 = −5 ✓; (−5; 5): 25 + 25 = 50 və 5 = −(−5) ✓. (5; 5) çevrədədir, amma y = −x-i ödəmir: 5 ≠ −5.

Xülasə

Yadda qalanlar

  • Həll = ortaq nöqtəSistemin hər həlli iki qrafikin kəsişmə nöqtəsidir və (x; y) cütü kimi yazılır.
  • Qur → oxu → yoxlaŞəkildən oxunan koordinatlar təqribi ola bilər; cütü hər iki tənlikdə yerinə yazıb yoxla.
  • İki, bir və ya heç biriDüz xətt əyrini iki nöqtədə kəsir — iki həll; toxunur — bir həll; ortaq nöqtə yoxdur — həll yoxdur.

Növbəti mövzu: 4.35 Tənliklər sisteminin cəbri üsulla həlli