• 4.7
  • 9-cu sinif
  • n-ci dərəcədən kök

Vuruğun kök işarəsi altından çıxarılması

Radiusu 5 sm olan iki eyni plastilin topu yoğurub bir top düzəldirik. Yeni topun radiusu 10 sm olarmı? Xeyr: həcm radiusun kubu ilə artır, ona görə radius kub kök altında 53 + 53 (kökün sonu) = kub kök altında 250 (kökün sonu) olur. Kalkulyator 6,2996… göstərir, cavab vərəqində isə 5 · kub kök altında 2 (kökün sonu) ≈ 6,3 sm yazılıb — bu dərs onların niyə eyni ədəd olduğunu göstərir.

Bu dərsdə

  • kökaltıda kökün üstünə uyğun ən böyük qüvvəti tapıb vuruğu kök işarəsi altından çıxaracaqsan;
  • dəyişənli köklərdə cüt dərəcədə modulu və işarəni, ifadənin mümkün qiymətlərini nəzərə alacaqsan;
  • vuruğu çıxardıqdan sonra oxşar kökləri toplayıb-çıxacaq, nəticəni qüvvətə yüksəltməklə yoxlayacaqsan.
İki top bir topa yoğrulur: yeni radius 10 sm deyil, ∛250 = 5 · ∛2 ≈ 6,3 smSolda radiusu 5 sm olan iki eyni plastilin top. Ox: yoğur. Sağda onlardan düzəldilən bir top; radiusu miqyasla kiçik topun radiusunun ∛2 dəfəsidir, təxminən 6,3 sm. Onu əhatə edən qırıq qırmızı çevrə radiusu 10 sm olan topu göstərir — o, çox böyükdür. Altda kart: r = ∛250 = 5 · ∛2 ≈ 6,3 sm.5 sm5 sm+yoğur6,3 sm10 sm? ✗r = 3250 = 5 · 32 ≈ 6,3 sm
  1. Kəşf et
  2. Qayda
  3. Laboratoriya
  4. Ən böyük vuruq
  5. Dəyişənlər
  6. İşarə və DMQ
  7. Oxşar köklər
  8. Diqqət
  9. Həyatda
  10. Özünü yoxla

1 · Kəşf et

İki yazılış — bir ədəd

kub kök altında 250 (kökün sonu) və 5 · kub kök altında 2 (kökün sonu): kalkulyator ikisi üçün də 6,2996… göstərir. Amma kalkulyator yalnız ilk rəqəmləri görür. Bərabərliyi dəqiq yoxlamağın iki yolu var.

Tərifə görə

(5 · kub kök altında 2 (kökün sonu))3 = 53 · (kub kök altında 2 (kökün sonu))3 = 125 · 2 = 250. Deməli, 5 · kub kök altında 2 (kökün sonu) kubu 250 olan ədəddir, yəni kub kök altında 250 (kökün sonu)-dür.

Xassələrlə

kub kök altında 250 (kökün sonu) = kub kök altında 125 · 2 (kökün sonu) = kub kök altında 125 (kökün sonu) · kub kök altında 2 (kökün sonu) = 5 · kub kök altında 2 (kökün sonu).

Hasilin kökü (4.6) və 125 = 5³.

Sirr 250-ni necə vuruqlara ayırmaqdadır: bir vuruq — 125 = 53 — kub ədəddir. Onun kub kökü tam ədəddir (5) və kök işarəsinin qarşısına keçir; o biri vuruq (2) kub deyil və kök altında qalır. Bu çevirməyə vuruğun kök işarəsi altından çıxarılması deyilir.

2 · Qayda

Vuruq kökdən niyə çıxır?

Yadda saxla

Dərslik: «Vuruğun kök işarəsi altından çıxarılmasında kökün xassələri və n cüt ədəd olduqda n-ci dərəcədən kök altında an (kökün sonu) = |a|, n tək ədəd olduqda n-ci dərəcədən kök altında an (kökün sonu) = a düsturları tətbiq edilir.»

n-ci dərəcədən kök altında an · b (kökün sonu) = a · n-ci dərəcədən kök altında b (kökün sonu)a ≥ 0, b ≥ 0, n ≥ 2 natural ədəd

Niyə doğrudur? İki addım, ikisi də keçən dərslərdəndir:

  1. Hasilin kökü (4.6): n-ci dərəcədən kök altında an · b (kökün sonu) = n-ci dərəcədən kök altında an (kökün sonu) · n-ci dərəcədən kök altında b (kökün sonu).
  2. Qüvvətin kökü (4.5): a ≥ 0 olduqda n-ci dərəcədən kök altında an (kökün sonu) = a.
  3. Yoxlama tərifə görə: (a · n-ci dərəcədən kök altında b (kökün sonu))n = an · b və a · n-ci dərəcədən kök altında b (kökün sonu) ≥ 0.
Vuruğun kök işarəsi altından çıxarılması: n-ci qüvvət çıxır, qalan vuruq qalırYuxarıda n-ci dərəcədən kök, altında a üstü n vurulsun b; a üstü n narıncı, b mavi. Aşağıda: bərabərdir a vurulsun n-ci dərəcədən kök b; a yaşıl, b mavi. Narıncı a üstü n-dən aşağıdakı yaşıl a-ya ox çəkilib: kökdən çıxır. b-nin altında: qalır.nan · bn-ci qüvvət= a · nbçıxırqalır
Narıncı — kökün üstünə bərabər qüvvət, yaşıl — kökdən çıxan vuruq, mavi — kök altında qalan vuruq. Bu rənglər dərsin hər yerində eynidir.

Kökaltıda kökün üstünə bərabər qüvvət vuruğu qalmayana qədər çıxarırıq — bu, kökün sadə şəklidir. Əmsalla kökün arasına nöqtə qoyuruq: 5 · kub kök altında 2 (kökün sonu). Dərslik 5∛2 yazır; nöqtə yalnız kökün üstünün əmsalın qüvvəti kimi oxunmaması üçündür.

Mənfi ədədlər üçün düsturun hansı forması işləyir (|a| yoxsa a) — 6-cı mərhələdə.

3 · Laboratoriya

Sadə vuruq ələyi

1944-ü sadə vuruqlara ayıraq: 1944 = 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3. Kökün üstü n olduqda n dənə eyni vuruq bir n-ci qüvvət yaradır və kökdən bir vuruq kimi çıxır. Kökün üstünü seç, sonra Başla düyməsinə bas.

Kökün üstü
Sadə vuruq ələyi: 1944-ün vuruqları kökün üstü qədər qruplara bölünürKök işarəsi altında 1944-ün səkkiz sadə vuruğu: üç dənə 2 və beş dənə 3. Seçilmiş kökün üstü qədər eyni vuruq narıncı çərçivəyə alınır; hər çərçivədən yuxarı ox çıxır və kökün qarşısına bir yaşıl vuruq qalxır. Qrupa düşməyən mavi vuruqlar kök altında qalır. Altda nəticə kartı. Seçimə uyğun ədədlər şəklin altındakı oxunuşda da yazılıb.22333323233kökdən çıxırçıxan: 2 · 3 · 3 = 18qalan: 2 · 3 = 61944 = 18 · 632223333323kökdən çıxırçıxan: 2 · 3 = 6qalan: 3 · 3 = 931944 = 6 · 394333322233kökdən çıxırçıxan: 3qalan: 2 · 2 · 2 · 3 = 2441944 = 3 · 424

Cütlər: üç tam cüt (2·2, 3·3, 3·3) — hər biri kökdən bir vuruq: 2 · 3 · 3 = 18; tək qalan 2 və 3 kök altında. kvadrat kök altında 1944 (kökün sonu) = 18 · kvadrat kök altında 6 (kökün sonu). Yoxlama: 182 · 6 = 324 · 6 = 1944.

Üçlər: iki tam üçlük (2·2·2, 3·3·3) — kökdən 2 · 3 = 6; iki 3 kök altında qalır. kub kök altında 1944 (kökün sonu) = 6 · kub kök altında 9 (kökün sonu). Yoxlama: 63 · 9 = 216 · 9 = 1944.

Dördlər: yalnız bir tam dördlük (3·3·3·3) — kökdən 3; üç dənə 2 dördlük yaratmır, 2 · 2 · 2 · 3 = 24 kök altında qalır. 4-cü dərəcədən kök altında 1944 (kökün sonu) = 3 · 4-cü dərəcədən kök altında 24 (kökün sonu). Yoxlama: 34 · 24 = 81 · 24 = 1944.

Narıncı çərçivə — kökün üstü qədər eyni vuruq; hər çərçivədən yuxarı bir yaşıl vuruq çıxır. Mavi vuruqlar tam qrup yaratmır və kök altında qalır.

Kökün üstü böyüdükcə qrup böyüyür və kökdən daha az vuruq çıxır. Kök altında qalan hər sadə vuruq n-dən az dəfə təkrarlanır — çıxarılış ona görə tamdır.

4 · Hesabla

Ən böyük n-ci qüvvət vuruğu

Kökaltını sadə vuruqlara ayırmaq həmişə işləyir. Ədəd tanışdırsa, daha qısa yol: kökaltının bölündüyü ən böyük n-ci qüvvəti axtar. Bu cədvəl köməkdir:

Natural ədədlərin 3-cü, 4-cü və 5-ci qüvvətləri
kk3k4k5
281632
32781243
4642561024
51256253125
621612967776
10100010 000100 000
Nümunə 1İki yol

Vuruğu kök işarəsi altından çıxarın: kub kök altında 1080 (kökün sonu)

  1. Kiçik kubla başlasaq: 1080 = 8 · 135, kub kök altında 1080 (kökün sonu) = 2 · kub kök altında 135 (kökün sonu). Amma 135 = 27 · 5 — kök altında yenə kub var: 2 · kub kök altında 135 (kökün sonu) = 2 · 3 · kub kök altında 5 (kökün sonu) = 6 · kub kök altında 5 (kökün sonu).
  2. Ən böyük kubla bir addımda: 1080 = 216 · 5, 216 = 63, kub kök altında 1080 (kökün sonu) = 6 · kub kök altında 5 (kökün sonu).
  3. Yoxlama: 63 · 5 = 216 · 5 = 1080; 5-də kub vuruq yoxdur.

    kub kök altında 1080 (kökün sonu) = 6 · kub kök altında 5 (kökün sonu)

Nümunə 24-cü dərəcə

Sadələşdirin: 4-cü dərəcədən kök altında 1280 (kökün sonu)

  1. 4-cü qüvvətlər: 16, 81, 256, 625… 1280 : 256 = 5, deməli 1280 = 256 · 5 və 256 = 44.
  2. 4-cü dərəcədən kök altında 1280 (kökün sonu) = 4-cü dərəcədən kök altında 256 (kökün sonu) · 4-cü dərəcədən kök altında 5 (kökün sonu) = 4 · 4-cü dərəcədən kök altında 5 (kökün sonu).
  3. Yoxlama: 44 · 5 = 256 · 5 = 1280.

    4-cü dərəcədən kök altında 1280 (kökün sonu) = 4 · 4-cü dərəcədən kök altında 5 (kökün sonu)

Nümunə 3Mənfi kökaltı

Sadələşdirin: kub kök altında −686 (kökün sonu)

  1. Kökün üstü təkdir, mənfi ədədin kub kökü var: kub kök altında −686 (kökün sonu) = −kub kök altında 686 (kökün sonu).
  2. 686 = 343 · 2, 343 = 73: kub kök altında 686 (kökün sonu) = 7 · kub kök altında 2 (kökün sonu).
  3. Yoxlama: (−7)3 · 2 = −343 · 2 = −686.

    kub kök altında −686 (kökün sonu) = −7 · kub kök altında 2 (kökün sonu)

5-ci dərəcədən kök altında 224 (kökün sonu)

224 = 32 · 7, 32 = 25:

5-ci dərəcədən kök altında 224 (kökün sonu) = 2 · 5-ci dərəcədən kök altında 7 (kökün sonu).

kub kök altında 4027 /  (kökün sonu)

Nisbətin kökü (4.6), sonra surət:

kub kök altında 4027 /  (kökün sonu) = kub kök altında 40 (kökün sonu)kub kök altında 27 (kökün sonu) /  = 2 · kub kök altında 5 (kökün sonu)3 / .

5 · Hesabla

Dəyişənli kökaltı

Bu mərhələdə dəyişənlər müsbətdir. Qüvvətin üstünü kökün üstünə qalıqla bölürük: k = n · q + r. Onda xk = (xq)n · xr: kökdən xq çıxır, xr qalır.

Kök altındaBölməNəticə
kub kök altında x7 (kökün sonu)7 = 3 · 2 + 1x2 · kub kök altında x (kökün sonu)
4-cü dərəcədən kök altında x9 (kökün sonu)9 = 4 · 2 + 1x2 · 4-cü dərəcədən kök altında x (kökün sonu)
5-ci dərəcədən kök altında x12 (kökün sonu)12 = 5 · 2 + 2x2 · 5-ci dərəcədən kök altında x2 (kökün sonu)
Nümunə 4İki dəyişən

m > 0, n > 0. Sadələşdirin: kub kök altında 120m8n4 (kökün sonu)

  1. Ədəd: 120 = 8 · 15, 8 = 23.
  2. Hərflər: 8 = 3 · 2 + 2 ⇒ m8 = (m2)3 · m2; 4 = 3 · 1 + 1 ⇒ n4 = n3 · n.
  3. kub kök altında 120m8n4 (kökün sonu) = kub kök altında 8m6n3 (kökün sonu) · kub kök altında 15m2n (kökün sonu).
  4. Yoxlama: (2m2n)3 · 15m2n = 8m6n3 · 15m2n = 120m8n4.

    kub kök altında 120m8n4 (kökün sonu) = 2m2n · kub kök altında 15m2n (kökün sonu)

Tək dərəcədə işarə şərti lazım deyil

Kub kök istənilən ədəddən alınır və kub kök altında a3 (kökün sonu) = a hər a üçün doğrudur. Ona görə istənilən p üçün:

kub kök altında −16p7 (kökün sonu) = kub kök altında (−8p6) · 2p (kökün sonu) = −2p2 · kub kök altında 2p (kökün sonu).

−8p6 = (−2p2)3, modul yazılmır.

6 · Qayda

Cüt dərəcə: modul, işarə və DMQ

Dəyişən mənfi ola bilərsə, n-ci dərəcədən kök altında an (kökün sonu) düsturunun hansı formasını işlətdiyimiz vacibdir.

n cüt

n-ci dərəcədən kök altında an (kökün sonu) = |a|. Çıxan vuruğu modulla yazırıq, sonra şərtə görə açırıq: a < 0 ⇒ |a| = −a.

n tək

n-ci dərəcədən kök altında an (kökün sonu) = a. Modul yoxdur, işarə öz-özünə qalır.

Nümunə 5Mənfi dəyişən

m < 0. Sadələşdirin: 4-cü dərəcədən kök altında 1875m4 (kökün sonu)

  1. 1875 = 625 · 3, 625 = 54: 4-cü dərəcədən kök altında 1875m4 (kökün sonu) = 4-cü dərəcədən kök altında 625 (kökün sonu) · 4-cü dərəcədən kök altında m4 (kökün sonu) · 4-cü dərəcədən kök altında 3 (kökün sonu).
  2. Kökün üstü cütdür: 4-cü dərəcədən kök altında m4 (kökün sonu) = |m|, yəni 5|m| · 4-cü dərəcədən kök altında 3 (kökün sonu).
  3. m < 0 ⇒ |m| = −m.

    4-cü dərəcədən kök altında 1875m4 (kökün sonu) = −5m · 4-cü dərəcədən kök altında 3 (kökün sonu)

m = −2 ilə yoxlama: kök müsbətdir, ona görə −5m · ⁴√3 düzdürYuxarıda: m = −2 olduqda ⁴√30000 = 10 · ⁴√3 ≈ 13,16. Ədəd oxunda −15-dən 15-ə qədər. Qırmızı nöqtə −13,16-da: 5m · ⁴√3 — mənfi çıxır, kök isə mənfi ola bilməz. Qövs onu 0-a görə simmetrik nöqtəyə, +13,16-ya köçürür: yaşıl nöqtə −5m · ⁴√3. Altda: |m| = −m.m = −2 olduqda kökaltı 1875 · 16:430000 = 10 · 43 ≈ 13,16−15−10−50510155m · 43 ✗−5m · 43 ✓|m| = −m, çünki m < 0
m = −2 ilə yoxlama: kök mənfi ola bilməz, ona görə «5m · 4-cü dərəcədən kök altında 3 (kökün sonu)» səhvdir; «−5m · 4-cü dərəcədən kök altında 3 (kökün sonu)» düz ədədi verir.

Mənfi işarə kökün qarşısındakı dəyişənlə birlikdə gəlir: −5m müsbət ədəddir, çünki m < 0. Çıxan qüvvət cütdürsə (x2, x4…), modul lazım deyil: |x2| = x2.

Nümunə 6İki mənfi dəyişən

a < 0, b < 0. Sadələşdirin: 4-cü dərəcədən kök altında 768a4b6 (kökün sonu)

  1. 768 = 256 · 3 = 44 · 3; b6 = b4 · b2.
  2. 4-cü dərəcədən kök altında 768a4b6 (kökün sonu) = 4|a||b| · 4-cü dərəcədən kök altında 3b2 (kökün sonu).
  3. |a| = −a, |b| = −b, hasil: (−a)(−b) = ab.

    4-cü dərəcədən kök altında 768a4b6 (kökün sonu) = 4ab · 4-cü dərəcədən kök altında 3b2 (kökün sonu)

İfadənin mənalı olduğu qiymətlər (DMQ)

Cüt dərəcəli kök yalnız kökaltı mənfi olmadıqda mənalıdır. Ona görə sadələşdirmədən əvvəl dəyişənin mümkün qiymətlərini (DMQ) yazırıq — onlar modulun necə açılacağını da deyir.

İfadəDMQSadə şəkil
4-cü dərəcədən kök altında 7x6 (kökün sonu)x — istənilən (x6 ≥ 0)|x| · 4-cü dərəcədən kök altında 7x2 (kökün sonu)
6-cı dərəcədən kök altında 5x7 (kökün sonu)x ≥ 0 (x7 ≥ 0)x · 6-cı dərəcədən kök altında 5x (kökün sonu)
kub kök altında 3x5 (kökün sonu)x — istənilən (tək dərəcə)x · kub kök altında 3x2 (kökün sonu)

İkinci sətirdə modul yazmırıq: DMQ-da x ≥ 0, yəni |x| = x.

7 · Hesabla

Oxşar köklər

Kökün üstü və kökaltısı eyni olan köklər oxşar köklərdir (8-ci sinifdə kvadrat köklər üçün gördüyün kimi). Onları toplamaq üçün ortaq vuruğu mötərizə xaricinə çıxarırıq: 5 · kub kök altında 19 (kökün sonu) − 3 · kub kök altında 19 (kökün sonu) = (5 − 3) · kub kök altında 19 (kökün sonu). Çox vaxt oxşarlıq yalnız vuruğu kökdən çıxardıqdan sonra görünür.

Nümunə 7Ədədi

Sadələşdirin: kub kök altında 2375 (kökün sonu) − kub kök altında 513 (kökün sonu) + kub kök altında −1216 (kökün sonu)

  1. 2375 = 125 · 19, 513 = 27 · 19, −1216 = −64 · 19.
  2. 5 · kub kök altında 19 (kökün sonu) − 3 · kub kök altında 19 (kökün sonu) − 4 · kub kök altında 19 (kökün sonu).
  3. (5 − 3 − 4) · kub kök altında 19 (kökün sonu) = −2 · kub kök altında 19 (kökün sonu).

    −2 · kub kök altında 19 (kökün sonu)

Nümunə 8Dəyişənli

y > 0. Sadələşdirin: 4-cü dərəcədən kök altında 16y5 (kökün sonu) + y · 4-cü dərəcədən kök altında 625y (kökün sonu) − 4-cü dərəcədən kök altında y5 (kökün sonu)

  1. 4-cü dərəcədən kök altında 16y5 (kökün sonu) = 2y · 4-cü dərəcədən kök altında y (kökün sonu); y · 4-cü dərəcədən kök altında 625y (kökün sonu) = 5y · 4-cü dərəcədən kök altında y (kökün sonu); 4-cü dərəcədən kök altında y5 (kökün sonu) = y · 4-cü dərəcədən kök altında y (kökün sonu).
  2. (2 + 5 − 1) · y · 4-cü dərəcədən kök altında y (kökün sonu) = 6y · 4-cü dərəcədən kök altında y (kökün sonu).

    6y · 4-cü dərəcədən kök altında y (kökün sonu)

kub kök altında 2 (kökün sonu) və kub kök altında 6 (kökün sonu) oxşar deyil — kökaltıları fərqlidir və heç birindən vuruq çıxmır, cəm belə qalır: kub kök altında 2 (kökün sonu) + kub kök altında 6 (kökün sonu).

Hook-a qayıdaq. İki top: kub kök altında 250 (kökün sonu) = 5 · kub kök altında 2 (kökün sonu) ≈ 6,3 sm. Radius 10 sm olsun deyə kub kök altında 1000 (kökün sonu) = 10 lazımdır, yəni 1000 = 8 · 125 — səkkiz top.

8 · Diqqət

Altı tipik səhv

Səhv

kub kök altında 432 (kökün sonu) = 12 · kub kök altında 3 (kökün sonu)

Kvadrat kök vərdişi: 432 = 144 · 3 yazılıb və 144-dən kvadrat kök alınıb. Kub kökdə kub vuruq lazımdır.

Düzgün

kub kök altında 432 (kökün sonu) = kub kök altında 216 · 2 (kökün sonu) = 6 · kub kök altında 2 (kökün sonu)

216 = 63.

Səhv

5-ci dərəcədən kök altında 1215 (kökün sonu) = 243 · 5-ci dərəcədən kök altında 5 (kökün sonu)

Vuruq kökdən «olduğu kimi» çıxarılıb.

Düzgün

5-ci dərəcədən kök altında 1215 (kökün sonu) = 3 · 5-ci dərəcədən kök altında 5 (kökün sonu)

Qarşıya 243 yox, onun 5-ci dərəcədən kökü çıxır: 243 = 35.

Səhv

t < 0: 4-cü dərəcədən kök altında 810t4 (kökün sonu) = 3t · 4-cü dərəcədən kök altında 10 (kökün sonu)

Sağ tərəf mənfidir, kök isə mənfi ola bilməz: |t| unudulub.

Düzgün

4-cü dərəcədən kök altında 810t4 (kökün sonu) = 3|t| · 4-cü dərəcədən kök altında 10 (kökün sonu) = −3t · 4-cü dərəcədən kök altında 10 (kökün sonu)

810 = 81 · 10; t < 0 ⇒ |t| = −t.

Səhv

kub kök altında 2 (kökün sonu) + kub kök altında 6 (kökün sonu) = kub kök altında 8 (kökün sonu) = 2

Kökaltılar toplanıb. Cəmin kökü üçün belə xassə yoxdur.

Düzgün

kub kök altında 2 (kökün sonu) + kub kök altında 6 (kökün sonu) ≈ 1,26 + 1,82 = 3,08

Oxşar olmayan köklər birləşmir.

Səhv

kub kök altında y14 (kökün sonu) = y7

Üst yarıya bölünüb — bu kvadrat kök üçün olardı.

Düzgün

kub kök altında y14 (kökün sonu) = y4 · kub kök altında y2 (kökün sonu)

14 = 3 · 4 + 2: y4 çıxır, y2 qalır.

Səhv

kub kök altında 9c3 (kökün sonu) = |c| · kub kök altında 9 (kökün sonu)

Modul tək dərəcədə yazılıb: mənfi c üçün işarə itir.

Düzgün

kub kök altında 9c3 (kökün sonu) = c · kub kök altında 9 (kökün sonu)

Tək dərəcədə kub kök altında c3 (kökün sonu) = c istənilən c üçün.

9 · Həyatda

Asteroidin orbiti

Keplerin üçüncü qanunu: planetin Günəş ətrafında dövrü T (illə) və Günəşə orta məsafəsi a (astronomik vahidlə, a.v. — Yerdən Günəşə qədər məsafə) üçün T2 = a3. Yerdə T = 1 və a = 1.

Orbitlər miqyasla: Yer 1, Yupiter 5,2, asteroid 6,35, Saturn 9,5 astronomik vahidSolda Günəş. Ondan çıxan oxda məsafələr astronomik vahidlə. Dörd orbitin qövsü eyni miqyasla: Yer 1, Yupiter 5,2, dövrü 16 il olan asteroid təxminən 6,35 (yaşıl, Yupiter ilə Saturn arasında), Saturn 9,5.Yer1Yupiter5,2asteroid6,35Saturn9,5a.v. (Günəşdən məsafə)
Məsafələr eyni miqyasla. Yupiter ≈ 5,2 a.v., Saturn ≈ 9,5 a.v.
HəyatdaDövrü 16 il

Bir asteroid Günəş ətrafında 16 ilə bir dəfə dövr edir. Onun Günəşə orta məsafəsini tapın.

  1. a3 = 162 = 256, ona görə a = kub kök altında 256 (kökün sonu).
  2. 256 = 28, 8 = 3 · 2 + 2: kub kök altında 28 (kökün sonu) = 22 · kub kök altında 22 (kökün sonu) = 4 · kub kök altında 4 (kökün sonu).
  3. kub kök altında 4 (kökün sonu) ≈ 1,587, a ≈ 6,35 a.v. — Yupiterdən uzaq, Saturndan yaxın.

    a = 4 · kub kök altında 4 (kökün sonu) ≈ 6,35 a.v.

10 · Özünü yoxla

Bacarığını sına

Cavabı seç — düzgün olanda yaşıl, səhv olanda qırmızı işıqlanacaq. Həllinə də baxa bilərsən.

  1. Asan

    Vuruğu kök işarəsi altından çıxarın: 4-cü dərəcədən kök altında 272 (kökün sonu)

    Cavab variantları

    Düzdür! 272 = 16 · 17 və 16 = 24.

    Yox. 4-cü dərəcədən kökdə 4-cü qüvvət vuruğu axtar və onun 4-cü dərəcədən kökünü çıxar.

    Həllə bax

    4-cü dərəcədən kök altında 272 (kökün sonu) = 4-cü dərəcədən kök altında 16 · 17 (kökün sonu) = 2 · 4-cü dərəcədən kök altında 17 (kökün sonu), çünki 24 = 16. 4 · 4-cü dərəcədən kök altında 17 (kökün sonu) 16-dan kvadrat kök alıb, 16 · 4-cü dərəcədən kök altında 17 (kökün sonu) vuruğu kökdən almadan çıxarıb, 17 · 4-cü dərəcədən kök altında 2 (kökün sonu) isə vuruqların yerini dəyişib.

  2. Asan

    x > 0. Sadələşdirin: kub kök altında x11 (kökün sonu)

    Cavab variantları

    Düzdür! 11 = 3 · 3 + 2.

    Yox. Üstü kökün üstünə qalıqla böl: nisbət kökdən çıxır, qalıq kök altında qalır.

    Həllə bax

    11 = 3 · 3 + 2 ⇒ x11 = (x3)3 · x2 və kub kök altında x11 (kökün sonu) = x3 · kub kök altında x2 (kökün sonu). x8 üstdən 3 çıxıb, x5 · kub kök altında x (kökün sonu) üstü yarıya bölüb, x3 · kub kök altında x (kökün sonu) qalığı səhv yazıb.

  3. Orta

    k < 0. Sadələşdirin: 4-cü dərəcədən kök altında 567k4 (kökün sonu)

    Cavab variantları

    Düzdür! |k| = −k, cavab müsbətdir.

    Yox. 4-cü dərəcədən kök mənfi ola bilməz: 4-cü dərəcədən kök altında k4 (kökün sonu) = |k| yaz və k < 0 şərtinə görə aç.

    Həllə bax

    567 = 81 · 7 = 34 · 7: 4-cü dərəcədən kök altında 567k4 (kökün sonu) = 3|k| · 4-cü dərəcədən kök altında 7 (kökün sonu) = −3k · 4-cü dərəcədən kök altında 7 (kökün sonu). 3k · 4-cü dərəcədən kök altında 7 (kökün sonu) modulu unudub (mənfi çıxır), −9k · 4-cü dərəcədən kök altında 7 (kökün sonu) 81-dən kvadrat kök alıb, −3k · 4-cü dərəcədən kök altında 21 (kökün sonu) 27 = 3³ götürüb — 4-cü dərəcədən kökdə 4-cü qüvvət lazımdır.

  4. Orta

    Sadələşdirin: kub kök altında 104 (kökün sonu) + kub kök altında 351 (kökün sonu) − kub kök altında 13 (kökün sonu)

    Cavab variantları

    Düzdür! (2 + 3 − 1) · kub kök altında 13 (kökün sonu).

    Yox. Əvvəl hər kökdən vuruğu çıxar, sonra eyni kökləri əmsallarla topla.

    Həllə bax

    kub kök altında 104 (kökün sonu) = 2 · kub kök altında 13 (kökün sonu), kub kök altında 351 (kökün sonu) = 3 · kub kök altında 13 (kökün sonu): 2 · kub kök altında 13 (kökün sonu) + 3 · kub kök altında 13 (kökün sonu) − kub kök altında 13 (kökün sonu) = 4 · kub kök altında 13 (kökün sonu). kub kök altında 442 (kökün sonu) kökaltıları toplayıb, 6 · kub kök altında 13 (kökün sonu) −kub kök altında 13 (kökün sonu)-ü + kimi alıb, 5 · kub kök altında 13 (kökün sonu) isə onu unudub.

  5. Çətin

    a < 0, b > 0. Sadələşdirin: 4-cü dərəcədən kök altında 405a6b5 (kökün sonu)

    Cavab variantları

    Düzdür! |a| = −a, |b| = b.

    Yox. 405 = 81 · 5, a6 = a4 · a2, b5 = b4 · b; sonra modulları şərtə görə aç.

    Həllə bax

    4-cü dərəcədən kök altında 405a6b5 (kökün sonu) = 3|a||b| · 4-cü dərəcədən kök altında 5a2b (kökün sonu). a < 0 ⇒ |a| = −a; b > 0 ⇒ |b| = b: −3ab · 4-cü dərəcədən kök altında 5a2b (kökün sonu). Birinci variant |a|-nı unudub, ikincisi 81-dən kvadrat kök alıb, sonuncu kök altında a2 əvəzinə a saxlayıb.

  6. Çətin

    Hansı bərabərlik x-in bütün həqiqi qiymətlərində doğrudur?

    Cavab variantları

    Düzdür! Tək dərəcədə modul lazım deyil.

    Yox. Mənfi x götürüb yoxla, məsələn x = −1: cüt dərəcəli kök mənfi ola bilməz.

    Həllə bax

    Kub kök: −2x3 = (−x)3 · 2, ona görə kub kök altında −2x3 (kökün sonu) = −x · kub kök altında 2 (kökün sonu) hər x üçün. Qalanlarında kökün üstü cütdür və çıxan qüvvət təkdir: düzgün yazılış |x| · 4-cü dərəcədən kök altında 3 (kökün sonu), |x| · 4-cü dərəcədən kök altında x2 (kökün sonu), |x3| · 4-cü dərəcədən kök altında 2 (kökün sonu). x = −1 olduqda sol tərəflər müsbət, sağ tərəflər mənfidir.

Xülasə

Yadda qalanlar

  • n-ci dərəcədən kök altında an · b (kökün sonu) = a · n-ci dərəcədən kök altında b (kökün sonu)Hasilin kökü və qüvvətin kökü. Kökaltıda kökün üstünə bərabər ən böyük qüvvəti tap, kök altında belə qüvvət qalmasın; cavabı qüvvətə yüksəltməklə yoxla.
  • n-ci dərəcədən kök altında an (kökün sonu) = |a| (cüt n)Cüt dərəcədə çıxan vuruq modulla yazılır və şərtə görə açılır: mənfi dəyişən mənfi işarə ilə çıxır. Tək dərəcədə modul yoxdur. Əvvəl DMQ.
  • 5 · kub kök altında 19 (kökün sonu) − 3 · kub kök altında 19 (kökün sonu) = 2 · kub kök altında 19 (kökün sonu)Vuruğu çıxardıqdan sonra oxşar kökləri ortaq vuruğu mötərizə xaricinə çıxarmaqla topla; kökaltıları toplamaq olmaz.

Növbəti mövzu: 4.8 Vuruğun kök işarəsi altına daxil edilməsi