• 4.33
  • 9-cu sinif
  • Tənliklər

Tənliklər sistemi

6,5 m uzunluğunda nərdivan divara söykənib: ayağı divardan x m aralı, başı yerdən y m hündürdədir. (2,5; 6) də, (6; 2,5) də mümkündür — amma biri dik, digəri az qala yerə yatmış nərdivandır. Bütün vəziyyətləri bir tənlik təsvir edir: x2 + y2 = 42,25.

Bu dərsdə

  • ədədlər cütünün ikidəyişənli tənliyin həlli olub-olmadığını yoxlayacaq, cütdə sıranın nə demək olduğunu izah edəcəksən;
  • tənliyin dərəcəsini və qrafikinin növünü — düz xətt, parabola, çevrə, hiperbola, bir nöqtə və ya boş çoxluq — tapacaqsan;
  • cütün tənliklər sisteminin həlli olub-olmadığını yoxlayacaq, həlldən naməlum əmsalları tapacaqsan.
Nərdivanın hər vəziyyəti bir cütdür, hamısı bir çevrə qövsündədir Şaquli divar y oxu, döşəmə x oxudur. 6,5 metrlik nərdivan dörd vəziyyətdə: ayağı divardan 2,5; 3,9; 5,2 və 6 metr aralı, başı uyğun olaraq 6; 5,2; 3,9 və 2,5 metr hündürlükdə. Hər vəziyyətin küncündəki (x; y) nöqtəsi mərkəzi O, radiusu 6,5 olan çevrə qövsünün üzərindədir. Kart: x kvadrat üstəgəl y kvadrat bərabərdir 42,25. (2,5; 6) dik, (6; 2,5) yatıq nərdivandır. y x O (2,5; 6) (6; 2,5) x² + y² = 42,25nərdivan 6,5 m
  1. Kəşf et
  2. Həll və dərəcə
  3. Qrafik
  4. Kvadratlar cəmi
  5. Sistem
  6. Əmsallar
  7. Diqqət
  8. Həyatda
  9. Özünü yoxla

1 · Kəşf et

Bir tənlik — çoxlu cüt

Nərdivan, divar və döşəmə düzbucaqlı üçbucaq yaradır, nərdivan onun hipotenuzudur. Pifaqor teoreminə görə x2 + y2 = 6,52, yəni x2 + y2 = 42,25. Tənlikdə iki naməlum var, ona görə hər vəziyyəti bir ədədlər cütü təsvir edir: əvvəl ayağın divardan məsafəsi x, sonra başın hündürlüyü y.

Nərdivanın vəziyyətləri
Cüt (x; y)x2 + y242,25 alınır?
(2,5; 6)6,25 + 36 = 42,25bəli
(3,9; 5,2)15,21 + 27,04 = 42,25bəli
(6; 2,5)36 + 6,25 = 42,25bəli — amma başqa vəziyyət
(3; 5)9 + 25 = 34xeyr — bu, 6,5 m-lik nərdivan ola bilməz

Nərdivanı azca sürüşdürsək, yeni cüt alınır. Deməli, vəziyyətlər də, tənliyin həlləri də sonsuz saydadır. Yuxarıdakı şəkildə hər vəziyyətin küncündəki nöqtə (x; y) eyni qövsün üzərinə düşür: bu nöqtədən O-ya qədər məsafə qırıq xətli düzbucaqlının diaqonalına, yəni elə nərdivanın uzunluğuna bərabərdir.

İki dəyişəni (x və y) olan tənliyə ikidəyişənli tənlik deyilir. Onun həlli bir ədəd yox, ədədlər cütüdür: (x0; y0). 1-ci ədəd x-in, 2-ci ədəd y-in qiymətidir. Ona görə (2,5; 6) və (6; 2,5) fərqli cütlərdir.

Nümunə 1Yerinə qoy və yoxla

2x + y2 = 11 tənliyi verilib. a) (1; 3) və (3; 1) cütlərini yoxlayın. b) x = 5 olduqda y-i tapın.

  1. (1; 3): x = 1, y = 3 qoyuruq: 2 · 1 + 32 = 2 + 9 = 11. Doğru ədədi bərabərlik alındı — cüt tənliyin həllidir.
  2. (3; 1): x = 3, y = 1: 2 · 3 + 12 = 6 + 1 = 7, 7 ≠ 11. Həll deyil: ədədlərin yeri dəyişəndə nəticə də dəyişdi.
  3. x = 5 qoyuruq: 10 + y2 = 11, buradan y2 = 1, yəni y = 1 və ya y = −1.

    (5; 1) və (5; −1) — iki həll

Mənfi və kəsr ədədlər də həll ola bilər: (−7; 5) üçün −14 + 25 = 11, (5,5; 0) üçün 11 + 0 = 11. x-ə 5,5-dən böyük olmayan istənilən qiyməti versək, y tapılır — tənliyin sonsuz sayda həlli var.

2 · Qayda

Həll və dərəcə

Yadda saxla

«(x0; y0) cütü verilmiş tənliyi doğru ədədi bərabərliyə çevirərsə, ona ikidəyişənli tənliyin həlli deyilir.»

«İkidəyişənli tənliyin sağ tərəfi sıfır, sol tərəfi standart şəkildə çoxhədli olarsa, bu çoxhədlinin dərəcəsi tənliyin dərəcəsi hesab edilir.»

Həddin dərəcəsi — onun dəyişənlərinin üstlərinin cəmidir:

x2y3: 2 + 3 = 5,xy: 1 + 1 = 2,7: 0.

Çoxhədlinin dərəcəsi onun hədlərinin ən böyük dərəcəsidir.

Dərəcəni tapmaq üçün əvvəl hər şeyi sol tərəfə keçirir, mötərizələri açır və oxşar hədləri islah edirik. Yalnız bundan sonra hədlərə baxırıq.

Standart şəkil və dərəcə
TənlikStandart şəkilDərəcə
x2y3 − 2x = 1x2y3 − 2x − 1 = 05
(x + y)2 = x2 + 42xy + y2 − 4 = 02
(x − 2)(x + 2) = x2 + y−y − 4 = 01
x(x2 − y) = x3 + 6−xy − 6 = 02
x2 + y2 = 42,25x2 + y2 − 42,25 = 02

Üçüncü sətrə diqqət: tənlikdə x2 görünür, amma ixtisar olunur və birdərəcəli tənlik qalır. Dördüncüdə x3 də ixtisar olunur. Dərəcəni görünüşə görə yox, standart şəkildən oxu.

3 · Laboratoriya

Tənliyin qrafiki

Yadda saxla

«İkidəyişənli tənliyin qrafiki koordinatları tənliyin həlləri olan nöqtələr çoxluğudur.»

Hər həll müstəvidə bir nöqtədir; bütün həllərin nöqtələri birlikdə qrafiki verir. Növünü tanımaq üçün tənliyi tanış şəklə gətiririk: y = kx + b — düz xətt, y = ax2 + bx + c — parabola, (x − a)2 + (y − b)2 = r2 — çevrə, y = k/x — hiperbola. Tənliyi seç və qrafikə bax.

Tənliyi seç
Seçilən tənliyin qrafiki koordinat müstəvisində Koordinat müstəvisi, x −6-dan 7-yə, y −6-dan 7-yə qədər. Seçilən tənliyə görə: düz xətt y = 3x + 1; təpəsi (2; −1) olan parabola; mərkəzi (2; 0), radiusu 4 olan çevrə; II və IV rüblərdə hiperbola xy = −4; yalnız (−4; 2) nöqtəsi; və ya boş müstəvi — heç bir nöqtə yoxdur. xy −4−246−4−246 (0; 1)(1; 4) (2; −1) (2; 0)r = 4 (2; −2)(−2; 2) (−4; 2) ∅ — heç bir nöqtə yox

Düz xətt. y − 3x = 1 ⇔ y = 3x + 1. Hər iki dəyişən birinci dərəcədədir. Xətt (0; 1) və (1; 4) nöqtələrindən keçir.

Parabola. y = x2 − 4x + 3 = (x − 2)2 − 1: y birinci, x ikinci dərəcədədir. Təpəsi (2; −1), x oxunu x = 1 və x = 3 nöqtələrində kəsir.

Çevrə. x2 − 4x = (x − 2)2 − 4, ona görə (x − 2)2 + y2 = 16: mərkəzi (2; 0), radiusu 4 olan çevrə.

Hiperbola. xy = −4 ⇔ y = −4/x (x ≠ 0). k = −4 < 0, qolları II və IV rüblərdədir: məsələn, (2; −2) və (−2; 2).

Bir nöqtə. Tam kvadratlara ayırsaq, (x + 4)2 + (y − 2)2 = 0 alınır. Bu, yalnız (−4; 2) nöqtəsidir (4-cü mərhələdə addım-addım).

Boş çoxluq. (x + 3)2 + y2 = −2: sol tərəf mənfi ola bilməz, ona görə tənliyin heç bir həlli, qrafikin heç bir nöqtəsi yoxdur.

Hər seçimdə yalnız həmin tənliyin həlləri olan nöqtələr çəkilir.
Altı tənlik — altı qrafik
TənlikSadə şəkilQrafik
y − 3x = 1y = 3x + 1düz xətt
y = x2 − 4x + 3y = (x − 2)2 − 1parabola
x2 − 4x + y2 = 12(x − 2)2 + y2 = 16çevrə
xy = −4y = −4/xhiperbola
x2 + y2 + 8x − 4y + 20 = 0(x + 4)2 + (y − 2)2 = 0bir nöqtə
x2 + 6x + y2 + 11 = 0(x + 3)2 + y2 = −2boş çoxluq

Son dörd tənliyin hamısı ikidərəcəlidir, amma qrafikləri tamam fərqlidir. Ona görə yalnız dərəcə qrafikin növünü demir: tənliyi sadə şəklə gətirmək lazımdır.

4 · Hesabla

Kvadratlar cəmi sıfırdırsa

Kvadrat, modul və kvadrat kök heç vaxt mənfi olmur. Belə ifadələrin cəmi 0-a bərabərdirsə, onların hər biri 0-dır: biri 0-dan böyük olsaydı, cəm də 0-dan böyük olardı.

Nümunə 2Bir tənlik — bir həll

x2 + y2 + 8x − 4y + 20 = 0 tənliyini həll edin.

  1. x-li və y-li hədləri qruplaşdırırıq, 20-ni 16 + 4 kimi yazırıq: (x2 + 8x + 16) + (y2 − 4y + 4) = 0.
  2. Mötərizələr tam kvadratdır: (x + 4)2 + (y − 2)2 = 0.
  3. İki mənfi olmayan ədədin cəmi 0-dır, deməli (x + 4)2 = 0 və (y − 2)2 = 0: x = −4, y = 2.
  4. Yoxlama: 16 + 4 − 32 − 8 + 20 = 0.

    yeganə həll (−4; 2)

Modul və kök

|x − 5| + √(y + 2) = 0

Hər iki toplanan mənfi deyil, ona görə |x − 5| = 0 və √(y + 2) = 0: yeganə həll (5; −2).

Cəm mənfi ola bilməz

x2 + 6x + y2 + 11 = 0

x2 + 6x + 9 = (x + 3)2, ona görə (x + 3)2 + y2 = −2. Sol tərəf 0-dan kiçik deyil, sağ tərəf −2-dir: həll yoxdur.

5 · Qayda

Tənliklər sistemi

Bir ikidəyişənli tənlik adətən sonsuz sayda cüt verir. Bəzən isə bir neçə şərti eyni anda ödəyən cütlər lazımdır.

Yadda saxla

«Bir neçə tənliyin hər birini ödəyən həlli tapmaq tələb olunduqda tənliklər { fiqurlu mötərizəsinin köməyilə birgə yazılır və onlara tənliklər sistemi deyilir. Sistemin tənliklərinin hər birinin həlli olan (x0; y0) cütünə sistemin həlli, belə cütlər çoxluğuna isə sistemin həllər çoxluğu deyilir.»

x2 + y = 74x + y = 10

Bu sistem üçün dörd cütü yoxlayaq. Hər xanada tənliyin sol tərəfinin qiyməti yazılıb: birinci tənlikdə 7, ikincidə 10 alınmalıdır.

Dörd cütün sistemin hər tənliyində yoxlanması Sistem: x kvadrat üstəgəl y bərabərdir 7, 4x üstəgəl y bərabərdir 10. Hər xanada tənliyin sol tərəfinin qiyməti. (3; −2): 7 və 10 — hər ikisi doğru, həlldir. (2; 3): 7 doğru, 11 səhv — həll deyil. (2; 2): 6 səhv, 10 doğru — həll deyil. (1; 6): 7 və 10 — həlldir. cüt1-ci tənlikx² + y = 72-ci tənlik4x + y = 10həll (3; −2) 7✓ 10✓ ✓ (2; 3) 7✓ 11✗ ✗ (2; 2) 6✗ 10✓ ✗ (1; 6) 7✓ 10✓ ✓
Yaşıl sətirlər hər iki tənliyi ödəyən cütlərdir — sistemin həlləri.
  • (3; −2): 9 − 2 = 7 və 12 − 2 = 10 — sistemin həllidir.
  • (2; 3): 4 + 3 = 7, amma 8 + 3 = 11 ≠ 10 — yalnız birinci tənliyi ödəyir, həll deyil.
  • (2; 2): 4 + 2 = 6 ≠ 7, 8 + 2 = 10 — yalnız ikinci tənliyi ödəyir, həll deyil.
  • (1; 6): 1 + 6 = 7 və 4 + 6 = 10 — sistemin həllidir.

Bu sistemin başqa həlli varmı və həllər necə tapılır? Bunu növbəti mövzularda — qrafik üsulla (4.34) və cəbri üsullarla (4.35) — öyrənəcəksən. Bu dərsdə sistemin həllini yoxlamağı öyrənirik: cüt hər tənliyi doğru bərabərliyə çevirməlidir.

6 · Hesabla

Həldən əmsallara

Cüt sistemin həllidirsə, onu hər tənliyə qoyanda doğru bərabərlik alınır. Bu, tənliklərdəki naməlum əmsalları tapmağa imkan verir.

Nümunə 3a və b-ni tap

a və b-nin hansı qiymətlərində (−3; 2) cütü x2 + ay = 1bx + y = 11 sisteminin həllidir?

  1. Birinci tənliyə x = −3, y = 2 qoyuruq: (−3)2 + a · 2 = 1, yəni 9 + 2a = 1, 2a = −8, a = −4.
  2. İkinci tənliyə: b · (−3) + 2 = 11, yəni −3b = 9, b = −3.
  3. Yoxlama: x2 − 4y = 1−3x + y = 11 üçün 9 − 8 = 1 və 9 + 2 = 11.

    a = −4, b = −3

Mənfi ədədi qüvvətə yüksəldəndə mötərizəni unutma: (−3)2 = 9, −9 deyil.

7 · Diqqət

Tipik səhvlər

Səhv düşüncə

y = x2 − 3: (6; 3) də həlldir

(3; 6) həlldir deyə, yerini dəyişmək olmaz: 62 − 3 = 33 ≠ 3.

Düzgün

(3; 6) həlldir, (6; 3) yox

1-ci ədəd həmişə x-dir: 32 − 3 = 6.

Səhv düşüncə

xy3 − 2 = 0: dərəcəsi 3

Yalnız ən böyük üstə baxılıb.

Düzgün

dərəcəsi 4

xy3 həddində üstlər toplanır: 1 + 3 = 4.

Səhv düşüncə

x2 + y2 = 0: həlli yoxdur

Sağ tərəf 0-dır, mənfi deyil.

Düzgün

yeganə həll (0; 0)

x2 = 0 və y2 = 0 — qrafik bir nöqtədir.

Səhv düşüncə

(y − x2)2 = 0: bir nöqtə

Burada iki kvadratın cəmi yox, bir ifadənin kvadratı var.

Düzgün

y = x2 — parabola

Kvadrat 0-dırsa, ifadənin özü 0-dır: y − x2 = 0, sonsuz sayda nöqtə.

Səhv düşüncə

(2; 3) birinci tənliyi ödəyir — sistemin həllidir

x2 + y = 74x + y = 10 sistemində ikinci tənlik yoxlanmayıb.

Düzgün

(2; 3) həll deyil

8 + 3 = 11 ≠ 10: sistemin həlli hər tənliyi ödəməlidir.

8 · Həyatda

Pəncərəyə çatan nərdivan

Usta həmin 6,5 m-lik nərdivanı elə qoymalıdır ki, başı pəncərənin altına — yerdən 5,2 m hündürlüyə dirənsin. İndi iki şərt var və hər ikisi ödənməlidir: x2 + y2 = 42,25y = 5,2

Nərdivan pəncərənin altına dirənir Yandan görünüş: divar, döşəmə və divarda pəncərə. Pəncərənin altı yerdən 5,2 metr hündürlükdədir. 6,5 metrlik nərdivanın başı pəncərənin altına dirənib, ayağı divardan 3,9 metr aralıdadır. y = 5,2 x = 3,9 6,5 m pəncərə (3,9; 5,2)
Ayaq divardan 3,9 m aralıdır, baş 5,2 m hündürlükdə — nərdivan pəncərəyə çatır.
Hansı vəziyyət uyğundur?
Cütx2 + y2 = 42,25y = 5,2
(2,5; 6)✓✗ 6 ≠ 5,2
(5,2; 3,9)✓✗ 3,9 ≠ 5,2
(3,9; 5,2)✓✓
(−3,9; 5,2)✓✓, amma x mənfi ola bilməz

(5,2; 3,9) cütündə ədədlərin yeri dəyişib: nərdivanın başı 3,9 m-də qalır və pəncərəyə çatmır. (−3,9; 5,2) sistemin riyazi həllidir, amma x məsafədir və mənfi ola bilməz. Cavab: nərdivanın ayağını divardan 3,9 m aralı qoymaq lazımdır.

Model sadələşdirilib: divar şaquli, döşəmə üfüqi, nərdivan düz parça qəbul edilir.

9 · Özünü yoxla

Bacarığını sına

Cavabı seç — düzgün olanda yaşıl, səhv olanda qırmızı işıqlanacaq. Həllinə də baxa bilərsən.

  1. Asan

    Hansı cüt y = x3 − 2 tənliyinin həllidir?

    Cavab variantları

    Düzdür: 23 − 2 = 8 − 2 = 6.

    Yox. 1-ci ədəd x-dir. x = 2 qoy: 23 = 8, 2 · 3 yox.

    Həllə bax

    (2; 6): 23 − 2 = 6 — doğru. (6; 2): 63 − 2 = 214 ≠ 2. (2; 4) o zaman alınır ki, 23 səhvən 2 · 3 = 6 kimi hesablansın.

  2. Asan

    3xy2 − x3y2 + 7 = 0 tənliyinin dərəcəsi neçədir?

    Cavab variantları

    Bəli: x3y2 həddinin dərəcəsi 3 + 2 = 5.

    Yox. Həddin dərəcəsi — dəyişənlərin üstlərinin cəmidir, hasili deyil. Ən böyük dərəcəli həddi tap.

    Həllə bax

    3xy2: 1 + 2 = 3; x3y2: 3 + 2 = 5; 7: 0. Ən böyüyü 5-dir.

  3. Orta

    x2 + y2 − 12y = 0 tənliyinin qrafiki nədir?

    Cavab variantları

    Düzdür: x2 + (y − 6)2 = 36 — mərkəzi (0; 6), radiusu 6.

    Yox. y-li hədləri tam kvadrata tamamla: y2 − 12y = (y − 6)2 − 36.

    Həllə bax

    x2 + (y − 6)2 − 36 = 0, yəni x2 + (y − 6)2 = 36. Sağ tərəf müsbətdir — mərkəzi (0; 6), radiusu 6 olan çevrə. y2 olduğu üçün parabola deyil; sağ tərəf 0 olmadığı üçün bir nöqtə deyil.

  4. Orta

    (x − 6)2 + (y + 2)2 = 0 tənliyinin həlləri hansılardır?

    Cavab variantları

    Bəli: hər kvadrat 0 olmalıdır — x = 6, y = −2.

    Yox. İki mənfi olmayan ədədin cəmi 0-dırsa, hər biri 0-dır: x − 6 = 0 və y + 2 = 0.

    Həllə bax

    (x − 6)2 = 0 ⇒ x = 6; (y + 2)2 = 0 ⇒ y = −2. Yeganə həll (6; −2). Sağ tərəf 0 olduğu üçün həll var; işarəni dəyişsək, (−6; 2) üçün 144 + 16 ≠ 0 alınır.

  5. Çətin

    Hansı cüt x2 + xy = 145x − y = 5 sisteminin həllidir?

    Cavab variantları

    Düzdür: 4 + 10 = 14 və 10 − 5 = 5.

    Yox. Cütü hər iki tənliyə qoy — ikisi də doğru olmalıdır.

    Həllə bax

    (2; 5): 4 + 10 = 14, 10 − 5 = 5 — hər ikisi doğru. (−7; 5): 49 − 35 = 14, amma −35 − 5 = −40 ≠ 5. (1; 0): 5 − 0 = 5, amma 1 + 0 = 1 ≠ 14. (5; 2): 25 + 10 = 35 ≠ 14.

  6. Çətin

    (a; a) cütü x2 + 2y = 15 tənliyinin həllidir. a neçə ola bilər?

    Cavab variantları

    Əla: a2 + 2a − 15 = (a − 3)(a + 5) = 0.

    Yox. x = a, y = a qoy: a2 + 2a = 15. Kvadrat tənliyin iki kökü ola bilər — hər ikisini yoxla.

    Həllə bax

    a2 + 2a − 15 = 0 ⇒ (a − 3)(a + 5) = 0 ⇒ a = 3 və ya a = −5. Yoxlama: 9 + 6 = 15; 25 − 10 = 15. −3 üçün 9 − 6 = 3 ≠ 15.

Xülasə

Yadda qalanlar

  • (x0; y0) — sıra vacibdir1-ci ədəd x-in, 2-ci y-in qiymətidir; həll tənliyi doğru bərabərliyə çevirir.
  • Standart şəkil → dərəcə və qrafikİxtisardan sonra dərəcəni oxu, tam kvadratla qrafiki tanı: kvadratlar cəmi 0 — bir nöqtə, mənfi ədəd — boş çoxluq.
  • Sistem — hamısı birlikdəSistemin həlli hər tənliyi ödəyir; bir tənliyi ödəmək kifayət deyil.

Növbəti mövzu: 4.34 Bir tənliyi birdərəcəli, digəri ikidərəcəli olan tənliklər sistemi