• 3.54
  • 8-ci sinif
  • Həndəsə

Triqonometrik eyniliklər

Kalkulyatorda sin 66° və cos 24° hesabla: ikisi də 0,9135… verir. Təsadüf deyil — 66° + 24° = 90°, və bu iki ədəd eyni katetdən gəlir.

Bu dərsdə

  • tamamlayıcı bucaqların sinus və kosinusunu bir-biri ilə ifadə edəcəksən;
  • tan ∠A = sin ∠A : cos ∠A və sin² ∠A + cos² ∠A = 1 eyniliklərini isbat edəcəksən;
  • bir nisbət verildikdə qalanlarını tapacaq və ifadələri sadələşdirəcəksən.
sin 66° və cos 24° eyni katetdən gəlir Düzbucaqlı ABC üçbucağı, C düz bucaqdır, A bucağı 66°, B bucağı 24°. BC kateti lime ilə vurğulanıb: o, A bucağına qarşı, B bucağına isə bitişikdir. Kartda: sin 66° = a : c və cos 24° = a : c. Çipdə: ikisi də təxminən 0,9135. A C B b c 66° 24° a ∠A-ya qarşı ∠B-yə bitişik sin 66° = a : ccos 24° = a : c ikisi də ≈ 0,9135
  1. Kəşf et
  2. Tamamlayıcı bucaqlar
  3. tan = sin : cos
  4. sin² + cos² = 1
  5. Hesabla
  6. Diqqət
  7. Həyatda
  8. Özünü yoxla

1 · Kəşf et

Bir üçbucaq, iki baxış

3.52-dən xatırla: iti bucağın sinusu qarşısındakı katetin hipotenuza, kosinusu bitişik katetin hipotenuza, tangensi isə qarşı katetin bitişik katetə nisbətidir. «Qarşı» və «bitişik» sözləri hansı bucaqdan baxdığımızdan asılıdır.

ABC üçbucağında ∠C = 90°, BC = 28, AC = 45, AB = 53. Bucağı seç və katetlərin rolunun necə dəyişdiyinə bax.

Hansı bucaqdan baxaq?
Eyni katet: bir bucağa qarşı, o birinə bitişik Düzbucaqlı ABC üçbucağı: C düz bucaq, BC = 28, AC = 45, AB = 53. A bucağı seçiləndə BC mavi (qarşı katet), AC narıncı (bitişik katet) olur; B bucağı seçiləndə rollar dəyişir: AC qarşı, BC bitişik. A C B 53 45 bitişik qarşı 28 qarşı bitişik

∠A-dan: BC = 28 qarşı katet, AC = 45 bitişik katetdir. sin ∠A = 28 / 53, cos ∠A = 45 / 53, tan ∠A = 28 / 45.

∠B-dən: AC = 45 qarşı katet, BC = 28 bitişik katetdir. sin ∠B = 45 / 53, cos ∠B = 28 / 53, tan ∠B = 45 / 28.

Mavi — seçilmiş bucağın qarşı kateti, narıncı — bitişik kateti. Hipotenuz AB hər iki bucaq üçün eynidir.
İki iti bucağın nisbətləri yan-yana
Nisbət∠A∠B
sin28 / 5345 / 53
cos45 / 5328 / 53
tan28 / 4545 / 28

Cədvələ bax: 28 / 53 həm sin ∠A, həm cos ∠B-dir; 45 / 53 həm cos ∠A, həm sin ∠B. Səbəb sadədir: BC kateti ∠A-nın qarşısındadır, amma ∠B-yə bitişikdir. Bu müşahidə birinci eynilikdir.

2 · Eynilik 1

Tamamlayıcı bucaqlar

Üçbucağın bucaqlarının cəmi 180°-dir. ∠C = 90° olduğundan ∠A + ∠B = 90°, yəni ∠B = 90° − ∠A. Cəmi 90° olan iki bucağa tamamlayıcı bucaqlar deyilir.

Yadda saxla

∠C = 90° olan ABC üçbucağında BC = a, AC = b, AB = c olsun. Tərifə görə sin ∠A = a / c və cos ∠B = a / c. Deməli:

sin ∠A = cos ∠Bcos ∠A = sin ∠B

∠B = 90° − ∠A olduğundan bunu belə də yazırıq: sin ∠A = cos (90° − ∠A), cos ∠A = sin (90° − ∠A).

Eyni qayda ∠B üçün: sin ∠B = cos (90° − ∠B) = cos ∠A, cos ∠B = sin (90° − ∠B) = sin ∠A.

Qısaca: bucağı tamamlayıcısı ilə əvəz edəndə sinus kosinusa, kosinus sinusa çevrilir — funksiya da, bucaq da dəyişir. Hook-dakı cüt də budur: 24° = 90° − 66°, ona görə sin 66° = cos 24°.

Kalkulyatorla yoxla

sin 66° = cos 24°

İkisi də ≈ 0,9135 göstərir.

O biri cüt

cos 66° = sin 24°

İkisi də ≈ 0,4067 göstərir.

3 · Eynilik 2

Tangens = sinus : kosinus

Yadda saxla

İti bucağın tangensi onun sinusunun kosinusuna nisbətinə bərabərdir:

tan ∠A = sin ∠A / cos ∠A

İsbatı. Yenə BC = a, AC = b, AB = c.

  1. Tərifə görə: sin ∠A = a / c, cos ∠A = b / c, tan ∠A = a / b.
  2. Sinusu kosinusa bölək: a / c : b / c = a / c · c / b.
  3. c ixtisar olunur: = a / b.
  4. Deməli, tan ∠A = sin ∠A : cos ∠A.

Laboratoriyanın ədədləri ilə:

sin ∠A : cos ∠A = 28 / 53 : 45 / 53= 28 / 53 · 53 / 45 = 28 / 45 = tan ∠A

Eyni qayda ∠B üçün də doğrudur: tan ∠B = sin ∠B : cos ∠B.

4 · Eynilik 3

Sinus və kosinusun kvadratları

sin² ∠A yazılışı (sin ∠A)² deməkdir — sinusun kvadratı. Eyni qayda ilə cos² ∠A = (cos ∠A)².

Yadda saxla

İstənilən iti bucaq üçün:

sin² ∠A + cos² ∠A = 1

İsbatı.

  1. sin ∠A = a / c, cos ∠A = b / c; kvadrata yüksəldək: sin² ∠A = a² / c², cos² ∠A = b² / c².
  2. Tərəf-tərəfə toplayaq: sin² ∠A + cos² ∠A = a² + b² / c².
  3. Pifaqor teoreminə görə a² + b² = c².
  4. Deməli, sin² ∠A + cos² ∠A = c² / c² = 1.
sin² ∠A + cos² ∠A = 1 kvadratlarla Hipotenuzu AB = 1 olan düzbucaqlı üçbucaq (tərəfləri 28, 45, 53 nisbətində). BC kateti üzərində mavi kvadrat: sahəsi sin² ∠A, təxminən 0,28. AC kateti üzərində narıncı kvadrat: sahəsi cos² ∠A, təxminən 0,72. Hipotenuz üzərində lime kvadrat: sahəsi 1. İki kiçik kvadratın sahələri cəmi böyük kvadratın sahəsinə bərabərdir. sin² ∠A≈ 0,28 cos² ∠A≈ 0,72 AB² = 10,28 + 0,72 A B
Laboratoriyanın üçbucağını kiçildək ki, AB = 1 olsun. Onda BC = sin ∠A, AC = cos ∠A, çünki bölən 1-dir. Katetlər üzərindəki kvadratların sahələri cəmi hipotenuz üzərindəki kvadratın sahəsinə — 1-ə bərabərdir: 784 / 2809 + 2025 / 2809 = 1.

60° ilə yoxla

(√3 / 2)² + (1 / 2)² = 1

sin 60° = √3 / 2, cos 60° = 1 / 2: 3 / 4 + 1 / 4 = 1.

Nəticə: 1-dən kiçikdir

sin ∠A < 1, cos ∠A < 1

İti bucaqda sin² ∠A və cos² ∠A müsbətdir, cəmləri 1-dir. Deməli, hər biri 1-dən kiçikdir — sinus və kosinus da.

5 · Hesabla

Eyniliklər işdə

Nümunə 1Tamamlayıcı bucaqla yaz

a) cos 83°-ni sinusla, b) sin 41°-i kosinusla ifadə edin.

  1. a) Tamamlayıcı bucaq: 90° − 83° = 7°. Kosinus sinusa çevrilir: cos 83° = sin (90° − 83°).

    cos 83° = sin 7°

  2. b) 90° − 41° = 49°, sinus kosinusa çevrilir: sin 41° = cos (90° − 41°).

    sin 41° = cos 49°

Nümunə 2Bir nisbətdən hamısına — iki üsul

ABC üçbucağında ∠C = 90°, sin ∠A = 9 / 41. ∠A-nın kosinusunu və tangensini, ∠B-nin sinusunu və kosinusunu tapın.

  1. Üsul 1 — eyniliklər. cos² ∠A = 1 − sin² ∠A = 1 − 81 / 1681 = 1600 / 1681.
  2. ∠A iti bucaqdır, onun kosinusu tərəflərin nisbətidir, yəni müsbətdir. Müsbət kökü götürürük: cos ∠A = 40 / 41.
  3. tan ∠A = sin ∠A : cos ∠A = 9 / 41 : 40 / 41 = 9 / 40.
  4. Üsul 2 — üçbucaq. sin ∠A = BC : AB = 9 : 41, ona görə BC = 9k, AB = 41k. Pifaqor teoremi: AC = √(1681 − 81) · k = 40k. Onda cos ∠A = 40k / 41k = 40 / 41, tan ∠A = 9 / 40 — eyni cavab.
    Tərəfləri 9k, 40k, 41k olan düzbucaqlı üçbucaq: BC = 9k, AC = 40k, AB = 41k A C B 40k 9k 41k
  5. ∠B üçün birinci eynilik kifayətdir: sin ∠B = cos ∠A, cos ∠B = sin ∠A.

    cos ∠A = 40 / 41, tan ∠A = 9 / 40; sin ∠B = 40 / 41, cos ∠B = 9 / 41

Nümunə 3Tangensdən sinus və kosinusa

∠A iti bucaqdır və tan ∠A = 12 / 35. sin ∠A və cos ∠A-nı tapın.

  1. ∠A-nı düzbucaqlı üçbucaqda yerləşdirək: tan ∠A = BC : AC = 12 : 35, yəni BC = 12k, AC = 35k.
    Tərəfləri 12k, 35k, 37k olan düzbucaqlı üçbucaq: BC = 12k, AC = 35k, AB = 37k A C B 35k 12k 37k
  2. Hipotenuz: AB = √(144 + 1225) · k = √1369 · k = 37k.
  3. sin ∠A = 12 / 37, cos ∠A = 35 / 37.
  4. Yoxlama: 12 / 37 : 35 / 37 = 12 / 35 ✓ və 144 / 1369 + 1225 / 1369 = 1 ✓.

    sin ∠A = 12 / 37, cos ∠A = 35 / 37

Nümunə 4Sadələşdir

a) 7 sin² 52° + 7 sin² 38°;  b) 6 cos 33° / 2 sin 57°

  1. a) 52° + 38° = 90°, ona görə sin 38° = cos 52°.
  2. 7-ni mötərizə xaricinə çıxaraq: 7 (sin² 52° + cos² 52°) = 7 · 1 = 7.

    7 sin² 52° + 7 sin² 38° = 7

  3. b) 33° + 57° = 90°, ona görə sin 57° = cos 33°: 6 cos 33° / 2 cos 33° = 3.

    6 cos 33° / 2 sin 57° = 3

Nümunə 5Tangens verilib — kəsri hesabla

∠A iti bucaqdır və tan ∠A = 7. sin ∠A − 2 cos ∠A / sin ∠A + cos ∠A ifadəsinin qiymətini tapın.

  1. İti bucaqda cos ∠A ≠ 0, ona görə kəsrin surətini də, məxrəcini də cos ∠A-ya bölə bilərik — kəsrin qiyməti dəyişmir.
  2. sin ∠A : cos ∠A − 2 / sin ∠A : cos ∠A + 1 = tan ∠A − 2 / tan ∠A + 1 — burada eynilik 2 işlədi.
  3. 7 − 2 / 7 + 1 = 5 / 8.

    Qiymət: 5 / 8

6 · Diqqət

Üç tipik səhv

Yalnız funksiyanı dəyişmək

sin 66° = cos 66°

Kalkulyator: cos 66° ≈ 0,4067, amma sin 66° ≈ 0,9135.

Funksiya da, bucaq da

sin 66° = cos 24°

Sinus kosinusa çevrilir, bucaq isə tamamlayıcısı ilə əvəz olunur.

Kvadratları unutmaq

cos ∠A = 1 − 9 / 41 = 32 / 41

Yoxla: (32 / 41)² + (9 / 41)² = 1105 / 1681 — 1 alınmır.

Eynilik kvadratlar üçündür

cos ∠A = √(1 − sin² ∠A) = 40 / 41

Əvvəl kvadrat, sonra çıxma, sonda müsbət kök (Nümunə 2).

Kəsri çevirmək

tan ∠A = cos ∠A : sin ∠A

Laboratoriyada bu, 45 / 53 : 28 / 53 = 45 / 28 verərdi — bu ∠B-nin tangensidir.

Surətdə sinus

tan ∠A = sin ∠A : cos ∠A = 28 / 45

Tangens «qarşı : bitişik»dir, sinus da qarşı katetlə başlayır.

7 · Həyatda

Nərdivan divara söykənib

6,5 m uzunluğunda nərdivan şaquli divara söykənib və divarda 5,6 m hündürlüyə çatır. Nərdivan, divar və döşəmə düzbucaqlı üçbucaq yaradır: A — nərdivanın ayağı, B — yuxarı ucu, C — divarın dibi, ∠C = 90°.

Divara söykənmiş nərdivan 6,5 m uzunluğunda nərdivan şaquli divara söykənib. Yuxarı ucu B divarda 5,6 m hündürlükdədir, ayağı A döşəmədədir, C divarın dibidir və orada düz bucaq var. A bucağı mavi, B bucağı narıncı qövslə işarələnib. Ayaqdan divara qədər məsafə soruşulur; cavab 3,3 m-dir. 5,6 m 3,3 m ? 6,5 m A B C
Mavi qövs — nərdivanla döşəmə arasındakı ∠A, narıncı ikiqat qövs — nərdivanla divar arasındakı ∠B.
  1. sin ∠A = BC : AB = 5,6 : 6,5 = 56 / 65.
  2. cos ∠A = √(1 − 3136 / 4225) = √1089 / 4225 = 33 / 65, ona görə AC = 6,5 · 33 / 65 = 3,3 m.
  3. tan ∠A = 56 / 65 : 33 / 65 = 56 / 33.
  4. ∠B = 90° − ∠A, ona görə sin ∠B = cos ∠A = 33 / 65, cos ∠B = sin ∠A = 56 / 65.

    Ayaq divardan 3,3 m aralıdır

Təhlükəsizlik qaydası. Əməyin mühafizəsi qaydaları nərdivanın ayağını divardan nərdivanın uzunluğunun təxminən dörddə biri qədər aralı qoymağı məsləhət görür, yəni cos ∠A ≈ 1 / 4. Onda

sin ∠A = √(1 − 1 / 16) = √15 / 4 ≈ 0,97,kalkulyatorla ∠A ≈ 75,5°.

Bizim nərdivanda cos ∠A = 33 / 65 ≈ 0,51 — təxminən iki dəfə çox: nərdivan çox maili qoyulub (∠A ≈ 59,5°). 6,5 m-lik nərdivanın ayağı divardan ≈ 1,6 m aralı olmalıdır; onda yuxarı ucu ≈ 6,3 m hündürlüyə çatar.

8 · Özünü yoxla

Bacarığını sına

Cavabı seç — düzgün olanda yaşıl, səhv olanda qırmızı işıqlanacaq. Həllinə də baxa bilərsən. Hər sualda ∠A iti bucaqdır.

  1. Asan

    cos 12°-ni sinusla ifadə et.

    Cavab variantları

    Düzdür! Funksiya da, bucaq da dəyişdi.

    Yox. Həm kosinus sinusa çevrilir, həm də bucaq tamamlayıcısı ilə əvəz olunur.

    Həllə bax

    90° − 12° = 78°, ona görə cos 12° = sin (90° − 12°) = sin 78°.

  2. Asan

    sin ∠A = 16 / 65, cos ∠A = 63 / 65. tan ∠A neçədir?

    Cavab variantları

    Əla! Sinusu kosinusa böldün.

    Yox. tan ∠A = sin ∠A : cos ∠A — surətdə sinus, və bölməni unutma.

    Həllə bax

    tan ∠A = 16 / 65 : 63 / 65 = 16 / 65 · 65 / 63 = 16 / 63.

  3. Orta

    cos ∠A = 11 / 61. sin ∠A neçədir?

    Cavab variantları

    Düzdür! sin² ∠A = 1 − cos² ∠A.

    Yox. Eynilik kvadratlar üçündür: sin² ∠A = 1 − cos² ∠A, sonra müsbət kök.

    Həllə bax

    sin² ∠A = 1 − 121 / 3721 = 3600 / 3721, sin ∠A = 60 / 61 (iti bucaq — müsbət kök).

  4. Orta

    sin ∠A = 1 / 3. cos ∠A neçədir?

    Cavab variantları

    Əla! Kökü də düzgün çıxardın.

    Yox. cos² ∠A = 1 − sin² ∠A tapılır, sonra kök alınır: 8 / 9 hələ kosinusun kvadratıdır.

    Həllə bax

    cos² ∠A = 1 − 1 / 9 = 8 / 9, cos ∠A = √8 / 3 = 2√2 / 3.

  5. Çətin

    4 − sin² 29° − sin² 61° ifadəsinin qiymətini tap.

    Cavab variantları

    Düzdür! 61° = 90° − 29°.

    Yox. sin 61° = cos 29°, ona görə iki kvadratın cəmi 1-dir və o, 4-dən çıxılır.

    Həllə bax

    sin 61° = cos 29°: 4 − (sin² 29° + cos² 29°) = 4 − 1 = 3.

  6. Çətin

    tan ∠A = 6. sin ∠A + cos ∠A / sin ∠A − 4 cos ∠A neçədir?

    Cavab variantları

    Əla! Surəti və məxrəci cos ∠A-ya böldün.

    Yox. Hər iki hissəni cos ∠A-ya böl və 4 əmsalını saxla: (tan ∠A + 1) : (tan ∠A − 4).

    Həllə bax

    Surəti və məxrəci cos ∠A-ya bölək: tan ∠A + 1 / tan ∠A − 4 = 6 + 1 / 6 − 4 = 7 / 2.

Xülasə

Yadda qalanlar

  • sin ∠A = cos (90° − ∠A)Tamamlayıcı bucaqda sinus kosinusa, kosinus sinusa çevrilir: sin ∠A = cos ∠B, cos ∠A = sin ∠B.
  • tan ∠A = sin ∠A : cos ∠ATangensi sinus və kosinusdan alırıq; tangens verilmiş kəsrdə hər iki hissəni cos ∠A-ya bölürük.
  • sin² ∠A + cos² ∠A = 1Pifaqor teoremindən gəlir; bir nisbətdən o birini müsbət kök ilə tapırıq.

Növbəti mövzu: 3.55 Parçanın orta nöqtəsinin koordinatları