• 3.22
  • 8-ci sinif
  • Həndəsə

Üçbucağın orta xətti

Gölün iki sahilindəki A və C nöqtələri arasında nə qədər məsafə var? Lent suyun üstündən keçmir. Quruda bir B nöqtəsi seç, BA və BC-nin ortalarını birləşdirən MN-i ölç: AC məhz 2 · MN-dir, çünki MN orta xətdir.

Bu dərsdə

  • üçbucağın orta xəttini tanıyacaq və onu mediandan ayıracaqsan;
  • orta xəttin üçüncü tərəfə paralel və onun yarısına bərabər olduğunu Fales teoremi və paraleloqramla isbat edəcəksən;
  • üç orta xətt, perimetr, bərabəryanlı üçbucaq, tənliklər və Pifaqor teoremi ilə məsələlər həll edəcəksən.
  • orta xətt
  • üçüncü tərəf
  • bərabər hissələr
Gölün enini quruda ölçməkGölün iki sahilində A və C nöqtələri var, aralarında su olduğu üçün AC birbaşa ölçülmür. Quruda B nöqtəsi seçilir, BA və BC parçalarının orta nöqtələri M və N işarələnir (bərabər hissələr çərtiklərlə). Quruda ölçülən MN = 31 m, deməli AC = 2 · 31 = 62 m.BMNMN = 31 mAC = 62 mACAC = 2 · MN
  1. B-ni hərəkət etdir
  2. Tərif və teorem
  3. Niyə belədir?
  4. Üç orta xətt
  5. Hesabla
  6. Diqqət
  7. Həyatda
  8. Özünü yoxla
  9. Yekun

1 · Kəşf et

B-ni hara aparsan da…

Parçanı iki bərabər hissəyə bölən nöqtə onun orta nöqtəsidir. Üçbucaqda AC tərəfini 11 sm götürək və yerində saxlayaq, B təpəsini isə üç yerə aparaq. Hər dəfə M — AB-nin, N — BC-nin orta nöqtəsidir (bərabər hissələr eyni sayda çərtiklə işarələnib). MN-ə bax.

B nöqtəsini seç
B nöqtəsini hərəkət etdirAC = 11 sm sabit tərəfdir. B nöqtəsi üç yerdə: iti bucaqlı üçbucaq, A-da düz bucaqlı üçbucaq və C-də kor bucaqlı üçbucaq. Hər dəfə M — AB-nin, N — BC-nin ortasıdır və MN = 5,5 sm, MN ∥ AC (ox işarələri).AC = 11 smACBMNMN = 5,5 smACBMNMN = 5,5 smACBMNMN = 5,5 sm
Lövhə 1AC sabit, B hərəkət edir1 xana = 0,5 sm

AB ≈ 8,1 sm, BC ≈ 9,9 sm. MN = 5,5 sm və MN üçüncü tərəf AC-yə paraleldir (ox işarələri).

AB = 6 sm, BC ≈ 12,5 sm, A-da düz bucaq var. Tərəflər tam dəyişdi, amma yenə MN = 5,5 sm və MN ∥ AC.

AB ≈ 14,9 sm, BC ≈ 5,8 sm, C-də kor bucaq var. MN üçbucağın içində qaldı, yenə MN = 5,5 sm və MN ∥ AC.

AB və BC dəyişir, MN isə dəyişmir: o, həmişə 11-in yarısıdır və AC-yə paraleldir. Bu təsadüf deyil — növbəti iki mərhələdə qaydanı yazıb isbat edəcəyik.

2 · Qayda

Orta xətt nədir?

Tərif

Üçbucağın iki tərəfinin orta nöqtələrini birləşdirən parçaya bu üçbucağın orta xətti deyilir.

Teorem

Üçbucağın verilmiş iki tərəfinin ortasını birləşdirən orta xətti üçüncü tərəfə paralel olub, onun yarısına bərabərdir:

MN ∥ AC, MN = AC2 /
Orta xəttin adlarıΔABC-də M — AB-nin ortası (bir çərtik), N — BC-nin ortası (iki çərtik). MN orta xətdir (lime), AC üçüncü tərəfdir (mavi); ox işarələri MN ∥ AC olduğunu göstərir.ABCMNorta xəttüçüncü tərəf
Lövhə 2Adlar və işarələr
M ilə N iki tərəfin ortasıdır, ona görə MN orta xətdir. AC — orta xəttin toxunmadığı «üçüncü tərəf»: MN ona paraleldir və ondan iki dəfə qısadır.

Median deyil

Median təpəni qarşı tərəfin ortası ilə birləşdirir. Orta xəttin isə hər iki ucu tərəflərin ortasındadır, heç bir təpədən keçmir.

Üç orta xətt

Üçbucağın üç tərəfi var, hər cüt tərəfin ortaları bir orta xətt verir — cəmi üç orta xətt.

İki tərəfə işləyir

AC = 2 · MN

AC-ni bilsən MN-i, MN-i bilsən AC-ni taparsan.

3 · Niyə belədir?

İsbat: Fales və paraleloqram

İki aləti xatırlayaq. Fales teoremi: bucağın tərəflərini kəsən paralel düz xətlər bir tərəfdə bərabər parçalar ayırırsa, o biri tərəfdə də bərabər parçalar ayırır. Paraleloqramın xassəsi: qarşı tərəfləri bərabərdir. Lövhədə Başla düyməsini bas və cədvəli sətir-sətir izlə.

Teoremin isbatı: təklif və əsas
№TəklifƏsas
1M-dən AC-yə paralel düz xətt çəkək. O, BC-ni ortasında kəsir — yəni N-dən keçir.Fales teoremi B bucağında: AC və bu düz xətt paraleldir, BM = MA, deməli BC-də də iki bərabər hissə alınır.
2MN bu düz xəttin üzərindədir, deməli MN ∥ AC.M və N-dən bir düz xətt keçir.
3N-dən AB-yə paralel düz xətt AC-ni ortası K-da kəsir: NK ∥ AB.Fales teoremi C bucağında (CN = NB).
4AMNK dördbucaqlısında MN ∥ AK və NK ∥ AM — o, paraleloqramdır.Paraleloqramın tərifi.
5MN = AK.Paraleloqramın qarşı tərəfləri bərabərdir.
6AK = KC, deməli MN = AC : 2.K — AC-nin ortasıdır (3-cü addım).
Teoremin isbatıM nöqtəsindən AC-yə paralel qırıq düz xətt BC-ni onun ortası N-də kəsir (Fales), deməli MN bu düz xəttin üzərindədir və MN ∥ AC. N-dən AB-yə paralel qırıq düz xətt AC-ni ortası K-da kəsir. AMNK paraleloqramdır (mavi), ona görə MN = AK; K orta nöqtədir, AK = KC (narıncı, üç çərtik). Deməli MN = AC : 2.ABCMNK
Lövhə 3İsbatın qurulması

Paralellik uzunluğu vermir

MN ∥ AC yalnız istiqaməti deyir. «Yarısı» paraleloqramdan gəlir: MN = AK, AK isə AC-nin yarısıdır.

Dərsliyin araşdırması

AB-nin ortasından AC-yə paralel çəkib BN və NC-ni ölçsən, onlar bərabər çıxar — bu, 1-ci addımdakı Fales teoremidir.

4 · Qayda

Üç orta xətt, dörd üçbucaq

Tərəfləri AB = 15 sm, BC = 17 sm, AC = 23 sm olan üçbucaqda üç orta nöqtəni — M, N, K-nı birləşdirək. Hər orta xətt özünə paralel tərəfin yarısıdır: MN = 23 : 2 = 11,5 sm, NK = 15 : 2 = 7,5 sm, MK = 17 : 2 = 8,5 sm.

Üç orta xətt və dörd üçbucaqΔABC-nin tərəfləri AB = 15 sm, BC = 17 sm, AC = 23 sm. M, N, K — tərəflərin ortaları. Orta xətlər MN = 11,5 sm, NK = 7,5 sm, MK = 8,5 sm (lime). Künc üçbucaqları (lime fon) və ortadakı MNK (narıncı fon) eyni tərəflərlə — dörd konqruyent üçbucaq.ABCMNK15172311,58,57,5
Lövhə 4Orta nöqtələr üçbucağı1 xana ≈ 0,77 sm

Yadda saxla

Perimetr yarıya enir: orta nöqtələr üçbucağının hər tərəfi bir tərəfin yarısıdır, ona görə

P(MNK) = P(ABC) : 2

Burada: (15 + 17 + 23) : 2 = 55 : 2 = 27,5 sm.

Dörd konqruyent üçbucaq. AMK-da AM = 7,5, MK = 8,5, AK = 11,5; MBN-də MB = 7,5, BN = 8,5, MN = 11,5; KNC və MNK-da da eyni üç ədəd. Üç tərəfinə görə konqruyentlik əlamətinə görə dörd üçbucaq konqruyentdir.

5 · Hesabla

Orta xətt məsələlərdə

Nümunə 1Neçə həll var?

Bərabəryanlı üçbucağın perimetri 46 sm, orta xətlərindən biri 9,5 sm-dir. Üçbucağın tərəflərini tapın.

İki halSol: orta xətt 9,5 sm oturacağa paraleldir, oturacaq 19 sm, yan tərəflər 13,5 sm. Sağ: orta xətt 9,5 sm yan tərəfə paraleldir, yan tərəflər 19 sm, oturacaq 8 sm. Hər iki üçbucağın perimetri 46 sm.1913,513,5819199,59,51-ci hal2-ci hal
Lövhə 5İki hal1 xana ≈ 1,1 sm
  1. Orta xəttin hansı tərəfə paralel olduğu deyilməyib: ya oturacağa, ya yan tərəfə. İki halı ayrıca yoxlayırıq.
  2. 1-ci hal: oturacaq 2 · 9,5 = 19 sm, yan tərəflər (46 − 19) : 2 = 13,5 sm. 13,5 + 13,5 = 27 > 19 — üçbucaq var.
  3. 2-ci hal: yan tərəf 2 · 9,5 = 19 sm, oturacaq 46 − 2 · 19 = 8 sm. 19 + 8 > 19 — üçbucaq var.

    İki həll: 13,5; 13,5; 19 sm və ya 19; 19; 8 sm

Nümunə 2Paraleloqramın perimetri

M, N, K nöqtələri ΔABC-nin AB, BC, AC tərəflərinin ortalarıdır. AM = 10,5 sm, BN = 8,5 sm, ΔABC-nin perimetri 50 sm-dir. AMNK dördbucaqlısının perimetrini tapın.

AMNK paraleloqramıΔABC-də M, N, K — AB, BC, AC-nin ortaları; AM = 10,5 sm, BN = 8,5 sm. MN ∥ AC və KN ∥ AB olduğundan AMNK paraleloqramdır (mavi fon).ABCMNK10,58,5
Lövhə 6AMNK1 xana ≈ 0,7 sm
  1. Orta nöqtələrdən: AB = 2 · 10,5 = 21 sm, BC = 2 · 8,5 = 17 sm, onda AC = 50 − 21 − 17 = 12 sm və AK = 6 sm.
  2. MN ∥ AC və NK ∥ AB (orta xətlər), deməli AMNK paraleloqramdır: MN = AK = 6 sm, NK = AM = 10,5 sm.
  3. P = 2 · (10,5 + 6) = 33 sm. Diqqət et: bu, AB + AC = 21 + 12-dir.

    P(AMNK) = 33 sm

Nümunə 3x və y

Şəkildə M — AB-nin, N — BC-nin ortasıdır. Verilənlərə görə x, y-in qiymətlərini və ΔABC-nin perimetrini tapın.

İfadələrlə verilmiş orta xəttΔABC-də M — AB-nin, N — BC-nin ortası. BM = x + 4, MA = 2y − 3, BN = y + 1, NC = 3x − 3, MN = 2x + y.ABCMNx + 42y − 3y + 13x − 32x + y
Lövhə 7İfadələr1 xana ≈ 0,7 sm
  1. BM = MA: x + 4 = 2y − 3, yəni x = 2y − 7.
  2. BN = NC: y + 1 = 3x − 3, yəni y = 3x − 4.
  3. Yerinə qoyaq: x = 2(3x − 4) − 7 = 6x − 15, buradan x = 3, y = 5.
  4. AB = 2 · 7 = 14 sm, BC = 2 · 6 = 12 sm, MN = 2 · 3 + 5 = 11 sm, deməli AC = 22 sm.

    x = 3, y = 5, P = 14 + 12 + 22 = 48 sm

Nümunə 4Pifaqorla birlikdə

ΔABC-də ∠C = 90°, AB = 25 sm, BC = 24 sm. M — AB-nin, N — BC-nin ortasıdır. MN-i və MN ilə BC arasındakı bucağı tapın.

Düzbucaqlı üçbucaqda orta xəttΔABC-də ∠C = 90°, hipotenuz AB = 25 sm, BC = 24 sm. M — AB-nin, N — BC-nin ortası; MN ∥ AC, ona görə MN ⊥ BC (N-də düz bucaq).ABCMN2524
Lövhə 8Düz bucaq köçür1 xana = 0,8 sm
  1. MN-in paralel olduğu tərəf AC-dir. Onu Pifaqor teoremi ilə tapırıq: AC = √(25² − 24²) = √49 = 7 sm.
  2. MN = AC : 2 = 3,5 sm (BC-nin yarısı deyil!).
  3. AC ⊥ BC və MN ∥ AC, ona görə MN ⊥ BC: paralel düz xətlərdən biri üçüncü düz xəttə perpendikulyardırsa, o biri də perpendikulyardır.

    MN = 3,5 sm, bucaq 90°

6 · Diqqət

Üç tez-tez edilən səhv

2-ni yanlış tərəfə yazmaq

Səhv

MN = 13,5 → AC = 6,75

Orta xətt tərəfdən qısadır, ona görə tərəf orta xətdən kiçik ola bilməz.

Düz

AC = 2 · 13,5 = 27

Tərəf orta xəttin iki mislidir; orta xətt tərəfin yarısıdır.

Orta nöqtələr üçbucağının perimetri

Səhv

P = 42 → 42 : 4 = 10,5

«Dörd üçbucaq» perimetri 4-ə bölmür: hər kiçik üçbucağın tərəfləri yarıdır, dörddəbir deyil.

Düz

42 : 2 = 21

Hər tərəf yarıya enir, deməli perimetr də yarıya enir.

Medianı orta xətt sanmaq

Səhv

BK — orta xətt

BK B təpəsindən çıxır: bu, mediandır və heç bir tərəfə paralel deyil.

Düz

MN — orta xətt

Hər iki ucu tərəflərin ortasındadır: M — AB-nin, N — BC-nin.

Median və orta xəttBK mediandır (qırmızı): B təpəsini qarşı tərəfin ortası K ilə birləşdirir. MN orta xətdir (lime): iki tərəfin ortalarını birləşdirir və təpədən keçmir.ABCKMNmedianorta xətt
Lövhə 9Median və orta xətt

7 · Həyatda

Orta xətt əşyalarda

Bir parçanın uclarını iki «ayaq» birləşdirirsə və ayaqların ortası bağlanırsa, bu bağ orta xətdir: o, parçaya paraleldir və onun yarısıdır.

A-şəkilli nərdivanİki ayağı yuxarıda birləşən nərdivan. Ayaqların ortalarını birləşdirən qayış (lime) döşəməyə paraleldir və ayaqlar arasındakı 1,3 m məsafənin yarısına, 0,65 m-ə bərabərdir.1,3 m0,65 m
Lövhə 10Nərdivan
Qayış ayaqların ortalarını birləşdirir: ayaqlar 1,3 m aralananda qayış 0,65 m dartılır və döşəməyə paralel qalır.
Dam tiriDamın iki maili tirinin ortalarını birləşdirən üfüqi tir (lime) aşağıdakı 8,4 m-lik tirə paraleldir və onun yarısına, 4,2 m-ə bərabərdir.4,2 m8,4 m
Lövhə 11Dam tiri
Dam tirlərinin ortasını bağlayan üfüqi tir 8,4 m-lik aşırımın yarısıdır — 4,2 m.
Nəyi ölçürük, nəyi tapırıq?
VəziyyətOrta xəttÜçüncü tərəf
GölMN = 31 m (quruda ölçülür)AC = 62 m
Nərdivanqayış 0,65 mayaqlar arası 1,3 m
Damüfüqi tir 4,2 maşırım 8,4 m

8 · Özünü yoxla

Bacarığını sına

Cavabı seç: düz olanda lime, səhv olanda qırmızı işıqlanacaq. Həllə də baxa bilərsən.

  1. Asan

    ΔDEF-də P nöqtəsi EF tərəfinin ortasıdır. DP parçası nədir?

    Sual 1 variantları

    Düzdür! DP təpəni qarşı tərəfin ortası ilə birləşdirir.

    Orta xəttin iki ucu da tərəflərin ortasındadır. DP isə D təpəsindən çıxır.

    Həllə bax

    D təpədir, P qarşı tərəfin ortasıdır — DP mediandır. Orta xətt üçün iki tərəfin ortası lazımdır; 90° haqda heç nə deyilməyib, ona görə hündürlük də demək olmaz.

  2. Asan

    ΔABC-də AC = 15,4 sm. AB və BC tərəflərinin ortalarını birləşdirən parçanın uzunluğu nə qədərdir?

    Sual 2 variantları

    Düzdür! Orta xətt üçüncü tərəfin yarısıdır.

    Orta xətt tərəfdən uzun və ya ona bərabər ola bilməz — yarısıdır.

    Həllə bax

    Parça AC-yə paralel orta xətdir: 15,4 : 2 = 7,7 sm.

  3. Orta

    Üçbucağın orta xətləri 4 sm, 5,5 sm və 7,5 sm-dir. Üçbucağın perimetri nə qədərdir?

    Sual 3 variantları

    Düzdür! Hər tərəf orta xəttin iki mislidir.

    17 sm orta nöqtələr üçbucağının perimetridir; böyük üçbucağın tərəfləri iki dəfə uzundur, dörd dəfə yox.

    Həllə bax

    Tərəflər 8, 11 və 15 sm-dir (8 + 11 > 15). P = 8 + 11 + 15 = 34 sm, yəni 2 · 17.

  4. Orta

    ΔABC-də ∠C = 90°. M — AB-nin, N — BC-nin ortasıdır. ∠BNM nəyə bərabərdir?

    Sual 4 variantları

    Düzdür! MN ∥ AC, ona görə N-dəki bucaq C-dəki bucağa bərabərdir.

    ∠A M-dəki bucağa bərabərdir. N-dəki bucaq hansı bucağa uyğun gəlir?

    Həllə bax

    MN ∥ AC və BC kəsəndir: ∠BNM = ∠BCA = 90° (uyğun bucaqlar). M-dəki ∠BMN isə ∠A-ya bərabərdir.

  5. Çətin

    Bərabəryanlı üçbucağın oturacağa paralel orta xətti 6 sm, yan tərəfi 9,5 sm-dir. Perimetri nə qədərdir?

    Sual 5 variantları

    Düzdür! Oturacaq 12 sm, iki yan tərəf 19 sm.

    Orta xətt oturacağın özü deyil, yarısıdır. Və iki yan tərəfi də topla.

    Həllə bax

    Oturacaq = 2 · 6 = 12 sm. P = 12 + 9,5 + 9,5 = 31 sm. 9,5 + 9,5 > 12, üçbucaq var.

  6. Çətin

    M, N, K — ΔABC-nin AB, BC, AC tərəflərinin ortalarıdır. AB = 13 sm, AC = 11 sm. AMNK dördbucaqlısının perimetri nə qədərdir?

    Sual 6 variantları

    Düzdür! P(AMNK) = AB + AC.

    AMNK paraleloqramdır: dörd tərəfin hamısını topla — iki AM və iki AK.

    Həllə bax

    AM = 6,5, AK = 5,5; MN = AK, NK = AM (paraleloqram). P = 2 · (6,5 + 5,5) = 24 sm = 13 + 11.

9 · Yekun

Üç nəticə

  • Orta xətt: MN ∥ AC, MN = AC : 2İki tərəfin ortasını birləşdirən parça üçüncü tərəfə paraleldir və onun yarısıdır.
  • Niyə: Fales + paraleloqramParalellik Fales teoremindən, «yarısı» AMNK paraleloqramından (MN = AK = KC) gəlir.
  • Üç orta xətt: perimetr : 2Onlar üçbucağı dörd konqruyent üçbucağa bölür; orta nöqtələr üçbucağının perimetri yarıdır.

Növbəti mövzu: 3.23 Trapesiya — yalnız bir cüt qarşı tərəfi paralel olan dördbucaqlı.