• 3.23
  • 8-ci sinif
  • Həndəsə

Trapesiya

Üçbucağın təpəsini oturacağına paralel düz xətlə kəsək. Qalan dördbucaqlının neçə cüt paralel tərəfi var? Yalnız bir cüt — belə dördbucaqlıya trapesiya deyilir.

Bu dərsdə

  • trapesiyanın oturacaqlarını, yan tərəflərini və hündürlüyünü tapacaq, bərabəryanlı və düzbucaqlı trapesiyanı ayıracaqsan;
  • bərabəryanlı trapesiyanın bucaqları və diaqonalları haqqında iki teoremi isbat edəcəksən;
  • köməkçi xətlərlə trapesiyanı düzbucaqlı, paraleloqram və üçbucaqlara bölüb hesablayacaqsan.
  • oturacaq
  • yan tərəf
  • hündürlük
Üçbucaqdan trapesiyaÜçbucağın üst hissəsi oturacağına paralel düz xətlə kəsilib (kəsilən hissə qırıq xətlə). Qalan ABCD dördbucaqlısında yalnız AD və BC tərəfləri paraleldir (ox işarələri): bu, trapesiyadır. AD və BC oturacaqlar (mavi), AB və CD yan tərəflər (narıncı), BH hündürlükdür (lime, düz bucaq işarəsi ilə).ABCDHAD ∥ BC
  1. Hansı trapesiyadır?
  2. Adlar
  3. Bucaqlar
  4. Teoremlər
  5. Köməkçi xətlər
  6. Hesabla
  7. Diqqət
  8. Həyatda
  9. Özünü yoxla
  10. Yekun

1 · Kəşf et

Hansı dördbucaqlı trapesiyadır?

Paralelliyi gözlə yox, bucaqlarla yoxlayaq. 7-ci sinifdən bilirsən: iki düz xətti kəsən üçüncü düz xətt əmələ gətirən daxili birtərəfli bucaqların cəmi 180°-dirsə, həmin düz xətlər paraleldir. ABCD-də ∠A və ∠B AB tərəfinin iki ucundadır: onların cəmi 180° olarsa, AD ∥ BC.

Dördbucaqlını seç
Üç dördbucaqlı və onların bucaqlarıSeçilən dördbucaqlı ABCD bucaqları ilə çəkilib. 1-ci fiqur: 70°, 110°, 125°, 55°, yalnız AD ∥ BC. 2-ci fiqur: 65°, 115°, 65°, 115°, AD ∥ BC və AB ∥ CD. 3-cü fiqur: 80°, 95°, 110°, 75°, paralel tərəf yoxdur. Paralel tərəflər ox işarələri ilə göstərilib.70°110°125°55°ADBC65°115°65°115°ADBC80°95°110°75°ADBC
Lövhə 1Bucaqlarla paralellikbucaqlar dəqiqdir

70° + 110° = 180°, deməli AD ∥ BC. Amma 70° + 55° = 125°: AB və CD paralel deyil. Yalnız bir cüt paralel tərəf — bu, trapesiyadır.

65° + 115° = 180° həm ∠A + ∠B, həm də ∠A + ∠D üçün. İki cüt tərəf paraleldir: bu, paraleloqramdır, trapesiya deyil.

80° + 95° = 175°, 80° + 75° = 155°. Heç bir cəm 180° deyil: paralel tərəf yoxdur. Bu, adi dördbucaqlıdır.

Fərq paralel cütlərin sayındadır: 1-ci fiqurda bir, 2-cidə iki, 3-cüdə heç biri.

2 · Qayda

Trapesiya və onun hissələri

Yadda saxla

Yalnız iki tərəfi paralel olan dördbucaqlıya trapesiya deyilir.

  • Paralel tərəflər trapesiyanın oturacaqları, paralel olmayan tərəflər isə yan tərəfləri adlanır.
  • Oturacağın hər hansı nöqtəsindən digər oturacağı saxlayan düz xəttə çəkilən perpendikulyar trapesiyanın hündürlüyüdür.
AD ∥ BC, BH ⊥ AD
Trapesiyanın hissələriABCD trapesiyasında AD və BC oturacaqlardır (mavi, ox işarələri ilə paralel), AB və CD yan tərəflərdir (narıncı). B nöqtəsindən çəkilən BH və BC-nin M nöqtəsindən çəkilən MN hündürlükləri (lime) AD-yə perpendikulyardır və bərabərdir.ADBCMHNhh
Lövhə 2AdlarABCD, AD ∥ BC
BH və MN eyni uzunluqdadır: hər ikisi paralel AD və BC arasındakı məsafədir. Ona görə trapesiyanın hündürlüyünü oturacağın istənilən nöqtəsindən çəkmək olar.

«Yalnız» sözü vacibdir: paraleloqramın iki cüt paralel tərəfi var, ona görə paraleloqram trapesiya deyil (Lövhə 1, 2-ci fiqur). Adətən trapesiya ABCD kimi yazılır, AD — böyük oturacaq, BC — kiçik oturacaqdır.

  • Yan tərəfləri konqruyent olan trapesiyaya bərabəryanlı trapesiya deyilir: AB = CD.
  • Yan tərəflərindən biri oturacağına perpendikulyar olan trapesiyaya düzbucaqlı trapesiya deyilir. Belə trapesiyanın iki düz bucağı var: ∠A = ∠B = 90°.
Bərabəryanlı və düzbucaqlı trapesiyaSolda bərabəryanlı trapesiya: yan tərəfləri AB və CD bərabərdir (çərtiklər). Sağda düzbucaqlı trapesiya: AB yan tərəfi oturacaqlara perpendikulyardır, A və B bucaqları düzdür.bərabəryanlıdüzbucaqlıADBCADBC
Lövhə 3İki xüsusi trapesiya

3 · Qayda

Yan tərəfə bitişik bucaqlar

Lövhə 1-də paralelliyi bucaqların cəmi ilə tapdıq. Tərsinə də doğrudur: AD ∥ BC olduğu üçün AB kəsəni ilə əmələ gələn ∠A və ∠B daxili birtərəfli bucaqlardır, CD kəsəni ilə isə ∠D və ∠C.

Qayda

Trapesiyanın yan tərəfinə bitişik bucaqlarının cəmi 180°-dir:

∠A + ∠B = 180°∠C + ∠D = 180°

Oturacağa bitişik bucaqlar (∠A və ∠D) üçün belə qayda yoxdur: ümumi trapesiyada onların cəmi istənilən ola bilər.

Yan tərəfə bitişik bucaqlarAD ∥ BC. AB kəsəni ilə A və B bucaqları daxili birtərəfli bucaqlardır: α və 180° − α. CD kəsəni ilə D və C bucaqları: β və 180° − β.α180° − αβ180° − βADBC
Lövhə 4İki kəsən, iki cüt

4 · Teorem

Bərabəryanlı trapesiyada nə bərabərdir?

Teorem 1

Bərabəryanlı trapesiyanın oturacaqlarına bitişik bucaqları uyğun olaraq konqruyentdir.

∠A ≅ ∠D, ∠B ≅ ∠C

İsbat ideyası. Trapesiyanı tanış fiqurlara bölək: B-dən CD-yə paralel BH düz xəttini çəkək. Başla düyməsi qurmanı addım-addım göstərir.

Teorem 1-in isbatı
№TəklifƏsası
1BH ∥ CD, H ∈ ADqurma
2BCDH paraleloqramdırBC ∥ HD, BH ∥ CD
3BH ≅ CDparaleloqramın qarşı tərəfləri
4AB ≅ BHAB ≅ CD (verilir) və 3
5∠A ≅ ∠AHBΔABH bərabəryanlıdır
6∠AHB ≅ ∠Duyğun bucaqlar (BH ∥ CD, kəsən AD)
7∠A ≅ ∠D5 və 6
8∠B ≅ ∠C∠A + ∠B = 180°, ∠D + ∠C = 180° və 7
Teorem 1-in isbatıBərabəryanlı ABCD trapesiyasında (AB = CD) B-dən CD-yə paralel BH düz xətti çəkilib, H nöqtəsi AD üzərindədir. BCDH paraleloqramdır (mavi), deməli BH = CD = AB və ABH üçbucağı bərabəryanlıdır (lime). ∠A = ∠AHB, ∠AHB = ∠D (uyğun bucaqlar), deməli ∠A = ∠D.ADBCH∠A ≅ ∠D
Lövhə 5BH ∥ CD qurması

Teorem 2

Bərabəryanlı trapesiyanın diaqonalları konqruyentdir.

AC ≅ BD
Teorem 2-nin isbatı: ΔBAD və ΔCDA
№TəklifƏsası
1AB ≅ CDverilir
2∠A ≅ ∠DTeorem 1
3AD ≅ DAΔBAD və ΔCDA üçbucaqlarının ortaq tərəfidir
4ΔBAD ≅ ΔCDAüçbucaqların konqruyentliyinin TBT əlaməti
5AC ≅ BDkonqruyent üçbucaqların uyğun tərəfləri
Teorem 2-nin isbatıBərabəryanlı ABCD trapesiyasında BAD (mavi) və CDA (narıncı) üçbucaqları ortaq AD tərəfinə malikdir; AB = CD, ∠A = ∠D, buna görə üçbucaqlar konqruyentdir (TBT) və diaqonallar bərabərdir: AC = BD.ADBC
Lövhə 6Ortaq tərəfli iki üçbucaq
Mavi ΔBAD və narıncı ΔCDA AD tərəfində üst-üstə düşür. BD birincinin, AC ikincinin tərəfidir.

Simmetriya oxu

Bərabəryanlı trapesiyanın simmetriya oxu var: oturacaqların orta nöqtələrindən keçən düz xətt. Onun boyunca qatlasan, A ilə D, B ilə C üst-üstə düşür.

Teorem yalnız bərabəryanlı üçündür

Lövhə 1-in 1-ci fiqurunda ∠A = 70°, ∠D = 55°: yan tərəflər bərabər olmayanda oturacağa bitişik bucaqlar da bərabər olmaya bilər.

5 · Alət

İki köməkçi xətt

Kiçik oturacağın uclarından iki hündürlük

Bərabəryanlı ABCD-də (AD = a, BC = b) BH və CK hündürlüklərini çəkək. HBCK düzbucaqlıdır: HK = BC = b. ΔABH və ΔDCK düzbucaqlı üçbucaqlardır, hipotenuzları (AB = CD) və katetləri (BH = CK) bərabərdir — onlar konqruyentdir, ona görə AH = KD.

Trapesiyanı seç
Bərabəryanlı trapesiyada iki hündürlükBərabəryanlı ABCD trapesiyasında BH və CK hündürlükləri çəkilib. HBCK düzbucaqlıdır (mavi), HK = BC. ABH və DCK üçbucaqları (narıncı) konqruyentdir, ona görə AH = KD. Altdakı ölçü xətləri AH, HK, KD, AD və HD-ni göstərir; seçilən trapesiyada AD = 13, BC = 5 və ya AD = 16, BC = 6 və ya AD = 12, BC = 8, hündürlük 6.ADBCHKHK = 5454AD = 13HD = 9ADBCHKHK = 6565AD = 16HD = 11ADBCHKHK = 8282AD = 12HD = 10
Lövhə 7AH = KD1 xana = 0,5 vahid

AH = KD = (13 − 5) : 2 = 4, HD = 5 + 4 = 9.

AH = KD = (16 − 6) : 2 = 5, HD = 6 + 5 = 11.

AH = KD = (12 − 8) : 2 = 2, HD = 8 + 2 = 10.

Ədədlər dəyişir, qayda dəyişmir: iki bərabər «qıraq» AH və KD oturacaqların fərqini yarı bölür.

Yadda saxla

Bərabəryanlı trapesiyada kiçik oturacağın ucundan çəkilən BH hündürlüyü böyük oturacağı iki hissəyə bölür:

AH = a − b2 / ,  HD = a + b2 /

HD = a − AH = a − (a − b) : 2 = (a + b) : 2.

Təpədən yan tərəfə paralel düz xətt

Teorem 1-in isbatındakı qurma istənilən trapesiyada işləyir. C-dən AB-yə paralel CE çəkək (E ∈ AD). ABCE paraleloqramdır: AE = BC, CE = AB. Qalan hissə CED üçbucağıdır, onun tərəfləri trapesiyanın iki yan tərəfi və ED = AD − BC-dir.

Belə bir qurma trapesiyanın bütün məlumatlarını bir üçbucağa toplayır: bucaqlar (uyğun bucaqlar ∠CED = ∠A) və uzunluqlar.

Təpədən yan tərəfə paralel düz xəttABCD trapesiyasında AD = 13, BC = 4, AB = 5, CD = 6. C-dən AB-yə paralel CE çəkilib: ABCE paraleloqramdır (mavi), AE = 4, CE = 5. CED üçbucağının (narıncı) tərəfləri 5, 6 və ED = 9-dur.ADBCE456549
Lövhə 8ABCE + CEDmiqyasla

6 · Hesabla

Lövhəyə baxıb həll edirik

Nümunə 1Bucaqlar nisbətlə

Bərabəryanlı ABCD trapesiyasında (AD ∥ BC) ∠A : ∠B = 2 : 7. Trapesiyanın bütün bucaqlarını tapın.

Bucaqlar 2 : 7 nisbətindəBərabəryanlı ABCD trapesiyası (AB = CD, AD ∥ BC). A bucağı 2x, B bucağı 7x ilə işarələnib; C və D bucaqları axtarılır.2x7x??ADBC
Lövhə 92x və 7x
  1. ∠A və ∠B AB yan tərəfinə bitişikdir: 2x + 7x = 180°, x = 20°.
  2. ∠A = 40°, ∠B = 140°.
  3. Teorem 1: ∠D = ∠A = 40°, ∠C = ∠B = 140°.

    40°, 140°, 140°, 40°

Nümunə 2Yan tərəf və perimetr

Bərabəryanlı ABCD trapesiyasının oturacaqları BC = 4 sm, AD = 16 sm, BH hündürlüyü 8 sm-dir. Yan tərəfi və perimetri tapın.

Bərabəryanlı trapesiyada yan tərəfBərabəryanlı ABCD trapesiyasında BC = 4, AD = 16, BH hündürlüyü 8-dir. Yan tərəflər axtarılır.ADBCH4168??
Lövhə 10Hündürlük üçbucaq ayırır1 sm = 18 vahid
  1. AH = (16 − 4) : 2 = 6 sm (iki hündürlük qaydası).
  2. ΔABH düzbucaqlıdır: AB² = 6² + 8² = 100, AB = 10 sm; CD = AB = 10 sm.
  3. P = 4 + 16 + 10 + 10 = 40 sm.

    AB = CD = 10 sm, P = 40 sm

Nümunə 3Düzbucaqlı trapesiya

Düzbucaqlı ABCD trapesiyasında ∠A = ∠B = 90°, AB = 6 sm, BC = 5 sm, ∠D = 45°. Böyük oturacaq AD-ni tapın.

Düzbucaqlı trapesiya, 45° bucaqDüzbucaqlı ABCD trapesiyasında A və B bucaqları düzdür, AB = 6, BC = 5, D bucağı 45°-dir. C-dən CK hündürlüyü çəkilib. AD axtarılır.45°ADBCK65AD = ?
Lövhə 11CK hündürlüyü1 sm = 26 vahid
  1. CK ⊥ AD çəkək. ABCK düzbucaqlıdır: CK = AB = 6 sm, AK = BC = 5 sm.
  2. ΔCKD-də ∠K = 90°, ∠D = 45°, deməli ∠KCD = 45°: üçbucaq bərabəryanlıdır, KD = CK = 6 sm.
  3. AD = AK + KD = 5 + 6 = 11 sm.

    AD = 11 sm

Nümunə 4Belə trapesiya varmı?

Oturacaqları 13 sm və 4 sm, yan tərəfləri 5 sm və 6 sm olan trapesiya varmı? Bəs yan tərəflər 3 sm və 5 sm olsa?

  1. C-dən AB-yə paralel CE çəkək (Lövhə 8): AE = BC = 4, CE = AB, ED = 13 − 4 = 9 sm.
  2. CED üçbucağının tərəfləri 5, 6 və 9 sm-dir: 5 + 6 = 11 > 9. Belə üçbucaq var, ona paraleloqram əlavə edib trapesiyanı qururuq.
  3. Yan tərəflər 3 və 5 sm olsa, üçbucağın tərəfləri 3, 5 və 9 olardı: 3 + 5 = 8 < 9 — üçbucaq bərabərsizliyi pozulur.

    birinci trapesiya var, ikinci yoxdur

7 · Diqqət

Üç tez-tez edilən səhv

Bitişik bucaqları bərabər sanmaq

Səhv

∠A = ∠B

Yan tərəfə bitişik bucaqlar bərabər deyil, onların cəmi 180°-dir.

Düz

∠A + ∠B = 180°

Bərabərlik (∠A = ∠D) yalnız oturacağa bitişik bucaqlar üçündür və yalnız bərabəryanlı trapesiyada.

AH-ı oturacaqların bütün fərqi sanmaq

Səhv

AH = 16 − 4 = 12

Fərq iki qırağa — AH və KD-yə — bölünür.

Düz

AH = (16 − 4) : 2 = 6

Bərabəryanlı trapesiyada AH = KD (Lövhə 7).

Paraleloqramı trapesiya saymaq

Səhv

iki cüt ∥ → trapesiya

Tərif «yalnız iki tərəfi paralel» deyir.

Düz

bir cüt ∥ → trapesiya

İki cüt paralel tərəf paraleloqram verir (Lövhə 1, 2-ci fiqur).

8 · Həyatda

Suvarma arxı

Torpaq arxın divarı şaquli olsa, uçar. Ona görə arxı maili divarlarla qazırlar və onun en kəsiyi bərabəryanlı trapesiya olur.

Arxın üstü 3,2 m, dibi 1,2 m, dərinliyi 0,75 m-dir. Divarın uzunluğu nə qədərdir?

  1. Hər tərəfdə qıraq: (3,2 − 1,2) : 2 = 1 m.
  2. Divar düzbucaqlı üçbucağın hipotenuzudur: √(1² + 0,75²) = √1,5625 = 1,25 m.

    1,25 m

Arxın en kəsiyiSuvarma arxının en kəsiyi bərabəryanlı trapesiyadır: üstü 3,2 m, dibi 1,2 m, dərinliyi 0,75 m. Hər tərəfdə yan divar üfüqi istiqamətdə 1 m çıxır; divarın uzunluğu axtarılır.3,2 m1,2 m1 m0,75 m?
Lövhə 12Arxın en kəsiyi1 m = 80 vahid
Su kəsiyin içində; ölçü xətləri trapesiyanın oturacaqlarını və bir qırağı göstərir.

Trapesiyanı başqa yerlərdə də görürsən: vedrənin və abajurun yan görünüşü, torpaq bəndin və yol bəndinin kəsiyi, pilləkən məhəccərinin bir hissəsi.

9 · Özünü yoxla

Bacarığını sına

Cavabı seç: düz olanda lime, səhv olanda qırmızı işıqlanacaq. Həllə də baxa bilərsən.

  1. Asan

    ABCD dördbucaqlısında AD ∥ BC və AB ∥ CD. ABCD trapesiyadırmı?

    Sual 1 variantları

    Düzdür! Trapesiyada yalnız bir cüt tərəf paraleldir.

    Neçə cüt tərəf paraleldir? Tərifdəki «yalnız» sözünü xatırla.

    Həllə bax

    İki cüt qarşı tərəf paraleldir, bu, paraleloqramdır. Trapesiyanın isə yalnız iki tərəfi paraleldir.

  2. Asan

    ABCD trapesiyasında AD ∥ BC və ∠C = 133°. ∠D-ni tapın.

    Sual 2 variantları

    Düzdür! ∠C + ∠D = 180°.

    ∠C və ∠D CD yan tərəfinə bitişikdir: onlar bərabər deyil, cəmləri 180°-dir.

    Həllə bax

    CD yan tərəfinə bitişik bucaqların cəmi 180°-dir: ∠D = 180° − 133° = 47°.

  3. Orta

    Bərabəryanlı ABCD trapesiyasında (AD ∥ BC) ∠A = 52°. ∠B + ∠D nəyə bərabərdir?

    Sual 3 variantları

    Düzdür! ∠D = ∠A, ona görə ∠B + ∠D = ∠B + ∠A = 180°.

    Əvvəlcə ∠B-ni (yan tərəf qaydası), sonra ∠D-ni (Teorem 1) tap.

    Həllə bax

    ∠B = 180° − 52° = 128°, Teorem 1-ə görə ∠D = ∠A = 52°. ∠B + ∠D = 128° + 52° = 180°.

  4. Orta

    Bərabəryanlı ABCD trapesiyasında BC = 8 sm, AD = 18 sm, BH hündürlükdür. HD-ni tapın.

    Sual 4 variantları

    Düzdür! HD = (a + b) : 2.

    AH = (a − b) : 2, HD isə AD-nin qalan hissəsidir.

    Həllə bax

    AH = (18 − 8) : 2 = 5 sm, HD = 18 − 5 = 13 sm, yəni (18 + 8) : 2 = 13 sm.

  5. Çətin

    Düzbucaqlı ABCD trapesiyasında ∠A = ∠B = 90°, BC = 4 sm, AD = 24 sm, CD = 29 sm. AB-ni tapın.

    Sual 5 variantları

    Düzdür! CK = AB, ΔCKD-dən CK = 21 sm.

    CK ⊥ AD çək: KD = AD − BC. Sonra ΔCKD-də Pifaqor teoremi.

    Həllə bax

    CK ⊥ AD, ABCK düzbucaqlıdır: AK = 4, KD = 24 − 4 = 20 sm. ΔCKD: CK² = 29² − 20² = 841 − 400 = 441, CK = 21 sm. AB = CK = 21 sm.

  6. Çətin

    Oturacaqları 3 sm və 10 sm, yan tərəfləri 2 sm və 4 sm olan trapesiya varmı?

    Sual 6 variantları

    Düzdür! Üçbucaq bərabərsizliyi pozulur.

    Təpədən yan tərəfə paralel xətt çək və alınan üçbucağın tərəflərini yoxla.

    Həllə bax

    CE ∥ AB çəksək, CED üçbucağının tərəfləri 2, 4 və 10 − 3 = 7 sm olar. 2 + 4 = 6 < 7, belə üçbucaq yoxdur, deməli trapesiya da yoxdur.

10 · Yekun

Üç nəticə

  • Yalnız bir cüt paralel tərəfTrapesiyanın oturacaqları paraleldir, yan tərəfləri yox. Yan tərəfə bitişik bucaqların cəmi 180°-dir.
  • Bərabəryanlıda iki teoremOturacağa bitişik bucaqlar bərabərdir (∠A ≅ ∠D, ∠B ≅ ∠C), diaqonallar bərabərdir (AC ≅ BD).
  • Köməkçi xətlərHündürlüklər trapesiyanı düzbucaqlı və iki üçbucağa, yan tərəfə paralel xətt isə paraleloqram və üçbucağa bölür.

Növbəti mövzu: 3.24 Trapesiyanın orta xətti.