• 3.24
  • 8-ci sinif
  • Həndəsə

Trapesiyanın orta xətti

Yuxarıya doğru daralan nərdivanın aşağı pilləsi 52 sm, yuxarı pilləsi 32 sm-dir. Relslərin düz ortasındakı pillə nə qədər olmalıdır? Ölçməyə ehtiyac yoxdur: (32 + 52) : 2 = 42 sm. Bu pillə trapesiyanın orta xəttidir.

Bu dərsdə

  • orta xəttin uzunluğunu oturacaqlardan, oturacağı isə orta xətdən tapacaqsan;
  • orta xəttin niyə oturacaqların yarı cəmi olduğunu üçbucağın orta xətti ilə isbat edəcəksən;
  • nisbət, 60°-li trapesiya və diaqonallarla məsələlərdə orta xətti tətbiq edəcəksən.
  • oturacaqlar
  • orta xətt
  • köməkçi xətlər
Daralan nərdivanYuxarıya doğru daralan nərdivan. Aşağı pillə 52 sm, yuxarı pillə 32 sm-dir. Relslərin orta nöqtələri M və N çərtiklərlə göstərilib; onları birləşdirən orta pillə 42 sm-dir. Uzunluqlar relslərin orta xətti boyunca, miqyasla çəkilib.52 sm32 smMN42 sm
  1. Relslər trapesiyanın yan tərəfləridir, aşağı və yuxarı pillələr isə paralel oturacaqlarıdır.
  2. M və N relslərin orta nöqtələridir: çərtiklər bərabər hissələri göstərir.
  3. MN pilləsi orta xətdir: (32 + 52) : 2 = 42 sm.
  1. Kəşf et
  2. Tərif və teorem
  3. İsbat
  4. Hesabla
  5. Diaqonallar
  6. Diqqət
  7. Həyatda
  8. Özünü yoxla
  9. Yekun

1 · Kəşf et

Orta xətt nə qədər uzundur?

Yadına sal (3.23): trapesiyanın iki tərəfi — oturacaqları — paraleldir, o biri iki tərəfi isə yan tərəflərdir. Lövhədə alt oturacaq AD = 30 sm dəyişmir, üst oturacaq BC-ni sən seçirsən. M və N həmişə yan tərəflərin orta nöqtələridir. Lime MN parçasına bax.

Üst oturacağı seç
AD sabit, BC dəyişirAlt oturacaq AD = 30 sm. Üst oturacaq BC seçicidə 0, 10, 20 və ya 30 sm olur. M və N yan tərəflərin orta nöqtələridir (çərtiklər), lime MN parçası uyğun olaraq 15, 20, 25 və 30 sm-dir. BC = 0 olanda fiqur üçbucaqdır, BC = 30 olanda paraleloqramdır.AD = 30MN = 15ADB = CMNMN = 20BC = 10ADBCMNMN = 25BC = 20ADBCMNMN = 30BC = 30ADBCMN
Lövhə 1AD sabit, BC dəyişir1 xana = 1 sm

BC = 0: B ilə C üst-üstə düşür və fiqur üçbucağa çevrilir. MN onun orta xəttidir: 30 : 2 = 15 sm (3.22). Bu, trapesiya deyil — hədd halıdır.

MN = 20 sm. Bu, 10 ilə 30-un tam ortasıdır: (10 + 30) : 2 = 20. MN AD-dən qısa, BC-dən uzundur.

MN = 25 sm = (20 + 30) : 2. BC 10 sm uzandı, MN isə 5 sm: orta xətt iki dəfə yavaş dəyişir.

BC = AD = 30: ABCD paraleloqramdır, MN = 30 sm — oturacaqlara bərabərdir. Bu da trapesiya deyil — ikinci hədd halıdır.

Hər halda MN oturacaqlara paraleldir və onların ədədi ortasıdır. Trapesiya üçbucaqla paraleloqramın arasında qalır, orta xətti də 15 sm ilə 30 sm arasındadır.

2 · Qayda

Tərif və teorem

Yadda saxla

Tərif. Trapesiyanın yan tərəflərinin orta nöqtələrini birləşdirən parçaya trapesiyanın orta xətti deyilir.

Teorem. Trapesiyanın orta xətti oturacaqlarına paralel olub onların uzunluqları cəminin yarısına bərabərdir.

MN ∥ AD, MN ∥ BC MN = AD + BC2 /
Trapesiyanın orta xəttiABCD trapesiyası: BC və AD oturacaqlardır (mavi), AB və CD yan tərəflərdir. M AB-nin, N CD-nin orta nöqtəsidir: AM = MB (bir çərtik), CN = ND (iki çərtik). Lime MN parçası orta xətdir; oturacaqlar və MN eyni istiqamətli ox işarələri ilə paralel göstərilib.ADBCMNoturacaq BCoturacaq ADorta xətt MN
Lövhə 2Adlar və işarələr
AM = MB, CN = ND: MN trapesiyanın orta xəttidir. Ox işarələri üç paralel parçanı göstərir.

Ədədi orta

BC < MN < AD

Orta xətt oturacaqların ədədi ortasıdır, ona görə həmişə onların arasında qalır.

Tərs düstur

AD = 2 · MN − BC

Əvvəl oturacaqların cəmini tap: o, 2 · MN-dir. Sonra məlum oturacağı çıx.

Cəm lazım olanda

AD + BC = 2 · MN

Nisbət və perimetr məsələlərində orta xəttin özü yox, məhz bu cəm işləyir.

3 · İsbat

Niyə məhz yarı cəm?

Üçbucağın orta xəttini artıq bilirsən (3.22): o, üçüncü tərəfə paraleldir və onun yarısına bərabərdir. Fikir belədir: trapesiyanı eyni MN orta xəttinə malik üçbucağa çevirək.

B nöqtəsindən və CD-nin orta N nöqtəsindən düz xətt keçirək və onun AD düz xətti ilə kəsişmə nöqtəsini E ilə işarə edək. Başla düyməsi qurmanı addım-addım göstərir.

Orta xəttin isbatıABCD trapesiyası. B nöqtəsindən və CD-nin orta nöqtəsi N-dən keçən düz xətt AD düz xəttini D-dən sonra E nöqtəsində kəsir. Narıncı CNB və DNE üçbucaqları konqruyentdir: C və D-dəki bucaqlar daxili çarpaz, N-dəki bucaqlar qarşılıqlı bucaqlardır. Mavi DE parçası BC-yə bərabərdir. Lime MN ABE üçbucağının orta xəttidir, AE = AD + BC.ADEBCMNAE = AD + BC
Lövhə 3Trapesiyadan üçbucağa
Teoremin isbatı: təklif və əsas
№TəklifƏsas
1CN ≅ NDqurmaya görə: N CD-nin orta nöqtəsidir
2∠C ≅ ∠EDNdaxili çarpaz bucaqlar (BC ∥ AE, CD kəsəndir)
3∠CNB ≅ ∠DNEqarşılıqlı bucaqlar
4ΔCNB ≅ ΔDNEBTB əlamətinə görə (1, 2, 3)
5BC ≅ DE, BN ≅ NEkonqruyent üçbucaqların uyğun tərəfləri
6MN ∥ AE, MN = AE : 2M AB-nin, N BE-nin ortasıdır: MN ΔABE-nin orta xəttidir
7MN = (AD + DE) : 2AE = AD + DE
8MN = (AD + BC) : 2DE ≅ BC (5)

Paralellik də buradan çıxır: MN ∥ AE, AE isə AD düz xəttinin üzərindədir, deməli MN ∥ AD; BC ∥ AD olduğu üçün MN ∥ BC. Teorem isbat olundu.

4 · Hesabla

Dörd tip məsələ

Əvvəl soruş: nə məlumdur?

  • İki oturacaq → orta xətt onların yarı cəmidir.
  • Orta xətt və bir oturacaq → o biri oturacaq = 2 · orta xətt − məlum oturacaq.
  • Oturacaqların nisbəti → nisbəti cəmə, yəni 2 · orta xəttə tətbiq et.
  • Bucaq və yan tərəf → əvvəl çatışmayan oturacağı tap, sonra yarı cəm.
Nümunə 1Lək və cığır

Trapesiya formalı ləkin paralel tərəfləri 2,6 m və 4,2 m-dir. Ləkin o biri iki tərəfinin orta nöqtələrini düz cığır birləşdirir. Cığırın uzunluğunu tapın.

Nümunə 1: lək və cığırTrapesiya formalı lək: oturacaqları BC = 2,6 m və AD = 4,2 m. Yan tərəflərin orta nöqtələri M və N-i birləşdirən cığır MN soruşulur.2,6 m4,2 mMN = ?ADBCMN
Lövhə 4Cığır orta xətdir1 xana = 1/6 m
  1. Paralel tərəflər oturacaqlardır; cığır yan tərəflərin orta nöqtələrini birləşdirir, deməli orta xətdir.
  2. MN = (2,6 + 4,2) : 2 = 6,8 : 2 = 3,4 m.
  3. Yoxla: 2,6 < 3,4 < 4,2 — orta xətt oturacaqların arasındadır.

    MN = 3,4 m

Nümunə 2Oturacağı tapmaq

ABCD trapesiyasının orta xətti 23 sm, kiçik oturacağı BC = 15 sm-dir. Böyük oturacaq AD-ni tapın.

Nümunə 2: oturacağı tapmaqABCD trapesiyası: kiçik oturacaq BC = 15 sm, orta xətt MN = 23 sm. Böyük oturacaq AD soruşulur.15 sm23 smAD = ?ADBCMN
Lövhə 5Tərs düstur1 xana = 1,25 sm
  1. (AD + BC) : 2 = 23, deməli AD + BC = 2 · 23 = 46 sm.
  2. AD = 46 − 15 = 31 sm.
  3. Yoxla: (31 + 15) : 2 = 23.

    AD = 31 sm

Nümunə 3Nisbət

Trapesiyanın oturacaqları 3 : 7 nisbətindədir, orta xətti isə 25 sm-dir. Oturacaqları tapın.

Nümunə 3: nisbətABCD trapesiyasında BC : AD = 3 : 7, yəni BC = 3x, AD = 7x. Orta xətt MN = 25 sm.BC = 3x25 smAD = 7xADBCMN
Lövhə 63x və 7x1 xana ≈ 1,43 sm
  1. BC = 3x, AD = 7x.
  2. Nisbət oturacaqlara aiddir, orta xəttə yox: BC + AD = 2 · 25 = 50 sm.
  3. 3x + 7x = 50, 10x = 50, x = 5.
  4. BC = 15 sm, AD = 35 sm; yoxla: (15 + 35) : 2 = 25.

    15 sm və 35 sm

Nümunə 4120°-li bərabəryanlı trapesiya

Bərabəryanlı ABCD trapesiyasında (BC ∥ AD) ∠B = 120°, yan tərəf 16 sm, böyük oturacaq AD = 35 sm-dir. Orta xətti tapın.

Nümunə 4: 120°-li bərabəryanlı trapesiyaBərabəryanlı ABCD trapesiyası: AB = CD = 16 sm, AD = 35 sm, ∠B = 120°, deməli ∠A = 60°. BH və CK hündürlükləri AD-dən AH = KD = 8 sm ayırır. Orta xətt MN soruşulur.120°60°MN = ?35 sm816 smADBCHKMN
Lövhə 7Əvvəl kiçik oturacaq1 xana = 1,25 sm
  1. AB kəsəndir, BC ∥ AD: ∠A + ∠B = 180°, ∠A = 60°.
  2. BH ⊥ AD çəkək. ΔABH-da ∠ABH = 90° − 60° = 30°; 30°-li bucaq qarşısındakı katet hipotenuzun yarısıdır: AH = 16 : 2 = 8 sm.
  3. Bərabəryanlı trapesiyada KD = AH = 8 sm, HBCK isə düzbucaqlıdır (3.23): BC = HK = 35 − 8 − 8 = 19 sm.
  4. MN = (35 + 19) : 2 = 54 : 2 = 27 sm.

    MN = 27 sm

5 · Diaqonallar

Diaqonal orta xətti necə bölür?

AC diaqonalı trapesiyanı iki üçbucağa bölür: ABC və ACD. Orta xətt hər ikisindən keçir, ona görə iki üçbucaq orta xəttindən ibarətdir. Lövhədə BC = 14 sm, AD = 30 sm.

Diaqonallar orta xətti bölürABCD trapesiyası: BC = 14 sm, AD = 30 sm, orta xətt MN. AC diaqonalı MN-i K-da, BD diaqonalı L-də kəsir. MK = 7 sm və LN = 7 sm (lime), diaqonallar arasındakı KL = 8 sm (narıncı).77814 sm30 smADBCMNKL
Lövhə 8İki diaqonal, üç parça1 xana ≈ 1,1 sm
  1. ΔABC-də M AB-nin ortasıdır və MK ∥ BC. Üçbucağın tərəfinin ortasından paralel keçən düz xətt üçüncü tərəfi yarıya bölür (3.21–3.22): K AC-nin ortasıdır, MK isə orta xətdir: MK = 14 : 2 = 7 sm.
  2. ΔACD-də KN orta xətdir: KN = 30 : 2 = 15 sm. Cəmi MN = 7 + 15 = 22 sm = (14 + 30) : 2 — teoremin ikinci izahı.
  3. BD diaqonalı da eyni işi görür: ML = 30 : 2 = 15 sm (ΔABD), LN = 14 : 2 = 7 sm (ΔBCD).
  4. Diaqonallar arasında qalan parça: KL = ML − MK = 15 − 7 = 8 sm.

Qayda

Diaqonallar orta xəttin uclarından kiçik oturacağın yarısı qədər parça ayırır; aralarında qalan parça oturacaqların yarı fərqidir.

MK = LN = BC2 / KL = AD − BC2 /

6 · Diqqət

Dörd tez-tez edilən səhv

Cəmi yarıya bölməyi unutmaq

Səhv

MN = 32 + 52 = 84 sm

84 sm böyük pillədən də uzundur — orta pillə belə ola bilməz.

Düz

MN = (32 + 52) : 2 = 42 sm

Orta xətt həmişə oturacaqların arasında qalır.

Tərs məsələdə orta xətti oturacaqla ortalamaq

Nərdivanda orta pillə 42 sm, yuxarı pillə 32 sm-dir. Aşağı pillə?

Səhv

(42 + 32) : 2 = 37 sm

Yoxla: (37 + 32) : 2 = 34,5 sm, 42 sm yox.

Düz

2 · 42 − 32 = 52 sm

Əvvəl cəm: 2 · 42 = 84 sm, sonra məlum pilləni çıx.

Diaqonallar arasındakı parçanı orta xətt sanmaq

Səhv

KL = (30 + 14) : 2 = 22 sm

22 sm bütün MN-dir; K və L isə onun daxilindədir (Lövhə 8).

Düz

KL = (30 − 14) : 2 = 8 sm

Yarı cəm — bütün orta xətt, yarı fərq — diaqonallar arasındakı parça.

Nisbəti orta xəttə tətbiq etmək

Səhv

3x + 7x = 25 → 7,5 və 17,5 sm

Yoxla: (7,5 + 17,5) : 2 = 12,5 sm, 25 sm yox.

Düz

3x + 7x = 2 · 25 → 15 və 35 sm

Nisbət oturacaqlara aiddir, onların cəmi isə 2 · MN-dir (Nümunə 3).

7 · Həyatda

Orta xətt ətrafımızda

İki paralel parça və onların uclarını birləşdirən iki xətt olan hər yerdə trapesiya var. Ortadakı paralel parça isə yarı cəmdir.

Pilləkən-rəfAşağıya doğru genişlənən rəf: beş rəf yan dirəkləri bərabər hissələrə bölür. Yuxarı rəf 40 sm, aşağı rəf 80 sm, aralarındakılar 50, 60 və 70 sm-dir.40 sm50 sm60 sm70 sm80 sm
Lövhə 9Pilləkən-rəf1 xana ≈ 3,3 sm
Beş rəf yan dirəkləri bərabər hissələrə bölür. Hər daxili rəf qonşu rəflər arasındakı trapesiyanın orta xəttidir: 50 = (40 + 60) : 2, 60 = (40 + 80) : 2, 70 = (60 + 80) : 2. Ona görə rəflər bərabər addımla — hər dəfə 10 sm — uzanır.
Yelləncək-taxta3 m-lik taxta ortasından (O) 0,6 m hündürlükdəki dayağa söykənir. A ucu yerdən 0,15 m hündürlükdədir; B ucunun hündürlüyü soruşulur. Uclardan və dayaqdan yerə perpendikulyarlar AA₁B₁B trapesiyasını və onun orta xətti OO₁-i göstərir.ABOA₁O₁B₁0,15 m0,6 mBB₁ = ?
Lövhə 10Yelləncək-taxta1 xana = 12,5 sm
Uclardan və dayaqdan yerə endirilən perpendikulyarlar paraleldir: AA₁B₁B trapesiyadır, dayaq OO₁ isə onun orta xəttidir. Deməli AA₁ + BB₁ = 2 · 0,6 = 1,2 m: A ucu 0,15 m-də olanda B ucu 1,2 − 0,15 = 1,05 m-dədir. Bir uc nə qədər enirsə, o biri o qədər qalxır.

8 · Özünü yoxla

Bacarığını sına

Cavabı seç: düz olanda lime, səhv olanda qırmızı işıqlanacaq. Həllə də baxa bilərsən.

  1. Asan

    Trapesiyanın oturacaqları 15 sm və 23 sm-dir. Orta xətti nə qədərdir?

    Sual 1 variantları

    Düzdür! (15 + 23) : 2 = 19 sm.

    Orta xətt oturacaqların yarı cəmidir: əvvəl topla, sonra 2-yə böl.

    Həllə bax

    MN = (15 + 23) : 2 = 38 : 2 = 19 sm. 38 sm cəmin özüdür, 4 sm isə yarı fərqdir — o, diaqonallar arasındakı parçadır.

  2. Asan

    Trapesiyanın orta xətti hansı nöqtələri birləşdirir?

    Sual 2 variantları

    Düzdür! Orta xətt yan tərəflərin ortalarını birləşdirir və oturacaqlara paraleldir.

    Orta xətt oturacaqlara paraleldir. Hansı nöqtələri birləşdirən parça onlara paralel ola bilər?

    Həllə bax

    Tərifə görə orta xətt yan tərəflərin orta nöqtələrini birləşdirir (Lövhə 2). Diaqonalların ortaları da orta xəttin üzərindədir (K və L), amma onları birləşdirən KL parçası orta xəttin yalnız bir hissəsidir.

  3. Orta

    Trapesiyanın orta xətti 17,5 sm, bir oturacağı 11 sm-dir. O biri oturacaq nə qədərdir?

    Sual 3 variantları

    Düzdür! 2 · 17,5 − 11 = 24 sm.

    Orta xətt cəmin yarısıdır: cəm 2 · 17,5-dir. Ondan məlum oturacağı çıx.

    Həllə bax

    Oturacaqların cəmi 2 · 17,5 = 35 sm. O biri oturacaq 35 − 11 = 24 sm. Yoxla: (24 + 11) : 2 = 17,5.

  4. Orta

    Bərabəryanlı trapesiyanın orta xətti 15 sm, yan tərəfi 9 sm-dir. Perimetri nə qədərdir?

    Sual 4 variantları

    Düzdür! 2 · 15 + 2 · 9 = 48 sm.

    Perimetrdə iki oturacaq var, onların cəmi 2 · MN-dir. Yan tərəflər də ikidir.

    Həllə bax

    Oturacaqların cəmi 2 · 15 = 30 sm, iki yan tərəf 2 · 9 = 18 sm. P = 30 + 18 = 48 sm.

  5. Çətin

    Trapesiyanın oturacaqları 13 sm və 37 sm-dir. Orta xəttin diaqonallar arasında qalan parçası nə qədərdir?

    Sual 5 variantları

    Düzdür! (37 − 13) : 2 = 12 sm.

    Diaqonallar arasındakı parça yarı cəm deyil, yarı fərqdir.

    Həllə bax

    Orta xətt (13 + 37) : 2 = 25 sm. Hər diaqonal ucdan 13 : 2 = 6,5 sm ayırır. Aralarında 25 − 6,5 − 6,5 = 12 sm qalır, yəni (37 − 13) : 2.

  6. Çətin

    ABCD trapesiyasında (BC ∥ AD) AC diaqonalı MN orta xəttini K nöqtəsində MK = 5,5 sm və KN = 12 sm parçalarına bölür. AD oturacağı nə qədərdir?

    Sual 6 variantları

    Düzdür! KN ΔACD-nin orta xəttidir: AD = 2 · 12 = 24 sm.

    KN hansı üçbucağın orta xəttidir? Üçbucağın orta xətti tərəfin yarısıdır.

    Həllə bax

    KN ΔACD-nin orta xəttidir, ona görə AD = 2 · KN = 24 sm. Eyni qayda ilə BC = 2 · MK = 11 sm. Yoxla: (24 + 11) : 2 = 17,5 = 5,5 + 12.

9 · Yekun

Üç nəticə

  • Orta xətt — yarı cəmMN oturacaqlara paraleldir, MN = (AD + BC) : 2; tərsinə, AD = 2 · MN − BC.
  • Niyə belədirB və N-dən keçən düz xətt trapesiyanı ABE üçbucağına çevirir, MN isə onun orta xəttidir.
  • DiaqonallarOrta xətti üçbucaqların orta xətlərinə bölür; aralarında qalan parça (AD − BC) : 2-dir.

Növbəti mövzu: 3.25 Rasional ifadələr.