• 3.2
  • 8-ci sinif
  • Kvadrat kök. Həqiqi ədədlər

Həqiqi ədədlər

Tərəfi 1 olan kvadratın diaqonalı hansı ədəddir? Pifaqorçular hər uzunluğu iki natural ədədin nisbəti sanırdılar. Rəvayətə görə, onların tələbəsi Hipasus bu diaqonalın — √2-nin heç bir kəsrə bərabər olmadığını isbat etdi və «sirri açdığı» üçün dənizə atıldı.

Bu dərsdə

  • rasional və irrasional ədədləri onluq yazılışına görə fərqləndirəcək, ədədin N, Z, Q, İ və R çoxluqlarından hansılarına daxil olduğunu deyəcəksən;
  • √n-i iki ardıcıl tam ədəd arasında yerləşdirəcək, ədəd oxunda göstərəcək, ondabirə və yüzdəbirə qədər sıxışdıracaqsan;
  • kökləri, sonlu və dövri onluq kəsrləri müqayisə edib artan sıra ilə düzəcəksən.
Vahid kvadratın diaqonalı ədəd oxunda √2 nöqtəsini verir Ədəd oxunda 0-dan 1-ə qədər tərəfi 1 olan kvadrat qurulub. Onun diaqonalı pərgarla 0 mərkəzli qövs boyunca oxa köçürülür və 1 ilə 2 arasında, 1,41 yaxınlığında √2 nöqtəsinə düşür. Kartda: √2 = 1,41421356…, √2 heç bir m/n kəsrinə bərabər deyil. 0 1 2 1 1 ? √2 √2 = 1,41421356… ≠ m/n
  1. Diaqonal
  2. Onluq iz
  3. Qayda
  4. Çoxluqlar
  5. Ədəd oxu
  6. Kökü sıxışdır
  7. Təxmin
  8. Müqayisə
  9. Diqqət
  10. Həyatda
  11. Özünü yoxla

1 · Kəşf et

Diaqonal hansı ədəddir?

Dörd vahid kvadratdan 2 × 2 kvadrat düzəldək və hər kiçik kvadratda bir diaqonal çəkək. Dörd diaqonal ortada çəpəki bir kvadrat əmələ gətirir.

Sahəsi 2 olan çəpəki kvadrat 2 × 2 vahid kvadrat şəbəkəsi. Hər vahid kvadratın diaqonalı çəkilib; dörd diaqonal ortada çəpəki kvadrat əmələ gətirir. O, dörd yarım vahid kvadratdan ibarətdir: sahəsi 2, tərəfi √2. 1 1 √2 sahə 4 · ½ = 2 tərəf √2
Çəpəki kvadrat dörd yarım vahid kvadratdan ibarətdir, sahəsi 4 · 12 / = 2. Onun tərəfi vahid kvadratın diaqonalıdır. Kvadratı 2 olan müsbət ədəd √2-dir.

Kalkulyator √2 = 1,41421356… göstərir. Bəlkə bu, sadəcə uzun bir kəsrdir? Kvadratı 2-yə çox yaxın olan kəsrlər var. mn / kəsrinin kvadratı 2 olsaydı, m² = 2n² olardı. Yoxlayaq:

Kvadratı 2-yə yaxın kəsrlər
Kəsrm²2n²Fərq
3/298+1
7/54950−1
17/12289288+1
577/408332 929332 928+1

Fərq hər dəfə cəmi 1-dir: (577/408)² ≈ 2,000006 — çox yaxın, amma 2 deyil. Daha böyük kəsrlər də bərabərlik vermir. Səbəbi aşağıdakı sübutdadır.

Sübut√2 kəsr deyil

Fərz edək ki, √2 = mn / , burada m və n natural ədədlərdir və kəsr ixtisar olunmayandır.

  1. Kvadrata yüksəldirik: m² = 2n². Deməli, m² cüt ədəddir.
  2. Tək ədədin kvadratı təkdir, ona görə m özü cütdür: m = 2k.
  3. Yerinə yazırıq: 4k² = 2n², yəni n² = 2k². Deməli, n² də, n də cütdür.
  4. m və n ikisi də cütdür, onda kəsr 2-yə ixtisar olunur. Bu, fərziyyəyə ziddir.

    √2 heç bir mn / kəsrinə bərabər deyil

Dərslikdəki 13-cü çalışma bu sübutu boşluqları doldurmaqla qurdurur və eyni yolla √3 üçün sübut istəyir.

2 · Kəşf et

Kəsrin onluq izi

Kəsri onluq kəsrə çevirmək üçün surəti məxrəcə bölürük. Üç kəsrə baxaq:

78 / = 0,875 712 / = 0,58333… = 0,58(3) 27 / = 0,285714285714… = 0,(285714)

7-ni 8-ə böləndə bölmə qurtarır: 0,875 sonlu onluq kəsrdir. Son iki yazılış isə sonsuzdur, amma rəqəmlər eyni sıra ilə təkrarlanır. Belə kəsr sonsuz dövri onluq kəsr adlanır, təkrarlanan hissə mötərizədə yazılır.

2/7 bölünərkən qalıqların dövrü Altı kvadratda qalıqlar dairə boyunca düzülüb: 2, 6, 4, 5, 1, 3 və yenə 2. Hər oxun yanında qismətin rəqəmi: 2, 8, 5, 7, 1, 4. Ortada: 2/7 = 0,(285714). 2 8 5 7 1 4 2 6 4 5 1 3 2 : 70,(285714)
Kvadratlarda qalıqlar, mavi rəqəmlər qismətin rəqəmləridir. Qalığı 10-a vurub 7-yə bölürük: 2 → 6 → 4 → 5 → 1 → 3 və yenə 2. Dövr 285714-dür.

Niyə rəqəmlər təkrarlanır? 7-yə bölmədə qalıq yalnız 0, 1, 2, 3, 4, 5 və ya 6 ola bilər. Qalıq 0 olsa, bölmə qurtarır. Olmasa, ən çoxu 6 addımdan sonra əvvəlki qalıqlardan biri qayıdır və rəqəmlər yenidən eyni sıra ilə gəlir.

Deməli, istənilən kəsrin onluq yazılışı ya sonlu, ya da sonsuz dövri olur.

Tərsi də doğrudur: hər sonsuz dövri onluq kəsr müəyyən rasional ədədi ifadə edir.

x = 0,(135) 1000x = 135,(135) 1000x − x = 135, yəni 999x = 135 x = 135999 / = 537 /

İndi √2 haqqında nə deyə bilərik? O, kəsr deyil. Kəsrlərin yazılışı ya sonlu, ya da dövridir, ona görə √2 = 1,41421356… sonsuzdur və heç vaxt dövrə girmir.

3 · Qayda

Rasional, irrasional, həqiqi

Yadda saxla

Rasional ədəd mn / kəsri şəklində yazıla bilən ədəddir (m ∈ Z, n ∈ N). Onun onluq yazılışı sonlu və ya sonsuz dövri onluq kəsrdir. Rasional ədədlər çoxluğu Q ilə işarə olunur.

İrrasional ədəd dövrü olmayan sonsuz onluq kəsrdir, onu mn / şəklində yazmaq olmaz. İrrasional ədədlər çoxluğu İ ilə işarə olunur.

R = Q ∪ İ

Rasional və irrasional ədədlər birlikdə həqiqi ədədlər çoxluğu R-i əmələ gətirir: N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R.

Tam kvadrat olmayan ədədin kökü

√3, √34, √68 ∈ İ

n natural ədədin kvadratı deyilsə, √n irrasionaldır. Amma √256 = 16 rasionaldır, çünki 16² = 256.

Kökdən başqa irrasionallar

π = 3,14159…

π heç bir rasional ədədin kökü deyil, amma irrasionaldır. 0,505005000… da irrasionaldır: sıfırlar hər dəfə bir artır, dövr yoxdur.

Onluq yazılış növü göstərir
ƏdədYazılışNöv
7/80,875rasional (sonlu)
2/70,(285714)rasional (dövri)
√21,41421356…irrasional
0,505005…dövr yoxdurirrasional

4 · Laboratoriya

Hər ədədin öz yeri

Ədədi seç: xəritədə onu saxlayan bütün çoxluqlar qalın çərçivə ilə işıqlanacaq. N-dəki ədəd həm də Z, Q və R çoxluqlarındadır, çünki N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R.

Ədəd

√256 = 16, çünki 16² = 256: natural, tam, rasional və həqiqi ədəddir.

−66: tam, rasional və həqiqi ədəddir. Natural deyil — natural ədədlər müsbətdir.

−3/8 = −0,375: rasional və həqiqi ədəddir, tam deyil.

1,3(8) = 25/18: dövri onluq kəsrdir, deməli rasional və həqiqi ədəddir.

√34: 25 < 34 < 36, yəni 34 tam kvadrat deyil. √34 = 5,8309… irrasional və həqiqi ədəddir.

0,505005000…: sonsuzdur və dövrü yoxdur — irrasional və həqiqi ədəddir.

Həqiqi ədədlər çoxluğunun xəritəsi Böyük çərçivə R — həqiqi ədədlər. Solda Q — rasional ədədlər, onun içində Z — tam ədədlər, onun içində N — natural ədədlər. Sağda ayrıca İ — irrasional ədədlər. N-də √256 = 16, Z-də −66, Q-da −3/8 və 1,3(8), İ-də √34 və 0,505005000…. R — həqiqi Q — rasional Z — tam N — natural İ irrasional √256 = 16 −66 −3/8 1,3(8) √34 0,505005…
Q ilə İ-nin ortaq ədədi yoxdur: hər həqiqi ədəd ya rasionaldır, ya da irrasional.

5 · Qayda

Həqiqi ədədlər ədəd oxunda

Ədəd oxunun hər nöqtəsinə bir həqiqi ədəd, hər həqiqi ədədə isə bir nöqtə uyğundur. Sağdakı nöqtənin ədədi soldakından böyükdür. Hero-dakı pərgar √2-nin nöqtəsini göstərdi; başqa köklərin yerini kvadratlarla tapırıq.

Qayda

0 ≤ a < b ⇒ √a < √b

Sahəsi böyük olan kvadratın tərəfi də böyükdür. Ona görə kökaltı ədədi iki ardıcıl tam kvadrat arasına salsaq, kök də onların kökləri arasına düşür.

Nümunə 1√90 və −√90 haradadır?
  1. 90-ı iki ardıcıl tam kvadrat arasında yerləşdiririk: 81 < 90 < 100.
  2. Köklər eyni sırada qalır: √81 < √90 < √100, yəni 9 < √90 < 10.
  3. −√90 nöqtəsi √90-ın 0-a görə simmetrikidir. Mənfi tərəfdə sıra tərsinə dönür: −10 < −√90 < −9.

    9 < √90 < 10; −10 < −√90 < −9

√90 və −√90 ədəd oxunda 0 ətrafında qırılmış ədəd oxu. Sağda 8, 9, 10; √90 nöqtəsi 9 ilə 10 arasında, təxminən 9,49-da. Solda −10, −9, −8; −√90 nöqtəsi −10 ilə −9 arasında. Qövs iki nöqtənin 0-a görə simmetrik olduğunu göstərir. −10 −9 −8 8 9 10 0 −√90 √90 ≈ −9,49 ≈ 9,49
Ox 0 ətrafında qırılıb, hər iki hissədə miqyas eynidir. √90 ≈ 9,49 — 9 ilə 10 arasında; −√90 ≈ −9,49 isə −10 ilə −9 arasındadır.

6 · Laboratoriya

√68-i sıxışdır

√68-in yerini getdikcə dar aralıqlarla tapaq. Hər addımda sərhədləri kvadrata yüksəldib 68 ilə müqayisə edirik.

Dəqiqlik

8² = 64 < 68 < 81 = 9², ona görə 8 < √68 < 9. √68-in tam hissəsi 8-dir.

8,2² = 67,24 < 68 < 68,89 = 8,3², ona görə 8,2 < √68 < 8,3.

8,24² = 67,8976 < 68 < 68,0625 = 8,25², ona görə 8,24 < √68 < 8,25.

√68-in yeri üç dəqiqlikdə Üç ədəd oxu. Birinci: 6-dan 10-a qədər, üstündə kvadratlar 36, 49, 64, 81, 100; lime aralıq 8–9. İkinci: 8-dən 9-a qədər ondabirlərlə, lime aralıq 8,2–8,3, üstündə 67,24 və 68,89. Üçüncü: 8,2-dən 8,3-ə qədər yüzdəbirlərlə, lime aralıq 8,24–8,25, üstündə 67,8976 və 68,0625. Narıncı nöqtə hər oxda √68-dir. 6 36 7 49 8 64 9 81 10 100 8 9 8,2 8,3 67,24 68,89 8,2 8,3 8,24 8,25 67,8976 68,0625 √68
Hər ox əvvəlki oxun lime aralığının böyüdülmüş halıdır, üstündə sərhədlərin kvadratları yazılıb. Narıncı nöqtə √68-dir (kalkulyatorla 8,2462…).

Yuvarlaqlaşdırma sərhəd deyil. Yüzdəbirə qədər yuvarlaqlaşdırmaq üçün aralığın ortasını yoxlayırıq: 8,245² = 67,980025 < 68, deməli √68 > 8,245 və √68 ≈ 8,25.

Amma 8,25 √68-dən böyükdür (8,25² = 68,0625). Ona görə «8,25 < √68 < 8,26» yazmaq səhvdir: √68 8,24 ilə 8,25 arasındadır.

7 · Hesabla

Kalkulyatorsuz təxmin

Dərslik √14-ü belə təxmin edir: 14 ədədi 9 ilə 16 arasındadır, 9-dan 16-ya qədər 7 vahid, 9-dan 14-ə qədər 5 vahiddir, ona görə √14 ≈ 3 57 / . Eyni üsulu başqa ədədə tətbiq edək.

Nümunə 2√21-i təxmin et
  1. 16 < 21 < 25, ona görə 4 < √21 < 5: tam hissə 4-dür.
  2. 16-dan 25-ə qədər 9 vahid, 16-dan 21-ə qədər 5 vahiddir.
  3. Kəsr hissəsini təxminən 59 / götürürük: √21 ≈ 4 59 / ≈ 4,56.
  4. Kalkulyatorla yoxlayırıq: √21 = 4,5825… Təxmin 0,03-dən az fərqlənir, amma bir az kiçikdir.

    √21 ≈ 4,56

√21-in təxmini: kvadratlar və köklər şkalası Yuxarı şkala 16-dan 25-ə qədər kvadratlardır, 21 ədədi 16-dan 5 vahid, 25-dən 4 vahid aralıdadır. Aşağı şkala 4-dən 5-ə qədər köklərdir. 21-dən aşağı enən xətt 4 5/9 ≈ 4,56 təxmininə düşür; əsl √21 ≈ 4,58 bir az sağdadır. 16 21 25 5 vahid 4 vahid 4 5 4 5/9 ≈ 4,56 √21 ≈ 4,58
Yuxarıda kvadratlar, aşağıda köklər. 21 ədədi 16-dan 25-ə gedən yolun 59 / hissəsindədir; təxmin √21-i aşağıda eyni nisbətdə yerləşdirir. Əsl √21 bir az sağdadır.

Babil üsulu

√a² + b ≈ a + b2a /

√21 = √16 + 5 ≈ 4 + 58 / = 4,625 — bu dəfə bir az böyükdür. Əsl qiymət 4,5825… iki təxminin arasındadır.

Kvadratla yoxla

4,56² = 20,7936

20,7936 < 21, deməli 4,56 √21-dən kiçikdir. Təxmini qiyməti kvadrata yüksəldib kökaltı ədədlə müqayisə et.

8 · Hesabla

Müqayisə et və sırala

Həqiqi ədədləri iki yolla müqayisə edirik: onluq yazılışları rəqəm-rəqəm tuturuq, ya da müsbət ədədləri kvadrata yüksəldirik — müsbət ədədlərdən kvadratı böyük olan böyükdür.

Nümunə 3√58 və 7,6
  1. 7,6² = 57,76, (√58)² = 58.
  2. 57,76 < 58 və hər iki ədəd müsbətdir.

    √58 > 7,6

Nümunə 40,4(7) və 0,47
  1. Yazılışları açırıq: 0,4(7) = 0,4777…, 0,47 = 0,4700…
  2. Üçüncü onluq rəqəmdə 7 > 0.

    0,4(7) > 0,47

Nümunə 5Artan sıra ilə düz

−√26; 5,09; −5,1; √26; −5,(09)

  1. √26-nı sıxışdırırıq: 5,09² = 25,9081 < 26 < 26,01 = 5,1², ona görə 5,09 < √26 < 5,1. Kalkulyatorla √26 = 5,0990…
  2. Hamısını dörd onluq rəqəmlə yazırıq (cədvəl) və əvvəl müsbətləri düzürük: 5,09 < √26.
  3. Mənfilərdə modulu böyük olan kiçikdir: 5,1000 > 5,0990 > 5,0909, ona görə −5,1 < −√26 < −5,(09). Mənfilər müsbətlərdən əvvəl gəlir.
Dörd onluq rəqəmlə
ƏdədYazılışYer
−5,1−5,10001
−√26−5,0990…2
−5,(09)−5,0909…3
5,095,09004
√265,0990…5
  1. −5,1
  2. <−√26
  3. <−5,(09)
  4. <5,09
  5. <√26

Mavi — rasional, narıncı — irrasional ədədlər.

9 · Diqqət

Üç tələ

Səhv düşüncə

0,(185) — irrasional

Sonsuz olmaq kifayət deyil: bu yazılışın dövrü var.

Düzgün

0,(185) = 185999 / = 527 /

Dövri onluq kəsr rasional ədəddir.

Səhv düşüncə

√3,61 — irrasional

Kök işarəsi irrasionallıq demək deyil.

Düzgün

√3,61 = 1,9

1,9² = 3,61, deməli ədəd rasionaldır.

Səhv düşüncə

−9 < −√90 < −10

9 < √90 < 10 bərabərsizliyindən işarəni dəyişib sıranı saxlamaq olmaz: −9 < −10 doğru deyil.

Düzgün

−10 < −√90 < −9

Mənfi tərəfdə sıra tərsinə dönür: −10 ədədi −9-dan soldadır.

10 · Həyatda

Xalça otağa sığarmı?

Kvadrat formalı xalçanın sahəsi 33 m²-dir. Onu eni 5,7 m olan A otağına və ya eni 5,8 m olan B otağına sərmək istəyirlər. Hansına sığar?

Xalçanın tərəfi və otaqların eni 5,6 m-dən 5,9 m-ə qədər şkala. Narıncı zolaq: xalçanın tərəfi √33 ≈ 5,74 m. A otağının eni 5,7 m — xalçadan qısadır. B otağının eni 5,8 m — xalçadan uzundur. Xalça: √33 ≈ 5,74 m A otağı: 5,7 m — sığmır B otağı: 5,8 m — sığır 5,6 5,7 5,8 5,9
Zolaqlar 5,6 m-dən başlayır (ox qırılıb). Narıncı qırıq xətt xalçanın tərəfidir: A otağının zolağı ondan qısa, B-ninki uzundur.

Xalçanın tərəfi: a = √33 m, çünki a² = 33. 5,7² = 32,49 < 33 ⇒ √33 > 5,7 5,8² = 33,64 > 33 ⇒ √33 < 5,8

Xalça A otağına sığmır, B otağına isə sığır. Kalkulyatorla √33 ≈ 5,74 m: A otağında xalça 4 sm-dən çox artıq gəlir, B otağında isə 5 sm-dən çox boş yer qalır.

Otağı düzbucaqlı, xalçanı isə divara paralel sayırıq.

11 · Özünü yoxla

Bacarığını sına

Cavabı seç — düzgün olanda yaşıl, səhv olanda qırmızı işıqlanacaq. Həllinə də baxa bilərsən.

  1. Asan

    Hansı ədəd irrasionaldır?

    Cavab variantları

    Düzdür! Sıfırlar hər dəfə bir artır — dövr yoxdur.

    Yox. Dövri kəsr, adi kəsr və kökü tam hesablanan ədəd rasionaldır.

    Həllə bax

    0,(52) = 52/99 — dövri, rasional. √2,56 = 1,6, çünki 1,6² = 2,56. −25/6 = −4,1(6) — kəsr, rasional. 0,8080080008… sonsuzdur və dövrü yoxdur, deməli irrasionaldır.

  2. Asan

    √115 ədədi hansı iki ardıcıl tam ədəd arasında yerləşir?

    Cavab variantları

    Düzdür: 100 < 115 < 121.

    Yox. 115-in iki tərəfindəki tam kvadratları tap və onların köklərini götür.

    Həllə bax

    10² = 100 < 115 < 121 = 11², ona görə 10 < √115 < 11. 100 və 121 kökün yox, kökaltı ədədin sərhədləridir. 115 : 2 = 57,5 — kökalma 2-yə bölmək deyil. 11² = 121 > 115, ona görə √115 11-dən kiçikdir.

  3. Orta

    Hansı bərabərsizlik doğrudur?

    Cavab variantları

    Düzdür: 7,8² = 60,84 < 62 < 62,41 = 7,9².

    Yox. Sərhədləri kvadrata yüksəlt və 62 ilə müqayisə et.

    Həllə bax

    7,8² = 60,84 < 62 və 7,9² = 62,41 > 62, deməli 7,8 < √62 < 7,9. √62 = 7,87… ondabirə qədər 7,9-a yuvarlaqlaşır, amma 7,9 sərhəd deyil — √62 ondan kiçikdir. 6,2² = 38,44 çox kiçikdir. 7,8² < 62 olduğu üçün √62 7,8-dən böyükdür.

  4. Orta

    −√35; −5,9; −5,(91) ədədləri artan sıra ilə necə düzülür?

    Cavab variantları

    Düzdür! Modulu ən böyük olan −5,(91) ən soldadır.

    Yox. Əvvəl modulları müqayisə et, sonra mənfi tərəfdə sıranı tərsinə çevir.

    Həllə bax

    5,9² = 34,81 < 35, ona görə √35 > 5,9. √35 = 5,9160…, 5,(91) = 5,9191…, ona görə √35 < 5,(91). Modullar: 5,9 < √35 < 5,(91). Mənfi ədədlər: −5,(91) < −√35 < −5,9.

  5. Çətin

    9,2 < √a < 9,3 doğrudursa, a hansı ədəd ola bilər?

    Cavab variantları

    Düzdür: 84,64 < 86 < 86,49.

    Yox. Bərabərsizliyin hər tərəfini kvadrata yüksəlt: 9,2² < a < 9,3².

    Həllə bax

    9,2² = 84,64, 9,3² = 86,49, ona görə 84,64 < a < 86,49. 84 bu aralıqdan kiçik, 87 isə böyükdür. 9,25 aralığın ortasıdır, amma √a üçün; a-nın özü üçün deyil: √9,25 ≈ 3,04.

  6. Çətin

    Hansı ədəd 4,8 ilə 4,9 arasında yerləşən irrasional ədəddir?

    Cavab variantları

    Düzdür: 23,04 < 24 < 24,01 və 24 tam kvadrat deyil.

    Yox. İki şərti ayrıca yoxla: ədəd aralıqdadırmı və irrasionaldırmı?

    Həllə bax

    4,8² = 23,04, 4,9² = 24,01. √24: 23,04 < 24 < 24,01 və 24 tam kvadrat deyil — irrasional. 4,(85) aralıqdadır, amma dövri kəsrdir — rasional. √23,04 = 4,8 — rasional və aralığın ucu. √24,1 > √24,01 = 4,9 — aralıqdan kənardır.

Xülasə

Yadda qalanlar

  • Q: sonlu və ya dövriRasional ədəd m/n kəsridir; onluq yazılışı sonlu və ya dövridir, dövri kəsr həmişə adi kəsrə çevrilir.
  • İ: dövrsüz və sonsuz√n (n tam kvadrat deyilsə) və π irrasionaldır; R = Q ∪ İ.
  • a² < n < b² ⇒ a < √n < bKökü kvadratlarla sıxışdır, müqayisədə kvadrata yüksəlt; mənfi tərəfdə sıra tərsinə dönür.

Növbəti mövzu: 3.3 y = x² və y = √x funksiyaları