• 3.25
  • 8-ci sinif
  • Cəbr

Rasional ifadələr

Kalkulyatorda 12 : 0 yazsan, ekranda «Error» çıxacaq. Məxrəcində dəyişən olan kəsrdə də belə qiymət ola bilər: məxrəci 0 edən qiymətdə ifadənin mənası yoxdur.

Bu dərsdə

  • rasional ifadəni iki çoxhədlinin nisbəti kimi tanıyacaq, çoxhədlini məxrəcində dəyişən olan kəsrdən ayıracaqsan;
  • dəyişənin mümkün qiymətlərini (DMQ) məxrəci sıfıra bərabərləşdirərək, lazım olsa vuruqlara ayıraraq tapacaqsan;
  • ifadənin qiymətini hesablayacaq, kəsrin nə vaxt 0-a bərabər olduğunu tapacaq və vəziyyət üçün rasional ifadə yazacaqsan.
İfadə maşını (x − 12)/(x + 3) ifadəsinə dörd qiymət qoyulur. x = 0 olduqda −12/3 = −4, x = 2 olduqda −10/5 = −2, x = 12 olduqda 0/15 = 0. x = −3 olduqda məxrəc 0 olur: ifadənin mənası yoxdur. x x − 12 x + 3 ? x = 0 −123= −4 x = 2 −105= −2 x = 12 015= 0 x = −3 −150= mənasız
  1. Çoxhədlilərin nisbəti
  2. Rasional ifadə
  3. Qiymət laboratoriyası
  4. DMQ
  5. Hesabla
  6. Diqqət
  7. Həyatda
  8. Özünü yoxla

1 · Kəşf et

Çoxhədlilərin nisbəti

Yadına sal: iki çoxhədlini toplasaq, çıxsaq və ya vursaq, yenə çoxhədli alınır. Bəs birini digərinə bölsək?

İki çoxhədli götürək: A = 2x − 1 və B = x + 3. Əməli seç və nəticəyə bax.

Dörd əməlA = 2x − 1, B = x + 3

Əməl
Hesab
(2x − 1) + (x + 3) = 3x + 2
Nəticə
çoxhədli
Hesab
(2x − 1) − (x + 3) = 2x − 1 − x − 3 = x − 4
Nəticə
çoxhədli
Hesab
(2x − 1)(x + 3) = 2x² + 6x − x − 3 = 2x² + 5x − 3
Nəticə
çoxhədli
Hesab
(2x − 1) : (x + 3) = 2x − 1 / x + 3
Nəticə
çoxhədli deyil
Niyə
(x + 3)-ə vurub 2x − 1 verən çoxhədli yoxdur: ədədə vursaq, 2(x + 3) = 2x + 6 alınır, x-li çoxhədliyə vursaq, x² yaranır.

Deməli, çoxhədlilərin nisbəti çoxhədli olmaya da bilər. Bəzən isə olur. Yoxlamaq üçün vurmadan istifadə edirik — bölmə vurmanın tərsidir:

(x⁴ + 3x² + 2) : (x² + 1) = x² + 2, çünki(x² + 1)(x² + 2) = x⁴ + 2x² + x² + 2 = x⁴ + 3x² + 2.

Nisbəti çoxhədli olmayan ifadələrə də ad lazımdır — onları rasional ifadə adlandırırlar.

2 · Qayda

Rasional ifadə nədir?

Yadda saxla

İki çoxhədlinin nisbətinə rasional ifadə deyilir.

P / Q P və Q — çoxhədlilər

Surəti və məxrəci çoxhədli olan kəsrlərə rasional cəbri kəsrlər də deyilir. Nisbət kəsr xətti ilə də, iki nöqtə ilə də yazılır.

Rasional ifadənin quruluşu (x² + 5)/(2x − 7) kəsri: surət x² + 5 çoxhədlidir, məxrəc 2x − 7 çoxhədlidir və 0 ola bilməz, kəsr xətti bölmədir. surət — çoxhədli x² + 5 2x − 7 məxrəc — çoxhədli, ≠ 0 ← bölmə
Mavi — surət, narıncı — məxrəc. Bu rənglər dərsin sonuna qədər eyni qalır.

Çoxhədli də rasional ifadədir

4x³ − x + 9 = 4x³ − x + 9 / 1

İstənilən çoxhədlini məxrəci 1 olan kəsr kimi yazmaq olar.

İki nöqtə də bölmədir

(y² + 1) : (y − 6) = y² + 1 / y − 6

Bölmə işarəsi ilə verilmiş ifadəni kəsr şəklində yazırıq.

Rasional ifadələr iki qrupa bölünür. Məxrəcdə yalnız ədəd varsa, ifadə çoxhədlidir: ədədə bölmək onun tərsinə vurmaqdır. Məxrəcdə dəyişən varsa, bu, məxrəcində dəyişən olan kəsrdir.

Çoxhədli, yoxsa məxrəcində dəyişən olan kəsr?
İfadəMəxrəcdəNövü
5x − 1 / 4 = 1,25x − 0,25ədədçoxhədli
x² / 3 + 2xədədçoxhədli
4 / 5x − 1dəyişənkəsr
2 / x + xdəyişənkəsr

Bəzi kitablarda birinci qrupa tam, ikinciyə kəsr rasional ifadə deyilir. Dərslikdə isə «çoxhədli» və «məxrəcində dəyişən olan kəsr» adları işlənir.

3 · Kəşf et

Qiymət laboratoriyası

Çoxhədliyə istənilən ədədi qoymaq olar. Məxrəcində dəyişən olan kəsrdə isə əvvəlcə məxrəcə baxmaq lazımdır.

Dərsin əvvəlindəki ifadə maşınına — x − 12 / x + 3 ifadəsinə — yeni qiymətlər verək. x-i seç: ox nöqtəni, oxunuş isə hesabı göstərəcək.

Qiymət laboratoriyası(x − 12) / (x + 3) · ox: −8 … 14

x-in qiyməti
Ədəd oxunda seçilmiş x −8-dən 14-ə qədər ədəd oxu. −3 nöqtəsində qırmızı xaç: ifadə burada mənasızdır. 12 nöqtəsində lime kvadrat: kəsr burada 0-a bərabərdir. Seçilmiş x nöqtə və etiketlə göstərilir. −6−30 36912 x = −6 x = −4 x = −3 x = −2 x = 9 x = 12
  • məxrəc 0 — ifadə mənasızdır
  • surət 0 — kəsr 0-a bərabərdir
  • seçilmiş x
Əvəzləmə
−6 − 12 / −6 + 3 = −18 / −3 = 6
Hökm
mənalıdır: məxrəc −3 ≠ 0
Əvəzləmə
−4 − 12 / −4 + 3 = −16 / −1 = 16
Hökm
mənalıdır: məxrəc −1 ≠ 0. Məxrəc 0-a yaxınlaşdıqca qiymət sürətlə böyüyür.
Əvəzləmə
−3 − 12 / −3 + 3 = −15 / 0
Hökm
mənasızdır: sıfıra bölmək olmaz!
Əvəzləmə
−2 − 12 / −2 + 3 = −14 / 1 = −14
Hökm
mənalıdır: məxrəc 1 ≠ 0
Əvəzləmə
9 − 12 / 9 + 3 = −3 / 12 = −0,25
Hökm
mənalıdır: məxrəc 12 ≠ 0
Əvəzləmə
12 − 12 / 12 + 3 = 0 / 15 = 0
Hökm
mənalıdır və kəsr 0-a bərabərdir: surət 0, məxrəc 15 ≠ 0

Ox üzərindəki bütün nöqtələrdən yalnız biri, −3, qadağandır: yalnız orada x + 3 = 0 olur. Kəsr isə yalnız 12-də sıfırdır, çünki orada surət sıfırdır, məxrəc isə yox.

4 · Qayda

Dəyişənin mümkün qiymətləri

Yadda saxla

Dəyişənlərin ifadəni mənalı edən qiymətlərinə dəyişənlərin mümkün qiymətləri (DMQ) deyilir.

Çoxhədli dəyişənin bütün qiymətlərində mənalıdır. Məxrəcində dəyişən olan kəsrdə dəyişən məxrəci sıfıra çevirən qiymətləri ala bilməz — sıfıra bölmək olmaz!

x − 12 / x + 3 x + 3 = 0 ⇒ x = −3
DMQ: x ≠ −3
  1. Məxrəci sıfıra bərabərləşdir.
  2. Alınan tənliyi həll et; lazım olsa, məxrəci vuruqlara ayır.
  3. Tapılan kökləri çıxar və «x ≠ …» kimi yaz. Kök yoxdursa, DMQ — bütün ədədlərdir.

İki dəyişən

a + 2b / a − b ⇒ a ≠ b

Məxrəc yalnız a = b olanda sıfırdır, ona görə dəyişənlər bərabər ola bilməz.

Kəsr nə vaxt 0-dır?

surət = 0 və məxrəc ≠ 0

İki şərt birlikdə: surətin sıfırını tap, sonra məxrəcin orada sıfır olmadığını yoxla.

5 · Hesabla

DMQ, qiymət və sıfır

Əvvəlcə DMQ-ni tapırıq, sonra qiymət hesablayırıq. Qiymət yalnız DMQ-dən olan ədədlər üçün hesablanır.

Nümunə 1Məxrəc hasildir

x² + 2 / (x + 8)(3x − 1) ifadəsində dəyişənin mümkün qiymətlərini tapın.

  1. Məxrəci sıfıra bərabərləşdiririk: (x + 8)(3x − 1) = 0.
  2. Hasil o zaman sıfırdır ki, vuruqlardan biri sıfır olsun: x + 8 = 0 və ya 3x − 1 = 0, yəni x = −8 və ya x = 1 / 3.
  3. Bu iki ədədi çıxarırıq.

    DMQ: x ≠ −8 və x ≠ 1 / 3

Nümunə 2Məxrəc kvadrat üçhədlidir

3x + 2 / x² − 9x + 8 ifadəsi x-in hansı qiymətlərində mənasızdır?

  1. x² − 9x + 8 = 0. Viyet teoreminə görə köklərin cəmi 9, hasili 8-dir: bunlar 1 və 8-dir.
  2. Yoxlama: (x − 1)(x − 8) = x² − 8x − x + 8 = x² − 9x + 8.
  3. Məxrəc yalnız bu iki qiymətdə sıfırdır.

    x = 1 və x = 8 olduqda mənasızdır

Məxrəcdən DMQ-yə
MəxrəcDMQ
x² − 10x = x(x − 10)x ≠ 0, x ≠ 10
9x² − 4 = (3x − 2)(3x + 2)x ≠ ±2 / 3
x² + 5 ≥ 5, heç vaxt 0 deyilbütün ədədlər
7 (ədəd)bütün ədədlər
Nümunə 3Bir dəyişənli ifadənin qiyməti

x² − 2x / 3x + 1 ifadəsinin x = −2 və x = −1 / 3 olduqda qiymətini tapın.

  1. Məxrəc 3x + 1 = 0 olur, əgər x = −1 / 3. Deməli, ikinci qiymətdə ifadə mənasızdır.
  2. x = −2: surət (−2)² − 2 · (−2) = 4 + 4 = 8, məxrəc 3 · (−2) + 1 = −5.
  3. 8 / −5 = −1,6.

    −1,6; x = −1 / 3 olduqda qiymət yoxdur

Nümunə 4İki dəyişənli ifadənin qiyməti

a² + b / a − 2b ifadəsinin a = 4, b = −3 olduqda qiymətini tapın.

  1. DMQ: a ≠ 2b. Burada 2b = −6 ≠ 4, qiymət var.
  2. Surət: 4² + (−3) = 16 − 3 = 13. Məxrəc: 4 − 2 · (−3) = 4 + 6 = 10.
  3. 13 / 10 = 1,3.

    1,3

Nümunə 5Kəsr nə vaxt sıfırdır?

x-in hansı qiymətində x² − x − 72 / x + 8 kəsrinin qiyməti 0-a bərabərdir?

  1. Surəti sıfıra bərabərləşdiririk: x² − x − 72 = 0. Köklərin cəmi 1, hasili −72-dir: x = 9 və x = −8.
  2. Məxrəci yoxlayırıq: x = −8 olduqda x + 8 = 0 — kəsr mənasızdır, bu kök yaramır. x = 9 olduqda məxrəc 17 ≠ 0.
  3. Yalnız bir qiymət qalır.

    x = 9

Surətin iki sıfırı, kəsrin bir sıfırı Ədəd oxunda surətin sıfırları −8 və 9 mavi kvadratla işarələnib. −8-də məxrəc də 0-dır, orada qırmızı xaç var. 9-da kəsr 0-a bərabərdir, orada lime kvadrat var. −809 məxrəc = 0 kəsr = 0
Surət iki nöqtədə sıfırdır (mavi), amma −8-də məxrəc də sıfırdır (qırmızı xaç). Kəsrin sıfırı yalnız 9-dur (lime).

6 · Diqqət

Qadağan olan — yalnız məxrəcin sıfırı

Səhv düşüncə

x / x + 10 ⇒ x ≠ 0

«Kəsrdə x = 0 həmişə olmaz» — yox, surətin sıfırı qadağan deyil.

Düzgün

x / x + 10 ⇒ x ≠ −10

x = 0 olduqda kəsr 0 : 10 = 0-dır — mənalıdır. Qadağan yalnız məxrəci sıfır edən −10-dur.

Səhv düşüncə

x² + 81 = 0 ⇒ x = ±9

«Kvadrat varsa, iki qadağan qiymət var.»

Düzgün

x² + 81 ≥ 81

Bu məxrəc heç vaxt sıfır olmur, 1 / x² + 81 ifadəsinin DMQ-si bütün ədədlərdir. (±9-u x² − 81 sıfır edir.)

Sıfırın yeri vacibdir. 0 : 7 = 0 — mənalıdır, kəsr sıfırdır. 7 : 0 — mənasızdır. Kəsrin sıfırını tapanda həmişə Nümunə 5-dəki kimi məxrəci də yoxla: surəti sıfır edən qiymət məxrəci də sıfır edə bilər.

7 · Həyatda

Vəziyyət üçün ifadə yazırıq

Bir kəmiyyəti adam sayına, litrə və ya vaxta böləndə məxrəcdə dəyişən yaranır — beləcə rasional ifadə alınır.

Ekskursiyanın adambaşı xərci

Sinif muzeyə gedir. Avtobusun icarəsi 150 manatdır, hər şagirdin bileti isə 4 manat. x şagird gedirsə, ümumi xərc 150 + 4x manat, adambaşı xərc isə

150 + 4x / x manat.

Şagird çox olduqca hər birinə az düşür
x (şagird)Ümumi xərcAdambaşı
25150 + 100 = 250 manat250 : 25 = 10 manat
30150 + 120 = 270 manat270 : 30 = 9 manat

İfadənin DMQ-si x ≠ 0-dır. Vəziyyətin özü isə daha çox tələb edir: x şagird sayıdır, ona görə yalnız natural ədəd ola bilər.

Şirənin payı

2 litr şirəyə x litr su qatılır. Qarışığın həcmi 2 + x litrdir, şirənin payı isə

2 / 2 + x.

x = 3 olduqda pay 2 : 5 = 0,4-dür, x = 0 olduqda 1-dir (təmiz şirə).

İfadə x = −2 olduqda mənasızdır, amma vəziyyətdə su həcmi mənfi ola bilməz: burada x ≥ 0.

Şirə və su Stəkan 5 bərabər hissəyə bölünüb: aşağıdakı 2 hissə şirə (2 litr), yuxarıdakı 3 hissə su (x = 3 litr). Şirənin payı 2/5. su: x l (x = 3) şirə: 2 l
Hər hissə 1 litrdir. Qarışıqda 5 hissədən 2-si şirədir.

Şərti nümunələrdir: qiymətlər və həcmlər bu dərs üçün seçilib.

8 · Özünü yoxla

Bacarığını sına

Cavabı seç — düzgün olanda yaşıl, səhv olanda qırmızı işıqlanacaq. Həllinə də baxa bilərsən.

  1. Asan

    Hansı ifadə çoxhədli deyil?

    Cavab variantları

    Düzdür! Məxrəcində dəyişən var.

    Yox. Ədədə bölmək çoxhədliliyi pozmur — dəyişənə bölünən ifadəni axtar.

    Həllə bax

    (4x − 3) : 2 = 2x − 1,5 və x³ : 5 + x = 0,2x³ + x çoxhədlidir. 2 : (4x − 3) kəsrinin məxrəcində dəyişən var — bu, çoxhədli deyil.

  2. Asan

    x-in hansı qiymətində (x + 1) : (2x + 9) ifadəsinin mənası yoxdur?

    Cavab variantları

    Əla! 2 · (−4,5) + 9 = 0.

    Yox. Məxrəci sıfıra bərabərləşdir və işarəyə diqqət et; surətin sıfırı qadağan deyil.

    Həllə bax

    2x + 9 = 0 ⇒ 2x = −9 ⇒ x = −4,5. Bu qiymətdə məxrəc sıfırdır, ifadə mənasızdır.

  3. Orta

    6 : (x² + 11x) ifadəsində dəyişənin mümkün qiymətləri hansıdır?

    Cavab variantları

    Düzdür! İki vuruq — iki qadağan qiymət.

    Yox. Məxrəci vuruqlara ayır: x(x + 11). Hər vuruğu ayrıca sıfıra bərabərləşdir.

    Həllə bax

    x² + 11x = x(x + 11) = 0 ⇒ x = 0 və ya x = −11. DMQ: x ≠ 0 və x ≠ −11.

  4. Orta

    (3a − b) : (a + b) ifadəsinin a = 2, b = −6 olduqda qiymətini tapın.

    Cavab variantları

    Əla! 12 : (−4) = −3.

    Yox. Mənfi ədədi mötərizəyə al: −b = −(−6) = 6, a + b = 2 + (−6).

    Həllə bax

    Surət: 3 · 2 − (−6) = 6 + 6 = 12. Məxrəc: 2 + (−6) = −4. Qiymət: 12 : (−4) = −3.

  5. Çətin

    x-in hansı qiymətində (x² − 14x + 40) : (x − 4) kəsrinin qiyməti 0-a bərabərdir?

    Cavab variantları

    Düzdür! 4 məxrəci sıfır edir, ona görə yaramır.

    Yox. Surətin köklərini tap, sonra hər birində məxrəci yoxla.

    Həllə bax

    x² − 14x + 40 = 0: cəm 14, hasil 40 ⇒ x = 4 və ya x = 10. x = 4 olduqda məxrəc 0 olur — kəsr mənasızdır. x = 10 olduqda məxrəc 6 ≠ 0. Cavab: yalnız 10.

  6. Çətin

    (m + n) : (2m − n) ifadəsi hansı halda mənasızdır?

    Cavab variantları

    Əla! 2m − n = 0 ⇔ n = 2m.

    Yox. Surətə yox, məxrəcə bax və 2m − n = 0 bərabərliyindən n-i ifadə et.

    Həllə bax

    Məxrəc 2m − n = 0 olanda ifadə mənasızdır, yəni n = 2m. Məsələn, m = 1, n = 2. m = −n olanda isə surət sıfır olur — kəsr sıfırdır, mənasız deyil.

Xülasə

Yadda qalanlar

  • Çoxhədli : çoxhədliİki çoxhədlinin nisbəti rasional ifadədir. Çoxhədli də rasional ifadədir (məxrəci 1).
  • Məxrəc ≠ 0DMQ: məxrəci sıfıra bərabərləşdir, həll et, kökləri çıxar. Çoxhədli bütün qiymətlərdə mənalıdır.
  • Kəsr = 0Surət sıfırdır və məxrəc sıfır deyil. Qiymət yalnız DMQ-dən olan ədədlər üçün hesablanır.

Növbəti mövzu: 3.26 Rasional ifadələrin sadələşdirilməsi