• 3.37
  • 8‑ci sinif
  • Rasional tənliklər

Rasional tənliklərlə məsələ həlli

Bir kran hovuzu 5 saata, digəri 20 saata doldurur. İkisi birlikdə neçə saata doldurar? 25 də yox, 12,5 də yox — 4 saat: hər saat hovuzun 1 / 5 + 1 / 20 = 1 / 4 hissəsi dolur.

Bu dərsdə

  • mətndən naməlumu seçib cədvəl quracaq və rasional tənlik yazacaqsan;
  • birgə iş, çay axını, hərəkət, məhlul və ədəd məsələlərini eyni planla həll edəcəksən;
  • hər kökü DMQ ilə və məsələnin şərti ilə yoxlayıb uyğun olmayanı səbəbi ilə atacaqsan.
İki kran hovuzu birlikdə 4 saata doldurur Hovuz 20 bərabər zolağa bölünüb. A kranı 5 saata doldurur, hər saat 4 zolaq; B kranı 20 saata, hər saat 1 zolaq. Birlikdə hər saat 5 zolaq, yəni hovuzun dörddə biri dolur: 1/5 + 1/20 = 1/4. Dörd saatdan sonra hovuz doludur. A: 5 saat B: 20 saat 1 saat 2 saat 3 saat 4 saat 1 saatda 15 +120 =14
  1. Kəşf et
  2. Həll planı
  3. Birgə iş
  4. Çay laboratoriyası
  5. Gecikmə
  6. Məhlul və ədəd
  7. Diqqət
  8. Həyatda
  9. Özünü yoxla
  10. Yekun

1 · Kəşf et

Vaxtlar yox, hissələr toplanır

Bütün hovuzu 1 kimi götürək. A kranı hovuzu 5 saata doldurursa, 1 saatda onun 1 / 5 hissəsini doldurur. B kranı 1 saatda 1 / 20 hissəsini doldurur. 1 vaxt vahidində görülən işə məhsuldarlıq deyilir. İki kran eyni anda açılanda onların məhsuldarlıqları toplanır.

Hovuz saat‑saat necə dolur (20 bərabər zolaq)
VaxtA kranıB kranıHovuzda
1 saat4 / 201 / 205 / 20
2 saat8 / 202 / 2010 / 20
3 saat12 / 203 / 2015 / 20
4 saat16 / 204 / 201 — dolu

İndi yanlış təxminlərə bax. 25 saat (5 + 20) ola bilməz: kömək edən kran işi uzatmır, qısaldır. 12,5 saat (vaxtların ədədi ortası) da yanlışdır: o, A kranının təkbaşına vaxtından da çoxdur. Birlikdə vaxt həmişə ən sürətli kranın vaxtından azdır: 4 < 5.

Yadda saxla

Bir iş təkbaşına a saata, o biri ilə b saata görülürsə, ikisi birlikdə onu t saata görür:

1 / a + 1 / b = 1 / t

Hərflərdən biri naməlum olanda bu, rasional tənlikdir. Mətndən belə tənlik qurub həll etmək bu dərsin işidir.

2 · Həll planı

Yeddi addım və iki süzgəc

Dərslikdə hər mətn məsələsi eyni planla həll olunur. Məsələ növü dəyişir, plan dəyişmir.

  1. Naməlumu seç: «Tutaq ki, … x …». Çox vaxt soruşulan kəmiyyəti seçirik.
  2. Qalan kəmiyyətləri x ilə ifadə et və cədvəl qur: yol, sürət, zaman və ya iş, vaxt, 1 saatda görülən hissə.
  3. Tənliyi yaz: şərtdəki bərabərliyi tap (cəmi 5 saat, 15 dəq tez, 20%-li…).
  4. DMQ-nu yaz: məxrəci sıfıra çevirən qiymətlər.
  5. Həll et: ortaq məxrəcə vur, alınan kvadrat tənliyi həll et.
  6. Hər kökü iki dəfə yoxla: əvvəl DMQ ilə, sonra məsələnin həyat şərti ilə.
  7. Cavabı yaz: soruşulan kəmiyyəti vahidi ilə.

Cədvəl üçün dörd «dil» lazımdır. Hamısı 5–7‑ci siniflərdən tanışdır:

Birgə iş

iş = m · t

m — məhsuldarlıq (1 saatda görülən hissə), t — vaxt. Bütün iş 1 götürülür. a saata görülən işin məhsuldarlığı 1 / a‑dır.

Hərəkət

yol = sürət · zaman

Ona görə zaman = yol / sürət. Dəqiqəni saata çevir: 1 dəq = 1 / 60 saat.

Çay axını

x + c,  x − c

x — durğun sudakı sürət, c — axın sürəti. Sal axın sürəti ilə üzür.

Məhlul

faiz = maddə / məhlul · 100%

Su əlavə olunanda və ya buxarlananda məhlulun kütləsi dəyişir, maddənin kütləsi dəyişmir.

Tənliyin kökü hələ cavab deyil. Hər kök iki süzgəcdən keçir:

  • DMQ süzgəci: kök hansısa məxrəci sıfır edirsə, o, tənliyin kökü deyil.
  • Şərt süzgəci: kök həyatda mənalı olmalıdır — vaxt, sürət, kütlə müsbətdir; qayığın sürəti axın sürətindən böyükdür; o biri işçinin vaxtı da müsbətdir; adam, oyun, ədəd natural ola bilər.
Köklərin iki süzgəci Tənliyin iki kökü, 14 və 0,8, əvvəl DMQ süzgəcindən keçir: x 4 və −4 ola bilməz, ikisi də keçir. Sonra şərt süzgəci: x 4-dən böyük olmalıdır. 14 keçir və cavab olur; 0,8 dayanır və atılır, çünki 0,8 − 4 = −3,2. x₁ = 14x₂ = 0,8 1. DMQ süzgəcix ≠ 4, x ≠ −4 ✓✓ 2. Şərt süzgəciqayıq axına qarşı gedir: x > 4 Cavab: 14 ✗0,8 atılır0,8 − 4 = −3,2
4‑cü mərhələdəki qayıq məsələsinin kökləri: 14 və 0,8. İkisi də DMQ-dan keçir, amma 0,8 < 4 olduğu üçün şərt süzgəcində qalır.

3 · Birgə iş

Müsbət kök də atıla bilər

Nümunə 1İki tərcüməçi

İki tərcüməçi birlikdə kitabı 10 günə tərcümə edir. Birinci tərcüməçi təkbaşına bu işi ikincidən 21 gün tez görür. Hər biri kitabı təkbaşına neçə günə tərcümə edər?

  1. Tutaq ki, ikinci tərcüməçi kitabı təkbaşına x günə tərcümə edir. Onda birinci x − 21 günə tərcümə edir.
  2. Hər birinin 1 gündə gördüyü işi cədvələ yazırıq:
    TərcüməçiVaxt, gün1 gündə
    Birincix − 211 / x − 21
    İkincix1 / x
    Birlikdə101 / 10
  3. Birlikdə 1 gündə görülən iş iki hissənin cəmidir:

    1 / x + 1 / x − 21 = 1 / 10

  4. DMQ: x ≠ 0, x ≠ 21.
  5. Hər tərəfi 10x(x − 21)‑ə vururuq:

    10(x − 21) + 10x = x(x − 21)x² − 41x + 210 = 0D = 41² − 4 · 210 = 841 = 29²x₁ = 35,  x₂ = 6

  6. DMQ: hər iki kök keçir. Şərt: birincinin vaxtı da müsbət olmalıdır, x − 21 > 0, yəni x > 21. 6 olsa, birinci kitabı 6 − 21 = −15 günə tərcümə etməli idi — bu mənasızdır, kök atılır. 35 uyğundur: 35 − 21 = 14.
  7. Yoxlama: 1 / 14 + 1 / 35 = 5 / 70 + 2 / 70 = 7 / 70 = 1 / 10 ✓

    Cavab: birinci 14 günə, ikinci 35 günə

Naməlumu birinci tərcüməçi üçün seçsək (y gün, ikinci y + 21), tənliyin kökləri 14 və −15 olar. Cavab eynidir, sadəcə atılan kök bu dəfə mənfidir. Hansı seçimdə olursa olsun, atılan kökü səbəbi ilə yaz.

4 · Çay laboratoriyası

Axın birini itələyir, o birini saxlayır

Qayığın durğun sudakı sürəti x‑dir. Çay onu axın sürəti c qədər aparır: axınla gedəndə sürətlər toplanır (x + c), axına qarşı gedəndə çıxılır (x − c). Qayığın öz sürəti 15 km/saat‑dır. O, 30 km‑lik yolu A körpüsündən B körpüsünə axınla gedir və geri qayıdır. Axın sürətini seç.

Axın sürəti, km/saat
Çay laboratoriyası: axınla və axına qarşı sürət A və B körpüləri arasında 30 km. Yuxarı zolaqda qayıq A-dan B-yə axınla gedir: sürət oxu qayığın öz sürəti 15 və axın sürətinin cəmidir. Aşağı zolaqda qayıq B-dən A-ya axına qarşı gedir: axın öz sürətindən çıxılır. Seçilən axın sürəti oxların uzunluğunu dəyişir. AB 30 km 15 + 0 = 15 km/saataxın yoxdur15 − 0 = 15 km/saat 15 + 3 = 18 km/saataxın: 3 km/saat15 − 3 = 12 km/saat 15 + 5 = 20 km/saataxın: 5 km/saat15 − 5 = 10 km/saat 15 + 10 = 25 km/saataxın: 10 km/saat15 − 10 = 5 km/saat 15 + 15 = 30 km/saataxın: 15 km/saat✗15 − 15 = 0 km/saat
Gediş-qayıdış: 30 km + 30 km
HissəSürət, km/saatZaman
Axınla (A → B)15182025302 saat1 saat 40 dəq1 saat 30 dəq1 saat 12 dəq1 saat
Axına qarşı (B → A)151210502 saat2 saat 30 dəq3 saat6 saatqayıda bilmir
Cəmi—4 saat4 saat 10 dəq4 saat 30 dəq7 saat 12 dəq—

Axın yoxdur: gediş də, qayıdış da 2 saat, cəmi 4 saat.

Gediş 20 dəq qısaldı, qayıdış 30 dəq uzandı: cəmi 4 saat 10 dəq.

Gediş 30 dəq qısaldı, qayıdış 1 saat uzandı: cəmi 4 saat 30 dəq.

Qayıdış 6 saat çəkir: axına qarşı sürət cəmi 5 km/saat qaldı.

15 − 15 = 0: qayıq yerində qalır, geri qayıda bilmir. Ona görə x > c olmalıdır.

Oxların uzunluğu sürətlə mütənasibdir: mavi — qayığın öz sürəti, yaşıl — axının əlavə etdiyi, qırmızı — axının apardığı hissə.

Axın gedişdə qazandırdığından çoxunu qayıdışda aldırır: gediş-qayıdış həmişə 4 saatdan uzun çəkir. Axın qayığın öz sürətinə çatanda qayıq axına qarşı ümumiyyətlə gedə bilmir. Ona görə çay məsələlərində həmişə x > c şərti var — dərslikdə deyildiyi kimi, «durğun sudakı sürət çayın axın sürətindən böyük olmalıdır».

Nümunə 2Motorlu qayıq

Motorlu qayıq axın istiqamətində 54 km, axına qarşı 20 km getdi və bütün yola 5 saat sərf etdi. Çayın axın sürəti 4 km/saat‑dır. Qayığın durğun sudakı sürətini tapın.

  1. Tutaq ki, qayığın durğun sudakı sürəti x km/saat‑dır. Axınla sürəti x + 4, axına qarşı x − 4. Şərt: x > 4.
  2. Cədvəl (km, km/saat, saat):
    HərəkətYolSürətZaman
    Axınla54x + 454 / x + 4
    Axına qarşı20x − 420 / x − 4
  3. Zamanların cəmi 5 saatdır:

    54 / x + 4 + 20 / x − 4 = 5

  4. DMQ: x ≠ −4, x ≠ 4.
  5. Hər tərəfi (x + 4)(x − 4)‑ə vururuq:

    54(x − 4) + 20(x + 4)= 5(x² − 16)74x − 136 = 5x² − 805x² − 74x + 56 = 0D = 74² − 4 · 5 · 56   = 4356 = 66²x₁ = 14,  x₂ = 0,8

  6. DMQ: hər iki kök keçir. Şərt: 0,8 < 4 — axına qarşı sürət 0,8 − 4 = −3,2 alınardı, qayıq geri gedə bilməzdi. Bu kök məsələnin şərtinə ziddir. 14 > 4 uyğundur.
  7. Yoxlama: 54 : 18 = 3 saat, 20 : 10 = 2 saat, 3 + 2 = 5 saat ✓

    Cavab: 14 km/saat

5 · Gecikmə

Qatar itirdiyi vaxtı necə qaytardı?

Nümunə 3Cədvəllə həll

Qatar stansiyada 15 dəqiqə gecikdi. Qalan 75 km‑lik yolda sürətini planlaşdırılandan 10 km/saat artırdı və təyinat yerinə vaxtında çatdı. Qatar bu yolu hansı sürətlə getməli idi və hansı sürətlə getdi?

  1. Tutaq ki, planlaşdırılan sürət x km/saat‑dır. Əslində sürət x + 10 km/saat oldu.
  2. Cədvəl (yol = sürət · zaman; km, km/saat, saat):
    HərəkətYolSürətZaman
    Planla75x75 / x
    Əslində75x + 1075 / x + 10
  3. Qatar plandan 15 dəqiqə az vaxt sərf etdi. Dəqiqəni saata çeviririk: 15 dəq = 15 / 60 saat = 1 / 4 saat (0,15 saat yox!). Yavaş sürətlə vaxt çox olur, ona görə böyük zamandan kiçiyi çıxırıq:

    75 / x − 75 / x + 10 = 1 / 4

  4. DMQ: x ≠ 0, x ≠ −10.
  5. Sol tərəfi ortaq məxrəcə gətiririk: 75(x + 10) − 75x = 750. Sonra tənasübdən istifadə edirik:

    750 / x(x + 10) = 1 / 4  →  x(x + 10) = 3000x² + 10x − 3000 = 0D = 10² + 4 · 3000   = 12100 = 110²x₁ = 50,  x₂ = −60

  6. DMQ: ikisi də keçir. Şərt: sürət mənfi ola bilməz — −60 atılır. 50 uyğundur, əslində sürət 50 + 10 = 60.
  7. Yoxlama: 75 : 50 = 1,5 saat = 90 dəq; 75 : 60 = 1,25 saat = 75 dəq; 90 − 75 = 15 dəq ✓

    Cavab: 50 km/saat getməli idi, 60 km/saat getdi

Çıxma tərsinə yazılsa, 75 / x + 10 − 75 / x = 1 / 4 tənliyi x² + 10x + 3000 = 0 verir və onun kökü yoxdur (D < 0). Kök çıxmırsa, əvvəl tənliyin quruluşunu yoxla.

6 · Məhlul və ədəd

Faiz və ədəd məsələləri də tənlikdir

Nümunə 4Buxarlanma

Qabda 360 q 15%-li duz məhlulu var. Məhlulun 20%-li olması üçün ondan neçə qram su buxarlanmalıdır?

  1. Tutaq ki, x q su buxarlanır. Məhlul 360 − x q olur.
  2. Duz buxarlanmır: əvvəl də, sonra da 360 · 0,15 = 54 q.
  3. Tənlik (faiz = duz : məhlul):

    54 / 360 − x = 20 / 100 = 1 / 5

  4. DMQ: x ≠ 360. Həll: 360 − x = 54 · 5 = 270, x = 90.
  5. Şərt: yalnız su buxarlana bilər: 0 < x < 360 − 54 = 306. 90 uyğundur. Yoxlama: 54 : 270 = 0,2 = 20% ✓

    Cavab: 90 q su

Nümunə 5Ədəd və onun tərsi

Natural ədədlə onun tərsinin cəmi 37 / 6‑dır. Bu ədədi tapın.

  1. Tutaq ki, ədəd x‑dir, tərsi 1 / x.
  2. Tənlik:

    x + 1 / x = 37 / 6

  3. DMQ: x ≠ 0. 6x‑ə vururuq:

    6x² − 37x + 6 = 0D = 37² − 4 · 6 · 6   = 1225 = 35²x₁ = 6,  x₂ = 1 / 6

  4. Hər iki kök tənliyi ödəyir: 1 / 6 + 6 də 37 / 6‑dır! Amma şərtə görə ədəd naturaldır: 1 / 6 atılır, 6 qalır.

    Cavab: 6

7 · Diqqət

Dörd tipik səhv

Vaxtları toplamaq

5 + 20 = 25 saat

Ədədi orta da (12,5 saat) səhvdir: birgə vaxt tək vaxtların hər birindən azdır.

Hissələri toplamaq

1 / 5 + 1 / 20 = 1 / 4 → 4 saat

1 saatda görülən hissələr toplanır.

Dəqiqəni vergüllə yazmaq

15 dəq = 0,15 saat

Saatda 100 yox, 60 dəqiqə var.

60‑a bölmək

15 dəq = 15 / 60 = 0,25 saat

Eyni qayda ilə 12 dəq = 0,2 saat, 20 dəq = 1 / 3 saat.

Müsbət, deməli düz?

x = 0,8

0,8 müsbətdir, amma axın 4 km/saat‑dır: qayıq axına qarşı gedə bilməz.

Şərti yoxlamaq

x > 4 → x = 14

Çay məsələsində durğun sudakı sürət axın sürətindən böyükdür.

Yalnız x‑ə baxmaq

x = 6 gün

Onda birinci tərcüməçinin vaxtı 6 − 21 = −15 gün olardı.

Hər xananı yoxlamaq

x = 35,  x − 21 = 14

Cədvəldəki hər xana müsbət çıxmalıdır.

8 · Həyatda

Dağ cığırında orta sürət

Turist 6 km‑lik cığırla dağa qalxdı və eyni cığırla endi. Enişdə sürəti qalxışdakından 3 km/saat çox idi. Bütün yürüş 3 saat çəkdi. Turist hansı sürətlə qalxdı?

Dağ cığırı: qalxış və eniş Dağın sol yamacı ilə 6 km qalxış 3 km/saat sürətlə 2 saat çəkir, sağ yamacı ilə 6 km eniş 6 km/saat sürətlə 1 saat çəkir. Cəmi 12 km, 3 saat. qalxış3 km/saat2 saat eniş6 km/saat1 saat 6 km6 km cəmi 12 km, 3 saat
Eyni 6 km: qalxışa 2 saat, enişə 1 saat gedir.

Qalxışda sürət x, enişdə x + 3 km/saat. Zamanların cəmi 3 saatdır:

6 / x + 6 / x + 3 = 3x² − x − 6 = 0,  x₁ = 3,  x₂ = −2

DMQ: x ≠ 0, x ≠ −3. Sürət mənfi ola bilməz: −2 atılır. Turist 3 km/saat sürətlə qalxıb, 6 km/saat sürətlə enib.

Bəs bütün yürüşdə orta sürət nə qədərdir? (3 + 6) : 2 = 4,5 demək istəyirsən? Orta sürət bütün yolun bütün zamana nisbətidir: 12 km : 3 saat = 4 km/saat. Turist yavaş sürətlə iki dəfə çox vaxt keçirdi, ona görə orta sürət 3‑ə daha yaxındır.

9 · Özünü yoxla

Bacarığını sına

Cavabı seç — düzgün olanda yaşıl, səhv olanda qırmızı işıqlanacaq. Həllinə də baxa bilərsən.

  1. Asan

    Birinci nasos çəni 7 saata, ikinci nasos 21 saata doldurur. İkisi birlikdə 1 saatda çənin hansı hissəsini doldurar?

    Cavab variantları

    Düzdür! 1 / 7 + 1 / 21 = 3 / 21 + 1 / 21 = 4 / 21.

    Yox. Vaxtları toplama və ya çıxma — hər nasosun 1 saatdakı hissəsini tap və topla.

    Həllə bax

    Birinci 1 saatda 1 / 7, ikinci 1 / 21 hissə doldurur. Birlikdə 1 / 7 + 1 / 21 = 4 / 21. Bütün çən 21 / 4 saata, yəni 5 saat 15 dəqiqəyə dolar.

  2. Asan

    Kater axın istiqamətində 19 km/saat, axına qarşı 13 km/saat sürətlə gedir. Çayın axın sürəti neçədir?

    Cavab variantları

    Düzdür! Fərq 6 iki axın sürətidir: 6 : 2 = 3.

    Yox. 19 = x + c, 13 = x − c. Bunların fərqi neçə c‑dir?

    Həllə bax

    (x + c) − (x − c) = 2c = 19 − 13 = 6, deməli c = 3 km/saat. Katerin öz sürəti (19 + 13) : 2 = 16 km/saat.

  3. Orta

    Avtobus 210 km yol getdi. Sürəti 10 km/saat çox olsaydı, 30 dəqiqə tez çatardı. Avtobusun sürəti x km/saat‑dırsa, hansı tənlik düzgündür?

    Cavab variantları

    Düzdür! Yavaş sürətdə vaxt çoxdur, fərq yarım saatdır.

    Yox. Zaman saatla ölçülür: 30 dəq = 1 / 2 saat. Hansı zaman böyükdür — yavaş, yoxsa sürətli gedişin?

    Həllə bax

    Əsl zaman 210 / x, sürətli gedişdə 210 / x + 10 saat; birincisi 1 / 2 saat çoxdur. Həll: x² + 10x − 4200 = 0, x = 60 (−70 atılır). Yoxlama: 210 : 60 = 3,5 saat, 210 : 70 = 3 saat ✓

  4. Orta

    Qayıq axın istiqamətində 42 km, axına qarşı 16 km getdi və 5 saat sərf etdi. Axın sürəti 3 km/saat‑dır. Qayığın durğun sudakı sürəti neçədir?

    Cavab variantları

    Düzdür! 42 : 14 + 16 : 8 = 3 + 2 = 5 saat.

    Yox. Tənliyin iki kökü var; x > 3 şərtini və soruşulan sürəti yoxla.

    Həllə bax

    42 / x + 3 + 16 / x − 3 = 5, DMQ x ≠ ±3. Sadələşdirəndə 5x² − 58x + 33 = 0, kökləri 11 və 0,6. 0,6 < 3 — şərtə ziddir. Cavab 11 km/saat; 14 və 8 isə axınla və axına qarşı sürətlərdir.

  5. Çətin

    500 q 10%-li duz məhluluna neçə qram duz əlavə etmək lazımdır ki, məhlul 25%-li olsun?

    Cavab variantları

    Düzdür! (50 + 100) : (500 + 100) = 0,25.

    Yox. Əlavə olunan duz məhlulun kütləsini də artırır: məxrəcdə 500 + x olmalıdır.

    Həllə bax

    Duz: 500 · 0,1 = 50 q. Tənlik: 50 + x / 500 + x = 0,25, DMQ x ≠ −500. 50 + x = 125 + 0,25x, 0,75x = 75, x = 100. Yoxlama: (50 + 100) : 600 = 0,25 ✓ (75 q — məxrəc dəyişməyəndə alınır, 125 q isə köhnə 500 q‑ın 25%-idir.)

  6. Çətin

    Surəti natural ədəd olan kəsrin məxrəci surətindən 3 vahid böyükdür. Surətə 7, məxrəcə 5 əlavə etsək, kəsr 1 / 2 qədər artar. Kəsri tapın.

    Cavab variantları

    Düzdür! 9 / 10 − 2 / 5 = 9 / 10 − 4 / 10 = 1 / 2.

    Yox. Soruşulan ilk kəsrdir; köklərdən biri natural deyil — onu at.

    Həllə bax

    Kəsr x / x + 3, yeni kəsr x + 7 / x + 8. Tənlik: x + 7 / x + 8 − x / x + 3 = 1 / 2, DMQ x ≠ −8, x ≠ −3. Sadələşdirəndə x² + 7x − 18 = 0, kökləri 2 və −9. −9 natural deyil (o, −9 / −6 = 3 / 2 kəsrini verərdi). Cavab 2 / 5.

10 · Yekun

Yadda qalanlar

  • 1 / a + 1 / b = 1 / tBirgə işdə vaxtlar yox, 1 saatda görülən hissələr toplanır.
  • x + c,  x − c,  x > cAxın gedişi sürətləndirir, qayıdışı yavaşladır; dəqiqə saata 60‑a bölməklə çevrilir.
  • DMQ + şərtHər kök iki süzgəcdən keçir; cavab soruşulan kəmiyyətlə və vahidi ilə yazılır.

Növbəti mövzu: 3.38 Nisbət, tənasüb, miqyas