• 3.16
  • 8-ci sinif
  • Kvadrat tənliklər

Kvadrat tənliklərin tətbiqi ilə məsələ həlli

Anbarda borular üçbucaq şəklində yığılıb: ən üst sırada 1 boru, hər aşağı sırada bir boru artıq. Cəmi 171 boru varsa, yığında neçə sıra var? Tənlik iki cavab verəcək — 18 və −19. Sıraların sayı isə yalnız biri ola bilər.

Bu dərsdə

  • mətnli məsələni dörd mərhələdə kvadrat tənliyə çevirib həll edəcəksən;
  • tənliyin köklərini məsələnin şərti ilə araşdırıb uyğun olmayanı atacaqsan;
  • cavabı soruşulan kəmiyyətlə yazıb şərtdə yoxlayacaqsan.
Üçbucaq boru yığını: 171 boru, neçə sıra?Borular üçbucaq şəklində yığılıb: ən üstdə 1 boru, hər aşağı sırada bir boru artıq, ən alt sırada n boru. Yanında kart: n(n + 1) : 2 = 171. Oxla iki kök çıxır: 18 yaşıl, qəbul olunur; −19 qırmızı, çarpaz işarəli, atılır — sıra sayı mənfi olmur.171 borun sıran borun(n + 1) : 2= 17118 ✓−19 ✗
  1. Kəşf et
  2. Qayda
  3. Hesabla
  4. Diqqət
  5. Həyatda
  6. Özünü yoxla

1 · Kəşf et

Yığını tənliyə çevirək

Sıraları bir-bir toplamaq olar: 1 + 2 + 3 + … Amma 171-ə çatana qədər çox toplamalı olarıq. Əvvəlcə istənilən yığının borularını bir ifadə ilə yazaq.

Tutaq ki, yığında n sıra var. Onda ən alt sırada n boru olur və cəmi 1 + 2 + … + n boru var. Yığının eyni surətini çevirib yanına qoyaq: pillələr bir-birini tamamlayır və düzbucaqlı alınır.

İki eyni yığın birlikdə 18 × 19 düzbucaqlıdırNarıncı pilləkən — 18 sıralı yığın: birinci sırada 1, sonuncuda 18 xana. Boz pilləkən onun çevrilmiş surətidir. Birlikdə 18 sıra və hər sırada 19 xana olan düzbucaqlı alınır: 18 · 19 = 342, bir yığında 342 : 2 = 171 xana.n + 1 = 19n = 182 yığın: 18 · 19 = 3421 yığın: 342 : 2 = 171
Narıncı — yığın, boz — onun çevrilmiş surəti. Birlikdə 18 sıra, hər sırada 18 + 1 = 19 xana. Bir yığın düzbucaqlının yarısıdır.

Deməli, n sıralı yığında n(n + 1) : 2 boru var. Borular 171 dənədirsə:

n(n + 1) : 2 = 171n(n + 1) = 342n2 + n − 342 = 0

Bu, kvadrat tənlikdir. Onun iki kökü var: 18 və −19 (həlli Nümunə 1-də). Maraqlıdır ki, −19 də bərabərliyi ödəyir: (−19) · (−18) : 2 = 171. Tənlik boruları görmür, yalnız ədədləri bilir. Hansı kökün məsələyə yaradığını biz yoxlayırıq.

2 · Qayda

Dörd mərhələ

Yadda saxla

Dərslik kvadrat tənliyə gətirilən məsələləri dörd mərhələdə həll edir:

  1. məlumatların müəyyən edilməsi — məchulu x ilə işarə et, qalan kəmiyyətləri x ilə ifadə et;
  2. tənliyin qurulması — şərtdəki bərabərliyi x ilə yaz;
  3. tənliyin həll edilməsi — vuruqlara ayırma, köklər düsturu və ya Viyet teoremi ilə;
  4. həllin araşdırılması — hər kökü məsələnin mənası ilə yoxla, uyğun olmayanı at.
4-cü mərhələ: köklər vəziyyətlə yoxlanırTənliyin iki kökü, x bir və x iki, aşağıya — «4-cü mərhələ: kök vəziyyətə uyğundurmu?» qutusuna gəlir. Şərti ödəyən kök keçir və cavab olur (yaşıl). Mənasız kök atılır (qırmızı).x1x24-cü mərhələKök vəziyyətə uyğundurmu?✓ cavab✗ atılırşərti ödəyirmənasızdır
Tənlik iki kök verir, cavabı isə vəziyyət seçir.

Dərslikdəki nümunədə 4-cü mərhələ belə yazılıb: «Uzunluq müsbət ədədlə ölçüldüyündən, tənliyin x = 8 kökü məsələnin həllinə uyğundur». Orada ikinci kök 0 idi — sıfır uzunluq da olmur.

Ölçü və vaxt

Uzunluq, sahə, sürət və vaxt müsbətdir: mənfi və sıfır kök atılır.

Say

Adamların, əşyaların, sıraların sayı natural ədəddir: mənfi və kəsr kök atılır.

Hissə və bütöv

Kəsilən və ya ayrılan hissə bütövdən böyük ola bilməz.

İki kök də

Şərt imkan verirsə, köklərin hər biri cavabdır — onda iki cavab yazılır.

3 · Hesabla

Dörd mərhələ — üç məsələ

Hər nümunədə addımın nömrəsi mərhələnin nömrəsidir.

Nümunə 1Boru yığını

Üçbucaq yığında 171 boru var: ən üst sırada 1, hər aşağı sırada bir boru artıq. Yığında neçə sıra var?

  1. Məlumatlar. n — sıraların sayı. Ən alt sırada n boru, cəmi n(n + 1) : 2 boru.
  2. Tənlik. n(n + 1) : 2 = 171. Hər tərəfi 2-yə vurub mötərizəni açırıq: n2 + n − 342 = 0.
  3. Həll.

    D = 12 − 4 · 1 · (−342)   = 1 + 1368 = 1369 = 372n = (−1 ± 37) : 2n1 = 18,  n2 = −19

  4. Araşdırma. Sıraların sayı natural ədəddir: −19 atılır, 18 qalır. Yoxlama: 18 · 19 : 2 = 342 : 2 = 171.

    Cavab: 18 sıra

Nümunə 2Eyni tənlik, iki sual

Ədədin kvadratından onun iki mislini çıxdıqda 63 alınır. Bu ədəd hansıdır, əgər a) ədəd tam ədəddirsə; b) ədəd natural ədəddirsə?

  1. Məlumatlar. x — axtarılan ədəd; onun kvadratı x2, iki misli 2x.
  2. Tənlik. x2 − 2x = 63, yəni x2 − 2x − 63 = 0.
  3. Həll. Hasili −63, cəmi 2 olan iki ədəd axtarırıq (Viyet teoremi): 9 və −7.

    (x − 9)(x + 7) = 0x = 9  və ya  x = −7

  4. Araşdırma. İki kök də tənliyi ödəyir: 81 − 18 = 63, 49 + 14 = 63. Hansının cavab olduğunu şərt həll edir:
    ŞərtUyğun köklər
    a) tam ədəd9 və −7
    b) natural ədədyalnız 9

    Cavab: a) 9 və −7; b) 9

4-cü mərhələ «mənfi kökü at» demək deyil — kökləri şərtlə yoxlayırıq.

Nümunə 3Parkda cığırlar

Ölçüləri 57 m × 46 m olan çəmənlikdə tərəflərə paralel, eni eyni olan iki kəsişən cığır salınıb. Çəmənə 2420 m² qalıb. Cığırın eni nə qədərdir?

Çəmənlik 57 m × 46 m və iki kəsişən cığırMiqyaslı plan: 57 m uzunluğunda, 46 m enində çəmənlik. Tərəflərə paralel iki cığır kəsişir, hər birinin eni x metrdir. Cığırlar çəmənliyi dörd hissəyə bölür.57 m46 mxx
Plan miqyasla çəkilib; cığırın eni x.
Dörd çəmən hissəsi birləşdirilibCığırları çıxarıb dörd çəmən hissəsini sürüşdürsək, ölçüləri 57 − x və 46 − x metr olan düzbucaqlı alınır; sahəsi 2420 kvadrat metrdir.57 − x46 − x2420 m²
Dörd çəmən hissəsini sürüşdürüb birləşdiririk.
  1. Məlumatlar. x — cığırın eni (m). Cığırları çıxarıb dörd çəmən hissəsini birləşdirsək, ölçüləri (57 − x) m və (46 − x) m olan düzbucaqlı alınır.
  2. Tənlik. (57 − x)(46 − x) = 2420.
  3. Həll. Mötərizələri açırıq:

    2622 − 57x − 46x + x2 = 2420x2 − 103x + 202 = 0D = 1032 − 4 · 202   = 10 609 − 808 = 9801 = 992x = (103 ± 99) : 2x1 = 101,  x2 = 2

  4. Araşdırma. İki kök də müsbətdir, amma 101 m-lik cığır 46 m enli çəmənliyə sığmır: 46 − 101 mənfi «tərəf» verir. Deməli, x = 2. Yoxlama: (57 − 2)(46 − 2) = 55 · 44 = 2420.

    Cavab: cığırın eni 2 m

4 · Diqqət

Üç tipik səhv

Səhv

18 və −19 sıra

İki kökü birlikdə cavab yazmaq olmaz: sıraların sayı mənfi olmur.

Düzgün

18 sıra

4-cü mərhələdə −19 atılır.

Səhv

−19 → 19 sıra

Mənfi kökün işarəsini atmaq yeni ədəd uydurmaq deməkdir.

Düzgün

19 · 20 : 2 = 190 ≠ 171

19 tənliyin kökü deyil. Kök yalnız 18-dir.

Səhv

h = 9b

«Hündürlük oturacaqdan 9 dm uzundur» — bu, «9 dəfə uzundur» demək deyil.

Düzgün

h = b + 9

«… qədər uzun» toplama, «… dəfə» isə vurma ilə yazılır.

5 · Həyatda

Yelkən hansı ölçüdə olsun?

Usta üçbucaq formalı yelkən tikir. Yelkənin hündürlüyü oturacağından 9 dm uzun, sahəsi 5,51 m² olmalıdır. Oturacaq və hündürlük nə qədər olsun?

Üçbucaq yelkən: oturacaq b, hündürlük b + 9Qayıqda dor ağacı boyunca üçbucaq yelkən. Yelkənin oturacağı b desimetr, hündürlüyü b + 9 desimetrdir, sahəsi 551 kvadrat desimetrdir. Şəkil cavaba uyğun miqyasla çəkilib.b + 9b551 dm²
Yelkəni düz kənarlı üçbucaq kimi götürürük; əsl yelkənin kənarı bir az qövsvari olur.
  1. b — oturacaq (dm), hündürlük b + 9 (dm). Onluq kəsrlə hesablamamaq üçün sahəni dm²-lə yazırıq: 5,51 m² = 551 dm² (1 m² = 100 dm²).
  2. b(b + 9) : 2 = 551, yəni b2 + 9b − 1102 = 0.
  3. D = 81 + 4408 = 4489 = 672, b = (−9 ± 67) : 2, köklər 29 və −38.
  4. Uzunluq müsbətdir: b = 29 dm. Yoxlama: 29 · 38 : 2 = 551.

Oturacaq 2,9 m, hündürlük 3,8 m

6 · Özünü yoxla

Bacarığını sına

Cavabı seç — düzgün olanda yaşıl, səhv olanda qırmızı işıqlanacaq. Həllinə də baxa bilərsən.

  1. Asan

    Məsələdə x — avtobusdakı sərnişinlərin sayıdır. Tənliyin kökləri 8 və −6 alınıb. Məsələnin cavabı hansıdır?

    Cavab variantları

    Düzdür! Sərnişinlərin sayı natural ədəddir, mənfi kök atılır.

    Yox. Hər kökü şərtlə yoxla: sərnişinlərin sayı mənfi olmur, mənfi kökün işarəsini dəyişmək də olmaz.

    Həllə bax

    x = −6 mənasızdır, çünki sərnişinlərin sayı mənfi olmur. 6 isə tənliyin kökü deyil. Cavab: 8 sərnişin.

  2. Asan

    Üçbucağın hündürlüyü oturacağından 3 sm qısadır, sahəsi 9 sm²-dir. Oturacağı b ilə işarə etsək, hansı tənlik düzgündür?

    Cavab variantları

    Əla! Hündürlük b − 3, sahə isə oturacaqla hündürlüyün hasilinin yarısıdır.

    Yox. «3 sm qısa» — hündürlük b − 3 (çıxma, vurma deyil), üçbucağın sahəsi isə hasilin yarısıdır.

    Həllə bax

    Hündürlük b − 3. Sahə: b(b − 3) : 2 = 9, yəni b2 − 3b − 18 = 0; köklər 6 və −3. Uzunluq müsbətdir: oturacaq 6 sm, hündürlük 3 sm (6 · 3 : 2 = 9).

  3. Orta

    Hansı tam ədədlərin kvadratı özünün 5 mislindən 6 vahid çoxdur?

    Cavab variantları

    Düzdür! Tam ədəd mənfi də ola bilər — iki kök də yarayır.

    Yox. x² − 5x − 6 = 0 tənliyini həll et və hər kökü yoxla: şərt «tam ədəd» deyir, mənfi kök də yarayır.

    Həllə bax

    x2 = 5x + 6 → (x − 6)(x + 1) = 0 → 6 və −1. Yoxlama: 36 − 30 = 6; 1 − (−5) = 6. İkisi də tam ədəddir.

  4. Orta

    Qabarıq çoxbucaqlının diaqonallarının sayı n(n − 3) : 2 düsturu ilə tapılır (n — təpələrin sayı). 5 diaqonalı olan çoxbucaqlı hansıdır?

    Cavab variantları

    Bəli! n = 5: 5 · 2 : 2 = 5.

    Yox. n² − 3n − 10 = 0 tənliyinin köklərini tap: təpələrin sayı natural ədəddir və ən azı 3-dür.

    Həllə bax

    n(n − 3) = 10 → n2 − 3n − 10 = 0 → (n − 5)(n + 2) = 0 → 5 və −2. −2 atılır (təpələrin sayı mənfi olmur), 2 isə kök deyil. Cavab: beşbucaqlı.

  5. Çətin

    İkirəqəmli ədədin onluq rəqəmi təklik rəqəmindən 3 vahid böyükdür. Ədəd öz rəqəmlərinin hasilindən 37 vahid çoxdur. Bu ədəd hansıdır?

    Cavab variantları

    Əla! 41 − 4 · 1 = 37.

    Yox. Təklik rəqəmini x ilə işarə et: ədəd 10(x + 3) + x olur. Köklərdən birinin rəqəm vermədiyini yoxla və cavabda ədədin özünü yaz.

    Həllə bax

    x — təklik rəqəmi, onluq rəqəmi x + 3, ədəd 10(x + 3) + x = 11x + 30, rəqəmlərin hasili x(x + 3). 11x + 30 − x(x + 3) = 37 → x2 − 8x + 7 = 0 → x = 1 və ya x = 7. x = 7 olsa, onluq rəqəmi 10 olardı — bu, rəqəm deyil, kök atılır. x = 1: ədəd 41. Yoxlama: 41 − 4 · 1 = 37.

Yekun

Yadda qalanlar

  • 1 → 2 → 3 → 4Məlumatlar, tənlik, həll, araşdırma — hər məsələdə eyni yol.
  • Kök ≠ cavabHər kökü şərtlə yoxla: mənfi, kəsr və ya həddən böyük kök atılır; şərt imkan verirsə, iki kök də cavabdır.
  • Cavab: …Soruşulan kəmiyyəti vahidi ilə yaz və onu şərtdə yoxla.

Növbəti mövzu: 3.17 Dördbucaqlılar