• 3.12
  • 8‑ci sinif
  • Kvadrat tənliklər

Kvadrat tənliyin qrafik üsulla həlli

x² − 2x = 5,25 tənliyinin köklərini tapmaq üçün hələ düstur bilmirik. Parabola çəkilmiş vərəqin üstünə xətkeş qoy: xətkeşin kənarı parabolanı kəsən nöqtələrin absisləri elə tənliyin kökləridir.

Bu dərsdə

  • tənliyi x² = −px − q şəklində yazıb köklərin niyə parabola ilə düz xəttin ortaq nöqtələrinin absisləri olduğunu izah edəcəksən;
  • iki qrafiki cədvəllə qurub kökləri oxuyacaq, yerinə qoymaqla yoxlayacaq, ax² + bx + c = 0 tənliyini əvvəlcə a-ya böləcəksən;
  • ortaq nöqtələrin sayına görə köklərin sayını deyəcək və qrafik üsulun nə vaxt təqribi cavab verdiyini biləcəksən.
Xətkeş parabolanı iki nöqtədə kəsirŞəbəkəli vərəqdə y = x² parabolası (mavi). Üstünə qoyulmuş xətkeşin kənarı y = 2x + 5,25 düz xəttidir (narıncı). Xətkeş parabolanı absisləri −1,5 və 3,5 olan iki nöqtədə kəsir; bu nöqtələrdən Ox oxuna qırıq xətlər düşür və −1,5 ilə 3,5 yaşıl çiplərlə işarələnib. Kartda: x² = 2x + 5,25.xy−1,53,5x² =2x + 5,25
  1. Kəşf et
  2. Qrafik üsul
  3. Hesabla
  4. Diqqət
  5. Qrafkalkulyator
  6. Özünü yoxla
  7. Yekun

1 · Kəşf et

Tənlik iki qrafikin görüşüdür

Tənliyi elə yazaq ki, bir tərəfdə yalnız x² qalsın: x² − 2x = 5,25 tənliyində −2x həddini sağ tərəfə keçirəndə işarəsi dəyişir:

x² = 2x + 5,25

Sol tərəf y = x² funksiyasıdır, sağ tərəf isə y = 2x + 5,25 xətti funksiyası. Hər x üçün hər iki funksiyanın bir qiyməti var — qrafikdə bu, həmin x-də parabolanın və düz xəttin hündürlüyüdür. Tənlik o x-lər üçün doğrudur ki, iki hündürlük bərabər olsun.

x-i seç və hündürlükləri müqayisə et
Parabolanın və düz xəttin hündürlükləriy = x² parabolası və y = 2x + 5,25 düz xətti. Seçilən x üçün iki şaquli sütun: mavi — x²‑nın qiyməti, narıncı — 2x + 5,25‑in qiyməti. x = −1,5 və x = 3,5 olanda sütunlar bərabərdir və ortaq nöqtəyə çatır.y = x²y = 2x + 5,25xy0−2−1123448124,840,85x = −2,22,25x = −1,55,25x = 012,25x = 3,5

x = −2,2: x² = 4,84, amma 2x + 5,25 = 0,85. Parabola xəttdən yuxarıdadır — bərabərlik ödənmir, −2,2 kök deyil.

x = −1,5: x² = 2,25 və 2x + 5,25 = −3 + 5,25 = 2,25. Hündürlüklər bərabərdir: qrafiklər (−1,5; 2,25) nöqtəsində görüşür, −1,5 kökdür.

x = 0: x² = 0, amma 2x + 5,25 = 5,25. İndi xətt yuxarıdadır — 0 kök deyil.

x = 3,5: x² = 12,25 və 2x + 5,25 = 7 + 5,25 = 12,25. Yenə bərabərdir: ortaq nöqtə (3,5; 12,25), 3,5 kökdür.

Mavi sütun — x²-nın qiyməti, narıncı sütun — 2x + 5,25-in qiyməti. Bərabər olduqları yerdə qrafiklərin ortaq nöqtəsi var.

Deməli, ortaq nöqtədə x tənliyi ödəyir, y isə yalnız hər iki tərəfin ortaq qiymətidir. Ona görə kök ortaq nöqtənin absisi (x koordinatı) olur, ordinatı yox. −1,5‑dən solda və 3,5‑dən sağda parabola xəttdən yuxarı qalxır, aralarında isə xəttdən aşağıdadır — başqa ortaq nöqtə yoxdur.

2 · Qayda

Qrafik üsul: parabola və düz xətt

Qrafik üsul

Dərslikdə belə deyilir: «x² + px + q = 0 tənliyini x² = − px − q şəklində yazaq. y = x² parabolası ilə y = −px − q düz xəttinin kəsişmə nöqtələrinin absisləri verilmiş tənliyin kökü olar.»

x² + px + q = 0⇔  x² = −px − q

  • y = x² — sol tərəf, parabola (mavi);
  • y = −px − q — sağ tərəf, düz xətt (narıncı); onu iki nöqtə ilə qururuq;
  • köklər — ortaq nöqtələrin absisləri (yaşıl).

Kök düsturu olmadan tapmaq üçün tənliyi həmişə bu şəklə gətiririk: sol tərəfdə yalnız x², qalan hədlər işarəsini dəyişərək sağa keçir. Parabola hər tənlik üçün eynidir — dəyişən yalnız düz xəttdir, yəni xətkeşin yeridir.

Xətkeşi sürüşdür

Xətkeşi əyməyib paralel aşağı sürüşdürək: bütün xətlərin bucaq əmsalı 3‑dür, dəyişən yalnız sərbəst həddir. Ortaq nöqtələrin sayı necə dəyişir?

Düz xətti seç
Xətkeşi paralel sürüşdürmək: iki, bir və heç bir ortaq nöqtəy = x² parabolası və bucaq əmsalı 3 olan üç paralel düz xətt. y = 3x + 6,75 parabolanı absisləri −1,5 və 4,5 olan iki nöqtədə kəsir; y = 3x − 2,25 parabolaya absisi 1,5 olan bir nöqtədə toxunur; y = 3x − 3,5 parabola ilə ortaq nöqtəyə malik deyil. Seçilən xətt qalın göstərilir.y = x²seçilən xəttdigər iki vəziyyətxy0−2−112345−448121620−1,54,51,5

y = 3x + 6,75: tənlik x² − 3x − 6,75 = 0. Xətt parabolanı iki nöqtədə kəsir: (−1,5; 2,25) və (4,5; 20,25). İki müxtəlif kök: −1,5 və 4,5.

y = 3x − 2,25: tənlik x² − 3x + 2,25 = 0. Xətt parabolaya (1,5; 2,25) nöqtəsində toxunur — ortaq nöqtə birdir. Tənliyi ödəyən ədəd yeganədir: x = 1,5. Yoxlama: x² − 3x + 2,25 = (x − 1,5)², bu isə yalnız x = 1,5‑də sıfırdır.

y = 3x − 3,5: tənlik x² − 3x + 3,5 = 0. Xətt parabolanın altından keçir — ortaq nöqtə yoxdur, tənliyin həqiqi kökü yoxdur. Yoxlama: x² − 3x + 3,5 = (x − 1,5)² + 1,25 > 0.

Qırıq boz xətlər — digər iki vəziyyət. Xətkeş aşağı düşdükcə iki ortaq nöqtə bir-birinə yaxınlaşır, birləşib toxunma nöqtəsinə çevrilir, sonra yox olur.

İki ortaq nöqtə

İki ortaq nöqtəİki ortaq nöqtə. y = x² parabolası və y = 3x + 6,75 düz xətti.

Tənliyin iki müxtəlif kökü var.

Bir ortaq nöqtə (toxunma)

Bir ortaq nöqtə (toxunma)Bir ortaq nöqtə (toxunma). y = x² parabolası və y = 3x − 2,25 düz xətti.

Tənliyi ödəyən ədəd yeganədir.

Ortaq nöqtə yoxdur

Ortaq nöqtə yoxdurOrtaq nöqtə yoxdur. y = x² parabolası və y = 3x − 3,5 düz xətti.

Tənliyin həqiqi kökü yoxdur.

Dərslik bu üç halı belə yekunlaşdırır: parabola ilə düz xətt kəsişə bilər (tənliyin iki müxtəlif kökü var), bir ortaq nöqtəsi ola bilər (tənliyi ödəyən ədəd yeganədir), ya da ortaq nöqtəsi olmaya bilər (həqiqi kökü yoxdur).

3 · Hesabla

Addım-addım qrafik həll

Hər həll eyni beş addımdan keçir: yaz → parabola → düz xətt → oxu → yoxla. Yoxlama vacibdir: qrafikdən oxunan ədəd çox vaxt göz ilə tapılır.

Nümunə 1İki dəqiq kök

x² − 2x = 5,25 tənliyini qrafik üsulla həll edin.

  1. Bir tərəfdə yalnız x² saxlayırıq: x² = 2x + 5,25.
  2. y = x² parabolasını cədvəllə qururuq (bu cədvəl hər tənlik üçün eynidir):
    y = x² üçün cədvəl
    x−3−2−10123
    y9410149
  3. y = 2x + 5,25 düz xətti üçün iki nöqtə kifayətdir:
    y = 2x + 5,25 üçün cədvəl
    x01
    y5,257,25
  4. Qrafiklər iki nöqtədə kəsişir: (−1,5; 2,25) və (3,5; 12,25). Onların absisləri −1,5 və 3,5‑dir.
  5. Yoxlayırıq — hər iki ədəd tənliyi ödəyir:

    (−1,5)² − 2 · (−1,5) = 2,25 + 3 = 5,25 ✓3,5² − 2 · 3,5 = 12,25 − 7 = 5,25 ✓

    x₁ = −1,5; x₂ = 3,5

Nümunə 1: y = x² və y = 2x + 5,25Cədvəl nöqtələri (mavi dairələr: y = x²; narıncı kvadratlar: (0; 5,25) və (1; 7,25)), onlardan keçən parabola və düz xətt. Ortaq nöqtələr (−1,5; 2,25) və (3,5; 12,25); onlardan Ox oxuna düşən qırıq xətlər −1,5 və 3,5 köklərini göstərir.y = x²y = 2x + 5,25xy0−3−2−11244812−1,53,5
Qurma ardıcıllığı: cədvəl nöqtələri → parabola → xəttin iki nöqtəsi → xətt → ortaq nöqtələr → Ox-a düşən xətlər → köklər.
Nümunə 2Əvvəl a-ya böl

−2x² − 4x + 10,5 = 0 tənliyini qrafik üsulla həll edin.

  1. Burada x²‑nın əmsalı a = −2‑dir. Dərslik məsləhət görür: tənliyin hər iki tərəfini a ≠ 0 ədədinə bölüb çevrilmiş kvadrat tənliyə gətirək. −2‑yə bölürük — bütün işarələr dəyişir: x² + 2x − 5,25 = 0.
  2. x²‑dan başqa hədləri sağa keçiririk: x² = −2x + 5,25.
  3. Düz xətt üçün cədvəl:
    y = −2x + 5,25 üçün cədvəl
    x01
    y5,253,25
  4. Ortaq nöqtələr: (−3,5; 12,25) və (1,5; 2,25), absisləri −3,5 və 1,5.
  5. Yoxlamanı ilkin tənlikdə edirik (x² = 12,25 və x² = 2,25):

    −2 · 12,25 − 4 · (−3,5) + 10,5  = −24,5 + 14 + 10,5 = 0 ✓−2 · 2,25 − 4 · 1,5 + 10,5  = −4,5 − 6 + 10,5 = 0 ✓

    x₁ = −3,5; x₂ = 1,5

Nümunə 2: y = x² və y = −2x + 5,25y = x² parabolası və y = −2x + 5,25 düz xətti (x = 0‑da 5,25, x = 1‑də 3,25). Ortaq nöqtələr (−3,5; 12,25) və (1,5; 2,25); kökləri −3,5 və 1,5.y = x²y = −2x + 5,25xy0−4−3−2−1124812−3,51,5
Bu şəkil Nümunə 1‑in güzgü əksidir: x-in işarəsini dəyişsək, bir tənlik digərinə keçir, köklərin də işarəsi dəyişir.
Nümunə 3Təqribi kök

x² − x − 1,5 = 0 tənliyinin köklərini qrafik üsulla tapın.

  1. x² = x + 1,5; düz xətt (0; 1,5) və (1; 2,5) nöqtələrindən keçir.
  2. Ortaq nöqtələr şəbəkə xətlərinin üstünə düşmür: absisləri təxminən −0,8 və 1,8‑dir.
  3. Yerinə qoyaq: x = 1,8‑də x² = 3,24, x + 1,5 = 3,3 — bərabər deyil, amma çox yaxındır. 1,9‑da isə artıq parabola yuxarıdadır. Deməli, kök 1,8 ilə 1,9 arasındadır və 1,8‑ə daha yaxındır. Mənfi kök də eyni qayda ilə −0,9 ilə −0,8 arasındadır.
    Lupadakı yoxlama
    xx²x + 1,5Hansı böyükdür?
    1,83,243,3xətt
    1,93,613,4parabola
    −0,80,640,7xətt
    −0,90,810,6parabola

    x₁ ≈ −0,8; x₂ ≈ 1,8

Dərslik xəbərdarlıq edir: «Qrafik üsulla həll zamanı bir çox hallarda dəqiq deyil, təqribi həlli tapmaq olur.» Bu köklərin dəqiq qiymətini növbəti mövzuda kök düsturu ilə tapacaqsan.

Nümunə 3: y = x² və y = x + 1,5, böyüdülmüş pəncərə iləy = x² parabolası və y = x + 1,5 düz xətti. Ortaq nöqtələr şəbəkə xətləri arasındadır: absisləri təxminən −0,8 və 1,8. Aşağıdakı lupa x = 1,7…2,0 pəncərəsini böyüdür: kəsişmə 1,8 ilə 1,9 arasında, 1,8‑ə yaxındır.y = x²y = x + 1,5xy0−2−11212345≈ −0,8≈ 1,8lupa1,71,81,9233,54x ≈ 1,8x²x + 1,5
Yuxarıda bütün qrafik, aşağıda çərçivəli hissənin lupası: orada bir xana 0,1‑dir və kəsişmə 1,8 ilə 1,9 arasında görünür.

4 · Diqqət

Dörd tipik səhv

Qrafik üsulda səhvlərin çoxu ya köçürmədə, ya da oxumada olur.

1. Ordinatı kök yazmaq

Səhv

köklər: 2,25 və 12,25

x² − 2x = 5,25 tənliyində bunlar ortaq nöqtələrin ordinatlarıdır — iki tərəfin ortaq qiyməti.

Düzgün

köklər: −1,5 və 3,5

Kök tənliyi ödəyən x-dir, yəni nöqtənin absisi.

2. Həddi keçirəndə işarəni saxlamaq

Səhv

x² + 2x − 5,25 = 0
→ x² = 2x − 5,25

İşarələr dəyişməyib. Bu xətt parabolaya çatmır və «kök yoxdur» kimi səhv nəticə verir.

Düzgün

x² = −2x + 5,25

Hər iki hədd sağa keçəndə işarəsini dəyişir; xətt parabolanı iki nöqtədə kəsir.

İşarə səhvi: düzgün və səhv düz xətty = x² parabolası. Narıncı düzgün xətt y = −2x + 5,25 parabolanı iki nöqtədə kəsir: (−3,5; 12,25) və (1,5; 2,25). Qırmızı qırıq səhv xətt y = 2x − 5,25 parabolanın altından keçir və onunla ortaq nöqtəsi yoxdur.y = x²✓ y = −2x + 5,25✗ y = 2x − 5,25xy0−4−2244812
İşarə səhvi tamam başqa xətt çəkdirir: düzgün xətt iki kök verir, səhv xətt isə parabolanın altından keçir. Yoxlama: x² − 2x + 5,25 = (x − 1)² + 4,25 heç vaxt sıfır olmur.

3. Toxunmanı səhv oxumaq

Səhv

x² − 3x + 2,25 = 0:
kök yoxdur (və ya ±1,5)

Toxunma nöqtəsi də ortaq nöqtədir; simmetrik cüt isə burada yoxdur.

Düzgün

yeganə kök: x = 1,5

Xətt parabolaya bir nöqtədə toxunur — tənliyi ödəyən ədəd birdir.

4. a-ya bölməyi unutmaq

Səhv

−2x² − 4x + 10,5 = 0
→ x² = −4x + 10,5

Sol tərəfdə əslində −2x² var idi: belə xətt başqa tənliyi həll edir.

Düzgün

əvvəl −2‑yə böl:
x² = −2x + 5,25

Yalnız çevrilmiş tənlikdə sol tərəf düz y = x² olur.

5 · Qrafkalkulyator

Kompüter də eyni üsulla həll edir

Əl ilə çəkilən qrafikdə kökü ən çoxu onda bir dəqiqliklə oxuyuruq. Dərslikdə deyilir: «Qrafkalkulyatorla bir koordinat müstəvisi üzərində parabolanı və düz xətti qurmaqla kvadrat tənlikləri qrafik üsulla həll edə bilərsiniz.»

Ekranda−x² + x + 5 = 0
  1. −1‑ə bölürük: x² − x − 5 = 0, yəni x² = x + 5.
  2. Qrafkalkulyatora iki funksiya yazırıq: y₁ = x² və y₂ = x + 5.
  3. Proqram kəsişmə nöqtələrini göstərir: x ≈ −1,791 və x ≈ 2,791.
  4. Yoxlama: 2,791² ≈ 7,790, 2,791 + 5 = 7,791 — fərq cəmi mində birdir.

    x₁ ≈ −1,791; x₂ ≈ 2,791

Ekranı böyütdükcə daha çox rəqəm görünür, amma cavab yenə təqribidir. Qrafkalkulyator vaxta qənaət edir; nəyi çəkməyi isə sən seçirsən — tənliyi düzgün şəklə gətirmək yenə səndən asılıdır.

Qrafkalkulyatorun ekranıEkranda iki funksiya yazılıb: y₁ = x² və y₂ = x + 5. Qrafiklərdə parabola (mavi) və düz xətt (narıncı) iki nöqtədə kəsişir; aşağıdakı sətirdə kəsişmələrin absisləri: x ≈ −1,791 və x ≈ 2,791.y₁ = x²y₂ = x + 50−3−2−11234246810Kəsişmə: x ≈ −1,791Kəsişmə: x ≈ 2,791
Ekran sxemi: iki funksiya, iki qrafik və kəsişmələrin absisləri.

6 · Özünü yoxla

Bacarığını sına

Cavabı seç — düzgün olanda yaşıl, səhv olanda qırmızı işıqlanacaq. Həllinə də baxa bilərsən.

  1. Asan

    x² + 0,8x − 1,2 = 0 tənliyini qrafik üsulla həll etmək üçün y = x² ilə hansı düz xətt qurulmalıdır?

    Cavab variantları

    Düzdür! Hər iki hədd işarəsini dəyişərək sağa keçir.

    Yox. 0,8x və −1,2 sağa keçəndə hər ikisinin işarəsi dəyişir.

    Həllə bax

    x² = −0,8x + 1,2. Deməli, y = x² ilə y = −0,8x + 1,2 qurulur. y = 0,8x − 1,2 işarələri dəyişməmiş xəttdir, digər ikisində isə yalnız bir işarə dəyişib.

  2. Asan

    y = x² parabolası ilə düz xətt (−0,6; 0,36) və (2,4; 5,76) nöqtələrində kəsişir. Uyğun kvadrat tənliyin kökləri hansılardır?

    Cavab variantları

    Əla! Köklər ortaq nöqtələrin absisləridir.

    Kök nöqtənin birinci koordinatıdır (absis), işarəsi ilə birlikdə; hər ortaq nöqtə bir kök verir.

    Həllə bax

    Absislər −0,6 və 2,4‑dür. 0,36 və 5,76 ordinatlardır; «yalnız 2,4» mənfi kökü unudur; 0,6 və −2,4‑də işarələr dəyişdirilib.

  3. Orta

    y = 7x − 12,25 düz xətti y = x² parabolasına (3,5; 12,25) nöqtəsində toxunur. x² − 7x + 12,25 = 0 tənliyinin neçə həqiqi kökü var?

    Cavab variantları

    Düzdür! Toxunma — bir ortaq nöqtə, yeganə kök.

    Toxunma nöqtəsi də ortaq nöqtədir və kök onun absisidir.

    Həllə bax

    x² − 7x + 12,25 = 0 ⇔ x² = 7x − 12,25 — məhz bu xətt parabolaya toxunur. Ortaq nöqtə birdir, kök 3,5. −3,5 qrafikdə ortaq nöqtə deyil: (−3,5)² = 12,25, amma 7 · (−3,5) − 12,25 = −36,75. 12,25 isə ordinatdır.

  4. Orta

    4x² − 6x − 9 = 0 tənliyi üçün y = x² ilə hansı düz xətt qurulmalıdır?

    Cavab variantları

    Düzdür! Əvvəl 4‑ə böldük, sonra hədləri keçirdik.

    Əvvəl hər iki tərəfi 4‑ə böl, sonra x²‑dan başqa hədləri işarəsini dəyişərək sağa keçir.

    Həllə bax

    4‑ə bölürük: x² − 1,5x − 2,25 = 0, sonra x² = 1,5x + 2,25. y = 6x + 9 bölünməmiş halda alınır (sol tərəf 4x² olardı); y = −1,5x − 2,25‑də işarələr dəyişməyib; y = 1,5x + 9‑da yalnız bir hədd bölünüb.

  5. Çətin

    x² − 3x + k = 0 tənliyinin k-nın hansı qiymətində həqiqi kökü yoxdur? (İpucu: «Xətkeşi sürüşdür» laboratoriyasını xatırla.)

    Cavab variantları

    Əla! Xətt toxunan xəttdən aşağıdadır.

    Tənliyi x² = 3x − k şəklində yaz və xətti y = 3x − 2,25 toxunan xətti ilə müqayisə et.

    Həllə bax

    x² = 3x − k. Bütün bu xətlər y = 3x − 2,25 toxunan xəttinə paraleldir. Sərbəst hədd −k toxunanınkından kiçik olanda (−k < −2,25, yəni k > 2,25) xətt parabolanın altından keçir. k = 3 belədir: x² − 3x + 3 = (x − 1,5)² + 0,75 > 0. k = 2,25 toxunmadır (bir kök), k = 1,5 və k = −3‑də xətt yuxarıdadır və iki ortaq nöqtə var.

  6. Çətin

    y = x² və y = kx − 6,75 qrafikləri absisi 1,5 olan nöqtədə kəsişir. k neçədir?

    Cavab variantları

    Düzdür! Ortaq nöqtə hər iki qrafikin üzərindədir.

    Ortaq nöqtənin ordinatı 1,5² = 2,25‑dir; bu nöqtə xəttin də üzərindədir.

    Həllə bax

    Ortaq nöqtə (1,5; 2,25). Xəttin tənliyində yerinə qoyuruq: 2,25 = 1,5k − 6,75, buradan 1,5k = 9, k = 6. k = −3 sərbəst həddin işarəsi səhv götürüləndə, k = 9 isə 1,5‑ə bölməyi unudanda alınır; 1,5 isə absisdir, k deyil.

Yekun

Yadda qalanlar

  • x² = −px − qTənliyi bu şəklə gətir; ax² + bx + c = 0 olanda əvvəl a-ya böl.
  • Köklər = absisləry = x² parabolası ilə düz xəttin ortaq nöqtələrinin x-ləri; yerinə qoyub yoxla.
  • 2 · 1 · 0Kəsişmə — iki kök, toxunma — yeganə kök, ortaq nöqtə yoxdur — həqiqi kök yoxdur; qrafik çox vaxt təqribi cavab verir.

Növbəti mövzu: 3.13 Kvadrat tənliyin kökləri düsturu — təqribi oxuduğumuz kökləri orada dəqiq tapacaqsan.