• 3.7
  • 8-ci sinif
  • Həndəsə

Pifaqor teoremi

Tərəfləri 48, 55 və 73 olan düzbucaqlı üçbucaqda iki qısa tərəfin cəmi 103-dür, 73 yox. Bəs tərəflər üzərində qurulmuş kvadratlar? 2304 + 3025 = 5329: kiçik iki kvadrat birlikdə böyük kvadrata tam bərabərdir.

Bu dərsdə

  • düzbucaqlı üçbucağın tərəfləri arasındakı əlaqəni uzunluq və sahə dilində yazacaq və bunun niyə doğru olduğunu şəkillə izah edəcəksən;
  • iki tərəfə görə üçüncü tərəfi tapacaq, hipotenuzu və katetləri qarışdırmayacaqsan;
  • tərs teoremlə üçbucağın düzbucaqlı olub-olmadığını yoxlayacaq, Pifaqor üçlüklərini tanıyıb yenilərini quracaqsan.
48, 55 və 73 tərəfli düzbucaqlı üçbucaq və tərəfləri üzərindəki kvadratlar Miqyasla çəkilmiş düzbucaqlı üçbucaq. 48 uzunluqlu katet üzərində mavi kvadrat, sahəsi 48² = 2304; 55 uzunluqlu katet üzərində narıncı kvadrat, sahəsi 55² = 3025; 73 uzunluqlu hipotenuz üzərində yaşıl kvadrat, sahəsi 73² = 5329. Kartda: 2304 + 3025 = 5329. Aşağıda qırmızı: 48 + 55 = 103, 103 ≠ 73 — tərəflər toplanmır. 48²2304 55²3025 73²5329 2304 + 3025= 5329 48 + 55 = 103103 ≠ 73
  1. Kəşf et
  2. Teorem
  3. Hesabla
  4. Sahələr
  5. Tərs teorem
  6. Üçlüklər
  7. Diqqət
  8. Özünü yoxla
  9. Yekun

1 · Kəşf et

Tərəflər toplanmır, kvadratlar toplanır

Bucaqlarından biri düz bucaq (90°) olan üçbucaq düzbucaqlı üçbucaqdır. Düz bucağın tərəfləri katetlər, düz bucağın qarşısındakı tərəf isə hipotenuz adlanır. Katetləri a və b, hipotenuzu c ilə işarə edəcəyik.

Hipotenuz ən uzun tərəfdir

Düz bucaq üçbucağın ən böyük bucağıdır (qalan ikisinin cəmi 90°-dir). Üçbucaqda böyük bucağın qarşısında böyük tərəf durur, ona görə hipotenuz hər katetdən uzundur.

Kvadratın sahəsi

Tərəfi a olan kvadratın sahəsi a²-dir. Buna görə «tərəfin kvadratı» həm ədəd, həm də həmin tərəf üzərində qurulmuş kvadratın sahəsidir.

İndi yuxarıdakı şəklə qayıdaq. Katetlər 48 və 55, hipotenuz 73-dür. Tərəfləri toplasaq, alınmır: 48 + 55 = 103, hipotenuz isə 73-dür. Kvadratlara baxaq:

48² = 2304,  55² = 3025 2304 + 3025 = 5329 = 73²

Katetlər üzərindəki iki kvadratın sahələrinin cəmi hipotenuz üzərindəki kvadratın sahəsinə tam bərabərdir. Bu, bu üçbucağın təsadüfi xassəsidirmi, yoxsa hər düzbucaqlı üçbucaqda belədir? Bir misal sübut deyil — ümumi isbat lazımdır.

2 · Teorem

Pifaqor teoremi və onun isbatı

Pifaqor teoremi

Düzbucaqlı üçbucaqda hipotenuzun kvadratı katetlərin kvadratları cəminə bərabərdir:

c² = a² + b²

Teorem qədim alim Pifaqorun adını daşıyır. Dərslikdə qeyd olunur ki, onun 400-ə yaxın müxtəlif isbatı var. Aşağıda sahələrə əsaslanan bir isbata baxırıq: tərəfi c olan kvadratın içinə üçbucağımızın dörd eyni nüsxəsini yerləşdiririk.

Hipotenuz üzərindəki kvadrat dörd üçbucaq və bir kiçik kvadratdan ibarətdir Tərəfi c olan yaşıl kvadratın içində katetləri a və b olan dörd eyni düzbucaqlı üçbucaq fırlanğıc kimi düzülüb; hər üçbucağın hipotenuzu böyük kvadratın bir tərəfidir. Ortada tərəfi b − a olan narıncı kiçik kvadrat qalır. b − a bac

Lövhə 1 · Kvadratın içində dörd üçbucaqçəkiliş: a : b = 3 : 5

Hər üçbucağın uzun kateti b, qısa kateti a-dır; uzun katet qısa katetdən b − a qədər çıxır, ona görə ortada tərəfi b − a olan kvadrat qalır.

İsbat (a < b)

1) Böyük kvadratın sahəsi: c². 2) Dörd üçbucağın sahəsi: 4 · ab2 / = 2ab. 3) Kiçik kvadratın sahəsi: (b − a)² = b² − 2ab + a². 4) c² = 2ab + b² − 2ab + a² = a² + b².

2ab toplananları bir-birini silir və istənilən düzbucaqlı üçbucaq üçün c² = a² + b² qalır. Katetlər bərabər olsa (a = b), ortadakı kvadrat yox olur, dörd üçbucaq böyük kvadratı tam örtür: c² = 2a² — yenə eyni nəticə.

3 · Hesabla

İki tərəfə görə üçüncü tərəf

Düzbucaqlı üçbucağın iki tərəfi məlumdursa, üçüncüsünü Pifaqor teoremi ilə tapmaq olar. Əvvəlcə hansı tərəfin axtarıldığını müəyyən et:

Hipotenuz axtarılır

c² = a² + b² — kvadratlar toplanır.

Katet axtarılır

b² = c² − a² — hipotenuzun kvadratından çıxılır.

Nümunə 1Hipotenuzu tap

Düzbucaqlı üçbucağın katetləri 51 və 68-dir. Hipotenuzu tapın.

  1. Hipotenuz axtarılır, kvadratlar toplanır: c² = 51² + 68².
  2. Hesablayırıq: 2601 + 4624 = 7225.
  3. 7225 tərəfin özü deyil, kvadratıdır: c = √7225 = 85, çünki 85² = 7225.

    c = 85

Nümunə 2Kateti tap

Düzbucaqlı üçbucağın hipotenuzu 137, katetlərindən biri 88-dir. O biri kateti tapın.

Hipotenuzu 137, kateti 88 olan düzbucaqlı üçbucaq Miqyasla çəkilmiş düzbucaqlı üçbucaq: aşağıda mavi katet 88, solda narıncı qırıq xətlə naməlum katet x, düz bucağın qarşısında yaşıl hipotenuz 137. 88 x 137 hipotenuz

Lövhə 2 · Hipotenuz düz bucağın qarşısındadırmiqyasla

  1. 137 düz bucağın qarşısındadır, deməli hipotenuzdur. Katet axtarılır, çıxırıq: x² = 137² − 88².
  2. Kvadratlar fərqi düsturu hesabı asanlaşdırır: x² = (137 − 88)(137 + 88) = 49 · 225 = 11025.
  3. x = √11025 = 105. Yoxlama: 88² + 105² = 7744 + 11025 = 18769 = 137².

    x = 105

Nümunə 3Cavab kök olaraq qalır

Düzbucaqlı üçbucağın hipotenuzu 9, katetlərindən biri 2-dir. O biri kateti tapın.

  1. Katet axtarılır: x² = 9² − 2² = 81 − 4 = 77.
  2. 77 heç bir natural ədədin kvadratı deyil, ona görə cavabı kök şəklində saxlayırıq: x = √77.

    x = √77

Qeyd. Dərslikdə deyilir: məsələnin şərtində və ya şəkil üzərində ölçü vahidləri yazılmayıbsa, bütün parçaların eyni vahidlərlə verildiyi nəzərdə tutulur və cavab ölçüsüz yazılır. Ona görə yuxarıdakı cavablar vahidsizdir: 85, 105, √77.

4 · Sahələr

Teorem kvadratların dilində

Yadda saxla

Düzbucaqlı üçbucaqda hipotenuz üzərində qurulmuş kvadratın sahəsi katetlər üzərində qurulmuş kvadratların sahələri cəminə bərabərdir.

Sc = Sa + Sb

Hero şəklində məhz bunu gördük: 2304 + 3025 = 5329. Bu dildə məsələlərdə uzunluqla sahəni qarışdırmamaq vacibdir: sahə kvadrat vahidlə (sm²), tərəf isə uzunluq vahidi ilə (sm) ölçülür.

Nümunə 4Üç kvadrat birlikdə

Düzbucaqlı üçbucağın üç tərəfi üzərində kvadratlar qurulub. Üç kvadratın sahələri cəmi 1058 sm²-dir. Hipotenuzu tapın.

  1. Katetlər üzərindəki iki kvadrat birlikdə hipotenuz üzərindəki kvadrata bərabərdir: Sa + Sb = Sc.
  2. Deməli üç kvadratın cəmi Sc + Sc = 2Sc = 1058, buradan Sc = 529 sm².
  3. 529 sm² hipotenuzun özü deyil, onun üzərindəki kvadratın sahəsidir: c = √529 = 23 sm.

    c = 23 sm

5 · Tərs teorem

Üçbucaq düzbucaqlıdırmı?

Pifaqor teoremi deyir: üçbucaq düzbucaqlıdırsa, c² = a² + b². Tərs istiqamət də doğrudur:

Tərs teorem

Üçbucaqda bir tərəfin kvadratı qalan iki tərəfin kvadratları cəminə bərabərdirsə, bu üçbucaq düzbucaqlı üçbucaqdır.

c² = a² + b² ⇒ düz bucaq c-nin qarşısındadır

Yoxlama qaydası üç addımdır: (1) ən uzun tərəfi tap; (2) onun kvadratını qalan iki tərəfin kvadratları cəmi ilə müqayisə et; (3) bərabərdirsə, üçbucaq düzbucaqlıdır və düz bucaq ən uzun tərəfin qarşısındadır — iki qısa tərəfin arasında.

Üç üçbucağı yoxlayaq
TərəflərƏn uzun tərəf²Qalan ikisinin kvadratları cəmiNəticə
T12,7; 3,6; 4,54,5² = 20,257,29 + 12,96 = 20,25bərabər — düzbucaqlı
T238; 49; 6262² = 38441444 + 2401 = 3845bərabər deyil — düzbucaqlı deyil
T37; √32; 99² = 8149 + 32 = 81bərabər — düzbucaqlı

Cədvəl dar ekranda yana sürüşür.

  • T2-də fərq cəmi 1-dir, amma «təxminən bərabər» kifayət etmir: bərabərlik dəqiq olmalıdır. Bu üçbucağın bucaqlarından heç biri düz deyil.
  • T3-də ən uzun tərəf 9-dur, √32 deyil: √32 < √81 = 9. Kökləri olan tərəflərdə də əvvəlcə ən uzununu tap.
T1 və T3 üçbucaqları, düz bucaq ən uzun tərəfin qarşısında Solda T1: tərəflər 2,7 (aşağı), 3,6 (sol) və 4,5 (yaşıl, ən uzun). Sağda T3: tərəflər 7 (aşağı), √32 (sol) və 9 (yaşıl, ən uzun). Hər ikisində düz bucaq işarəsi iki qısa tərəfin birləşdiyi təpədədir. 2,7 3,6 4,5 T1 7 √32 9 T3

Lövhə 3 · Düz bucaq ən uzun tərəfin qarşısındahər üçbucaq öz miqyasında

6 · Üçlüklər

Pifaqor üçlükləri və onların misilləri

Tərəfləri natural ədədlərlə ifadə olunan düzbucaqlı üçbucaqlara Pifaqor üçbucaqları, bu ədədlərə isə Pifaqor üçlükləri deyilir. Ən məşhuru tərəfləri 3; 4; 5 olan üçbucaqdır — o, Misir üçbucağı da adlanır. Dərsdəki üçbucaqların bəziləri də belədir:

  • 3; 4; 5
  • 5; 12; 13
  • 48; 55; 73
  • 51; 68; 85
  • 88; 105; 137

Misillər

a, b, c ədədləri Pifaqor üçlüyüdürsə, ak, bk, ck ədədləri (k > 0) də Pifaqor üçlüyü olur.

(ak)² + (bk)² = k²(a² + b²) = k²c² = (ck)²

Nümunə 1-ə qayıdaq: 51 = 17 · 3, 68 = 17 · 4. Deməli 51; 68 Misir üçbucağının 17 dəfə böyüdülmüş katetləridir və hipotenuz 17 · 5 = 85 olmalıdır — kvadratlara ehtiyac belə yoxdur. 88; 105; 137 isə başqa bir üçlüyün böyüdülməsi deyil: bu üç ədədin 1-dən başqa ortaq vuruğu yoxdur.

1-dən başqa ortaq vuruğu olmayan üçlüyə sadə Pifaqor üçlüyü deyəcəyik. Yuxarıdakı siyahıda yaşıl olanlar sadədir, 51; 68; 85 isə sadə deyil (ortaq vuruq 17).

Nümunə 5Kəsr misil

5; 12; 13 üçlüyünü k = 0,5-ə vurun və alınan ədədlərin düzbucaqlı üçbucağın tərəfləri olduğunu yoxlayın.

  1. Hər üç ədədi vururuq: 5 · 0,5 = 2,5; 12 · 0,5 = 6; 13 · 0,5 = 6,5.
  2. Yoxlayırıq: 2,5² + 6² = 6,25 + 36 = 42,25 = 6,5².

    2,5; 6; 6,5 — düzbucaqlı üçbucaq

5; 12; 13 üçbucağı və onun yarısı 2,5; 6; 6,5 Ortaq düz bucaqlı iki oxşar üçbucaq miqyasla: böyüyü 5, 12, 13; içindəki yaşıl kiçiyi 2,5, 6, 6,5. Hipotenuzlar paraleldir, hər tərəf yarıya bölünüb. 6 12 2,5 5 13 6,5 k = 0,5

Lövhə 4 · Hər tərəf eyni ədədə vurulurmiqyasla

2,5; 6; 6,5 natural ədədlər olmadığı üçün Pifaqor üçlüyü sayılmır, amma düzbucaqlı üçbucağın tərəfləridir: misil qaydası istənilən k > 0 üçün düzbucaqlı üçbucaq verir.

7 · Diqqət

Tez-tez edilən səhvlər

Tərəfləri toplamaq

Səhv

c = 48 + 55 = 103

Tərəflər toplanmır: üçbucağın bir tərəfi digər ikisinin cəmindən həmişə qısadır.

Düz

c² = 2304 + 3025 = 5329, c = 73

Toplanan kvadratlardır, sonra kök alınır.

Katet üçün toplamaq

Səhv

x² = 137² + 88²

Belə alınan «katet» hipotenuzdan uzun olardı — bu mümkün deyil.

Düz

x² = 137² − 88²

Katet axtarılanda hipotenuzun kvadratından o biri katetin kvadratı çıxılır.

Kökü unutmaq

Səhv

c = 7225

7225 hipotenuzun kvadratıdır (sahədir), uzunluğu deyil.

Düz

c² = 7225, c = 85

Son addım həmişə kökdür.

Ən uzun tərəfi tanımamaq

Səhv

7² + 9² = 130 ≠ (√32)²

T3-də √32 hipotenuz götürülüb və «düzbucaqlı deyil» deyilib.

Düz

7² + (√32)² = 81 = 9²

Ən uzun tərəf 9-dur; onun kvadratı digər ikisinin kvadratları cəmi ilə müqayisə olunur.

Üçlüyə ədəd əlavə etmək

Səhv

3; 4; 5 → 7; 8; 9

7² + 8² = 113, 9² = 81: hər ədədə 4 əlavə etmək üçlük vermir.

Düz

3; 4; 5 → 4,5; 6; 7,5

Hər üç ədəd eyni ədədə (burada 1,5-ə) vurulur.

Bir də: şərtdə hipotenuz göstərilməyibsə və şəkil yoxdursa, verilən iki tərəfdən hansının hipotenuz olduğunu əvvəlcədən bilmək olmaz — mümkün halların hamısına baxmaq lazımdır.

8 · Özünü yoxla

Bacarığını sına

Cavabı seç — düzgün olanda yaşıl, səhv olanda qırmızı işıqlanacaq və ipucu çıxacaq. Hər sualın altında həll var.

  1. Asan

    Düzbucaqlı üçbucağın katetləri 57 və 76-dır. Hipotenuz neçədir?

    Cavab variantları

    Düzdür! 3249 + 5776 = 9025 = 95².

    Yox. Hipotenuz üçün katetlərin kvadratlarını topla, sonra kök al.

    Həllə bax

    c² = 57² + 76² = 3249 + 5776 = 9025, c = 95. Qısa yol: 57 = 19 · 3, 76 = 19 · 4, deməli c = 19 · 5 = 95. «133» — tərəflər toplanıb; «9025» — kök alınmayıb; «√2527» — kvadratlar çıxılıb.

  2. Asan

    Düzbucaqlı üçbucağın hipotenuzu 125, katetlərindən biri 117-dir. O biri katet neçədir?

    Cavab variantları

    Əla! (125 − 117)(125 + 117) = 8 · 242 = 1936 = 44².

    Yox. Katet axtarılır: hipotenuzun kvadratından o biri katetin kvadratını çıx və kök al.

    Həllə bax

    x² = 125² − 117² = (125 − 117)(125 + 117) = 8 · 242 = 1936, x = 44. «8» — tərəflər çıxılıb; «√29314» — kvadratlar toplanıb; «1936» — kök alınmayıb.

  3. Orta

    Üçbucağın tərəfləri 4; 7,5 və 8,5-dir. Hansı fikir doğrudur?

    Cavab variantları

    Düzdür! 16 + 56,25 = 72,25 = 8,5².

    Yox. Tərs teorem kvadratları müqayisə edir; düz bucaq ən uzun tərəfin qarşısındadır.

    Həllə bax

    Ən uzun tərəf 8,5: 8,5² = 72,25; 4² + 7,5² = 16 + 56,25 = 72,25. Bərabərdir — üçbucaq düzbucaqlıdır, düz bucaq 8,5-in qarşısında, 4 və 7,5 tərəflərinin arasındadır. Tərəflərin cəmi ilə yoxlamaq olmaz; düz bucaq ən uzun tərəfin ucunda ola bilməz; tərəflərin natural olması tələb deyil.

  4. Orta

    5; 12; 13 üçlüyündən k = 1,2 ilə hansı tərəflər alınır?

    Cavab variantları

    Əla! Hər üç ədəd 1,2-yə vuruldu.

    Yox. Misil almaq üçün hər üç ədədi eyni k = 1,2-yə vur — toplama yox, vergülün yerinə də diqqət et.

    Həllə bax

    5 · 1,2 = 6, 12 · 1,2 = 14,4, 13 · 1,2 = 15,6. Yoxlama: 36 + 207,36 = 243,36 = 15,6². «6,2; 13,2; 14,2» — 1,2 əlavə edilib; «6; 14,4; 13» — hipotenuz vurulmayıb; «0,6; 1,44; 1,56» — 0,12-yə vurulub (vergül səhv yerdədir).

  5. Çətin

    Düzbucaqlı üçbucağın bir kateti 19-dur, hipotenuz isə o biri katetdən 1 vahid uzundur. Hipotenuz neçədir?

    Cavab variantları

    Düzdür! 180² + 19² = 32400 + 361 = 32761 = 181².

    Yox. c² − x² = 19² yaz və kvadratlar fərqi düsturundan istifadə et: c − x = 1.

    Həllə bax

    O biri katet x, hipotenuz c = x + 1. c² − x² = 19² = 361, yəni (c − x)(c + x) = 361. c − x = 1 olduğundan c + x = 361, buradan x = 180, c = 181. «√362» — 1 katet kimi götürülüb (19² + 1²); «180» — bu, o biri katetdir; «361» — c + x cəmidir.

  6. Çətin

    Düzbucaqlı üçbucağın üç tərəfi üzərində qurulmuş kvadratların sahələri cəmi 98 sm²-dir. Hipotenuz neçədir?

    Cavab variantları

    Əla! 2Sc = 98, Sc = 49 sm², c = 7 sm.

    Yox. Katetlər üzərindəki iki kvadrat birlikdə hipotenuz üzərindəki kvadrata bərabərdir — üç kvadratın cəmi onun iki mislidir.

    Həllə bax

    Sa + Sb = Sc, ona görə 2Sc = 98, Sc = 49 sm² və c = √49 = 7 sm. «√98 sm» — 2-yə bölünməyib; «49 sm» — sahə uzunluq kimi yazılıb; «24,5 sm» — 4-ə bölünüb, kök alınmayıb.

9 · Yekun

Üç şeyi yadda saxla

  • c² = a² + b²Hipotenuz düz bucağın qarşısındakı ən uzun tərəfdir. Hipotenuz üzərindəki kvadrat katetlər üzərindəki iki kvadrata bərabərdir.
  • Toplama və ya çıxma, sonra kökHipotenuz üçün kvadratları topla, katet üçün çıx; son addım kökdür, cavab tam ədəd deyilsə √n kimi qalır.
  • Tərs teorem və üçlüklərƏn uzun tərəfin kvadratı qalan ikisinin kvadratları cəminə dəqiq bərabərdirsə, üçbucaq düzbucaqlıdır. Pifaqor üçlüyünün hər ədədini eyni k > 0-a vurmaq yeni düzbucaqlı üçbucaq verir.

Növbəti mövzu: 3.8 Pifaqor teoreminin tətbiqi — teorem gündəlik məsələlərdə və mürəkkəb fiqurlarda.