• 3.8
  • 8‑ci sinif
  • Həndəsə

Pifaqor teoreminin tətbiqi

Dülgər 60 sm × 91 sm ölçülü şəkil çərçivəsi düzəldir. Bucaqölçəni yoxdur, yalnız ruletkası var. Küncün düz olduğunu necə bilsin? Diaqonalı ölçsün: 109 sm olarsa künc düzdür, qısa olarsa iti, uzun olarsa kor bucaqdır.

Bu dərsdə

  • üçbucağın növünü yalnız tərəflərinə baxıb müəyyən edəcəksən;
  • 45°; 45°; 90° və 30°; 60°; 90° bucaqlı üçbucaqların tərəfləri arasındakı əlaqəni tətbiq edəcəksən;
  • hündürlüyü, diaqonalı və damalı kağızda parçanın uzunluğunu xətkeşsiz tapacaqsan.
  • katetlər, kiçik tərəflər
  • hipotenuz, ən böyük tərəf
  • tapılan, düz bucaq
Şəkil çərçivəsinin küncü ruletka ilə yoxlanırTərəfləri 60 sm və 91 sm olan çərçivə; künclər arası diaqonal 109 sm olarsa C küncü düzdür, 109 sm‑dən qısa olarsa iti, uzun olarsa kor bucaqdır.60 sm91 smC109 sm?< 109iti bucaq= 109düz bucaq> 109kor bucaq
  1. Menteşə
  2. Üçbucağın növü
  3. Xüsusi üçbucaqlar
  4. Hündürlük və diaqonal
  5. Damalı kağız
  6. Diqqət
  7. Həyatda
  8. Özünü yoxla
  9. Yekun

1 · Kəşf et

Bucaq açıldıqca üçüncü tərəf uzanır

3.7‑dən bilirsən: düzbucaqlı üçbucaqda hipotenuzun kvadratı katetlərin kvadratları cəminə bərabərdir, c² = a² + b². Bəs bucaq 90° deyilsə? Dülgərin iki taxtasını C nöqtəsində menteşə ilə birləşdirək: 60 sm və 91 sm. Menteşəni açıb-yığdıqca taxtaların ucları arasındakı məsafə dəyişir.

Uclar arasındakı məsafəni seç
Menteşə: 60 sm və 91 sm‑lik taxtalar, uclar arası məsafə seçilirC nöqtəsində menteşə ilə birləşmiş iki taxta. Uclar arasındakı məsafə 100 sm olanda C bucağı təxminən 80°, 109 sm olanda 90°, 118 sm olanda təxminən 101° olur. Fiqur miqyasla çəkilib.91≈ 80°6010090°60109≈ 101°60118C
Lövhə 1Menteşəli iki taxta1 xana = 10 sm

100² = 10 000 < 60² + 91² = 11 881. Üçüncü tərəf «düz bucaq üçün lazım olandan» qısadır: C bucağı itidir (bucaqölçən ≈ 80° göstərir).

109² = 11 881 = 60² + 91². Bərabərlik ödənir: C bucağı düzdür, 90°.

118² = 13 924 > 60² + 91² = 11 881. Üçüncü tərəf uzundur: C bucağı kordur (≈ 101°).

Üç oxunuşu müqayisə et: bucaq böyüdükcə qarşısındakı tərəf də böyüyür. Deməli, onun kvadratını katetlərin kvadratları cəmi ilə müqayisə etmək bucağı «ölçür».

2 · Qayda

Tərəflərinə görə üçbucağın növü

Yadda saxla

Üçbucağın tərəfləri a, b, c olsun və a ≤ b ≤ c, yəni c ən böyük tərəfdir.

MüqayisəƏn böyük bucaqÜçbucaq
c² = a² + b²∠C = 90°düzbucaqlı
c² < a² + b²∠C < 90°itibucaqlı
c² > a² + b²∠C > 90°korbucaqlı

∠C — ən böyük tərəfin qarşısındakı bucaqdır. O, iti olarsa, qalan iki bucaq da itidir: üçbucaq bütünlüklə itibucaqlıdır.

Əvvəl: üçbucaq varmı?

Ən böyük tərəf digər ikisinin cəmindən kiçik olmalıdır (üçbucaq bərabərsizliyi). Məsələn, 2; 3; 6 üçbucaq qurmur, çünki 2 + 3 < 6.

Sonra: sırala

Tərəflər qarışıq verilə bilər. Kvadratı müqayisə ediləcək tərəf həmişə ən böyüyüdür; köklü tərəfləri kvadrata yüksəldib müqayisə et.

Nümunə 1Sırala və müqayisə et

Tərəfləri 13, 15 və 10 olan üçbucağın növünü müəyyən edin.

  1. Üçbucaq var: 10 + 13 = 23 > 15.
  2. Ən böyük tərəf 15-dir: 15² = 225.
  3. Qalan ikisi: 10² + 13² = 100 + 169 = 269.
  4. 225 < 269, deməli ən böyük bucaq itidir.

    üçbucaq itibucaqlıdır

Nümunə 2Kök olan tərəf

Tərəfləri 3kvadrat kök 2, 4 və 6 olan üçbucağın növünü müəyyən edin.

  1. 3kvadrat kök 2‑ni kvadrata yüksəldirik: (3kvadrat kök 2)² = 9 · 2 = 18. Deməli, 3kvadrat kök 2 ≈ 4,24, ən böyük tərəf 6-dır.
  2. Üçbucaq var: 3kvadrat kök 2 + 4 ≈ 8,24 > 6.
  3. 6² = 36, (3kvadrat kök 2)² + 4² = 18 + 16 = 34.
  4. 36 > 34: 6‑nın qarşısındakı bucaq kordur.

    üçbucaq korbucaqlıdır

3 · Qayda

İki xüsusi düzbucaqlı üçbucaq

Bəzi düzbucaqlı üçbucaqlarda bir tərəf məlumdursa, qalan ikisi Pifaqor teoremindən dərhal alınır. Belə üçbucaqlar kvadratda və bərabərtərəfli üçbucaqda gizlənib.

Teorem 1 · 45°; 45°; 90°

Bərabəryanlı düzbucaqlı üçbucaqlarda hipotenuz hər bir katetdən kvadrat kök 2 dəfə böyükdür.

x : x : xkvadrat kök 2 = 1 : 1 : kvadrat kök 2

Niyə? Katetlər x-dirsə, c² = x² + x² = 2x², buradan c = xkvadrat kök 2. Kvadratın diaqonalı onu belə iki üçbucağa bölür, ona görə kvadratın diaqonalı tərəfindən kvadrat kök 2 dəfə böyükdür.

Kvadratın diaqonalı onu iki bərabəryanlı düzbucaqlı üçbucağa bölürTərəfi x olan kvadrat; diaqonal x√2, iti bucaqlar 45°.45°45°xxx√21 : 1 : √2
Lövhə 2Kvadrat və diaqonalıkatet x

Teorem 2 · 30°; 60°; 90°

İti bucaqlarından biri 30° olan düzbucaqlı üçbucaqlarda hipotenuz kiçik katetdən 2 dəfə böyükdür. Böyük katet isə kiçik katetdən kvadrat kök 3 dəfə böyükdür.

x : xkvadrat kök 3 : 2x = 1 : kvadrat kök 3 : 2

Niyə? Tərəfi 2x olan bərabərtərəfli üçbucağın bucaqları 60°‑dir. Hündürlük oturacağı yarıya bölür və təpədəki bucağı da yarıya bölür: yarı üçbucağın bucaqları 30°, 60°, 90°, kiçik kateti x, hipotenuzu 2x. Böyük katet: (2x)² − x² = 3x², yəni xkvadrat kök 3.

Kiçik katet 30°‑li bucağın qarşısındadır. Böyük katet 60°‑li bucağın qarşısındadır.

Bərabərtərəfli üçbucağın hündürlüyü onu iki 30°; 60°; 90° üçbucağına bölürTərəfi 2x olan bərabərtərəfli üçbucaq. Hündürlük oturacağı x və x hissələrinə bölür; sol yarıda kiçik katet x, hipotenuz 2x, böyük katet x√3, bucaqlar 30°, 60°, 90°.xx2x2xx√330°60°1 : √3 : 2
Lövhə 3Bərabərtərəfli üçbucağı yarıya bölürüktərəf 2x

4 · Hesabla

Hündürlük və diaqonal

Nümunə 3Diaqonaldan tərəfə

Kvadratın diaqonalı 18 sm‑dir. Onun tərəfini və sahəsini tapın.

  1. Diaqonal kvadratı iki bərabəryanlı düzbucaqlı üçbucağa bölür (Teorem 1): 18 = akvadrat kök 2.
  2. a = 18 : kvadrat kök 2 = 18kvadrat kök 2 : 2 = 9kvadrat kök 2 sm ≈ 12,7 sm.
  3. Sahə: S = a² = (9kvadrat kök 2)² = 81 · 2 = 162 sm². Diqqət et: bu, 18² : 2-dir, 18² deyil.

    a = 9kvadrat kök 2 sm, S = 162 sm²

Nümunə 4Bərabərtərəfli üçbucağın hündürlüyü

Bərabərtərəfli üçbucağın tərəfi 16 sm‑dir. Hündürlüyünü tapın.

  1. Hündürlük üçbucağı iki 30°; 60°; 90° üçbucağına bölür: hipotenuz 16, kiçik katet 16 : 2 = 8.
  2. Hündürlük böyük katetdir: h = 8kvadrat kök 3 sm. Pifaqorla yoxla: 16² − 8² = 256 − 64 = 192 = 64 · 3.
  3. Təxmini qiymət: 8kvadrat kök 3 ≈ 8 · 1,732 ≈ 13,9 sm. Ümumi qayda: tərəfi a olan bərabərtərəfli üçbucaqda h = akvadrat kök 3 : 2.

    h = 8kvadrat kök 3 sm ≈ 13,9 sm

Nümunə 5Bərabəryanlı üçbucağın hündürlüyü

Bərabəryanlı üçbucağın yan tərəfləri 5 sm, oturacağı 4 sm‑dir. Oturacağa çəkilmiş hündürlüyü tapın.

Bərabəryanlı üçbucaq: yan tərəflər 5 sm, oturacaq 4 sm, hündürlük hHündürlük oturacağı 2 sm və 2 sm hissələrə bölür; sol yarıda hipotenuz 5, katet 2, digər katet h.5522h
Lövhə 4Hündürlük oturacağı yarıya bölür1 xana = 0,5 sm
  1. Bərabəryanlı üçbucaqda oturacağa çəkilən hündürlük həm də medianadır: oturacağı 2 sm və 2 sm hissələrə bölür.
  2. Yarı üçbucaq düzbucaqlıdır: hipotenuz 5, katetlər 2 və h.
  3. h² = 5² − 2² = 25 − 4 = 21, h = kvadrat kök 21 ≈ 4,6 sm. Kök sadələşmir: 21 = 3 · 7, tam kvadrat vuruq yoxdur.

    h = kvadrat kök 21 sm ≈ 4,6 sm

5 · Damalı kağız

Xətkeşsiz uzunluq, bucaqölçənsiz bucaq

Damalı kağızda təpələri düyün nöqtələrində olan parça çəp gedə bilər. Onu hipotenuz kimi götür: katetlər xanaların sayıdır, uzunluq Pifaqor teoremindən alınır. Gözə inanma — hesabla.

Nümunə 6Damalı kağızda üçbucaq

Xanaları 1 vahid olan damalı kağızda A(1; 1), B(3; 5), C(7; 3) nöqtələri verilib. ABC üçbucağının tərəflərini tapın və onun növünü müəyyən edin.

Damalı kağızda ABC üçbucağı: A(1; 1), B(3; 5), C(7; 3)AB üçün köməkçi düzbucaqlı üçbucağın katetləri 2 və 4, BC üçün 4 və 2. AB və BC bərabərdir, B-də düz bucaq var.0123456781234562442ABC
Lövhə 5ABC damalı kağızda1 xana = 1 vahid
  1. AB: 2 xana sağa, 4 xana yuxarı. AB² = 2² + 4² = 20, AB = kvadrat kök 20 = 2kvadrat kök 5.
  2. BC: 4 xana sağa, 2 xana aşağı. BC² = 4² + 2² = 20, deməli BC = AB.
  3. AC: 6 xana sağa, 2 xana yuxarı. AC² = 6² + 2² = 40.
  4. 40 = 20 + 20: ən böyük tərəf AC-nin qarşısındakı ∠B düzdür. AB = BC olduğu üçün üçbucaq həm də bərabəryanlıdır: ∠A = ∠C = 45°, və AC = AB · kvadrat kök 2 (Teorem 1).

    bərabəryanlı düzbucaqlı üçbucaq, ∠B = 90°

Uzunluğu kvadrat kök n olan parça: Teodor spiralı

Katetləri 1 olan düzbucaqlı üçbucağın hipotenuzu kvadrat kök 2‑dir. Bu hipotenuza perpendikulyar 1 vahidlik parça çəkək: yeni hipotenuz kvadrat kök (kvadrat kök 2)² + 1² = kvadrat kök 3 olur. Sonra kvadrat kök 4 = 2, kvadrat kök 5, kvadrat kök 6 … Hər addımda kökaltı 1 artır.

Pifaqordan təxminən 100 il sonra yaşamış yunan alimi Teodor düzbucaqlı üçbucaqlardan qurulmuş bu spiralvari formanın riyazi modelini yaratmışdır; o, Teodor spiralı adlanır. Spiral ilə istənilən kvadrat kök n uzunluqlu parçanı pərgar və gönyə ilə qurmaq olar, sonra onu pərgarla ədəd oxuna köçürmək olar.

Səkkizinci üçbucağın hipotenuzu kvadrat kök 9 = 3: spiral özünü yoxlayır — bu, düz 3 vahiddir.

Teodor spiralı: katetləri 1 olan düzbucaqlı üçbucaqlarHər yeni üçbucağın bir kateti əvvəlki hipotenuz, digəri 1 vahiddir. Hipotenuzlar √2, √3, √4, √5, √6, √7, √8 və √9 = 3‑dür.√2√3√4√5√6√7√8√9 = 311
Lövhə 6Teodor spiralı1 xana = 1 vahid

6 · Diqqət

Üç tez-tez edilən səhv

Ən böyük tərəfi seçməmək: 3; 8; 6

Səhv

6² < 3² + 8²

36 < 73, «itibucaqlı» hökmü çıxır — amma sonuncu yazılan tərəf (6) müqayisə edilib, ən böyüyü (8) yox.

Düz

8² > 3² + 6²

64 > 45: üçbucaq korbucaqlıdır. Həmişə ən böyük tərəfin kvadratını götür: kor bucaq onun qarşısındadır.

30°‑li üçbucaqda katetləri qarışdırmaq: hipotenuz 18

Səhv

bitişik katet = 9

Hipotenuzun yarısı 30°‑li bucağa bitişik katet deyil.

Düz

qarşı katet = 9

Kiçik katet hipotenuzun yarısıdır və həmişə 30°‑li bucağın qarşısındadır. Bitişik katet böyük katetdir: 9kvadrat kök 3.

Katetləri toplamaq: 60 və 91

Səhv

60 + 91 = 151

Tərəflər yox, onların kvadratları toplanır. Üstəlik, üçbucaqda bir tərəf digər ikisinin cəmindən kiçikdir.

Düz

kvadrat kök 60² + 91² = 109

Kvadratları topla, sonra kök al: kvadrat kök 11 881 = 109 sm.

7 · Həyatda

Ölçülməyəni hesablamaq

Çərçivənin küncü

Dərsin əvvəlindəki dülgər iki qonşu tərəfi 60 sm və 91 sm olan çərçivənin diaqonalını ölçür. Hesab onun üçün «gözlənilən» diaqonalı verir: kvadrat kök 3600 + 8281 = 109 sm.

Ruletka nə göstərir, dülgər nə edir?
DiaqonalKüncNə etməli
109 sm‑dən qısaitiküncü bir az aç
109 smdüzyapışdır
109 sm‑dən uzunkorküncü bir az sıx

Qarşı tərəfləri bərabər olan çərçivədə iki diaqonal da bərabər olarsa (hər biri 109 sm), dörd küncün hamısı düzdür.

Nərdivan

3 m-lik nərdivan divara söykənib, yerlə 60° bucaq əmələ gətirirNərdivanın dibi divardan 1,5 m aralıdır, yuxarı ucu yerdən h hündürlükdədir; yuxarıdakı bucaq 30°‑dir.60°30°3 m1,5 mh
Lövhə 7Nərdivan yerlə 60°miqyasla

3 m-lik nərdivan divara söykənib və yerlə 60° bucaq əmələ gətirir. Yuxarı ucu nə qədər hündürdədir? Yuxarıdakı bucaq 180° − 90° − 60° = 30°-dir. Onun qarşısındakı katet — dibdən divara qədər məsafə — hipotenuzun yarısıdır: 1,5 m. Hündürlük böyük katetdir: h = 1,5kvadrat kök 3 ≈ 2,6 m. Yoxla: kvadrat kök 3² − 1,5² = kvadrat kök 6,75 ≈ 2,6.

8 · Özünü yoxla

Bacarığını sına

Cavabı seç: düz olanda lime, səhv olanda qırmızı işıqlanacaq. Həllə də baxa bilərsən.

  1. Asan

    Tərəfləri 5, 7 və 9 olan üçbucaq hansı növdür?

    Sual 1 variantları

    Düzdür! 81 > 74.

    Ən böyük tərəfin (9) kvadratını digər iki tərəfin kvadratları cəmi ilə müqayisə et.

    Həllə bax

    Ən böyük tərəf 9: 9² = 81; 5² + 7² = 25 + 49 = 74. 81 > 74, deməli 9‑un qarşısındakı bucaq kordur.

  2. Asan

    Bərabəryanlı düzbucaqlı üçbucağın katetləri 11 sm‑dir. Hipotenuz nəyə bərabərdir?

    Sual 2 variantları

    Düzdür! Hipotenuz katetdən kvadrat kök 2 dəfə böyükdür.

    Katetləri toplamaq olmaz. 45°; 45°; 90° üçbucağında nisbət hansıdır?

    Həllə bax

    c² = 11² + 11² = 2 · 121, c = 11kvadrat kök 2 sm (Teorem 1).

  3. Orta

    Düzbucaqlı üçbucağın bir iti bucağı 30°, böyük kateti 9‑dur. Hipotenuzu tapın.

    Sual 3 variantları

    Düzdür! Əvvəl kiçik katet, sonra hipotenuz.

    Hipotenuz kiçik katetin 2 mislidir, böyük katetin yox. Kiçik katet 9 : kvadrat kök 3‑dür.

    Həllə bax

    Kiçik katet x = 9 : kvadrat kök 3 = 3kvadrat kök 3; hipotenuz 2x = 6kvadrat kök 3. Yoxla: (6kvadrat kök 3)² = 108 = 27 + 81.

  4. Orta

    Damalı kağızda parça 5 xana sağa və 6 xana yuxarı gedir (xana 1 vahid). Onun uzunluğu nə qədərdir?

    Sual 4 variantları

    Düzdür! Katetlər 5 və 6‑dır.

    Xanaların sayını yox, onların kvadratlarını topla və kök al.

    Həllə bax

    Parça katetləri 5 və 6 olan düzbucaqlı üçbucağın hipotenuzudur: kvadrat kök 5² + 6² = kvadrat kök 25 + 36 = kvadrat kök 61.

  5. Çətin

    Bərabərtərəfli üçbucağın hündürlüyü 21‑dir. Onun tərəfini tapın.

    Sual 5 variantları

    Düzdür! h = a√3 : 2.

    Hündürlük tərəfin kvadrat kök 3 mislinin yarısıdır: h = akvadrat kök 3 : 2.

    Həllə bax

    akvadrat kök 3 : 2 = 21, a = 42 : kvadrat kök 3 = 14kvadrat kök 3. 7kvadrat kök 3 cavabı h = akvadrat kök 3 səhvindən alınır.

  6. Çətin

    Teodor spiralında birinci üçbucağın hipotenuzu √2, ikincininki √3‑dür. 15‑ci üçbucağın hipotenuzu nəyə bərabərdir?

    Sual 6 variantları

    Düzdür! √16 = 4.

    n-ci üçbucağın hipotenuzu kvadrat kök n + 1‑dir: birincisi kvadrat kök 2.

    Həllə bax

    Hər addımda kökaltı 1 artır: n-ci hipotenuz kvadrat kök n + 1. kvadrat kök 15 + 1 = kvadrat kök 16 = 4.

9 · Yekun

Üç nəticə

  • Ən böyük tərəfin kvadratı bucağı «ölçür»c² = a² + b² düz, kiçikdirsə iti, böyükdürsə kor bucaq.
  • 1 : 1 : kvadrat kök 2 və 1 : kvadrat kök 3 : 2Kvadratın diaqonalı akvadrat kök 2, bərabərtərəfli üçbucağın hündürlüyü akvadrat kök 3 : 2.
  • Çəp parça — hipotenuzdurDamalı kağızda katetləri say, kvadratlarını topla, kök al; Teodor spiralı istənilən kvadrat kök n‑i qurur.

Növbəti mövzu: 3.9 Kvadrat tənliklər — bəzi həndəsi məsələlərdə məchul tərəf kvadrat tənlikdən tapılır.