• 3.39
  • 8-ci sinif
  • Həndəsə

Mütənasib parçalar

Damın sol yamacında tir təpədən 3 m aşağıda bərkidilib, yamacın qalanı 2 m-dir. Sağ yamac cəmi 3,5 m-dir. Tirin o biri ucunu harada bərkidək ki, tir döşəməyə paralel olsun? Paralel xətlər uzunluğu yox, nisbəti köçürür: 3 : 2 = 2,1 : 1,4.

Bu dərsdə

  • paralel düz xətlərin bucağın tərəflərində ayırdığı parçalardan naməlumu tapacaq, tərs teoremlə paralelliyi yoxlayacaqsan;
  • medianların niyə məhz 2 : 1 nisbətində kəsişdiyini köməkçi paralellə izah edəcəksən;
  • tənbölənin qarşı tərəfi necə böldüyünü tətbiq edəcək, parçanı pərgarla verilmiş nisbətdə böləcəksən.
  • təpədən birinci parça
  • ikinci parça
  • nəticə
Asimmetrik damda üfüqi tirDamın sol yamacı AC = 5 m, sağ yamacı AC₁ = 3,5 m-dir, CC₁ döşəmədir. Sol yamacda tir təpədən 3 m aşağıda, B nöqtəsində bərkidilib (BC = 2 m). Tir döşəməyə paralel olduğu üçün sağ yamacda AB₁ : B₁C₁ = 3 : 2 olmalıdır: AB₁ = 2,1 m, B₁C₁ = 1,4 m.3 m2 m2,1 m1,4 mABCB₁C₁3 : 2 = 2,1 : 1,4BB₁ ∥ CC₁
  1. Paralel sürüşür
  2. Teorem
  3. Tərs teorem
  4. Hesabla
  5. Medianlar
  6. Tənbölən
  7. Nisbətdə böl
  8. Diqqət
  9. Həyatda
  10. Özünü yoxla
  11. Yekun

1 · Kəşf et

Paralel sürüşəndə nə dəyişmir?

Fales teoremində (3.21) paralel xətlər bir tərəfdə bərabər parçalar ayırırdı, o biri tərəfdə də bərabər parçalar alınırdı. Bəs parçalar bərabər olmasa? O bucağının tərəflərini iki paralel düz xətt kəsir: CC₁ yerində qalır, BB₁ isə ona paralel qalaraq sürüşür. B-nin yerini seç və hər tərəfdə iki parçanı müqayisə et.

OB uzunluğunu seç
Paralel düz xətt sürüşürO bucağının a və b tərəflərini iki paralel düz xətt kəsir. CC₁ sabitdir: OC = 8 sm, OC₁ = 7,2 sm. BB₁ ona paralel qalaraq sürüşür: OB = 2, 4 və ya 6 sm olanda OB₁ = 1,8, 3,6 və ya 5,4 sm olur. Hər halda OB : BC = OB₁ : B₁C₁ (1 : 3, 1 : 1, 3 : 1).abOCC₁BB₁261,85,4BB₁443,63,6BB₁625,41,8
Lövhə 1BB₁ ∥ CC₁, ölçülər sm ilə1 xana = 1 sm

OB : BC = 2 : 6 = 1 : 3 və OB₁ : B₁C₁ = 1,8 : 5,4 = 1 : 3. Fərqlər isə başqadır: 6 − 2 = 4, 5,4 − 1,8 = 3,6.

OB : BC = 4 : 4 = 1 : 1 və OB₁ : B₁C₁ = 3,6 : 3,6 = 1 : 1. Bu, Fales teoremidir: bir tərəfdə bərabər parçalar, o biri tərəfdə də bərabər.

OB : BC = 6 : 2 = 3 : 1 və OB₁ : B₁C₁ = 5,4 : 1,8 = 3 : 1. Uzunluqlar fərqlidir, nisbət eynidir.

Hər üç halda iki tərəfdəki nisbət bərabərdir. Paralel xətlər uzunluğu və fərqi saxlamır, nisbəti saxlayır.

2 · Qayda

Parçaların nisbəti və teorem

Yadda saxla

  • Verilmiş iki parçanın nisbəti onların uzunluqları nisbətinə deyilir. Uzunluqlar eyni vahidlə götürülür: MN = 2,8 sm, PQ = 3,5 sm olarsa, MN : PQ = 28 : 35 = 4 : 5.
  • AB, CD, A₁B₁, C₁D₁ parçaları üçün AB/A₁B₁ = CD/C₁D₁ olarsa, deyirlər ki, AB və CD parçaları A₁B₁ və C₁D₁ parçaları ilə mütənasibdir.

Teorem

Bucağın tərəflərini kəsən paralel düz xətlər bucağın tərəfləri üzərində mütənasib parçalar ayırır. AA₁ ∥ BB₁ ∥ CC₁ olarsa,

ABBC / = A₁B₁B₁C₁ /

Bu teoremə Fales teoreminin ümumiləşməsi də deyilir: AB = BC olanda A₁B₁ = B₁C₁ alınır, bu da Fales teoremidir.

Niyə doğrudur?

Tutaq ki, AB : BC = 3 : 2. Onda AB-ni 3, BC-ni 2 eyni uzunluqlu hissəyə bölmək olar.

  1. Bölgü nöqtələrindən AA₁-ə paralel köməkçi düz xətlər çəkirik (qırıq xətlər).
  2. Bir tərəfdə bütün hissələr bərabərdir, deməli Fales teoreminə görə o biri tərəfdə də hissələr bərabərdir.
  3. A₁B₁ belə hissələrdən 3, B₁C₁ isə 2 dənə tutur: A₁B₁ : B₁C₁ = 3 : 2 = AB : BC.

Uzunluqların nisbəti kəsr şəklində yazılmayanda da teorem doğrudur; dərslik onu üçbucaqların sahələri ilə isbat edir (çalışma 3).

Bərabər hissələrdən mütənasib parçalaraO bucağının bir tərəfində AB üç, BC iki bərabər hissədən ibarətdir (bir çərtik). Bölgü nöqtələrindən AA₁, BB₁, CC₁-ə paralel köməkçi düz xətlər (qırıq xətlər) çəkilib. Fales teoreminə görə o biri tərəfdə də bütün hissələr bərabərdir (iki çərtik): A₁B₁ üç, B₁C₁ iki hissədir, deməli A₁B₁ : B₁C₁ = 3 : 2 = AB : BC.OAA₁BB₁CC₁
Lövhə 2Bərabər hissələrdən mütənasib parçalaraAB : BC = 3 : 2
Bir çərtik — a tərəfində bərabər hissələr, iki çərtik — b tərəfində bərabər hissələr. Mavi və narıncı hissələrin sayı hər iki tərəfdə 3 və 2-dir.

Başqa yazılışlar

AB/AC = A₁B₁/A₁C₁

Hissəni bütövlə də müqayisə etmək olar. AB/A₁B₁ = BC/B₁C₁ yazılışı da doğrudur: tənasübün xassəsi (3.38).

İki ixtiyari düz xətt

İsbatda bucağın təpəsi işlənmədi. Ona görə teorem kəsişməyən iki düz xətt üçün də doğrudur, məsələn trapesiyanın yan tərəfləri üçün.

Üçbucaqda

ΔABC-də DE ∥ AC (D — AB, E — BC üzərində) olarsa, B bucağının tərəfləri kəsilir: BD/DA = BE/EC. Teorem yan tərəflərdəki parçalardan danışır, DE-nin öz uzunluğundan yox.

3 · Qayda

Tərs teorem: nisbətdən paralelliyə

Tərs teorem

Bucağın tərəfləri üzərində təpədən başlamaqla mütənasib parçalar ayıran kəsənlər paraleldir.

OBBC / = OB₁B₁C₁ /  ⇒ BB₁ ∥ CC₁

Burada O bucağın təpəsidir. Təpədən başlamaqla sözü vacibdir: parçalar O-dan sayılır — əvvəl OB, sonra BC.

Lövhə 1-də bunu görmək olar: OB : BC = OB₁ : B₁C₁ olan hər halda BB₁ düz xətti CC₁-ə paralel idi. Paralelliyi yoxlamaq üçün bucaq ölçmək lazım deyil — iki nisbəti müqayisə etmək kifayətdir.

4 · Hesabla

Tənasübü qur və həll et

Hər məsələdə əvvəl paralel xətləri və bucağın (və ya iki düz xəttin) tərəflərini tapırıq, sonra parçaları eyni sıra ilə yazırıq: birinci tərəfdə necə, ikinci tərəfdə də elə.

Nümunə 1Bucaqda üç paralel

O bucağının tərəflərini AA₁ ∥ BB₁ ∥ CC₁ düz xətləri kəsir. AB = 4,5 sm, BC = 3 sm, A₁B₁ = 6 sm. B₁C₁-i tapın.

Nümunə 1: bucaqda üç paralelO bucağının tərəflərini AA₁ ∥ BB₁ ∥ CC₁ düz xətləri kəsir. AB = 4,5 sm, BC = 3 sm, A₁B₁ = 6 sm; B₁C₁ = x = 4 sm.OAA₁BB₁CC₁4,536x = 4
Lövhə 3Üç paralel, ölçülər sm ilə1 xana = 1 sm
  1. Teoremə görə: AB/BC = A₁B₁/B₁C₁, yəni 4,5/3 = 6/x.
  2. Tənasübün əsas xassəsi: 4,5 · x = 3 · 6 = 18, x = 18 : 4,5 = 4.

    B₁C₁ = 4 sm

Nümunə 2Bütövü nisbətdə bölmək

ΔKLM-də EF ∥ LM, E nöqtəsi KL, F nöqtəsi KM tərəfindədir. KL = 14 sm, KF = 9 sm, FM = 12 sm. KE və EL-i tapın.

Nümunə 2: üçbucaqda tərəfə paralel düz xəttKLM üçbucağında EF ∥ LM, E nöqtəsi KL, F nöqtəsi KM üzərindədir. KL = 14 sm, KF = 9 sm, FM = 12 sm.14KLMEF912
Lövhə 4ΔKLM, EF ∥ LMmiqyasla
  1. K bucağının tərəflərini EF və LM paralelləri kəsir: KE : EL = KF : FM = 9 : 12 = 3 : 4.
  2. KL parçasında 3 + 4 = 7 bərabər hissə var, bir hissə 14 : 7 = 2 sm.
  3. KE = 3 · 2 = 6 sm, EL = 4 · 2 = 8 sm.

    KE = 6 sm, EL = 8 sm

Nümunə 3Trapesiyanın yan tərəfləri

ABCD trapesiyasında AD ∥ BC. Oturacaqlara paralel MN düz xətti AB-ni M, CD-ni N nöqtəsində kəsir. AM = 2,4 sm, MB = 3,6 sm, DN = 3 sm. NC-ni tapın.

Nümunə 3: trapesiyanın yan tərəfləriABCD trapesiyasında AD ∥ BC və MN ∥ AD. AM = 2,4 sm, MB = 3,6 sm, DN = 3 sm, NC = x.ADBCMN2,43,63x
Lövhə 5Kəsişməyən iki düz xətt1 xana = 1 sm
  1. AB və DC düz xətlərini üç paralel kəsir: AD, MN, BC. Teorem iki ixtiyari düz xətt üçün də doğrudur.
  2. Parçalar eyni sıra ilə (aşağıdan yuxarı): AM/MB = DN/NC, 2,4/3,6 = 3/x.
  3. 2,4 · x = 3,6 · 3 = 10,8, x = 4,5.

    NC = 4,5 sm

Nümunə 4Paraleldirmi? (tərs teorem)

ΔABC-də M nöqtəsi BA, N nöqtəsi BC tərəfindədir. MN ∥ AC olarmı? a) BM = 7, MA = 3,5, BN = 9, NC = 4,5; b) BM = 5, MA = 3, BN = 7, NC = 5.

Nümunə 4 a: MN ∥ ACABC üçbucağında BM = 7, MA = 3,5, BN = 9, NC = 4,5. Nisbətlər bərabərdir (2 = 2), MN AC-yə paraleldir.BACMN73,594,5
Lövhə 6 a2 = 2
Nümunə 4 b: MN AC-yə paralel deyilABC üçbucağında BM = 5, MA = 3, BN = 7, NC = 5. 5 : 3 ≠ 7 : 5, MN AC-yə paralel deyil; qırıq xətt M-dən AC-yə paralel düz xəttdir və BC-ni başqa nöqtədə kəsir.BACMN5375
Lövhə 6 b5/3 ≠ 7/5
  1. Parçalar B təpəsindən sayılır: BM və MA, BN və NC.
  2. a) BM : MA = 7 : 3,5 = 2, BN : NC = 9 : 4,5 = 2. Nisbətlər bərabərdir — tərs teoremə görə MN ∥ AC.
  3. b) 5 : 3 = 5/3, 7 : 5 = 7/5. Nisbətlər fərqlidir, MN AC-yə paralel deyil (qırıq xətt M-dən keçən paraleldir). Diqqət: fərqlər bərabərdir (5 − 3 = 7 − 5), amma bu paralellik demək deyil.

    a) paraleldir; b) paralel deyil

5 · Qayda

Medianlar niyə 2 : 1 nisbətində kəsişir?

Teorem. Üçbucağın medianlarının xassəsi

Üçbucağın medianları bir nöqtədə kəsişir və kəsişmə nöqtəsi hər bir medianı təpədən başlayaraq 2 : 1 nisbətində bölür. Medianların kəsişmə nöqtəsi üçbucağın ağırlıq mərkəzi adlanır.

AO : ON = 2 : 1
CO : OM = 2 : 1
BO : OL = 2 : 1
Medianların kəsişmə nöqtəsi: isbatABC üçbucağında AN və CM medianları O nöqtəsində kəsişir. M-dən AN-ə paralel ME düz xətti çəkilir (E nöqtəsi BC üzərindədir). AM = MB olduğundan BE = EN, deməli CN : NE = 2 : 1 və CO : OM = 2 : 1. Üçüncü median BL də O-dan keçir.ACBMNLEOCN : NE = 2 : 1CO : OM = 2 : 1
Lövhə 7Köməkçi paralel ME ∥ AN

İsbat (dərslikdəki kimi)

  1. AN və CM medianları O nöqtəsində kəsişsin: M — AB-nin, N — BC-nin ortasıdır.
  2. M-dən AN-ə paralel ME düz xəttini çəkirik (E — BC üzərində). B bucağında AM = MB, deməli mütənasib parçalar haqqında teoremə görə BE = EN.
  3. N ortadır: CN = NB = 2 · NE, yəni CN : NE = 2 : 1.
  4. İndi C bucağının tərəflərini ON ∥ ME kəsir: CO : OM = CN : NE = 2 : 1.
  5. Eyni qayda ilə AO : ON = 2 : 1. Üçüncü median BL də AN-i 2 : 1 nisbətində bölməlidir, ona görə o da O-dan keçir.

Köməkçi paralel — üsul

Lazım olan nisbət görünmürsə, məlum nisbəti olan nöqtədən paralel çək: teorem nisbəti başqa tərəfə köçürəcək. Bu üsul başqa nisbət məsələlərində də işləyir.

Hissələr

2 + 1 = 3

Median 3 bərabər hissədir: təpədən O-ya 2 hissə, O-dan tərəfin ortasına 1 hissə.

Nümunə 5İki median

ΔPQR-də PK və QL medianları O nöqtəsində kəsişir. PO = 7 sm, QL = 12 sm. OK, PK, QO və OL-i tapın.

Nümunə 5: iki medianPQR üçbucağında PK və QL medianları O nöqtəsində kəsişir. PO = 7 sm, QL = 12 sm.PQRKLO7
Lövhə 8PK və QL medianları
  1. PO : OK = 2 : 1, deməli OK = 7 : 2 = 3,5 sm, PK = 7 + 3,5 = 10,5 sm.
  2. QL medianında 3 bərabər hissə var, bir hissə 12 : 3 = 4 sm: QO = 8 sm, OL = 4 sm.

    OK = 3,5; PK = 10,5; QO = 8; OL = 4 (sm)

6 · Qayda

Tənbölən qarşı tərəfi necə bölür?

CT tənböləni C bucağını yarıya bölür və AB tərəfini T nöqtəsində kəsir. CB = 6 sm sabitdir, CA tərəfini dəyiş və T-nin yerinə bax.

CA uzunluğunu seç
Tənbölənin oturacağı sürüşürC bucağı 64°-dir, CB = 6 sm. CA tərəfi 3, 6 və ya 8 sm olur. CT tənböləni AB-ni T nöqtəsində kəsir və AT : BT = CA : CB olur: 1 : 2, 1 : 1, 4 : 3.CB6AT3AT : BT = 1 : 2AT6AT : BT = 1 : 1AT8AT : BT = 4 : 3
Lövhə 9∠C = 64°, ölçülər sm ilə1 xana = 1 sm

AC : BC = 3 : 6 = 1 : 2, və T də AB-ni AT : BT = 1 : 2 nisbətində bölür: qısa tərəfə bitişik hissə qısadır.

AC = BC = 6 sm, üçbucaq bərabəryanlıdır: AT : BT = 1 : 1. Bu halda tənbölən həm də mediandır.

AC : BC = 8 : 6 = 4 : 3 və AT : BT = 4 : 3. Uzun tərəfə bitişik hissə uzundur.

Hər halda AT : BT = AC : BC. Tənbölən, adətən, qarşı tərəfi yarıya bölmür.

Teorem. Üçbucağın tənböləninin xassəsi

Üçbucağın tənböləni çəkildiyi tərəfi digər iki tərəflə mütənasib hissələrə bölür.

ATBT / = ACBC /

Hər hissə özünə bitişik tərəflə bir rəngdədir: AT A təpəsindən, AC də A-dan çıxır.

Tənbölənin xassəsi: isbat planıABC üçbucağında CT C bucağının tənbölənidir. A-dan CT-yə paralel AE düz xətti çəkilir, E nöqtəsi BC-nin davamı üzərindədir. ∠1 = ∠2 (tənbölən), ∠1 = ∠3 (çarpaz bucaqlar), ∠2 = ∠4 (uyğun bucaqlar), deməli ACE üçbucağı bərabəryanlıdır: CE = CA = b. B bucağında CT ∥ EA olduğu üçün m : n = a : b.1234EBCATabmnbm : n = a : b
Lövhə 10İsbat planı: AE ∥ CT

İsbat planı (dərslik)

İşarələr: BC = a, CA = b, BT = m, TA = n.

  1. A-dan CT-yə paralel AE düz xəttini çəkirik; E — BC-nin davamı üzərindədir.
  2. ∠1 = ∠2, çünki CT tənböləndir. ∠1 = ∠3 (AC kəsəni, çarpaz bucaqlar), ∠2 = ∠4 (BE kəsəni, uyğun bucaqlar).
  3. Deməli ∠3 = ∠4 və ΔACE bərabəryanlıdır: CE = CA = b.
  4. B bucağının tərəflərini CT ∥ EA kəsir. Mütənasib parçalar haqqında teoremə görə m : n = a : b, yəni BT : TA = BC : CA.
Nümunə 6Qarşı tərəfin hissələri

ΔABC-də AD tənbölənidir. AB = 10 sm, AC = 14 sm, BC = 18 sm. BD və DC-ni tapın.

Nümunə 6: tənbölənABC üçbucağında AD tənbölənidir. AB = 10 sm, AC = 14 sm, BC = 18 sm (miqyasla). BD : DC = 10 : 14.ABCD1014
Lövhə 11AD tənbölənmiqyasla
  1. B-yə bitişik BD hissəsi AB ilə, C-yə bitişik DC hissəsi AC ilə uyğundur: BD : DC = AB : AC = 10 : 14 = 5 : 7.
  2. BC parçasında 5 + 7 = 12 bərabər hissə var, bir hissə 18 : 12 = 1,5 sm.
  3. BD = 5 · 1,5 = 7,5 sm, DC = 7 · 1,5 = 10,5 sm.

    BD = 7,5 sm, DC = 10,5 sm

Nümunə 7Hissələrin fərqi verilib

ΔABC-də AD tənbölənidir, AB = 12 sm, AC = 9 sm. BD hissəsi DC-dən 2 sm uzundur. BC-ni tapın.

  1. BD : DC = AB : AC = 12 : 9 = 4 : 3.
  2. Fərq 4 − 3 = 1 hissədir və 2 sm-ə bərabərdir, deməli bir hissə 2 sm.
  3. BD = 8 sm, DC = 6 sm, BC = 14 sm. Yoxlama: 8 : 6 = 12 : 9.

    BC = 14 sm

7 · Qurma

Parçanı verilmiş nisbətdə bölmək

AB = 10,5 sm parçasını 2 : 5 nisbətində bölək. Hesablamadan, yalnız pərgar və xətkeşlə — dərslikdəki addımlarla.

  1. AB parçasını və onunla iti bucaq əmələ gətirən AC şüasını çəkirik.
  2. AC üzərində pərgarla 2 + 5 = 7 bərabər parça ayırırıq: A₁, A₂, …, A₇.
  3. A₇ nöqtəsini B ilə birləşdiririk.
  4. A₂-dən A₇B-yə paralel düz xətt çəkirik (məsələn, ∠AA₇B-yə bərabər bucaq qurmaqla). O, AB-ni D nöqtəsində kəsir.

Niyə? A bucağının tərəflərini A₂D ∥ A₇B kəsir: AD : DB = AA₂ : A₂A₇ = 2 : 5. Yoxlama: 10,5 · 2/7 = 3 sm, 10,5 · 5/7 = 7,5 sm.

Üç hissə də belə bölünür: 1 : 2 : 3 üçün şüada 6 addım ayırıb A₆-nı B ilə birləşdirir, A₁ və A₃-dən paralellər çəkirik.

Parçanı 2 : 5 nisbətində bölməkAB = 10,5 sm. A-dan AC şüası çəkilir, üzərində pərgarla 7 bərabər addım (1 sm) ayrılır: A₁, …, A₇. A₇ nöqtəsi B ilə birləşdirilir, A₂-dən A₇B-yə paralel düz xətt AB-ni D-də kəsir: AD = 3 sm, DB = 7,5 sm.CABDA₂A₇37,5AD : DB = 2 : 5
Lövhə 122 : 5 nisbətində bölmə1 xana = 1 sm

8 · Diqqət

Dörd tez-tez edilən səhv

Nisbəti tərs yazmaq

Səhv

2/5 = x/2,4

OB = 2, BC = 5, OB₁ = 2,4 verilib. Bir tərəfdə «birinci : ikinci», o birində «ikinci : birinci» yazılıb: x = 0,96 alınır.

Düz

2/5 = 2,4/x

Hər iki tərəfdə eyni sıra: OB/BC = OB₁/B₁C₁, x = 5 · 2,4 : 2 = 6.

Fərqlərə baxmaq

Səhv

3 − 2 = 6 − 5 ⇒ ∥

OB = 2, BC = 3, OB₁ = 5, B₁C₁ = 6: fərqlər bərabərdir, amma teorem fərqdən danışmır.

Düz

2/3 ≠ 5/6

Nisbətlər fərqlidir (0,66… və 0,83…), ona görə BB₁ CC₁-ə paralel deyil.

Medianda 2 : 1-i tərs saymaq

Səhv

təpədən 3, ortaya 6

Median 9 sm-dir. 2 : 1 təpədən sayılır, tərsinə yox.

Düz

təpədən 6, ortaya 3

9 sm = 3 hissə, bir hissə 3 sm: təpədən O-ya 2 hissə.

Tənböləni median sanmaq

Səhv

3 və 3

Yan tərəfləri 3 və 5 sm, qarşı tərəfi 6 sm olan üçbucaqda tənbölən qarşı tərəfi yarıya bölmür.

Düz

2,25 və 3,75

Hissələr 3 : 5 nisbətindədir: 6 sm = 8 hissə, bir hissə 0,75 sm.

9 · Həyatda

Üçbucağı karandaşın ucunda saxlamaq

Kartondan üçbucaq kəs və onu karandaşın ucunda saxlamağa çalış. Yalnız bir nöqtədə alınır — ağırlıq mərkəzində, yəni medianların kəsişmə nöqtəsində. Ona görə bu nöqtəyə «ağırlıq mərkəzi» deyilir.

Nöqtəni tapmaq üçün üç median çəkmək lazım deyil. Bir tərəfin ortasını (K) tap, PK medianını çək və onu ölç: median 18 sm-dirsə, təpədən 12 sm ayır — G nöqtəsi oradadır, tərəfin ortasından isə 6 sm aralıdır.

Damın tiri də (dərsin əvvəli) eyni teoremlə yerləşdirilir: iki yamac bucağın tərəfləri, tir və döşəmə isə paralel düz xətlərdir.

Karton üçbucaq karandaşın ucundaKarton üçbucağın üç medianı G nöqtəsində kəsişir. PK medianı 18 sm-dir: PG = 12 sm, GK = 6 sm. Karandaşın ucu G-yə qoyulanda üçbucaq düşmür.PKGPG = 12 smGK = 6 sm
Lövhə 13Karton üçbucaqPK = 18 sm
G-də kəsişən üç median; narıncı dairə karandaşın ucudur.

10 · Özünü yoxla

Bacarığını sına

Cavabı seç: düz olanda lime, səhv olanda qırmızı işıqlanacaq. Həllə də baxa bilərsən.

  1. Asan

    Bucağın tərəflərini AA₁ ∥ BB₁ ∥ CC₁ düz xətləri kəsir. AB = 5 sm, BC = 4 sm, A₁B₁ = 8 sm. B₁C₁ nəyə bərabərdir?

    Sual 1 variantları

    Düzdür! 5/4 = 8/x, x = 6,4.

    Fərqi yox, nisbəti köçür və hər iki tərəfdə eyni sıra ilə yaz: AB/BC = A₁B₁/B₁C₁.

    Həllə bax

    5/4 = 8/x, 5x = 32, x = 6,4 sm. 7 sm fərqi (1 sm) köçürməkdən, 10 sm isə nisbəti tərs yazmaqdan alınır.

  2. Asan

    BK medianı 15 sm-dir. O — medianların kəsişmə nöqtəsidir. BO nəyə bərabərdir?

    Sual 2 variantları

    Düzdür! Təpədən O-ya median 3 hissənin 2-si.

    O medianı yarıya bölmür; 2 : 1 nisbəti təpədən sayılır.

    Həllə bax

    BO : OK = 2 : 1, 15 sm = 3 hissə, bir hissə 5 sm: BO = 10 sm, OK = 5 sm.

  3. Orta

    Üçbucağın 6 sm və 10 sm olan tərəfləri arasındakı bucağın tənböləni 12 sm-lik tərəfi iki hissəyə bölür. 6 sm-lik tərəfə bitişik hissəni tapın.

    Sual 3 variantları

    Düzdür! Hissələr 6 : 10 = 3 : 5.

    Tənbölən mediana bənzəmir: hissələr bitişik tərəflərlə mütənasibdir və qısa tərəfə qısa hissə düşür.

    Həllə bax

    Hissələr 6 : 10 = 3 : 5, 12 sm = 8 hissə, bir hissə 1,5 sm. 6 sm-lik tərəfə bitişik hissə 3 · 1,5 = 4,5 sm, o biri 7,5 sm.

  4. Orta

    ΔABC-də M nöqtəsi BA, N nöqtəsi BC üzərindədir: BM = 3 sm, MA = 5 sm, BN = 4,5 sm. NC nə qədər olmalıdır ki, MN ∥ AC olsun?

    Sual 4 variantları

    Düzdür! 3 : 5 = 4,5 : 7,5 — tərs teorem.

    Təpədən başlayaraq nisbətlər bərabər olmalıdır: BM : MA = BN : NC. Fərqə baxma.

    Həllə bax

    BM/MA = BN/NC: 3/5 = 4,5/x, 3x = 22,5, x = 7,5 sm. Onda tərs teoremə görə MN ∥ AC. 6,5 sm fərqi (2 sm) köçürməkdən, 2,7 sm isə nisbəti tərs yazmaqdan alınır.

  5. Çətin

    ΔABC-də AD tənbölənidir, AB = 14 sm, AC = 10 sm, BD − DC = 1,6 sm. BC-ni tapın.

    Sual 5 variantları

    Düzdür! 12 hissə · 0,8 sm = 9,6 sm.

    Sual bütöv BC-ni soruşur: hər iki hissəni tap və topla.

    Həllə bax

    BD : DC = 14 : 10 = 7 : 5. Fərq 2 hissədir = 1,6 sm, bir hissə 0,8 sm. BD = 5,6 sm, DC = 4 sm, BC = 9,6 sm.

  6. Çətin

    ΔABC-də DE ∥ AC, D nöqtəsi AB, E nöqtəsi BC üzərindədir. AB = 12 sm, BC = 15 sm, BD = 8 sm. EC-ni tapın.

    Sual 6 variantları

    Düzdür! BD : DA = 2 : 1, deməli EC BC-nin üçdə biridir.

    Əvvəl DA-nı tap, sonra BC-ni eyni nisbətdə böl. Sual EC-ni soruşur, BE-ni yox.

    Həllə bax

    DA = 12 − 8 = 4 sm, BD : DA = 8 : 4 = 2 : 1. Teoremə görə BE : EC = 2 : 1: 15 sm = 3 hissə, BE = 10 sm, EC = 5 sm. 10 sm BE-dir (hissə ilə bütöv qarışıb), 8 sm isə BD-nin köçürülməsidir.

11 · Yekun

Üç nəticə

  • Paralellər nisbəti köçürürAA₁ ∥ BB₁ ∥ CC₁ ⇒ AB/BC = A₁B₁/B₁C₁; təpədən başlayaraq nisbətlər bərabərdirsə, xətlər paraleldir.
  • Medianlar: 2 : 1 təpədənMedianlar ağırlıq mərkəzində kəsişir; isbat köməkçi paralellə aparılır.
  • Tənbölən: bitişik tərəflərAT : BT = AC : BC. Parçanı m : n nisbətində bölmək üçün şüada m + n addım ayırıb paralel çək.

Növbəti mövzu: 3.40 Oxşar dördbucaqlılar, oxşar üçbucaqlar.