• 3.20
  • 8-ci sinif
  • Həndəsə

Paraleloqramın növləri

Usta pəncərə çərçivəsini yığıb, amma bucaqölçəni yoxdur. Bucaqların düz olduğunu necə bilsin? Lentlə iki diaqonalı ölçür: diaqonallar bərabərdirsə, çərçivə düzbucaqlıdır.

Bu dərsdə

  • düzbucaqlını, rombu və kvadratı tərifə görə tanıyacaq, onların bir-biri ilə əlaqəsini izah edəcəksən;
  • hər növün diaqonallarının xüsusi xassəsini və növü tanıtan əlaməti öyrənəcəksən;
  • diaqonalların yaratdığı üçbucaqlarla bucaq və tərəfləri tapacaqsan.
  • düzbucaqlı · bərabər diaqonallar
  • romb · perpendikulyar diaqonallar
  • kvadrat · hər ikisi
Çərçivənin diaqonallarını lentlə ölçməkSolda tərəfləri 80 sm və 60 sm olan əyri çərçivə: A bucağı 80°-dir, lent AC ≈ 108 sm, BD ≈ 91 sm göstərir, diaqonallar bərabər deyil. Sağda eyni çərçivə düzəldilib: A bucağı 90°-dir, hər iki diaqonal 100 sm-dir, AC = BD.ABCD80°AC ≈ 108 smBD ≈ 91 smAC ≠ BDəyri çərçivəABCD90°AC = 100 smBD = 100 smAC = BDdüzəldilmiş

Hər iki çərçivənin tərəfləri 80 sm və 60 sm-dir. Gözlə 80° ilə 90°-ni ayırmaq çətindir, lent isə fərqi dərhal göstərir.

  1. Laboratoriya
  2. Düzbucaqlı
  3. Romb
  4. Kvadrat
  5. Ailə
  6. Hesabla
  7. Diqqət
  8. Özünü yoxla
  9. Yekun

1 · Kəşf et

Paraleloqramı çevir

Xatırla: paraleloqramda qarşı tərəflər paralel və bərabərdir, qarşı bucaqlar bərabərdir, diaqonallar kəsişmə nöqtəsində yarıya bölünür. Bu xassələr onun bütün növlərində qalır. Bəs paraleloqramı «düzəldəndə» diaqonallara nə olur?

Aşağıda A təpəsi yerində qalır, hər xana 1 sm-dir. Bir düymə A bucağını 90° edir, digəri AB tərəfini AD-yə bərabər edir. Hər birini ayrıca, sonra ikisini birlikdə yoxla.

Paraleloqramı dəyiş
Paraleloqram laboratoriyasıA təpəsi sabitdir, 1 xana 1 sm-dir. Seçimlərə görə AB tərəfi (3; 4) və ya (0; 5), AD tərəfi 8 və ya 5 xana olur: paraleloqram, düzbucaqlı, romb və ya kvadrat alınır. Diaqonalların yarıları çərtiklərlə, O nöqtəsindəki düz bucaq və A bucağının AC ilə bölünən hissələri qövslərlə göstərilir.ABCDOABCDOABCDOABCDO
Lövhə 1Bir paraleloqram, dörd növ1 xana = 1 sm

Paraleloqram. Ölçsək: AC ≈ 10,8 sm, BD ≈ 5,7 sm — bərabər deyil. ∠AOB ≈ 67° — düz bucaq deyil. AC A bucağını iki fərqli hissəyə bölür (bir və iki qövs).

Düzbucaqlı. AC = BD ≈ 8,6 sm — diaqonallar bərabərdir, dörd yarının hamısında eyni mavi çərtik var. ∠AOB ≈ 71°, A bucağının hissələri isə yenə fərqlidir.

Romb. AC ≈ 8,9 sm, BD isə ondan düz 2 dəfə qısadır — bərabər deyil. ∠AOB = 90°: diaqonallar perpendikulyardır, AC A bucağını iki bərabər hissəyə bölür (iki narıncı qövs).

Kvadrat. AC = BD ≈ 7,1 sm, ∠AOB = 90°, A bucağının hissələri 45° və 45°: düzbucaqlının da, rombun da xassələri.

  • Diaqonallar yarıya bölünürbəli
  • Diaqonallar bərabərdirbəliyox
  • Diaqonallar perpendikulyardırbəliyox
  • Diaqonal bucağı yarıya bölürbəliyox

Nəticə: düz bucaq diaqonalları bərabər edir, bərabər qonşu tərəflər isə onları perpendikulyar edir və bucaqları yarıya böldürür. Hər ikisi birlikdə kvadrat verir. İndi bunları ad və teoremlə yazaq.

2 · Qayda

Düzbucaqlı

Yadda saxla

  • Tərif. Bütün bucaqları düz bucaq olan paraleloqrama düzbucaqlı deyilir.
  • Teorem. Düzbucaqlının diaqonalları konqruyentdir.
  • Əlamət. Diaqonalları konqruyent olan paraleloqram düzbucaqlıdır.
AC = BD

Niyə? ABD və DCA üçbucaqlarında AB = DC (qarşı tərəflər), AD ortaqdır, ∠A = ∠D = 90°. Üçbucaqlar iki tərəf və aralarındakı bucağa görə konqruyentdir, deməli BD = AC.

Tərsinə: AC = BD olan paraleloqramda həmin üçbucaqlar üç tərəfə görə konqruyentdir, ona görə ∠A = ∠D. Qonşu bucaqların cəmi 180° olduğundan hər biri 90°-dir. Ustanın lenti məhz bu əlamətlə işləyir.

Düzbucaqlının diaqonallarıABCD düzbucaqlısının bütün bucaqları düzdür. AC və BD diaqonalları bərabərdir və O nöqtəsində yarıya bölünür, ona görə dörd yarı bərabərdir: OA = OB = OC = OD. AOB və COD üçbucaqları rənglənib: hər biri bərabəryanlıdır.ABCDO
Lövhə 2Dörd bərabər yarı
Diaqonallar bərabərdir və yarıya bölünür, ona görə OA = OB = OC = OD. Diaqonallar düzbucaqlını dörd bərabəryanlı üçbucağa ayırır.

Bərabəryanlı üçbucaqlar

OA = OB

AOB üçbucağında oturacaq bucaqları bərabərdir: ∠OAB = ∠OBA. Bucaq hesablarının əksəri buradan başlayır.

Düz bucağın tənböləni

90° : 2 = 45°

Düzbucaqlının bucağının tənböləni tərəfdən bərabəryanlı düzbucaqlı üçbucaq ayırır (Nümunə 2).

3 · Qayda

Romb

Yadda saxla

  • Tərif. Bütün tərəfləri konqruyent olan paraleloqrama romb deyilir.
  • Teorem 1. Rombun diaqonalları bucaqlarının tənböləni olub, düz bucaq altında kəsişirlər.
  • Teorem 2 (tərs teorem). Diaqonalları perpendikulyar olan paraleloqram rombdur.
AC ⊥ BD
Rombun diaqonallarıABCD rombunun dörd tərəfi bərabərdir. BD diaqonalı ABD bərabəryanlı üçbucağını ayırır. AC diaqonalı BD-yə O nöqtəsində perpendikulyardır və A ilə C bucaqlarını iki bərabər hissəyə bölür.ABCDO
Lövhə 3Teorem 1-in isbatı
  1. Rombda AB = AD, deməli ABD üçbucağı bərabəryanlıdır.
  2. Diaqonallar yarıya bölünür: BO = OD, yəni AO bu üçbucağın medianıdır.
  3. Bərabəryanlı üçbucaqda oturacağa çəkilən median həm tənbölən, həm hündürlükdür: ∠BAO = ∠DAO və AC ⊥ BD.

Teorem 2-nin isbatı tərsinədir: AC ⊥ BD olarsa, ABD üçbucağında AO həm median, həm hündürlükdür. Belə üçbucaq bərabəryanlıdır, AB = AD, deməli paraleloqramın bütün tərəfləri bərabərdir.

Dörd düzbucaqlı üçbucaq

∠AOB = 90°

Diaqonallar rombu dörd konqruyent düzbucaqlı üçbucağa ayırır. Onlarda iki iti bucağın cəmi 90°-dir.

Bucağı 60° olan romb

diaqonal = tərəf

Kiçik diaqonal rombu iki bərabərtərəfli üçbucağa ayırır (Nümunə 4).

4 · Qayda

Kvadrat

Yadda saxla

Tərif. Bütün tərəfləri konqruyent olan düzbucaqlıya kvadrat deyilir.

Düzbucaqlı paraleloqram olduğundan kvadrat tərəfləri bərabər olan paraleloqramdır, yəni rombdur. Ona görə düzbucaqlının da, rombun da bütün xassələri kvadrata aiddir:

  • bütün bucaqları düz bucaqdır, bütün tərəfləri bərabərdir;
  • diaqonalları bərabərdir, perpendikulyardır, kəsişmə nöqtəsində yarıya bölünür;
  • diaqonalları bucaqlarının tənbölənidir: diaqonal tərəflə 45° bucaq əmələ gətirir.
Kvadratın diaqonallarıABCD kvadratında diaqonallar bərabərdir, O nöqtəsində yarıya bölünür və perpendikulyardır. Hər diaqonal kvadratın bucağını 45° və 45° hissələrə bölür.ABCD45°45°O
Lövhə 4Həm düzbucaqlı, həm romb
Mavi çərtiklər: dörd yarı bərabərdir (düzbucaqlıdan). Narıncı: O-da düz bucaq və A-da iki bərabər hissə (rombdan). Ona görə ∠AOB = 90°, ∠OAB = 45°.

5 · Ailə

Kim kimin içindədir?

Növlər bir-birinin içindədir. Kiçik çərçivədəki fiqur böyük çərçivənin bütün xassələrinə malikdir, tərsi isə doğru deyil.

  • Hər düzbucaqlı və hər romb paraleloqramdır.
  • Hər kvadrat həm düzbucaqlı, həm rombdur.
  • Romb yalnız bucaqları düz olanda kvadratdır; düzbucaqlı yalnız tərəfləri bərabər olanda kvadratdır.

Həmişə · bəzən · heç vaxt

Təklif növün hər fiquru üçün doğrudursa — həmişə; bəzi fiqurlar üçün doğru, bəziləri üçün səhvdirsə — bəzən; heç biri üçün doğru deyilsə — heç vaxt. Bir əks nümunə «həmişə»ni pozur.

Məsələn, «düzbucaqlının diaqonalları perpendikulyardır» — bəzən: kvadratda bəli, 7 × 5 düzbucaqlıda yox (Lövhə 1).

Paraleloqramın növləri: iç-içə çoxluqlarƏn böyük çərçivə dördbucaqlılardır (çərpələng və trapesiya da buradadır). İçində paraleloqramlar, onların içində düzbucaqlılar və romblar. Düzbucaqlılarla romblar kəsişir: ortaq hissə kvadratlardır.DördbucaqlılarParaleloqramlarDüzbucaqlılarRomblarKvadratlar
Lövhə 5İç-içə çoxluqlar
Düzbucaqlılarla romblar kəsişir, ortaq hissə kvadratlardır. Çərpələng və trapesiya dördbucaqlıdır, amma paraleloqram deyil.
Hansı xassə hansı növdə həmişə var?
XassəParaleloqramDüzbucaqlıRombKvadrat
Qarşı tərəflər paralel və bərabərdirbəlibəlibəlibəli
Bütün bucaqlar düzdüryoxbəliyoxbəli
Bütün tərəflər bərabərdiryoxyoxbəlibəli
Diaqonallar yarıya bölünürbəlibəlibəlibəli
Diaqonallar bərabərdiryoxbəliyoxbəli
Diaqonallar perpendikulyardıryoxyoxbəlibəli
Diaqonallar bucaqları yarıya bölüryoxyoxbəlibəli

«Yox» burada «həmişə deyil» deməkdir: məsələn, paraleloqram rombdursa, onun da diaqonalları perpendikulyardır.

6 · Hesabla

Xassələr işdə

Nümunə 1Diaqonallar arasındakı bucaq

ABCD düzbucaqlısının diaqonalları O nöqtəsində kəsişir, ∠AOD = 124°. ∠OAD və ∠OAB bucaqlarını tapın.

Nümunə 1 lövhəsiABCD düzbucaqlısında diaqonallar O-da kəsişir, ∠AOD = 124°. OA = OD, ona görə AOD bərabəryanlı üçbucaqdır; A-da ∠OAD = 28°, sual işarəsi ∠OAB-dir.124°28°?ABCDO
Lövhə 6AOD bərabəryanlıdır
  1. Düzbucaqlının diaqonalları bərabərdir və yarıya bölünür: OA = OD.
  2. AOD bərabəryanlıdır: ∠OAD = (180° − 124°) : 2 = 28°.
  3. A bucağı düzdür: ∠OAB = 90° − 28° = 62°.

    ∠OAD = 28°, ∠OAB = 62°

Nümunə 2Düz bucağın tənböləni

ABCD düzbucaqlısında B bucağının tənböləni AD tərəfini M nöqtəsində kəsir: AM = 9 sm, MD = 19 sm. Düzbucaqlının perimetrini tapın.

Nümunə 2 lövhəsiABCD düzbucaqlısında B bucağının tənböləni BM AD tərəfini M nöqtəsində kəsir: AM = 6 sm, MD = 15 sm. B-dəki iki bucaq 45°-dir; ABM üçbucağı bərabəryanlıdır, AB = AM.ABCDM9 sm19 sm
Lövhə 7Tənbölən bərabəryanlı üçbucaq ayırır
  1. BM düz bucağı yarıya bölür: ∠ABM = 45°.
  2. ABM üçbucağında ∠A = 90°, deməli ∠AMB = 45°: üçbucaq bərabəryanlıdır, AB = AM = 9 sm.
  3. AD = 9 + 19 = 28 sm, P = 2 · (9 + 28) = 74 sm.

    P = 74 sm

Hansı parçanın A-ya bitişik olduğu vacibdir. Əgər AM = 19 sm, MD = 9 sm olsaydı, AB = 19 sm və P = 2 · (19 + 28) = 94 sm alınardı.

Nümunə 3Rombun bucaqları

ABCD rombunda ∠BCA = 37°. Rombun bucaqlarını və ∠CBD-ni tapın.

Nümunə 3 lövhəsiABCD rombunda AC diaqonalı C bucağını iki bərabər hissəyə bölür: ∠BCA = ∠ACD = 37°. Sual işarəsi B bucağındadır.37°?ABCD
Lövhə 8Diaqonal bucağı yarıya bölür
  1. AC C bucağının tənbölənidir: ∠BCD = 2 · 37° = 74°, qarşı bucaq ∠A = 74°.
  2. Qonşu bucaqların cəmi 180°-dir: ∠B = ∠D = 180° − 74° = 106°.
  3. BD B bucağını yarıya bölür: ∠CBD = 106° : 2 = 53°. Yoxlama: BOC üçbucağında 37° + 53° = 90°, çünki ∠BOC = 90°.

    ∠A = ∠C = 74°, ∠B = ∠D = 106°, ∠CBD = 53°

Nümunə 4Bucağı 60° olan romb

ABCD rombunda ∠B = 120°, perimetr 76 sm-dir. BD diaqonalını tapın.

Nümunə 4 lövhəsiABCD rombunda ∠B = 120°, ∠A = 60°. BD diaqonalı ABD üçbucağını ayırır: AB = AD və bucaq 60° olduğundan bu üçbucaq bərabərtərəflidir, BD tərəfə bərabərdir.60°120°ABCD
Lövhə 9İki bərabərtərəfli üçbucaq
  1. Tərəf: 76 : 4 = 19 sm. Qonşu bucaq: ∠A = 180° − 120° = 60°.
  2. ABD üçbucağında AB = AD, deməli ∠ABD = ∠ADB = (180° − 60°) : 2 = 60°.
  3. Bütün bucaqları 60° olan üçbucaq bərabərtərəflidir: BD = AB = 19 sm.

    BD = 19 sm

Nümunə 5Kvadratda bucaq

ABCD kvadratının AD tərəfi üzərində M nöqtəsi götürülüb, ∠AMB = 60°. BM və BD arasındakı bucağı tapın.

Nümunə 5 lövhəsiABCD kvadratında M nöqtəsi AD tərəfi üzərindədir, ∠AMB = 68°. BD diaqonalı B bucağını 45° və 45° hissələrə bölür; sual işarəsi BM ilə BD arasındakı bucaqdır.60°?ABCDM
Lövhə 10Diaqonal: 45°
  1. ABM düzbucaqlı üçbucaqdır: ∠ABM = 90° − 60° = 30°.
  2. Kvadratın diaqonalı bucağı yarıya bölür: ∠ABD = 45°.
  3. ∠MBD = 45° − 30° = 15°.

    ∠MBD = 15°

Nümunə 6Növü əlamətlə tap

ABCD paraleloqramının diaqonalları O nöqtəsində kəsişir. Hər halda paraleloqramın növünü müəyyən edin.

  • a) AO = BO = 7,5 sm, ∠AOB = 80°. Onda AC = BD = 15 sm, amma diaqonallar perpendikulyar deyil → düzbucaqlı (kvadrat deyil).
  • b) AO = 7,5 sm, BO = 4 sm, ∠AOB = 90°. Onda AC = 15 sm, BD = 8 sm, AC ⊥ BD → romb (kvadrat deyil).
  • c) AO = BO = 7,5 sm, ∠AOB = 90°. Onda AC = BD və AC ⊥ BD → kvadrat.
  1. Diaqonallar yarıya bölündüyü üçün AC = 2 · AO, BD = 2 · BO.
  2. Bərabər diaqonallar → düzbucaqlı; perpendikulyar diaqonallar → romb.
  3. Hər iki əlamət ödənirsə, fiqur həm düzbucaqlı, həm rombdur, yəni kvadratdır.

    a — düzbucaqlı, b — romb, c — kvadrat

7 · Diqqət

Tez-tez edilən səhvlər

Xassələri qarışdırmaq

Səhv

rombda AC = BD

Bu, düzbucaqlının xassəsidir. Lövhə 1-in rombunda BD AC-dən 2 dəfə qısadır.

Düz

rombda AC ⊥ BD

Rombun diaqonalları bərabər olsa, o, kvadratdır.

Digər tərəfin bucağı

Səhv

∠OAB = 28°

Nümunə 1-də 28° AOD üçbucağındadır, yəni AD tərəfi ilə bucaqdır.

Düz

∠OAB = 90° − 28° = 62°

Diaqonal düz bucağı iki hissəyə bölür, onların cəmi 90°-dir.

O nöqtəsindəki düz bucağı unutmaq

Səhv

∠ABO = 180° − ∠BAO

AOB üçbucağının üçüncü bucağı unudulub.

Düz

∠ABO = 90° − ∠BAO

Rombda ∠AOB = 90°, qalan iki bucağın cəmi 90°-dir.

Ailəni tərsinə oxumaq

Səhv

«romb kvadratdır» — həmişə

Bucağı 60° olan romb kvadrat deyil (Nümunə 4).

Düz

«kvadrat rombdur» — həmişə

Kvadratın bütün tərəfləri bərabərdir; «romb kvadratdır» isə bəzən doğrudur.

8 · Özünü yoxla

Bacarığını sına

Cavabı seç: düz olanda lime, səhv olanda qırmızı işıqlanacaq. Həllə də baxa bilərsən.

  1. Asan

    Hansı xassə hər rombda doğrudur, amma hər düzbucaqlıda doğru deyil?

    Sual 1 variantları

    Düzdür! Perpendikulyar diaqonallar rombun xüsusi xassəsidir.

    Bərabər diaqonallar düzbucaqlınındır, yarıya bölünmə isə hər paraleloqramda var.

    Həllə bax

    Rombun diaqonalları perpendikulyardır (Teorem 1). Düzbucaqlının diaqonalları ümumiyyətlə perpendikulyar deyil (Lövhə 1, 7 × 5: ∠AOB ≈ 71°). Diaqonalların yarıya bölünməsi hər ikisində var, bərabərlik isə düzbucaqlının xassəsidir.

  2. Asan

    ABCD düzbucaqlısında ∠DBC = 29°. ∠ACB-ni tapın.

    Sual 2 variantları

    Düzdür! OB = OC, ona görə BOC bərabəryanlıdır.

    Diaqonalların yarıları bərabərdir: OB = OC. BOC üçbucağının oturacaq bucaqlarına bax.

    Həllə bax

    Düzbucaqlının diaqonalları bərabərdir və yarıya bölünür: OB = OC. BOC bərabəryanlıdır, ∠OCB = ∠OBC = 29°, yəni ∠ACB = 29°. 61° isə ∠ACD-dir — digər tərəflə bucaq.

  3. Orta

    ABCD rombunda ∠ABD = 57°. ∠BAD-ni tapın.

    Sual 3 variantları

    Düzdür! 180° − 2 · 57° = 66°.

    BD B bucağını yarıya bölür. ∠ABC-ni tap, sonra qonşu bucağı.

    Həllə bax

    BD tənböləndir: ∠ABC = 2 · 57° = 114°. Qonşu bucaq: ∠BAD = 180° − 114° = 66°. Başqa yol: ABD bərabəryanlıdır (AB = AD), ∠ADB = 57°, ∠BAD = 180° − 114° = 66°.

  4. Orta

    Hansı təklif bəzən doğrudur?

    Sual 4 variantları

    Düzdür! Bucağı 60° olan rombda bəli, kvadratda yox.

    Seçdiyin təklif ya hər fiqur üçün doğrudur, ya da heç biri üçün. Bir nümunə və bir əks nümunə axtar.

    Həllə bax

    Bucağı 60° olan rombda kiçik diaqonal tərəfə bərabərdir (Nümunə 4), kvadratda isə heç bir diaqonal tərəfə bərabər deyil — bəzən. Düzbucaqlının diaqonalları həmişə bərabərdir; rombun diaqonalları həmişə perpendikulyardır, ona görə üçüncü təklif heç vaxt doğru deyil.

  5. Çətin

    ABCD rombunun diaqonalları O nöqtəsində kəsişir, ∠OBA ∠OAB-dən 28° böyükdür. Rombun böyük bucağını tapın.

    Sual 5 variantları

    Düzdür! 31° + 59° = 90°, böyük bucaq 2 · 59° = 118°.

    AOB üçbucağında O-da düz bucaq var. Tapdığın bucaq rombun bucağının yarısıdır.

    Həllə bax

    ∠AOB = 90°, ona görə ∠OAB + ∠OBA = 90°. x + (x + 28°) = 90°, x = 31°: ∠OAB = 31°, ∠OBA = 59°. Diaqonallar bucaqları yarıya bölür: ∠A = 62°, ∠B = 118°.

  6. Çətin

    ABCD düzbucaqlısının diaqonalları O-da kəsişir, ∠AOD ∠OAD-dən 2 dəfə böyükdür. ∠AOD nəyə bərabərdir və ABCD nədir?

    Sual 6 variantları

    Düzdür! Diaqonallar perpendikulyardır, düzbucaqlı həm də rombdur.

    AOD bərabəryanlıdır (OA = OD): onun iki bucağı x-dir. Sonra perpendikulyar diaqonallar haqqında əlaməti xatırla.

    Həllə bax

    OA = OD, ona görə ∠ODA = ∠OAD = x, ∠AOD = 2x. x + x + 2x = 180°, x = 45°, ∠AOD = 90°. Diaqonalları perpendikulyar olan paraleloqram rombdur; romb olan düzbucaqlı kvadratdır.

9 · Yekun

Üç nəticə

  • Düzbucaqlı: AC = BDDiaqonalları bərabər olan paraleloqram düzbucaqlıdır; yarılar dörd bərabəryanlı üçbucaq yaradır.
  • Romb: AC ⊥ BDDiaqonallar perpendikulyardır və bucaqları yarıya bölür; tərsinə, diaqonalları perpendikulyar olan paraleloqram rombdur.
  • Kvadrat: hər ikisiHər kvadrat həm düzbucaqlı, həm rombdur; diaqonalı tərəflə 45° bucaq əmələ gətirir.

Növbəti mövzu: 3.21 Paraleloqramın xassələrinin tətbiqi.