• 3.55
  • 8-ci sinif
  • Koordinatlar

Parçanın orta nöqtəsinin koordinatları

Aysel xəritədə A(−3; 6), Tural B(13; 2) nöqtəsindədir. Düz yolun tam ortasında görüşmək istəyirlər. Ölçməyə ehtiyac yoxdur: absislərin ortası və ordinatların ortası görüş yerini verir — M(5; 4).

Bu dərsdə

  • ədəd oxunda və koordinat müstəvisində parçanın orta nöqtəsinin koordinatlarını düsturla tapacaqsan;
  • düsturun niyə doğru olduğunu bərabər addımlar və Fales teoremi ilə izah edəcəksən;
  • bir uca və orta nöqtəyə görə o biri ucu, üçbucaqda, paraleloqramda və çevrədə lazım olan nöqtələri tapacaqsan.
  • uclar: x₁, x₂, y₁, y₂
  • orta nöqtə: x₀, y₀
Görüş yeri: AB parçasının orta nöqtəsiKoordinat müstəvisində Aysel A(−3; 6), Tural B(13; 2) nöqtəsindədir. A və B absis oxuna −3 və 13-ə, ordinat oxuna 6 və 2-yə proyeksiya olunur. Absis oxunda onların ortası 5, ordinat oxunda 4-dür. Bu iki ortadan çəkilən xətlər AB parçasının orta nöqtəsi M(5; 4)-də kəsişir.xyO−3135624A(−3; 6)B(13; 2)M(5; 4)
  1. A və B absis oxuna proyeksiya olunur: −3 və 13. Ortası: (−3 + 13) : 2 = 5.
  2. Ordinat oxuna: 6 və 2. Ortası: (6 + 2) : 2 = 4.
  3. Bu iki ortadan çəkilən xətlər M(5; 4) nöqtəsində kəsişir: görüş yeri budur.
  1. Kəşf et
  2. Ədəd oxunda
  3. Müstəvidə
  4. Hesabla
  5. Diqqət
  6. Həyatda
  7. Özünü yoxla
  8. Yekun

1 · Kəşf et

Ortaya hər iki ucdan eyni addım

Əvvəl bir ox üzərində. Ədəd oxunda A və B nöqtələri var. Onların tam ortasındakı M nöqtəsinə A-dan da, B-dən də eyni sayda vahid getmək lazımdır. Cütü seç və addımlara bax.

Ucları seç
Ədəd oxunda parçanın orta nöqtəsiƏdəd oxunda A və B ucları və onların ortası M. Üç vəziyyət: A(−7), B(5), M(−1), addım 6; A(−10), B(−4), M(−7), addım 3; A(−4), B(7), M(1,5), addım 5,5. Mötərizələr A-dan M-ə və M-dən B-yə bərabər addımları göstərir.−10−505ABM66−7−15ABM33−10−7−4ABM5,55,5−41,57

M(−1). A-dan B-yə 5 − (−7) = 12 vahiddir, yarısı 6. A-dan 6 vahid sağa: −7 + 6 = −1. B-dən 6 vahid sola: 5 − 6 = −1. Eyni nöqtə alınır.

M(−7). A-dan B-yə −4 − (−10) = 6 vahiddir, yarısı 3: −10 + 3 = −7. İki mənfi ucun ortası da mənfidir.

M(1,5). A-dan B-yə 7 − (−4) = 11 vahiddir, yarısı 5,5: −4 + 5,5 = 1,5. Orta nöqtənin koordinatı tam ədəd olmaya da bilər.

Üç cütdə də eyni qısa yol var: ucları topla, 2-yə böl. (−7 + 5) : 2 = −1, (−10 + (−4)) : 2 = −7, (−4 + 7) : 2 = 1,5. Növbəti mərhələdə bunun niyə həmişə belə olduğunu görəcəyik.

2 · Qayda

Ədəd oxunda orta nöqtənin düsturu

Ədəd oxunda uc nöqtələri A(x₁) və B(x₂) olan AB parçasının orta nöqtəsi M(x₀) olsun, x₁ < x₂. Ədəd oxunda iki nöqtə arasındakı məsafə onların koordinatlarının fərqinin moduludur.

  1. M orta nöqtədir: AM = MB.
  2. Məsafələri modulla yazırıq: AM = |x₀ − x₁|, MB = |x₂ − x₀|.
  3. M nöqtəsi A ilə B arasındadır (x₁ < x₀ < x₂), modullar açılır: x₀ − x₁ = x₂ − x₀.
  4. Hər iki tərəfə x₀ + x₁ əlavə edirik: 2x₀ = x₁ + x₂.
  5. x₀ = (x₁ + x₂) : 2

Yadda saxla

Parçanın orta nöqtəsinin koordinatı uc nöqtələrin koordinatlarının ədədi ortasıdır:

x₀ = x₁ + x₂2 /

Sıra fərq etmir

(x₂ + x₁) : 2 də eyni ədəddir: ucların hansını A adlandırmağın əhəmiyyəti yoxdur.

Mənfi ədədlər

Mənfi ucu mötərizəyə al: (−10 + (−4)) : 2 = −7.

Addımla yoxla

x₀ − x₁ və x₂ − x₀ bərabər olmalıdır: 1,5 − (−4) = 5,5, 7 − 1,5 = 5,5.

3 · Qayda

Müstəvidə: iki ox, iki orta

İndi A(x₁; y₁) və B(x₂; y₂) koordinat müstəvisindədir, M(x₀; y₀) isə AB parçasının orta nöqtəsidir. A, M və B nöqtələrindən absis oxuna perpendikulyarlar endirək. Hamısı ordinat oxuna paraleldir, deməli bir-birinə də paraleldir.

  1. Paralel düz xətlər AB üzərində bərabər parçalar ayırır: AM = MB.
  2. Fales teoremi: onda absis oxu üzərində də bərabər parçalar ayırırlar — x₁ ilə x₀ arası x₀ ilə x₂ arasına bərabərdir.
  3. Deməli x₀ absis oxunda x₁ ilə x₂-nin ortasıdır. Bu, ədəd oxu halıdır: x₀ = (x₁ + x₂) : 2.
  4. Ordinat oxuna perpendikulyarlarla eyni mühakimə: y₀ = (y₁ + y₂) : 2.
Fales teoremi ilə orta nöqtəA, M və B nöqtələri AB parçası üzərindədir, AM = MB. Hər üç nöqtədən absis oxuna perpendikulyarlar çəkilib; onlar paraleldir və Fales teoreminə görə absis oxunda da bərabər parçalar ayırır: x₁ ilə x₀ arası x₀ ilə x₂ arasına bərabərdir. Eyni qayda ilə ordinat oxuna çəkilən perpendikulyarlar y₁, y₀, y₂ nöqtələrində bərabər parçalar ayırır.xyOABMx₁x₀x₂y₁y₀y₂
Narıncı çərtiklər bərabər parçaları göstərir: AB üzərində, sonra hər iki oxda. Başla qurmanı sıra ilə göstərir.

Yadda saxla

Uc nöqtələri A(x₁; y₁) və B(x₂; y₂) olan AB parçasının orta nöqtəsi M(x₀; y₀):

x₀ = x₁ + x₂2 / y₀ = y₁ + y₂2 /

Hər koordinat ayrıca hesablanır: absis absislərdən, ordinat ordinatlardan.

Parça oxa paralel olsa?

AB oxlardan birinə paralel olanda yuxarıdakı mühakimə işləmir: perpendikulyarlar ya üst-üstə düşür, ya da parça özü oxa paraleldir. Dərslik düsturu bu halda ayrıca yoxlamağı tapşırır. Parçanı seç.

Parçanı seç
Orta nöqtə: çəp parça və oxlara paralel parçalarÜç vəziyyət. Çəp parça: A(−7; −2), B(3; 6), orta nöqtə M(−2; 2). Absis oxuna paralel parça: A(−5; −4), B(7; −4), M(1; −4). Ordinat oxuna paralel parça: A(7; −3), B(7; 5), M(7; 1). Hər nöqtədən oxlara proyeksiyalar və onların qiymətləri göstərilib.xyO−73−2−262ABM−571−4ABM7−351ABM

A(−7; −2), B(3; 6). x₀ = (−7 + 3) : 2 = −2, y₀ = (−2 + 6) : 2 = 2. M(−2; 2)

A(−5; −4), B(7; −4). Parça absis oxuna paraleldir: onun bütün nöqtələrinin ordinatı −4-dür. Düstur da bunu verir: y₀ = (−4 + (−4)) : 2 = −4. Absis: x₀ = (−5 + 7) : 2 = 1. M(1; −4). Burada Fales lazım deyil: parça özü ədəd oxu kimidir.

A(7; −3), B(7; 5). Parça ordinat oxuna paraleldir: onun bütün nöqtələrinin absisi 7-dir və x₀ = (7 + 7) : 2 = 7. Ordinat: y₀ = (−3 + 5) : 2 = 1. M(7; 1)

Hər üç halda düstur doğru nəticə verir.

4 · Hesabla

Düsturu işə salırıq

Nümunə 1Orta nöqtə

E(−3; 7) və F(8; −2) nöqtələri verilib. EF parçasının orta nöqtəsinin koordinatlarını tapın.

Nümunə 1: EF parçasının orta nöqtəsiE(−3; 7) və F(8; −2) nöqtələri, EF parçası və onun orta nöqtəsi M(2,5; 2,5). M-dən oxlara proyeksiyalar 2,5 qiymətlərini göstərir.xyO2,52,5E(−3; 7)F(8; −2)M
  1. Absis: x₀ = (−3 + 8) : 2 = 5 : 2 = 2,5.
  2. Ordinat: y₀ = (7 + (−2)) : 2 = 5 : 2 = 2,5.
  3. Koordinatlar kəsr ola bilər: 2,5 iki tam ədədin tam ortasıdır.

    M(2,5; 2,5)

Nümunə 2Orta nöqtəyə görə uc

M(−2; 4) nöqtəsi AB parçasının orta nöqtəsidir, A(3; 6). B ucunun koordinatlarını tapın.

Nümunə 2: orta nöqtə və bir uca görə o biri ucA(3; 6) ucundan orta nöqtə M(−2; 4)-ə addım: 5 vahid sola və 2 vahid aşağı. M-dən eyni addım B(−7; 2) ucuna aparır.xyO−5−5−2−2A(3; 6)MB(−7; 2)
A-dan M-ə addım: 5 vahid sola, 2 vahid aşağı. M-dən eyni addım B-yə aparır. Ona görə x₂ = x₀ + (x₀ − x₁) = 2x₀ − x₁.
  1. Düsturdan: x₀ = (x₁ + x₂) : 2 ⇒ 2x₀ = x₁ + x₂ ⇒ x₂ = 2x₀ − x₁. Eyni qayda ilə y₂ = 2y₀ − y₁.
  2. x₂ = 2 · (−2) − 3 = −7, y₂ = 2 · 4 − 6 = 2.
  3. Yoxlama: (3 + (−7)) : 2 = −2, (6 + 2) : 2 = 4 — M alınır.

    B(−7; 2)

Nümunə 3Üçbucağın tərəflərinin ortaları

Üçbucağın təpələri A(−6; −4), B(6; 0), C(−2; 8). Tərəflərinin orta nöqtələrini tapın. C təpəsindən çəkilən mediana hansı nöqtədə bitir?

Nümunə 3: üçbucağın tərəflərinin orta nöqtələriÜçbucaq A(−6; −4), B(6; 0), C(−2; 8). AB-nin orta nöqtəsi K(0; −2), BC-nin L(2; 4), AC-nin N(−4; 2). Bərabər hissələr eyni sayda çərtiklə işarələnib. CK — C təpəsindən çəkilən mediana.xyA(−6; −4)B(6; 0)C(−2; 8)KLN
Bərabər hissələr eyni sayda çərtiklə işarələnib; qırıq narıncı xətt CK medianasıdır.
  1. AB-nin ortası K: ((−6 + 6) : 2; (−4 + 0) : 2) = (0; −2).
  2. BC-nin ortası L: ((6 + (−2)) : 2; (0 + 8) : 2) = (2; 4).
  3. AC-nin ortası N: ((−6 + (−2)) : 2; (−4 + 8) : 2) = (−4; 2).
  4. Mediana təpəni qarşı tərəfin orta nöqtəsi ilə birləşdirir. C-nin qarşısındakı tərəf AB-dir, ona görə mediana K nöqtəsində bitir.

    K(0; −2), L(2; 4), N(−4; 2)

Nümunə 4Paraleloqram

A(−5; −1), B(−1; 5), C(6; 4) nöqtələri ABCD paraleloqramının təpələridir. Diaqonalların M kəsişmə nöqtəsini və D təpəsini tapın.

Nümunə 4: paraleloqramın diaqonallarının kəsişməsi və dördüncü təpəParaleloqram ABCD: A(−5; −1), B(−1; 5), C(6; 4), D(2; −2). Diaqonallar AC və BD M(0,5; 1,5) nöqtəsində kəsişir və orada yarıya bölünür.xyOA(−5; −1)B(−1; 5)C(6; 4)DM
Diaqonallar kəsişmə nöqtəsində yarıya bölünür: bir çərtikli hissələr bərabərdir, iki çərtikli hissələr də.
  1. Paraleloqramın diaqonalları kəsişmə nöqtəsində yarıya bölünür, deməli M — AC-nin orta nöqtəsidir: ((−5 + 6) : 2; (−1 + 4) : 2) = (0,5; 1,5).
  2. M həm də BD-nin orta nöqtəsidir: D = (2 · 0,5 − (−1); 2 · 1,5 − 5) = (2; −2).
  3. Yoxlama: BD-nin ortası ((−1 + 2) : 2; (5 + (−2)) : 2) = (0,5; 1,5).

    M(0,5; 1,5), D(2; −2)

Nümunə 5Çevrə və diametr

KL çevrənin diametridir: K(−6; 3), L(4; −5). S(−5; 4) nöqtəsi çevrə üzərindədir. Çevrənin Q mərkəzini və S-dən keçən diametrin o biri T ucunu tapın.

Nümunə 5: çevrənin mərkəzi və ikinci diametrin ucuÇevrənin KL diametri: K(−6; 3), L(4; −5); mərkəz Q(−1; −1) onun orta nöqtəsidir. Çevrədə S(−5; 4); SQ düz xətti çevrəni T(3; −6)-də kəsir, ST də diametrdir və T nöqtəsi S-ə Q-ya nəzərən simmetrikdir.xyKLSTQ
Hər diametrin ortası çevrənin mərkəzidir: KL və ST Q nöqtəsində yarıya bölünür.
  1. Diametrin orta nöqtəsi mərkəzdir: Q = ((−6 + 4) : 2; (3 + (−5)) : 2) = (−1; −1).
  2. ST də diametrdir, Q onun ortasıdır: T = (2 · (−1) − (−5); 2 · (−1) − 4) = (3; −6).
  3. Q nöqtəsi ST-nin ortası olduğu üçün T nöqtəsi S-ə Q-ya nəzərən simmetrikdir. Nöqtəyə nəzərən simmetrik nöqtə də elə bu düsturla tapılır.

    Q(−1; −1), T(3; −6)

5 · Diqqət

İki tez-tez edilən səhv

Yarım fərq orta nöqtə deyil

A(−4; −5), B(8; 3). AB parçasının orta nöqtəsi hansıdır?

Səhv

(6; 4)

Fərqin yarısı götürülüb: (8 − (−4)) : 2 = 6. Bu, A-dan M-ə addımın uzunluğudur, nöqtə deyil.

Düz

M(2; −1)

Cəmin yarısı: (−4 + 8) : 2 = 2, (−5 + 3) : 2 = −1. Addımla yoxla: −4 + 6 = 2.

Yarım fərq nöqtə deyil, addımdırAbsis oxunda x₁ = −4, x₂ = 8. Fərqin yarısı 6 — A-dan M-ə addımın uzunluğudur. M-in absisi −4 + 6 = 2-dir; 6 nöqtəsi isə orta nöqtə deyil.0+6ABM−428✗ 6
Absis oxunda: 6 A-dan M-ə gedən addımdır. Orta nöqtə −4 + 6 nöqtəsidir, 6 nöqtəsi yox.

Orta nöqtəni uc saymaq

AB parçasının orta nöqtəsi M(0; 3), A(−3; 6). B ucu hansıdır?

Səhv

(−1,5; 4,5)

A ilə M-in ortası tapılıb. Bu, AM parçasının orta nöqtəsidir, B deyil.

Düz

B(3; 0)

x₂ = 2 · 0 − (−3) = 3, y₂ = 2 · 3 − 6 = 0. Yoxlama: (−3 + 3) : 2 = 0, (6 + 0) : 2 = 3.

6 · Həyatda

Orta nöqtə hər yerdə

İki nöqtənin koordinatları məlum olan hər yerdə orta nöqtə eyni qayda ilə tapılır: meydanda, xəritədə, ekranda.

Futbol meydanının mərkəz nöqtəsi105 m × 68 m-lik meydan, koordinat başlanğıcı sol aşağı küncdədir. Qapıların ortaları (0; 34) və (105; 34), mərkəz nöqtəsi onların ortası (52,5; 34)-dir.(0; 34)(105; 34)(52,5; 34)105 m68 m
Futbol meydanı 105 m × 68 m-dir. Koordinat başlanğıcını sol aşağı küncə qoysaq, qapıların ortaları (0; 34) və (105; 34) olur. Mərkəz nöqtəsi: ((0 + 105) : 2; (34 + 34) : 2) = (52,5; 34).
Ekranda pəncərənin mərkəzi1280 × 800 piksellik ekranda pəncərə. Onun qarşı küncləri (240; 120) və (1000; 600) pikseldir; diaqonalın ortası (620; 360) pəncərənin mərkəzidir.(240; 120)(1000; 600)M
Ekranda nöqtənin yeri piksellə verilir. Pəncərənin qarşı küncləri (240; 120) və (1000; 600) olarsa, onun M mərkəzi diaqonalın ortasıdır: ((240 + 1000) : 2; (120 + 600) : 2) = (620; 360).

7 · Özünü yoxla

Bacarığını sına

Cavabı seç: düz olanda lime, səhv olanda qırmızı işıqlanacaq. Həllə də baxa bilərsən.

  1. Asan

    Ədəd oxunda A(−8) və B(2) nöqtələri verilib. AB parçasının orta nöqtəsinin koordinatı neçədir?

    Sual 1 variantları

    Düzdür! (−8 + 2) : 2 = −3.

    Ucları topla və cəmi 2-yə böl. Fərqin yarısı addımdır, nöqtə deyil.

    Həllə bax

    (−8 + 2) : 2 = −6 : 2 = −3. Yoxlama: −3 nöqtəsi hər iki ucdan 5 vahid aralıdır.

  2. Asan

    C(−8; 7) və D(2; −1) nöqtələri verilib. CD parçasının orta nöqtəsi hansıdır?

    Sual 2 variantları

    Düzdür! Absis və ordinat ayrıca ortalanır.

    Hər koordinatda ucların cəmini 2-yə böl.

    Həllə bax

    x₀ = (−8 + 2) : 2 = −3, y₀ = (7 + (−1)) : 2 = 3. Cavab (−3; 3).

  3. Orta

    M(3; −4) nöqtəsi PQ parçasının orta nöqtəsidir, P(−2; 1). Q nöqtəsinin koordinatları hansıdır?

    Sual 3 variantları

    Düzdür! x₂ = 2x₀ − x₁, y₂ = 2y₀ − y₁.

    M orta nöqtədir, uc deyil: x₂ = 2x₀ − x₁ düsturunu işlət, x₀ orta nöqtənin absisidir.

    Həllə bax

    x₂ = 2 · 3 − (−2) = 8, y₂ = 2 · (−4) − 1 = −9. Yoxlama: (−2 + 8) : 2 = 3, (1 + (−9)) : 2 = −4.

  4. Orta

    Çevrənin diametrinin ucları (−9; 2) və (5; −4) nöqtələridir. Çevrənin mərkəzi hansı nöqtədir?

    Sual 4 variantları

    Düzdür! Mərkəz diametrin orta nöqtəsidir.

    Mərkəz diametrin orta nöqtəsidir: cəmin yarısını tap, absisi birinci yaz.

    Həllə bax

    ((−9 + 5) : 2; (2 + (−4)) : 2) = (−2; −1).

  5. Çətin

    A(−5; 0), B(−2; 6), C(7; 2) nöqtələri ABCD paraleloqramının təpələridir. D təpəsinin koordinatları hansıdır?

    Sual 5 variantları

    Düzdür! AC və BD diaqonallarının ortası eyni nöqtədir.

    Diaqonallar kəsişmə nöqtəsində yarıya bölünür: AC-nin ortası BD-nin də ortasıdır. D təpəsi B-nin qarşısındadır.

    Həllə bax

    AC-nin ortası: ((−5 + 7) : 2; (0 + 2) : 2) = (1; 1). D = (2 · 1 − (−2); 2 · 1 − 6) = (4; −4). (1; 1) kəsişmə nöqtəsidir, təpə yox; (10; 8) isə təpələrin sırası səhv götürüləndə (B + C − A) alınır.

  6. Çətin

    A(5; b + 3) və B(−1; 2b − 9) nöqtələri verilib. AB parçasının orta nöqtəsi absis oxu üzərindədir. b neçədir?

    Sual 6 variantları

    Düzdür! Orta nöqtənin ordinatı 0 olmalıdır.

    Absis oxundakı nöqtənin ordinatı 0-dır: y₀ = 0 tənliyini qur və işarələrə diqqət et.

    Həllə bax

    y₀ = (b + 3 + 2b − 9) : 2 = (3b − 6) : 2 = 0, deməli 3b − 6 = 0 və b = 2. Yoxlama: A(5; 5), B(−1; −5), orta nöqtə (2; 0) absis oxundadır. 12 ucların ordinatlarını bərabərləşdirəndə alınır — bu, parçanın absis oxuna paralel olması şərtidir, başqa sualdır.

8 · Yekun

Üç nəticə

  • Ədəd oxunda: cəmin yarısıx₀ = (x₁ + x₂) : 2, çünki orta nöqtəyə hər iki ucdan eyni addım var.
  • Müstəvidə: hər koordinat ayrıcaFales teoremi ilə: x₀ = (x₁ + x₂) : 2, y₀ = (y₁ + y₂) : 2.
  • Naməlum uc: x₂ = 2x₀ − x₁Ordinat üçün də eynidir: y₂ = 2y₀ − y₁. Mediana, paraleloqram, çevrə və simmetrik nöqtə məsələləri bununla həll olunur.

Növbəti mövzu: 3.56 İki nöqtədən keçən düz xəttin tənliyi — yenə iki nöqtənin koordinatlarından başlayacağıq.