• 3.56
  • 8-ci sinif
  • Koordinatlar

İki nöqtədən keçən düz xəttin tənliyi

Xəritədə velosiped yolu kitabxanadan A(−2; 2) parka B(6; 6) düz çəkilib və davam edir. Məktəb M(8; 7) bu yolun üstündədirmi? Bəs kafe K(4; 4)? Gözlə demək çətindir, amma bir tənlik hər nöqtəni bir hesabla yoxlayır: y = ½x + 3.

Bu dərsdə

  • iki nöqtədən düz xəttin bucaq əmsalını tapacaq və onun düz xəttin dikliyi olduğunu izah edəcəksən;
  • iki nöqtədən keçən düz xəttin tənliyini yazıb y = kx + b şəklinə gətirəcək, nöqtənin düz xəttə aid olduğunu yoxlayacaqsan;
  • bucaq əmsallarına görə paralel və perpendikulyar düz xətləri tanıyacaq, sadə həyati asılılığı tənliklə yazacaqsan.
  • x-lərin fərqi
  • y-lərin fərqi
  • düz xətt, bucaq əmsalı k
Velosiped yolu xəritədəKoordinat torunda düz velosiped yolu A(−2; 2) və B(6; 6) nöqtələrindən keçir. A-dan B-yə pilləkən: 8 xana sağa (mavi), 4 xana yuxarı (narıncı). Yolun tənliyi y = ½x + 3. M(8; 7) yolun üstündədir (yaşıl işarə), K(4; 4) yox: x = 4-də yol y = 5-dədir, K bir xana aşağıdadır (qırmızı işarə).xy−22468468O84ABMKy = ½x + 3✓✗
XəritəA — kitabxana, B — park, M — məktəb, K — kafe1 xana = 100 m
  1. A-dan B-yə: 8 xana sağa, 4 xana yuxarı. Deməli, hər 1 xana sağa yol ½ xana qalxır.
  2. M(8; 7): ½ · 8 + 3 = 7 — ordinat düz gəlir, məktəb yolun üstündədir.
  3. K(4; 4): ½ · 4 + 3 = 5 ≠ 4 — kafe yoldan bir xana aşağıdadır.
  1. Pilləkən
  2. Tənlik
  3. Xüsusi hallar
  4. Paralel, perpendikulyar
  5. Hesabla
  6. Diqqət
  7. Həyatda
  8. Özünü yoxla
  9. Yekun

1 · Kəşf et

Pilləkən hər yerdə eyni dikdir

Düz xətt üzərində iki nöqtə götür və birindən o birinə «pilləkən» qur: əvvəl absis oxuna paralel sağa, sonra ordinat oxuna paralel yuxarı. Şaquli pillənin üfüqi pilləyə nisbəti düz xəttin nə qədər dik olduğunu göstərir. Hər iki pilləni koordinatların fərqi kimi sayırıq: ikinci nöqtədən birincini çıxırıq.

Eyni düz xətt üzərində nöqtə cütü seç
Eyni düz xəttin üç pilləkəniy = ½x + 3 düz xətti üzərində seçilmiş iki nöqtə arasında pilləkən: üfüqi pillə mavi, şaquli pillə narıncı. Cütlər: (−2; 2) və (6; 6) — 8 və 4; (−4; 1) və (8; 7) — 12 və 6; (6; 6) və (8; 7) — 2 və 1. Hər dəfə şaquli pillə üfüqinin yarısıdır.xy−4−2246846O84(−2; 2)(6; 6)105(−2; 2)(8; 7)21(6; 6)(8; 7)
Lövhə 1Bir düz xətt, üç pilləkən1 xana = 1 vahid

Sağa 6 − (−2) = 8, yuxarı 6 − 2 = 4. Nisbət 4 : 8 = ½.

Sağa 8 − (−2) = 10, yuxarı 7 − 2 = 5. Nisbət 5 : 10 = ½.

Sağa 8 − 6 = 2, yuxarı 7 − 6 = 1. Nisbət 1 : 2 = ½.

Pilləkənlər düzbucaqlı üçbucaqlardır və bucaqları eynidir: oxşardırlar. Ona görə nisbət dəyişmir. Bu sabit ədəd düz xəttin bucaq əmsalıdır və k ilə işarə olunur.

2 · Qayda

Tənliyi oxşar üçbucaqlardan çıxarırıq

Tutaq ki, A(x₁; y₁) və B(x₂; y₂) nöqtələri oxlara paralel olmayan düz xətt üzərindədir. Düz xətt üzərində ixtiyari N(x; y) nöqtəsi götürək: x və y düz xəttin istənilən nöqtəsinin koordinatlarıdır. A-dan absis oxuna paralel düz xətt çəkək; C nöqtəsi B-nin, D nöqtəsi N-in altındadır.

  1. ΔABC və ΔAND-də C və D bucaqları düzdür, A bucağı ortaqdır. İki bucağa görə ΔABC ~ ΔAND.
  2. Oxşar üçbucaqlarda uyğun tərəflər mütənasibdir: ND : AD = BC : AC.
  3. Fiqurdan: AC = x₂ − x₁, BC = y₂ − y₁, AD = x − x₁, ND = y − y₁.
  4. Yerinə yazırıq və iki nöqtədən keçən düz xəttin tənliyini alırıq (aşağıdakı qutu).
İki nöqtə düsturunun çıxarılışıDüz xətt üzərində A(x₁; y₁), B(x₂; y₂) və ixtiyari N(x; y) nöqtələri. A-dan absis oxuna paralel düz xətt üzərində C (B-nin altında) və D (N-in altında). ΔABC (narıncı) və ΔAND (mavi) düzbucaqlıdır və A bucağı ortaqdır. AC = x₂ − x₁, BC = y₂ − y₁, AD = x − x₁, ND = y − y₁; oxşarlıqdan ND : AD = BC : AC.xyx₁x₂xy₁y₂yOABNCDx₂ − x₁y₂ − y₁y − y₁x − x₁ND : AD = BC : AC
Lövhə 2ΔABC ~ ΔANDdərslik fiquru kimi

Yadda saxla

A(x₁; y₁) və B(x₂; y₂) nöqtələrindən keçən düz xəttin tənliyi:

y − y₁x − x₁ / = y₂ − y₁x₂ − x₁ /

Sağdakı ədəd düz xəttin bucaq əmsalıdır:

k = y₂ − y₁x₂ − x₁ /

Tənliyi y − y₁ = k(x − x₁) şəklinə gətirib b = y₁ − kx₁ işarə etsək, y = kx + b alınır.

7-ci sinifdə xətti funksiyanı y = ax + b yazırdıq: a bucaq əmsalı, b sərbəst əmsal idi. İndi bucaq əmsalını k ilə işarə edirik. b düz xəttin ordinat oxunu kəsdiyi nöqtənin ordinatıdır: x = 0 olanda y = b, nöqtə (0; b).

N-i A-dan solda və ya A ilə B arasında götürsək də, fərqlərin işarələri birlikdə dəyişir və eyni bərabərlik alınır. Hesablamada çox vaxt y − y₁ = k(x − x₁) formasını işlədirik: orada sıfıra bölmə yoxdur və o, A nöqtəsinin özü üçün də doğrudur.

k > 0: düz xətt qalxır

k > 0

Düz xətt soldan sağa qalxır: x artanda y da artır.

k < 0: düz xətt enir

k < 0

Düz xətt enir: x artanda y azalır.

k = 0: düz xətt absis oxuna paraleldir

k = 0

Düz xətt absis oxuna paraleldir: y = b.

Qalxan düz xəttin absis oxu ilə α bucağı: tg α = şaquli pillə : üfüqi pilləα

k = tg α

Qalxan düz xətt absis oxunun müsbət istiqaməti ilə kəskin α bucağı əmələ gətirir. Pilləkən üçbucağında tg α = şaquli pillə : üfüqi pillə = k (oxlarda vahidlər eyni olanda). «Bucaq əmsalı» adı buradandır.

3 · Xüsusi hallar

Oxlara paralel düz xətlər

Çıxarılışda A və B-nin oxlara paralel düz xətt üzərində olmadığını fərz etdik. Bəs olsalar?

Oxlara paralel düz xətlərP(−4; 4) və Q(4; 4) nöqtələrindən keçən üfüqi düz xətt y = 4 (mavi). R(−3; −2) və S(−3; 5) nöqtələrindən keçən şaquli düz xətt x = −3 (narıncı).xy−6−4−224−226OP(−4; 4)Q(4; 4)R(−3; −2)S(−3; 5)y = 4x = −3
Lövhə 3y = n və x = m1 xana = 1 vahid

P(−4; 4) və Q(4; 4): ordinatlar eynidir. Düz xəttin hər nöqtəsinin ordinatı 4-dür, tənliyi y = 4. Bucaq əmsalı k = 4 − 44 − (−4) / = 0: bu, y = kx + b-nin k = 0 halıdır.

Absis oxuna paralel düz xəttin tənliyi: y = n.

R(−3; −2) və S(−3; 5): absislər eynidir. Hər nöqtənin absisi −3-dür, tənliyi x = −3. Burada x₂ − x₁ = 0, sıfıra bölmək olmaz: bu düz xəttin bucaq əmsalı yoxdur və onu y = kx + b şəklində yazmaq olmur.

Ordinat oxuna paralel düz xəttin tənliyi: x = m.

4 · Qayda

Paralel və perpendikulyar düz xətlər

Yadda saxla

  1. Bucaq əmsalları bərabər olan düz xətlər paraleldir: k₁ = k₂.
  2. Bucaq əmsalları k₁ = −1k₂ / münasibətini ödəyən düz xətlər perpendikulyardır (başqa sözlə, k₁ · k₂ = −1).

Niyə belədir? Pilləkəni 90° döndərək: 1 sağa, 2 yuxarı olan pilləkən dönəndən sonra 2 sağa, 1 aşağı olur. Pillələr yer dəyişir və biri işarəsini dəyişir: k = 2 : 1 = 2 əvəzinə k = −1 : 2 = −½ alınır, 2 · (−½) = −1. Lövhədə bunu aşağıdakı nümunənin l və q düz xətlərində görürsən. Dərslik bu şərti qayda kimi verir; pilləkən onu yadda saxlamağa kömək edir.

Paralel və perpendikulyar düz xətlərl düz xətti U(−3; −2) və V(1; 6) nöqtələrindən keçir: y = 2x + 4, pilləkəni 1 sağa, 2 yuxarı. W(8; 5) nöqtəsindən keçən p (yaşıl) l-ə paraleldir: y = 2x − 11. q isə l-ə perpendikulyardır: y = −½x + 9, pilləkəni 2 sağa, 1 aşağı — l-in pilləkəni 90° döndərilib. l ilə q (2; 8) nöqtəsində düz bucaq altında kəsişir.xy−424668O1221UVWlpq
Lövhə 4l, p ∥ l, q ⊥ l1 xana = 1 vahid
NümunəParalel və perpendikulyar qur

l düz xətti U(−3; −2) və V(1; 6) nöqtələrindən keçir. W(8; 5) nöqtəsindən keçən və l-ə paralel p, l-ə perpendikulyar q düz xətlərinin tənliklərini yazın (Lövhə 4).

  1. k = 6 − (−2)1 − (−3) / = 84 / = 2; b = −2 − 2 · (−3) = 4. l: y = 2x + 4.
  2. p ∥ l, deməli k = 2: y − 5 = 2(x − 8), y − 5 = 2x − 16, y = 2x − 11.
  3. q ⊥ l, deməli k = −12 / = −½: y − 5 = −½(x − 8), y − 5 = −½x + 4, y = −½x + 9.

    p: y = 2x − 11; q: y = −½x + 9

5 · Hesabla

İki nöqtədən tənliyə

Hər nümunədə eyni ardıcıllıq: k-nı tap, bir nöqtə ilə tənliyi yaz, sonra o biri nöqtə ilə yoxla.

Nümunə 1Bucaq əmsalı, tənlik, oxlar

C(−3; 5) və D(3; 1) nöqtələrindən keçən düz xəttin bucaq əmsalını, tənliyini və oxlarla kəsişmə nöqtələrini tapın.

C və D-dən keçən düz xəttC(−3; 5) və D(3; 1) nöqtələrindən keçən enən düz xətt y = −⅔x + 3. C-dən D-yə: 4 aşağı (narıncı), 6 sağa (mavi). Oxlarla kəsişmə nöqtələri (0; 3) və (4,5; 0) yaşıl.xy−4−26O46CD(0; 3)(4,5; 0)
Lövhə 5Enən düz xətt1 xana = 1 vahid
  1. k = 1 − 53 − (−3) / = −46 / = −⅔. k mənfidir: düz xətt enir (C-dən D-yə 4 aşağı, 6 sağa).
  2. C ilə yazırıq: y − 5 = −⅔(x + 3), y − 5 = −⅔x − 2, y = −⅔x + 3.
  3. D ilə yoxlayırıq: −⅔ · 3 + 3 = −2 + 3 = 1 ✓.
  4. Ordinat oxu (x = 0): y = 3, nöqtə (0; 3). Absis oxu (y = 0): ⅔x = 3, x = 4,5, nöqtə (4,5; 0).

    y = −⅔x + 3; (0; 3) və (4,5; 0)

Nümunə 2Düsturla birbaşa

P(−3; −8) və Q(3; 10) nöqtələrindən keçən düz xəttin tənliyini iki nöqtə düsturu ilə yazın.

  1. x₁ = −3, y₁ = −8, x₂ = 3, y₂ = 10. Mənfi ədədləri mötərizədə yazırıq.
  2. y − (−8)x − (−3) / = 10 − (−8)3 − (−3) /
    yəni y + 8x + 3 / = 186 / = 3.
  3. y + 8 = 3(x + 3), y + 8 = 3x + 9, y = 3x + 1.
  4. Yoxlama: P: 3 · (−3) + 1 = −8 ✓; Q: 3 · 3 + 1 = 10 ✓.

    y = 3x + 1

Nümunə 3Nöqtə düz xətt üzərindədirmi?

E(−2; −5) və F(4; 4) nöqtələrindən keçən düz xətt üzərində T(m; 10) nöqtəsi var. m-i tapın. R(−4; −7) nöqtəsi bu düz xətt üzərindədirmi?

  1. k = 4 − (−5)4 − (−2) / = 96 / = 1,5; b = y₁ − kx₁ = −5 − 1,5 · (−2) = −2. Tənlik: y = 1,5x − 2.
  2. T düz xətt üzərindədirsə, koordinatları tənliyi ödəyir: 10 = 1,5m − 2, 1,5m = 12, m = 8.
  3. R üçün x = −4 yazırıq: 1,5 · (−4) − 2 = −8. R-in ordinatı −7-dir, −8 deyil: R bu düz xətt üzərində deyil.

    m = 8; R düz xətt üzərində deyil

Nümunə 4Düz bucağı bucaq əmsalları göstərir

A(−3; 1), B(1; 3), C(3; −1) təpəli üçbucağın düzbucaqlı olduğunu isbat edin.

Bucaq əmsalları ilə düz bucaqA(−3; 1), B(1; 3), C(3; −1) üçbucağı. AB-nin bucaq əmsalı ½, BC-nin −2, AC-nin −⅓. ½ · (−2) = −1, ona görə B-də düz bucaq işarəsi var.xyABCk = ½k = −2k = −⅓
Lövhə 6Üç tərəfin bucaq əmsalı1 xana = 1 vahid
  1. k(AB) = 3 − 11 − (−3) / = 24 / = ½.
  2. k(BC) = −1 − 33 − 1 / = −42 / = −2.
  3. ½ · (−2) = −1, yəni k(AB) = −1 : k(BC): AB ⊥ BC.
  4. k(AC) = −1 − 13 − (−3) / = −⅓: AC heç bir tərəfə perpendikulyar deyil, düz bucaq yalnız B-dədir.

    ∠B = 90°, üçbucaq düzbucaqlıdır

6 · Diqqət

Üç tez-tez edilən səhv

Fərqləri eyni sırada götür

Səhv

k = 6 − 2−2 − 6 / = −½

A(−2; 2), B(6; 6): surətdə B-dən A, məxrəcdə A-dan B çıxılıb — işarə tərsinə döndü.

Düzgün

k = 6 − 26 − (−2) / = ½

Hər iki fərq B-dən A çıxılaraq alınıb. Kəsri çevirmək də olmaz: x-lərin fərqi məxrəcdədir.

b-ni tapanda işarə

Səhv

b = −5 + 1,5 · (−2) = −8

E(−2; −5), k = 1,5: kx₁ toplanıb.

Düzgün

b = −5 − 1,5 · (−2) = −2

y₁ = kx₁ + b bərabərliyindən b = y₁ − kx₁.

Absislər eynidirsə — x = m

Səhv

y = −3

R(−3; −2) və S(−3; 5) üçün: bu, absis oxuna paralel düz xəttdir, R və S onun üstündə deyil.

Düzgün

x = −3

Hər iki nöqtənin absisi −3-dür; düz xətt ordinat oxuna paraleldir.

7 · Həyatda

Şam nə vaxt qurtaracaq?

Şam bərabər sürətlə yanır, yəni hündürlüyü zamandan xətti asılıdır. Yandırılandan 2 saat sonra hündürlüyü 20 sm, 5 saat sonra 12,5 sm idi. Şam yandırılanda nə qədər hündür idi və neçə saata tam yanıb qurtaracaq?

  1. Nöqtələr (t; h): (2; 20) və (5; 12,5). k = 12,5 − 205 − 2 / = −7,53 / = −2,5: hər saat şam 2,5 sm qısalır.
  2. h − 20 = −2,5(t − 2), h − 20 = −2,5t + 5, h = −2,5t + 25.
  3. t = 0: h = 25 sm — başlanğıc hündürlük (b). h = 0: 2,5t = 25, t = 10 saat.

    25 sm; 10 saat

Şamın hündürlüyü zamandan asılı olaraqÜfüqi ox t (saat), şaquli ox h (sm). Düz xətt (2; 20) və (5; 12,5) nöqtələrindən keçir: 3 saatda 7,5 sm azalır. Ordinat oxunu 25 sm-də, absis oxunu 10 saatda kəsir.th246810510152025037,5(2; 20)(5; 12,5)h = −2,5t + 25
Lövhə 7h (sm) və t (saat)model: 0 ≤ t ≤ 10

k burada sürətdir (sm/saat), b isə başlanğıc qiymətdir. Model yalnız şam yanarkən, 0 ≤ t ≤ 10 üçün mənalıdır.

8 · Özünü yoxla

Bacarığını sına

Cavabı seç — düzgün olanda yaşıl, səhv olanda qırmızı işıqlanacaq. Həllinə də baxa bilərsən.

  1. Asan

    (−5; −5) və (4; 7) nöqtələrindən keçən düz xəttin bucaq əmsalı neçədir?

    Sual 1 variantları

    Düzdür! (7 − (−5)) : (4 − (−5)) = 12 : 9 = 4/3.

    Surətdə y-lərin, məxrəcdə x-lərin fərqi; hər ikisini eyni nöqtədən başla.

    Həllə bax

    k = (7 − (−5)) : (4 − (−5)) = 12 : 9 = 4/3. 3/4 kəsri çevirəndə, −4/3 fərqləri müxtəlif sırada götürəndə alınır.

  2. Asan

    (−5; 7) və (4; 7) nöqtələrindən keçən düz xəttin tənliyi hansıdır?

    Sual 2 variantları

    Düzdür! Ordinatlar eynidir, düz xətt absis oxuna paraleldir.

    Hansı koordinat dəyişmir: absis, yoxsa ordinat?

    Həllə bax

    Hər iki nöqtənin ordinatı 7-dir, absislər fərqlidir. Düz xəttin bütün nöqtələrinin ordinatı 7-dir: y = 7.

  3. Orta

    (−3; −7) və (2; 13) nöqtələrindən keçən düz xəttin tənliyi hansıdır?

    Sual 3 variantları

    Düzdür! k = 4, b = 5.

    k-nı yoxla, sonra b = y₁ − kx₁ düsturunu işarəsi ilə tətbiq et.

    Həllə bax

    k = (13 − (−7)) : (2 − (−3)) = 20 : 5 = 4; b = −7 − 4 · (−3) = 5: y = 4x + 5. Yoxlama: 4 · 2 + 5 = 13 ✓.

  4. Orta

    Düz xətt (−2; −11) və (2; 9) nöqtələrindən keçir. A(m; −6) nöqtəsi bu düz xətt üzərindədir. m neçədir?

    Sual 4 variantları

    Düzdür! 5 · (−1) − 1 = −6.

    Əvvəl tənliyi tap, sonra −6-nı y-in yerinə yaz və tənliyi həll et.

    Həllə bax

    k = 20 : 4 = 5, b = 9 − 5 · 2 = −1: y = 5x − 1. −6 = 5m − 1, 5m = −5, m = −1. −31 alınır, əgər −6 x-in yerinə yazılsa; −1,4 isə −1-i o biri tərəfə keçirəndə işarəsi dəyişdirilməyəndə alınır.

  5. Çətin

    (1; −3) və (4; 4) nöqtələrindən keçən düz xətt verilib. Koordinat başlanğıcından keçən və bu düz xəttə perpendikulyar olan düz xəttin tənliyi hansıdır?

    Sual 5 variantları

    Düzdür! k₁ = 7/3, perpendikulyarın k-sı −3/7.

    Perpendikulyar üçün k-nı həm çevir, həm də işarəsini dəyiş.

    Həllə bax

    Verilən düz xətt: k = (4 − (−3)) : (4 − 1) = 7/3. Perpendikulyar: k = −1 : (7/3) = −3/7. Koordinat başlanğıcından keçir, b = 0: y = −(3/7)x. y = (7/3)x paraleldir.

  6. Çətin

    Taksi gedişinin qiyməti məsafədən xətti asılıdır: 3 km — 4,2 manat, 8 km — 7,2 manat. 12 km-lik gediş neçə manat olar?

    Sual 6 variantları

    Düzdür! Hər km 0,6 manat, üstəgəl 2,4 manat.

    Qiymət məsafəyə düz mütənasib deyil: əvvəl k və b-ni tap.

    Həllə bax

    k = (7,2 − 4,2) : (8 − 3) = 0,6, b = 4,2 − 0,6 · 3 = 2,4. 0,6 · 12 + 2,4 = 9,6 manat. 10,8 b-ni unudanda (7,2 : 8 · 12), 2,4 isə yalnız başlanğıc qiymətdir.

9 · Yekun

Üç nəticə

  • Bucaq əmsalı — pilləkənin dikliyik = (y₂ − y₁) : (x₂ − x₁); fərqləri eyni nöqtədən başla.
  • Tənlik: bir nöqtə və ky − y₁ = k(x − x₁), sonra y = kx + b. Nöqtəni yoxlamaq üçün x-i yerinə yaz və y-i müqayisə et.
  • k düz xətləri müqayisə edirk₁ = k₂ — paralel, k₁ · k₂ = −1 — perpendikulyar; y = n-də k = 0, x = m-in k-sı yoxdur.

Növbəti mövzu: 3.57 Fiqurların çevrilməsi. Dönmə.