• 3.11
  • 8-ci sinif
  • Kvadrat tənliklər

Tam kvadrat ayırmaqla kvadrat tənliklərin həlli

Tərəzinin sol gözündə x² + 9x, sağ gözündə 136 var və tərəzi tarazdır. Sol gözdəki fiqurun bir küncü boşdur. Həmin küncə 81/4 qoysan, sağ gözə də eyni yükü qoymalısan — onda tərəzi yenə taraz qalar, sol göz isə tam kvadrat olar.

Bu dərsdə

  • sahə modeli ilə x² + bx ifadəsini tam kvadrata tamamlamağı öyrənəcəksən;
  • kvadrat tənliyi (x + p)² = q şəklinə gətirib iki kökünü tapacaqsan, birinci əmsal 1 olmayanda əvvəlcə böləcəksən;
  • hazır kvadratlı məsələni — iki bərabər faizli ucuzlaşmanı — həll edəcəksən və tipik səhvləri tanıyacaqsan.
Taraz tərəzi: x² + 9x = 136, hər iki gözə 81/4 əlavə olunur Tərəzinin sol gözündə sahə modeli var: mavi x² kvadratı və eni 9/2 olan iki narıncı zolaq, sağ aşağı küncü boşdur. Sağ gözdə 136 yazılmış yük var. Sol küncə yaşıl 81/4 kvadratı qoyulur, sağ gözə də eyni 81/4 yükü qoyulur; tərəzi taraz qalır. Sol göz tərəfi x + 9/2 olan tam kvadrat olur. Yuxarıda: (x + 9/2)² = 625/4. x² + 9x = 136 = x² 9/2 · x 9/2 · x 136 81/4 81/4 (x + 9/2)² = 625/4
  1. Kəşf et
  2. Qayda
  3. Üsul
  4. Hesabla
  5. Tarixdən
  6. Diqqət
  7. Həyatda
  8. Özünü yoxla
  9. Yekun

1 · Kəşf et

Zolağı ikiyə böl

Kvadrat tənlikdə x iki yerdə görünür: x²-da və 9x-də. Onları bir yerə yığmaq üçün ifadəni sahə kimi təsəvvür edək. x² — tərəfi x olan kvadratdır, 9x isə ölçüləri x və 9 olan düzbucaqlı zolaq.

Zolağı uzununa iki bərabər hissəyə bölək: hər hissənin eni 92 / olar. Bir hissə kvadratın sağında qalsın, o birini kvadratın altına köçürək. İndi fiqur demək olar ki, kvadratdır — yalnız sağ aşağı küncü çatmır.

x² + 9x sahə modelini kvadrata tamamlamaq Mavi x² kvadratının sağında eni 9 olan narıncı zolaq var. Zolaq eni 9/2 olan iki hissəyə bölünür; xarici hissə kvadratın altına köçürülür. Sağ aşağıda tərəfləri 9/2 olan boş künc qalır, onun sahəsi 81/4-dür. Künc doldurulanda fiqur tərəfi x + 9/2 olan kvadrat olur. Şəkil x = 8 üçün miqyasla çəkilib. x² 9/2 · x x 9/2 x 9/2 9/2 · x 9/2 81/4 x + 9/2
Çatmayan künc tərəfləri 9/2 olan kvadratdır: sahəsi (9/2)² = 81/4. Şəkil x = 8 üçün miqyasla çəkilib.

Küncü doldursaq, tərəfi x + 9/2 olan tam kvadrat alınır. Deməli,

x² + 9x + 81/4 = (x + 9/2)²

İndi tərəzini xatırla: sol gözə 81/4 qoymuşuqsa, bərabərlik pozulmasın deyə sağ gözə də 81/4 qoyuruq: 136 + 81/4 = 544/4 + 81/4 = 625/4. Tənlik belə olur:

(x + 9/2)² = 625/4

625 = 25², ona görə kvadratı 625/4 olan iki ədəd var: 25/2 və −25/2. Deməli, x + 9/2 = 25/2 və ya x + 9/2 = −25/2, yəni x = 8 və ya x = −17. Yoxlayaq (x² + 9x = x(x + 9)): 8 · 17 = 136 ✓; (−17) · (−8) = 136 ✓.

2 · Qayda

Hansı ədəd küncü doldurur?

Eyni işi istənilən x² + bx üçün görək: zolağın eni b-dir, onu iki hissəyə bölürük — hər hissənin eni b/2 olur, çatmayan künc isə tərəfi b/2 olan kvadratdır.

Yadda saxla

Tam kvadrat ayırma üsulu. x² + bx ikihədlisinə (b/2)² əlavə etsək, o, ikihədlinin kvadratı olur:

x² + bx + (b2 / )² = (x + b2 / )²

Bunu (a + b)² düsturu ilə də yoxlamaq olar:

(x + b/2)² = x² + 2 · (b/2) · x + (b/2)²    = x² + bx + (b/2)²

x² + bx + (b/2)² kvadratının hissələri Tərəfi x + b/2 olan kvadrat dörd hissəyə bölünüb: mavi x², iki narıncı zolaq, hər biri b/2 · x, və yaşıl künc (b/2)². Sxemdir, miqyasla deyil. x² b/2·x b/2 · x (b/2)² x b/2 x b/2
Sxem: hər zolaq b/2 · x, iki zolaq birlikdə bx. Künc — (b/2)².

b mənfidirsə

x² − 8x + 16 = (x − 4)²

Əlavə olunan ədəd yenə müsbətdir: (−8/2)² = 16. İşarə yalnız mötərizənin içində qalır.

b tək ədəddirsə

x² + 9x + 81/4 = (x + 9/2)²

Qorxma: b/2 kəsr olur, (b/2)² də kəsrdir. Hesablar adi kəsrlərlə aparılır.

3 · Üsul

Tənliyi addım-addım həll et

Tam kvadrat ayırma tənliyi elə şəklə salır ki, sol tərəfdə bir kvadrat, sağ tərəfdə bir ədəd qalsın. Sonra kvadrat kökü 3.9-dakı kimi tapılır: kvadratı q olan iki ədəd var, √q və −√q.

  1. Birinci əmsal 1 deyilsə, tənliyin hər həddini ona böl.
  2. Sərbəst həddi sağ tərəfə keçir (işarəsini dəyiş): x² + bx = c.
  3. Hər iki tərəfə (b/2)² əlavə et.
  4. Sol tərəfi kvadrat kimi yaz: (x + p)² = q, burada p = b/2.
  5. Kökü al, ± işarəsini unutma: x + p = √q və ya x + p = −√q.
  6. Hər iki bərabərlikdən p-ni çıx — iki kök alınır. Yerinə yazıb yoxla.

4 · Hesabla

Üç nümunə, üç hal

Nümunə 1b mənfidir

x² − 8x + 7 = 0 tənliyini tam kvadrat ayırmaqla həll edin.

  1. Sərbəst həddi sağa keçiririk: x² − 8x = −7. Sağ tərəfin mənfi olması problem deyil.
  2. b = −8, b/2 = −4, (b/2)² = 16. Hər iki tərəfə 16 əlavə edirik: x² − 8x + 16 = −7 + 16.
  3. Sol tərəf kvadratdır: (x − 4)² = 9.
  4. Kvadratı 9 olan ədədlər 3 və −3-dür: x − 4 = 3 və ya x − 4 = −3.
  5. x = 7 və ya x = 1. Yoxlama (x² − 8x = x(x − 8)): 7 · (−1) = −7 ✓, 1 · (−7) = −7 ✓.

    x₁ = 7, x₂ = 1

Nümunə 2b tək ədəddir

x² − x − 56 = 0 tənliyini həll edin.

  1. x² − x = 56. Burada b = −1, b/2 = −1/2, (b/2)² = 1/4.
  2. Hər iki tərəfə 1/4 əlavə edirik: x² − x + 1/4 = 56 + 1/4.
  3. 56-nı məxrəci 4 olan kəsr kimi yazırıq: 56 = 224/4, deməli (x − 1/2)² = 225/4.
  4. 225 = 15², ona görə x − 1/2 = 15/2 və ya x − 1/2 = −15/2.
  5. x = 1/2 + 15/2 = 8 və ya x = 1/2 − 15/2 = −7. Yoxlama (x² − x = x(x − 1)): 8 · 7 = 56 ✓, (−7) · (−8) = 56 ✓.

    x₁ = 8, x₂ = −7

Nümunə 3Birinci əmsal 1 deyil

2x² − 4x − 96 = 0 tənliyini həll edin.

  1. Model kvadrat olsun deyə x²-nın əmsalı 1 olmalıdır. Hər həddi 2-yə bölürük: x² − 2x − 48 = 0.
  2. x² − 2x = 48; b/2 = −1, (b/2)² = 1: x² − 2x + 1 = 49.
  3. (x − 1)² = 49, buradan x − 1 = 7 və ya x − 1 = −7.
  4. x = 8 və ya x = −6. Yoxlama (x² − 2x = x(x − 2) = 48): 8 · 6 = 48 ✓, (−6) · (−8) = 48 ✓.

    x₁ = 8, x₂ = −6

5 · Tarixdən

Əl-Xarəzminin kvadratı

Dərslikdə deyildiyi kimi, tənlikləri tam kvadrat ayırmaqla həll etmə üsulunu ilk dəfə Məhəmməd əl-Xarəzmi vermişdir. O, IX əsrdə Bağdadda yaşamış, tənlikləri hərflə yox, sözlə yazmışdır; kitabının adındakı «əl-cəbr» sözündən «cəbr» (alqebra) adı yaranıb.

Əl-Xarəzmi həlli həndəsi olaraq da göstərmişdir — kvadrata zolaqlar və künc əlavə edərək, bizim Kəşf et şəklimiz kimi. Bir fərq var: o, mənfi kökü nəzərə almırdı. Tərəzimizdəki x² + 9x = 136 tənliyi üçün o, yalnız 8 yazardı, −17-ni yox. Bu gün biz hər iki kökü yazırıq; birini atmaq yalnız məsələnin şərti (məsələn, uzunluq və ya qiymət mənfi ola bilməz) tələb edəndə lazımdır.

6 · Diqqət

Beş tipik səhv

1. Əlavə olunan ədəd

Səhv

x² − 2x − 2  və ya  x² − 2x + 4

b-ni və ya b²-ni əlavə etmək kvadrat vermir.

Düzgün

x² − 2x + 1 = (x − 1)²

Əvvəl b-ni ikiyə böl, sonra kvadrata yüksəlt: (−2/2)² = 1.

2. Bir tərəfə əlavə etmək

Səhv

(x − 1/2)² = 56

1/4 yalnız sola əlavə olunub — tərəzi əyildi.

Düzgün

(x − 1/2)² = 56 + 1/4

Eyni ədəd hər iki tərəfə əlavə olunur.

3. İtən kök

Səhv

(x − 4)² = 9 ⇒ x − 4 = 3, x = 7

Mənfi kök unudulub.

Düzgün

x − 4 = ±3 ⇒ x = 7; x = 1

Kvadratı 9 olan iki ədəd var.

4. Mötərizədəki işarə

Səhv

x² − 8x + 16 = (x + 4)²

(x + 4)² açılanda +8x verir.

Düzgün

x² − 8x + 16 = (x − 4)²

Mötərizədəki işarə b-nin işarəsidir.

5. Yarımçıq bölmə

Səhv

2x² − 4x − 96 = 0 ⇒ x² − 2x − 96 = 0

Sərbəst hədd 2-yə bölünməyib.

Düzgün

x² − 2x − 48 = 0

Bölmə tənliyin hər həddinə aiddir.

7 · Həyatda

İki bərabər ucuzlaşma

Telefonun qiyməti 625 manat idi. Mağaza onu iki dəfə, hər dəfə eyni faizlə ucuzlaşdırdı və qiymət 529 manat oldu. Hər ucuzlaşma neçə faiz olub?

İki ucuzlaşma kvadratın sahəsi kimi Tərəfi 1 olan böyük kvadrat ilkin qiyməti, onun içində tərəfi 0,92 olan yaşıl kvadrat qalan hissəni göstərir: 0,92 · 0,92 = 529/625. Kənardakı qırmızı L şəkilli zolaq ucuzlaşmalarla itən hissədir. Miqyasla çəkilib. 1 (625 manat) 0,92 · 0,92 = 529/625 0,92
Hər ucuzlaşma qiyməti 0,92-yə vurur; iki dəfə — kvadratın sahəsi. Qırmızı zolaq — itən hissə.

Hər dəfə qiymət r% azalırsa, o, (1 − r/100)-ə vurulur. İki dəfədən sonra — hazır kvadrat:

625 · (1 − r/100)² = 529 (1 − r/100)² = 529/625 1 − r/100 = 23/25 = 0,92 r/100 = 0,08  ⇒  r = 8

Kökü alanda −23/25 də alınır, amma 1 − r/100 qiymətin qalan hissəsidir və mənfi ola bilməz — onu atırıq. Yoxlama: 625 · 0,92 = 575, 575 · 0,92 = 529 ✓. Cavab: hər dəfə 8%.

Diqqət: ümumi ucuzlaşma 96 manat, yəni 15,36%-dir; onu yarıya bölüb 7,68% demək səhvdir — faizlər toplanmır, vurulur. Artım üçün eyni düstur A = P(1 + r/100)² şəklindədir (mürəkkəb faiz artımı).

8 · Özünü yoxla

Bacarığını sına

Cavabı seç — düzgün olanda yaşıl, səhv olanda qırmızı işıqlanacaq. Həllinə də baxa bilərsən.

  1. Asan

    x² − 21x + c ifadəsi ikihədlinin kvadratı olsun. c neçədir?

    Cavab variantları

    Düzdür! (−21/2)² = 441/4.

    Yox. Əvvəl b-ni ikiyə böl, sonra kvadrata yüksəlt; kvadrat mənfi olmur.

    Həllə bax

    b = −21, b/2 = −21/2, (b/2)² = 441/4. Onda x² − 21x + 441/4 = (x − 21/2)².

  2. Asan

    (x + 5)² = 4 tənliyinin kökləri hansılardır?

    Cavab variantları

    Əla! x + 5 = ±2.

    Yox. Əvvəl kökü al (x + 5 = 2 və ya −2), sonra hər ikisindən 5 çıx.

    Həllə bax

    Kvadratı 4 olan ədədlər 2 və −2-dir: x + 5 = 2 ⇒ x = −3; x + 5 = −2 ⇒ x = −7.

  3. Orta

    x² − 19x − 42 = 0 tənliyində tam kvadrat ayıranda hansı tənlik alınır?

    Cavab variantları

    Düzdür! 42 + 361/4 = 529/4, işarə b-nin işarəsidir.

    Yox. (b/2)² hər iki tərəfə əlavə olunur, mötərizədə isə b/2 və b-nin işarəsi qalır.

    Həllə bax

    x² − 19x = 42; (19/2)² = 361/4 əlavə edirik: (x − 19/2)² = 168/4 + 361/4 = 529/4. (Buradan x = 21 və ya x = −2.)

  4. Orta

    2x² − 2x − 84 = 0 tənliyinin köklərini tapın.

    Cavab variantları

    Əla! Əvvəl 2-yə böldün, sonra küncü tamamladın.

    Yox. x − 1/2 = ±13/2-dən sonra hər iki halda 1/2 əlavə et, iki kökü də yaz.

    Həllə bax

    Hər həddi 2-yə bölürük: x² − x − 42 = 0. x² − x + 1/4 = 42 + 1/4, (x − 1/2)² = 169/4, x − 1/2 = ±13/2, x = 7 və ya x = −6.

  5. Çətin

    Saytın aylıq ziyarətçi sayı iki ayda 500-dən 1280-ə çatdı və hər ay eyni faizlə artdı. Aylıq artım neçə faizdir?

    Cavab variantları

    Düzdür! 1 + r/100 = 1,6.

    Yox. Ümumi artımı yarıya bölmə: (1 + r/100)² = 1280/500, kökü al və 1-i çıx.

    Həllə bax

    500(1 + r/100)² = 1280 ⇒ (1 + r/100)² = 2,56 ⇒ 1 + r/100 = 1,6 (mənfi kök mənasızdır) ⇒ r = 60. Yoxlama: 500 · 1,6 = 800, 800 · 1,6 = 1280.

  6. Çətin

    x² + bx (b > 0) modeli kvadrata tamamlananda künc kvadratın sahəsi 289/4 oldu. İfadədəki xətti hədd hansıdır?

    Cavab variantları

    Əla! b/2 = 17/2, iki zolaq birlikdə 17x.

    Yox. Künc kvadratın tərəfi b/2-dir; zolaq isə iki dənədir, hər biri b/2 · x.

    Həllə bax

    (b/2)² = 289/4 ⇒ b/2 = 17/2 (b > 0). Hər zolaq 17/2 · x, iki zolaq 17x. Deməli, ifadə x² + 17x-dir.

Yekun

Yadda qalanlar

  • x² + bx + (b/2)² = (x + b/2)²Çatmayan künc tərəfi b/2 olan kvadratdır.
  • Hər iki tərəfəEyni ədəd əlavə et, birinci əmsal 1 deyilsə, əvvəlcə hər həddi böl.
  • x + p = ±√qİki kök yaz; birini yalnız məsələnin şərti atırsa at.

Növbəti mövzu: 3.12 Kvadrat tənliyin qrafik üsulla həlli