• 3.1
  • 8-ci sinif
  • Kvadrat kök

Kvadrat köklər. Hesabi kvadrat kök

Kalkulyatorda 1444 yazıb √ düyməsini bas — ekranda 38 görünəcək. Amma (−38)2 də 1444-dür. Bəs kalkulyator −38-i niyə göstərmir? Çünki √ işarəsi yalnız mənfi olmayan kökü bildirir.

Bu dərsdə

  • kvadrat kök ilə hesabi kvadrat kökü fərqləndirəcək, ədədin neçə kvadrat kökü olduğunu əsaslandıracaqsan;
  • natural ədədlərin, kəsrlərin, onluq və dövri onluq kəsrlərin hesabi kökünü tapıb yoxlayacaqsan;
  • (√a)2 = a və √(a2) = a bərabərliklərini işlədəcək, sadə köklü tənlikləri həll edəcəksən.
Kalkulyatorda √1444 = 38; həm 38, həm də −38 ədədinin kvadratı 1444-dür Solda kalkulyator: ekranda √1444, nəticə 38; √ düyməsi yaşıl. Sağda yuxarıda 1444 qutusu, aşağıda iki kart: −38 (mavi) və 38 (yaşıl). Hər kartdan 1444-ə ox gedir: (−38)² = 1444 və 38² = 1444. Altda: iki kvadrat kök; yaşıl çərçivə 38 kartını seçir: √1444 = 38. √1444 √ −38 38 (−38)²38² 1444 38 iki kvadrat kök √1444 = 38
  1. Kəşf et
  2. Kvadrat kök
  3. Hesabi kök
  4. Hesabla
  5. Kök və kvadrat
  6. Diqqət
  7. Həyatda
  8. Özünü yoxla

1 · Kəşf et

Kvadratdan geriyə

Kvadratın tərəfi verilsə, sahəsini kvadrata yüksəltmə ilə taparıq. Dərslik əks sualı verir: «Bəs, verilmiş sahəsinə görə kvadratın tərəfini hansı əməli yerinə yetirməklə tapmaq olar?»

Sualı ədədlərlə soruşaq: hansı ədədin kvadratı verilmiş ədədə bərabərdir? Əvvəlcə irəli gedək — bir neçə ədədi kvadrata yüksəldək və oxlarla birləşdirək.

Ədədlər və onların kvadratları: 2,9 və −2,9 ədədlərinin kvadratı 8,41-dür, 0-ın kvadratı 0, −8,41 heç bir ədədin kvadratı deyil Sol sütunda 2,9, −2,9 və 0, sağ sütunda 8,41, 0 və −8,41. 2,9-dən və −2,9-dən iki ox eyni 8,41-ə gedir, 0-dan ox 0-a gedir. −8,41 qutusuna heç bir ox gəlmir, yanında sual işarəsi var. ədədkvadratı 2,9 −2,9 0 8,41 0 −8,41 ?
Oxlar ədədi kvadratına aparır: 2,92 = 8,41, (−2,9)2 = 8,41, 02 = 0. −8,41-ə heç bir ox gəlmir.

Şəkildə üç hal görünür. 8,41-ə iki ox gəlir — 2,9-dən və −2,9-dən. 0-a yalnız bir ox gəlir. −8,41-ə isə ox gəlmir: istənilən ədədin kvadratı mənfi deyil. Geriyə yol — kvadratı verilmiş ədədi tapmaq — kvadrat kökalma adlanır. Dərslikdə deyildiyi kimi, «kökalma əməli kvadrata yüksəltmə əməlinin tərsidir».

2 · Qayda

Kvadrat kök: neçə dənə?

Yadda saxla

«Kvadratı a-ya bərabər olan ədədə a ədədinin kvadrat kökü deyilir.»

b2 = a

Belə hər b ədədi a-nın kvadrat köküdür. Neçə belə ədəd var? Bu, a-nın işarəsindən asılıdır:

  • a > 0 — iki kvadrat kök var: biri müsbət, digəri mənfi; onlar əks ədədlərdir.
  • a = 0 — yeganə kvadrat kök 0-dır.
  • a < 0 — kvadrat kök yoxdur, çünki istənilən ədədin kvadratı mənfi deyil.

Laboratoriyada a-nı dəyiş və ədəd oxunda kvadratı a olan nöqtələrə bax.

a ədədini seç
Ədəd oxunda kvadratı a olan ədədlər a = 20,25: iki nöqtə, −4,5 və 4,5; yaşıl 4,5 hesabi kökdür. a = 0: yalnız 0 nöqtəsi. a = −20,25: heç bir nöqtə yoxdur. −6−4−20246 (−4,5)² = 20,25 və 4,5² = 20,25 −4,54,5 √20,25 = 4,5 0² = 0 — yeganə kök √0 = 0 Kvadratı −20,25 olan ədəd yoxdur √(−20,25) — mənasızdır

a = 20,25 > 0: iki kvadrat kök var — 4,5 və −4,5, çünki 4,52 = 20,25 və (−4,5)2 = 20,25.

a = 0: kvadratı 0 olan yeganə ədəd 0-dır, ona görə 0-ın bir kvadrat kökü var.

a = −20,25 < 0: ədəd oxunda kvadratı −20,25 olan nöqtə yoxdur — mənfi ədədin kvadrat kökü yoxdur.

Yaşıl nöqtə mənfi olmayan kökdür. Mənfi a üçün oxda heç bir nöqtə işıqlanmır.

3 · Qayda

Hesabi kvadrat kök və √ işarəsi

Müsbət ədədin iki kvadrat kökü olduğu üçün onlardan birinə ayrıca ad və işarə verilib.

Tərif

«Kvadratı a-ya bərabər, mənfi olmayan ədədə a-nın hesabi kvadrat kökü deyilir, √a kimi yazılır və belə oxunur: “a-nın hesabi kvadrat kökü”.»

kök altında a = b  burada b ≥ 0 və b2 = a

Oxunuşda «hesabi» sözü adətən buraxılır: √1444 «1444-ün kvadrat kökü» kimi oxunur, amma həmişə mənfi olmayan kök nəzərdə tutulur.

√a = b yazılışının hissələri Kök (radikal) işarəsi, onun xətti altındakı a — kökaltı ifadə (narıncı), bərabərliyin sağında b — hesabi kvadrat kök (yaşıl). Altda şərt: b ≥ 0 və b² = a. a = b kökaltı ifadə radikal (kök) işarəsi hesabi kök b ≥ 0, b² = a
√ — radikal (kök) işarəsi. Xəttin altındakı ifadə — kökaltı ifadə. Nəticə b mənfi deyil.

Kvadrat kökün tapılması əməli kvadrat kökalma adlanır. Natural ədədin kvadratına bərabər ədəd tam kvadrat ədəd adlanır: 1444 tam kvadratdır, çünki 1444 = 382.

«Kvadrat kök» və «hesabi kvadrat kök» fərqi
a-nın kvadrat köklərikök altında a — hesabi kök
Neçə ədəd?a > 0 olanda ikibir ədəd
İşarəsibiri müsbət, biri mənfimənfi deyil (≥ 0)
a = 144438 və −38kök altında 1444 = 38
a < 0yoxduryazılış mənasızdır

Sıfırın kökü

kök altında 0 = 0

02 = 0 və 0 mənfi deyil.

Kökaltı ifadə

kök altında a,  a ≥ 0

«Kökaltı ifadə mənfi ola bilməz.» Məsələn, kök altında −2 yazılışının mənası yoxdur.

4 · Hesabla

Hesabi kökü tap və yoxla

Hər cavabı tərifə görə yoxlayırıq: nəticə mənfi deyil və onun kvadratı kökaltı ifadəyə bərabərdir. Dərslikdə olduğu kimi «çünki …» yazırıq.

Nümunə 1Natural ədəd

kök altında 1764 hesablayın.

  1. Sonu 4 olan ədəd yalnız sonu 2 və ya 8 olan ədədin kvadratı ola bilər.
  2. 402 = 1600; bir az böyük olan 42-ni yoxlayırıq: 422 = 42 · 42 = 1764.

    kök altında 1764 = 42, çünki 42 ≥ 0 və 422 = 1764

Nümunə 2Adi kəsr

kök altında 81196 / hesablayın.

  1. Surət və məxrəc tam kvadratdır: 81 = 92, 196 = 142.
  2. Deməli, (914 / )2 = 81196 / və 914 /  ≥ 0.

    kök altında 81196 /  = 914 /

Nümunə 3Onluq kəsr

kök altında 5,29 hesablayın.

  1. Onluq kəsri adi kəsrə çeviririk: 5,29 = 529100 /  = (2310 / )2.
  2. Kökaltında vergüldən sonra 2 rəqəm var, kökdə 1 rəqəm olur. Yoxlama: 2,32 = 5,29.

    kök altında 5,29 = 2,3

Nümunə 4Dövri onluq kəsr

kök altında 21,(7) hesablayın.

  1. Dövri kəsri adi kəsrə çeviririk: 21,(7) = 2179 /  = 1969 / .
  2. 196 = 142, 9 = 32, deməli (143 / )2 = 1969 / .

    kök altında 21,(7) = 143 /  = 423 /

5 · Kök və kvadrat

Kvadrat və kök bir-birini aradan qaldırır

Yadda saxla

«Hesabi kvadrat kökün tərifinə görə alırıq ki, a ≥ 0 olduqda»

(kök altında a)2 = a    və    kök altında a2 = a

Birincisi: √a elə ədəddir ki, kvadratı a-dır. İkincisi: a mənfi deyil və kvadratı a2-dir — deməli, o, a2-nin hesabi köküdür.

Nümunə 5Kökün kvadratı və kvadratın kökü

(kök altında 43)2 + kök altında 342 ifadəsinin qiymətini tapın.

  1. (kök altında 43)2 = 43 — 43 tam kvadrat deyil, amma kvadratı 43 olan mənfi olmayan ədəd məhz √43-dür.
  2. kök altında 342 = 34, çünki 34 ≥ 0. Toplayırıq: 43 + 34 = 77.

    (kök altında 43)2 + kök altında 342 = 77

Nümunə 6Hasilin kvadratı

(−6kök altında 2)2 ifadəsinin qiymətini tapın.

  1. Hasilin kvadratında hər vuruq kvadrata yüksəlir: (−6kök altında 2)2 = (−6)2 · (kök altında 2)2.
  2. (−6)2 = 36, (kök altında 2)2 = 2, deməli 36 · 2 = 72.

    (−6kök altında 2)2 = 72

Nümunə 7Əvvəlcə kökaltı ifadə

kök altında 6,52 − 3,32 hesablayın.

  1. Dərslikdəki qayda: «əvvəlcə kökaltı ifadə hesablanır». 6,52 = 42,25, 3,32 = 10,89.
  2. 42,25 − 10,89 = 31,36.
  3. kök altında 31,36 = 5,6, çünki 5,62 = 31,36. Diqqət: 6,5 − 3,3 = 3,2 başqa ədəddir — kök fərqin hər həddinə ayrıca tətbiq olunmur.

    kök altında 6,52 − 3,32 = 5,6

Nümunə 8Kök olan tənlik

kök altında x − 3 = 2,7 tənliyini həll edin.

  1. Tərifə görə kökaltı ifadə 2,72-yə bərabərdir: x − 3 = 7,29.
  2. x = 7,29 + 3 = 10,29. Yoxlama: kök altında 10,29 − 3 = kök altında 7,29 = 2,7.

    x = 10,29

Nümunə 9Həlli olmayan tənlik

6,4 + kök altında x = 2 tənliyini həll edin.

  1. Kökü tək saxlayırıq: kök altında x = 2 − 6,4 = −4,4.
  2. Hesabi kök mənfi ola bilməz, ona görə bərabərlik x-in heç bir qiymətində doğru deyil.

    Həlli yoxdur

6 · Diqqət

Altı tipik səhv

Hər səhvdə ya «kvadrat kök» ilə «hesabi kök» qarışdırılıb, ya da kök ifadənin bir hissəsinə tətbiq olunub.

Kök işarəsi «±» demək deyil

Səhv

kök altında 961 = ±31

961-in kvadrat kökləri ±31-dir, amma √961 bir ədəddir.

Düz

kök altında 961 = 31

Hesabi kök mənfi deyil: 31 ≥ 0 və 312 = 961.

Mənfi kökaltı ifadə

Səhv

kök altında −4,84 = −2,2

(−2,2)2 = 4,84, −4,84 deyil.

Düz

kök altında −4,84 — mənasızdır

Kvadratı mənfi olan ədəd yoxdur, ona görə kökaltı ifadə mənfi ola bilməz.

Cəmin kökü köklərin cəmi deyil

Səhv

kök altında 4,41 + 7,84 = 2,1 + 2,8 = 4,9

Kök hər toplanana ayrıca tətbiq olunub.

Düz

kök altında 4,41 + 7,84 = kök altında 12,25 = 3,5

Əvvəlcə kökaltı ifadə hesablanır, sonra kök alınır.

Sahəsi 4,41 və 7,84 olan iki kvadrat və sahəsi 12,25 olan bir kvadrat Solda tərəfləri 2,1 və 2,8 olan iki kvadrat, sahələri 4,41 və 7,84. Sağda sahəsi onların cəmi 12,25 olan kvadrat, tərəfi 3,5. Tərəflərin cəmi 4,9 böyük kvadratın tərəfi deyil. sahələr: 4,41 + 7,84 = 12,25 4,41 7,84 12,25 2,1 + 2,8 = 4,9 tərəf 3,5
İki kvadratın sahələrini toplayanda alınan kvadratın tərəfi 3,5-dir, 2,1 + 2,8 = 4,9 deyil.

Vergülün yeri

Səhv

kök altında 0,0529 = 0,023

0,0232 = 0,000529.

Düz

kök altında 0,0529 = 0,23

Yoxlama: 0,232 = 0,0529. Kökaltında vergüldən sonra 4 rəqəm, kökdə 2.

Qarışıq ədədin kökü

Səhv

kök altında 10916 /  = 1034 /

Kök yalnız kəsr hissəsindən alınıb.

Düz

kök altında 10916 /  = kök altında 16916 /  = 314 /

Qarışıq ədədi əvvəlcə düzgün olmayan kəsrə çevir: 132 = 169, 42 = 16.

−1,42 ilə (−1,4)2

Səhv

kök altında −1,42 = 1,4

−1,42 = −1,96: əvvəl qüvvət, sonra minus. Kökaltı mənfidir — ifadə mənasızdır.

Düz

kök altında (−1,4)2 = kök altında 1,96 = 1,4

Mötərizədəki mənfi ədədin kvadratı müsbətdir; əvvəlcə kökaltını hesabla.

7 · Həyatda

Top neçə saniyəyə düşər?

Hündürlükdən buraxılan top sürətlənərək düşür. Hava müqavimətini nəzərə almasaq, o, t saniyədə təxminən h = 5t2 metr yol gedir.

Top 28,8 m hündürlükdən düşür: h = 5t² Solda bina, yanında yuxarıdan buraxılan top. Topun bərabər zaman aralıqlarındakı yerləri aşağı getdikcə bir-birindən uzaqlaşır. Sağda ölçü xətti: h = 28,8 m; kartda düstur h = 5t²; yerdə t = ? t = 0 h = 28,8 m h = 5t² t = ?
Bərabər zaman aralıqlarında topun yerləri: hər növbəti aralıqda top daha çox yol gedir.
MəsələDüşmə vaxtı

Top 28,8 m hündürlükdən buraxılıb. Neçə saniyəyə yerə çatar?

  1. 5t2 = 28,8, deməli t2 = 28,8 : 5 = 5,76.
  2. Kvadratı 5,76 olan ədədlər: 2,4 və −2,4. Vaxt mənfi ola bilməz, ona görə hesabi kökü götürürük: t = kök altında 5,76 = 2,4.
  3. Yoxlama: 5 · 2,42 = 5 · 5,76 = 28,8.

    t = 2,4 s

Düstur sadələşdirilmiş modeldir (g ≈ 10 m/s2 götürülüb); hava müqaviməti topu bir az ləngidir.

8 · Özünü yoxla

Bacarığını sına

Cavabı seç — düzgün olanda yaşıl, səhv olanda qırmızı işıqlanacaq. Həllinə də baxa bilərsən.

  1. Asan

    1521 ədədinin kvadrat kökləri hansılardır?

    Cavab variantları

    Düzdür! 392 = 1521 və (−39)2 = 1521 — müsbət ədədin iki kvadrat kökü var.

    Kvadratı 1521 olan bütün ədədləri axtar: müsbət ədədin iki kvadrat kökü var. Kökalma 2-yə bölmək deyil.

    Həllə bax

    392 = 39 · 39 = 1521 və (−39)2 = 1521, deməli 1521-in kvadrat kökləri 39 və −39-dur. «Yalnız 39» hesabi kökdür (kök altında 1521 = 39), sual isə bütün kvadrat kökləri soruşur. 760,5 — 1521-in yarısıdır, kökü deyil.

  2. Asan

    kök altında 0,0784 neçəyə bərabərdir?

    Cavab variantları

    Düzdür! 0,282 = 0,0784 və 0,28 ≥ 0.

    Kökaltında vergüldən sonra 4 rəqəm var — kökdə 2 olmalıdır. √ işarəsi bir ədəd, mənfi olmayanı verir.

    Həllə bax

    0,0784 = 78410000 /  = (28100 / )2, deməli kök altında 0,0784 = 0,28. 0,0282 = 0,000784, 2,82 = 7,84. 0,28 və −0,28 ədədin kvadrat kökləridir, kök altında 0,0784 isə yalnız 0,28-dir.

  3. Orta

    x-in hansı qiymətində kök altında x ifadəsinin mənası yoxdur?

    Cavab variantları

    Düzdür! Kökaltı ifadə mənfi ola bilməz: −0,01 < 0.

    Kökaltı ifadənin işarəsinə bax: kök altında 0 = 0 və kök altında 2,89 = 1,7 — hər ikisinin mənası var.

    Həllə bax

    kök altında x yalnız x ≥ 0 olanda mənalıdır. x = 0: kök altında 0 = 0. x = 2,89: kök altında 2,89 = 1,7, çünki 1,72 = 2,89. x = −0,01: kvadratı −0,01 olan ədəd yoxdur — ifadə mənasızdır.

  4. Orta

    (−5kök altında 7)2 ifadəsinin qiymətini tapın.

    Cavab variantları

    Düzdür! (−5)2 · (kök altında 7)2 = 25 · 7 = 175.

    Hasilin kvadratında hər vuruq kvadrata yüksəlir. Kökün kvadratı kökaltı ədədin özüdür.

    Həllə bax

    (−5kök altında 7)2 = (−5)2 · (kök altında 7)2 = 25 · 7 = 175. −175: mənfi ədədin kvadratı müsbətdir. 35: −5 kvadrata yüksəldilməyib. 1225: (kök altında 7)2 = 49 sanılıb, amma (kök altında 7)2 = 7.

  5. Çətin

    x-in hansı qiymətində kök altında 2x − 2,2 = 2 bərabərliyi doğrudur?

    Cavab variantları

    Düzdür! kök altında 2 · 8,82 = kök altında 17,64 = 4,2 və 4,2 − 2,2 = 2.

    Əvvəl kökü tək saxla, sonra tərifə görə kökaltı ifadə kökün kvadratına bərabərdir.

    Həllə bax

    kök altında 2x = 2 + 2,2 = 4,2 ≥ 0, deməli 2x = 4,22 = 17,64, x = 8,82. Yoxlama: kök altında 17,64 − 2,2 = 2. 2,1: 2x = 4,2 yazılıb — kökaltı ifadə kvadrata yüksəldilməyib. 17,64: 2x tapılıb, amma 2-yə bölünməyib.

  6. Çətin

    kök altında 1,4 + kök altında 0,0016 ifadəsinin qiymətini tapın.

    Cavab variantları

    Düzdür! kök altında 0,0016 = 0,04, 1,4 + 0,04 = 1,44, kök altında 1,44 = 1,2.

    İçdən başla və hər kökü sona qədər al: əvvəl daxili kök, sonra xarici.

    Həllə bax

    kök altında 0,0016 = 0,04, çünki 0,042 = 0,0016. Kökaltı ifadə: 1,4 + 0,04 = 1,44. kök altında 1,44 = 1,2, çünki 1,22 = 1,44. 1,44: xarici kök alınmayıb. 0,12: vergül səhvi — 0,122 = 0,0144.

Xülasə

Yadda qalanlar

  • b2 = ab — a-nın kvadrat kökü: a > 0 olanda iki (əks ədədlər), a = 0 olanda bir (0), a < 0 olanda yoxdur.
  • kök altında a = b  ⇔  b ≥ 0, b2 = aHesabi kök — mənfi olmayan kökdür; kökaltı ifadə mənfi ola bilməz.
  • (kök altında a)2 = a,  kök altında a2 = aa ≥ 0 üçün. Əvvəlcə kökaltı ifadəni hesabla, cavabı kvadrata yüksəldib yoxla.

Növbəti mövzu: 3.2 Həqiqi ədədlər