• 2.39
  • 7-ci sinif
  • Funksiya

İkidəyişənli xətti tənlik və onun qrafiki

x + 2y = 4 bərabərliyini doğru edən iki ədəd tap. 0 və 2 yarayır, 2 və 1 də. Bəs neçə belə cüt var? Sonsuz sayda — və koordinat müstəvisində hamısı bir düz xəttin üzərinə düşür.

Bu dərsdə

  • ədədlər cütünün ikidəyişənli xətti tənliyin kökü olub-olmadığını yoxlayacaq, bir dəyişəni digəri ilə ifadə edəcəksən;
  • tənliyin qrafikinin niyə düz xətt olduğunu izah edib onu iki nöqtə ilə quracaqsan;
  • a = 0, b = 0 və c = 0 hallarında qrafikin necə yerləşdiyini tanıyacaqsan.
x + 2y = 4 tənliyinin kökləri bir düz xətt üzərindədir Yuxarıda x + 2y = 4 tənliyi və cədvəl: x = −2, 0, 2, 4, 6 olduqda y = 3, 2, 1, 0, −1. Altda koordinat müstəvisi: bu beş cüt beş nöqtədir və hamısı bir düz xəttin üzərindədir. Yaşıl kart: sonsuz sayda kök.x + 2y = 4xy−230221406−1sonsuz sayda kök
  1. Kəşf et
  2. Qayda
  3. İfadə et
  4. Qrafik
  5. Xüsusi hallar
  6. Diqqət
  7. Həyatda
  8. Özünü yoxla

1 · Kəşf et

x-i seç, y-i tap

Bir naməlumlu tənliyin, məsələn 3 + 2y = 4-ün, bir kökü var. x + 2y = 4-də isə iki naməlum var: x-ə istədiyin qiyməti ver — tənlik y-i özü «deyəcək».

x neçə olsun?
x + 2y = 4: seçilmiş x üçün kök nöqtəsi Koordinat müstəvisində x + 2y = 4 tənliyinin düz xətti qırıq xəttlə çəkilib. Altı nöqtə: (−2; 3), (−1; 2,5), (0; 2), (1; 1,5), (3; 0,5), (5; −0,5). Seçilmiş nöqtə yaşıl rənglə, onun x-i mavi, y-i narıncı xəttlə göstərilir. Hamısı eyni düz xəttin üzərindədir.x + 2y = 4−23−12,5211,530,55−0,5

x = −2: −2 + 2y = 4, 2y = 6, y = 3. Kök: (−2; 3).

x = −1: −1 + 2y = 4, 2y = 5, y = 2,5. Kök: (−1; 2,5).

x = 0: 0 + 2y = 4, y = 2. Kök: (0; 2) — nöqtə OY oxunun üzərindədir.

x = 1: 1 + 2y = 4, 2y = 3, y = 1,5. Kök: (1; 1,5).

x = 3: 3 + 2y = 4, 2y = 1, y = 0,5. Kök: (3; 0,5).

x = 5: 5 + 2y = 4, 2y = −1, y = −0,5. Kök: (5; −0,5).

Mavi xətt seçilmiş x-i, narıncı xətt alınan y-i göstərir. Hər seçimdə yaşıl nöqtə eyni qırıq xəttin üzərinə düşür.

Hər x üçün bir y tapılır və x-in sonsuz sayda qiyməti var. Deməli, tənliyi doğru edən cütlər də sonsuz saydadır. Kəsr qiymətlər də yaradığı üçün nöqtələr xəttin üzərində «boşluq» qoymur.

2 · Qayda

Tənlik, əmsallar və kök

Yadda saxla

ax + by = c şəklində verilmiş tənliyə ikidəyişənli xətti tənlik deyilir. a və b — dəyişənlərin əmsalları, c — sərbəst əmsal, x və y — dəyişənlərdir. Belə tənliyin dərəcəsi 1-dir.

ax + by = c

Tənliyi doğru bərabərliyə çevirən qiymətlər cütü onun köküdür. Kök (x; y) şəklində yazılır: birinci ədəd x-in, ikinci ədəd y-in qiymətidir. İkidəyişənli xətti tənliyin sonsuz sayda kökü var.

İşarə əmsala aiddir

6 = 5x − 4y

Tərəfləri yerini dəyişək: 5x − 4y = 6. Burada a = 5, b = −4, c = 6.

Xətti deyil

xy − y = 3, x2 + y = 1

Dəyişənlər bir-birinə vurulur və ya kvadrata yüksəlir — dərəcə 2 olur.

Nümunə 1Kökdürmü?

(3; −2), (−2; 3) və (2; −1) cütlərindən hansı 4x + 5y = 2 tənliyinin köküdür?

  1. (3; −2): x = 3, y = −2 yazırıq: 4 · 3 + 5 · (−2) = 12 − 10 = 2. Doğru bərabərlik — kökdür.
  2. (−2; 3): eyni ədədlərdir, amma yerləri dəyişib: 4 · (−2) + 5 · 3 = −8 + 15 = 7, 7 ≠ 2 — kök deyil. Cütdə sıra vacibdir.
  3. (2; −1): 4 · 2 + 5 · (−1) = 8 − 5 = 3, 3 ≠ 2 — kök deyil.

    Kök: (3; −2)

3 · İfadə et

Bir dəyişəni digəri ilə ifadə et

İkidəyişənli xətti tənlikdə bir dəyişəni digəri ilə ifadə etmək olar — birdəyişənli tənlik kimi: həddi o biri tərəfə keçiririk, sonra hər tərəfi əmsala bölürük. Alınan bərabərlik ilkin tənliklə eynigüclüdür: kökləri eynidir.

Nümunə 2y-i, sonra x-i ifadə et

5x − 4y = 6 tənliyində y-i x ilə, x-i y ilə ifadə edin və bir kök tapın.

  1. Hər tərəfdən 5x-i çıxırıq: −4y = 6 − 5x.
  2. Hər tərəfi −4-ə bölürük — hər iki hədd bölünür və işarələr dəyişir:

    y = (6 − 5x) : (−4) = 1,25x − 1,5

  3. x-i ifadə etmək üçün hər tərəfə 4y əlavə edib 5-ə bölürük: 5x = 6 + 4y,

    x = (6 + 4y) : 5 = 1,2 + 0,8y

  4. Kök tapaq: x = 2 olsun, y = 1,25 · 2 − 1,5 = 1. Yoxlama: 5 · 2 − 4 · 1 = 6.

    y = 1,25x − 1,5;  x = 1,2 + 0,8y;  kök (2; 1)

Nümunə 3Kökə görə əmsalı tap

(3; −1) cütü ax − 4y = 10 tənliyinin köküdür. a-nı tapın. Sonra x = 5 olduqda y-i hesablayın.

  1. Kök tənliyi doğru edir, ona görə x = 3, y = −1 yazırıq: a · 3 − 4 · (−1) = 10.
  2. Birdəyişənli tənlik alındı: 3a + 4 = 10, 3a = 6, a = 2. Tənlik: 2x − 4y = 10.
  3. x = 5: 10 − 4y = 10, −4y = 0, y = 0.

    a = 2;  y = 0, kök (5; 0)

4 · Qrafik

Niyə düz xətt alınır?

Tənliyin qrafiki

Koordinat müstəvisində koordinatları ax + by = c tənliyinin kökü olan nöqtələr çoxluğunun əmələ gətirdiyi düz xəttə bu tənliyin qrafiki deyilir.

b ≠ 0 olduqda y-i x ilə ifadə edək:

y = −ab / x + cb /

Bu, y = kx + l xətti funksiyasıdır: k = −a : b, l = c : b. Onun qrafikini artıq tanıyırsan — düz xətt. Düz xətti iki nöqtə tam müəyyən edir.

Nümunə 4İki nöqtə ilə qur

3x − 2y = 6 tənliyinin qrafikini qurun.

  1. OY oxunda x = 0: −2y = 6, y = −3. Nöqtə (0; −3).
  2. OX oxunda y = 0: 3x = 6, x = 2. Nöqtə (2; 0).
  3. İki nöqtədən düz xətt keçiririk. Yoxlama üçün üçüncü nöqtə: (4; 3), 3 · 4 − 2 · 3 = 6 — xəttin üzərindədir.
  4. k = −3 : (−2) = 1,5, l = 6 : (−2) = −3.

    y = 1,5x − 3

3x − 2y = 6 tənliyinin qrafiki iki nöqtə ilə qurulur Koordinat müstəvisində əvvəl OY oxu üzərində (0; −3), sonra OX oxu üzərində (2; 0) nöqtəsi qeyd olunur. Onlardan keçən düz xətt çəkilir. Üçüncü nöqtə (4; 3) də bu xəttin üzərindədir.(0; −3)(2; 0)(4; 3)3x − 2y = 6
Oxlarla kəsişmə nöqtələri ən rahat iki nöqtədir: birində x = 0, o birində y = 0. Ağ dairəli (4; 3) nöqtəsi yoxlamadır.

5 · Xüsusi hallar

Əmsallardan biri sıfır olanda

Tənlikdə a və b-dən heç olmazsa biri sıfırdan fərqli olmalıdır. Biri sıfır olanda tənlikdə bir dəyişən «görünmür» — amma o, hələ də ikidəyişənli tənlikdir: görünməyən dəyişən istənilən qiyməti ala bilər.

Halı seç
Xüsusi hallar: 2y = 6, 3x = −6 və 2x − 3y = 0 Üç düz xətt: y = 3 (bütöv xətt) OX oxuna paraleldir və OY oxunu (0; 3) nöqtəsində kəsir; x = −2 (qırıq xətt) OY oxuna paraleldir və OX oxunu (−2; 0) nöqtəsində kəsir; 2x − 3y = 0 (nöqtəli xətt) koordinat başlanğıcından və (3; 2) nöqtəsindən keçir. Seçilən hal qalın yaşıl xəttlə göstərilir.(0; 3)(−2; 0)(0; 0)(3; 2)

a = 0 (bütöv xətt): 0 · x + 2y = 6, yəni y = 6 : 2 = 3, x isə istənilən ədəddir: (−4; 3), (0; 3), (5; 3)… Qrafik OY oxunu (0; 3) nöqtəsində kəsən və OX oxuna paralel düz xətdir. Ümumi halda y = c : b, nöqtə (0; c : b).

b = 0 (qırıq xətt): 3x + 0 · y = −6, yəni x = −6 : 3 = −2, y isə istənilən ədəddir. Qrafik OX oxunu (−2; 0) nöqtəsində kəsən və OY oxuna paralel düz xətdir. Ümumi halda x = c : a, nöqtə (c : a; 0).

c = 0 (nöqtəli xətt): 2x − 3y = 0-dan 3y = 2x, y = 23 / x. Ümumi halda y = −ab / x — düz mütənasiblik: qrafik koordinat başlanğıcı (0; 0)-dan keçir, (3; 2) də onun üzərindədir.

Üç xətt həmişə görünür: bütöv — y = 3, qırıq — x = −2, nöqtəli — 2x − 3y = 0. Seçilən hal qalın yaşıl xətlə və əsas nöqtələri ilə göstərilir.

6 · Diqqət

Üç tipik səhv

5x − 4y = 6-da

y = −1,25x + 1,5

−4-ə yox, 4-ə bölünüb: əmsalın mənfi işarəsi unudulub.

Düzgün

y = 1,25x − 1,5

(6 − 5x) : (−4) — hər iki hədd −4-ə bölünür. Yoxla: x = 2 → y = 1, 10 − 4 = 6.

Cütü tərsinə oxumaq

(1; 4): x = 4, y = 1

Cütdə birinci ədəd həmişə x-dir.

Düzgün

(1; 4): x = 1, y = 4

Nümunə 1-də (3; −2) kök idi, (−2; 3) isə yox.

Oxu qarışdırmaq

y = 3 — OY oxuna paralel

«y yazılıb, deməli OY» — yanlış fikir.

Düzgün

y = 3 — OX oxuna paralel

Bütün nöqtələrin hündürlüyü eynidir (3), x dəyişir — xətt üfüqidir.

7 · Həyatda

17 metr kəndiri necə kəsək?

17 m uzunluğunda kəndiri 2 m-lik və 3 m-lik hissələrə elə kəsmək lazımdır ki, artıq parça qalmasın və hər növdən ən azı bir hissə olsun. 2 m-lik hissələrin sayı x, 3 m-lik hissələrin sayı y olsun.

2x + 3y = 17 xəttinin natural koordinatlı nöqtələri 2x + 3y = 17 tənliyinin qrafiki — azalan düz xətt. Tam koordinatlı nöqtələr boz kiçik nöqtələrlə göstərilib; xəttin üzərinə onlardan yalnız üçü düşür: (1; 5), (4; 3) və (7; 1).(1; 5)(4; 3)(7; 1)
Xəttin üzərində sonsuz sayda nöqtə var, amma koordinatları natural ədəd olan yalnız üç nöqtə.

2x + 3y = 17

Hissələrin sayı natural ədəddir. y-ə 1, 2, 3, … qiymətləri verib x = (17 − 3y) : 2 hesablayaq: x natural olmalıdır, ona görə 17 − 3y cüt ədəd olmalıdır — y tək olmalıdır.

Natural köklər
yx = (17 − 3y) : 2Kəsim
177 · 2 + 1 · 3 = 17
344 · 2 + 3 · 3 = 17
511 · 2 + 5 · 3 = 17

y = 7 olanda 3 · 7 = 21 > 17 olur. Deməli, üç cavab var: (7; 1), (4; 3), (1; 5).

8 · Özünü yoxla

Bacarığını sına

Cavabı seç — düzgün olanda yaşıl, səhv olanda qırmızı işıqlanacaq. Həllinə də baxa bilərsən.

  1. Asan

    Hansı cüt 5x + y = 8 tənliyinin köküdür?

    Cavab variantları

    Düzdür! 5 · 1 + 3 = 8.

    Yox. Birinci ədədi x-in, ikincini y-in yerinə yaz və hesabla.

    Həllə bax

    (1; 3): 5 · 1 + 3 = 8 — doğru. (3; 1): 15 + 1 = 16; (2; 1): 10 + 1 = 11 — 8 alınmır.

  2. Asan

    −x + 6y = 5 tənliyində a əmsalı neçədir?

    Cavab variantları

    Düzdür! −x = −1 · x.

    Yox. a — x-in əmsalıdır, işarəsi ilə birlikdə.

    Həllə bax

    −x = (−1) · x, ona görə a = −1; b = 6, c = 5.

  3. Orta

    8x + 4y = 12 tənliyində y-i x ilə ifadə et.

    Cavab variantları

    Əla! 4y = 12 − 8x, sonra 4-ə bölürük.

    Yox. 8x-i keçirəndə işarəsi dəyişir, sonra hər iki hədd 4-ə bölünür.

    Həllə bax

    4y = 12 − 8x; (12 − 8x) : 4 = 3 − 2x. Yoxlama: x = 1 → y = 1, 8 + 4 = 12.

  4. Orta

    5x − 2y = 10 tənliyinin qrafiki OX oxunu hansı nöqtədə kəsir?

    Cavab variantları

    Düzdür! OX oxunda y = 0, 5x = 10.

    Yox. OX oxunun nöqtələrində y = 0-dır, nöqtə (x; 0) şəklindədir.

    Həllə bax

    y = 0: 5x = 10, x = 2 → (2; 0). (0; −5) isə OY oxu ilə kəsişmədir.

  5. Çətin

    (−2; 1) cütü 3x + by = −2 tənliyinin köküdür. b-ni tap.

    Cavab variantları

    Əla! −6 + b = −2.

    Yox. x = −2, y = 1 yaz; −6-nı keçirəndə işarəsi dəyişir.

    Həllə bax

    3 · (−2) + b · 1 = −2, −6 + b = −2, b = 4. −8 işarə səhvidir, 2,5 isə cütün yerləri dəyişəndə alınır.

  6. Çətin

    Hansı tənliyin qrafiki koordinat başlanğıcından keçir?

    Cavab variantları

    Düzdür! c = 0: (0; 0) tənliyi ödəyir.

    Yox. (0; 0)-ı yerinə yaz: sol tərəf 0 olur, sağ tərəf də 0 olmalıdır.

    Həllə bax

    x = 0, y = 0 olduqda sol tərəf 0 olur. Yalnız c = 0 olan 2x − 5y = 0 doğru bərabərlik verir. 2x = 5 — OY oxuna paralel xətt (x = 2,5), başlanğıcdan keçmir.

Xülasə

Yadda qalanlar

  • ax + by = cKök — tənliyi doğru edən (x; y) cütüdür; köklər sonsuz saydadır.
  • y = kx + lb ≠ 0 olduqda k = −a : b, l = c : b: qrafik düz xətdir, onu iki nöqtə (məsələn, oxlarla kəsişmələr) müəyyən edir.
  • a = 0; b = 0; c = 0Qrafik uyğun olaraq OX oxuna paralel, OY oxuna paralel və ya koordinat başlanğıcından keçən düz xətdir.

Növbəti mövzu: 2.40 İkidəyişənli xətti tənliklər sistemi