• 2.31
  • 7-ci sinif
  • Müxtəsər vurma düsturları

Üçhədlini ikihədlinin kvadratı kimi yazmaq

x2 + 18x + 81 üç ayrı toplanan kimi görünür. Amma bu, tərəfi x + 9 olan bir kvadratın sahəsidir. Deməli, onu qısa yazmaq olar: (x + 9)2.

Bu dərsdə

  • üçhədlinin tam kvadrat olduğunu üç əlamətlə yoxlayıb onu (a ± b)2 şəklində yazacaqsan;
  • çatışan birhədlini tapacaq, ortaq vuruğu çıxarıb içəridə tam kvadratı görəcəksən;
  • tam kvadrat ayırmaqla üçhədlinin ən kiçik və ya ən böyük qiymətini tapacaqsan.
x² + 18x + 81 tərəfi x + 9 olan kvadrata yığılır Dörd hissə bir kvadrat təşkil edir: tərəfi x olan göy kvadrat x², ölçüləri 9 və x olan iki yaşıl düzbucaqlı, hər biri 9x, və tərəfi 9 olan narıncı kvadrat 81. Solda 18x iki eyni hissəyə, 9x və 9x-ə bölünür. Yuxarıda: x² + 18x + 81 = (x + 9)². x² + 18x + 81 = (x + 9)² 18x = 9x + 9x tərəf: x + 9 x 9 x 9 x² 9x 9x 81
  1. Tərsinə oxu
  2. Tam kvadrat
  3. Laboratoriya
  4. Hesabla
  5. Diqqət
  6. Kvadrat ayırmaq
  7. Ağılda hesab
  8. Özünü yoxla

1 · Kəşf et

Düsturu sağdan sola oxu

Əvvəlki mövzuda ikihədlini kvadrata yüksəltdik:

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2,(a − b)2 = a2 − 2ab + b2.

Bu bərabərliklər eynilikdir: dəyişənlərin istənilən qiymətində doğrudur. Ona görə onların sağ və sol tərəflərinin yerini dəyişmək olar. Soldan sağa oxuyanda mötərizəni açırıq, sağdan sola oxuyanda isə üçhədlini vuruqlara ayırırıq.

Eyni bərabərliyin iki istiqaməti Solda (x + 9)², sağda x² + 18x + 81. Yuxarıdakı ox soldan sağa: mötərizəni açmaq, mövzu 2.30. Aşağıdakı yaşıl ox sağdan sola: vuruqlara ayırmaq, mövzu 2.31. (x + 9)² x² + 18x + 81 mötərizəni açmaq · 2.30 vuruqlara ayırmaq · 2.31
Eyni bərabərlik, iki istiqamət. Bu dərsdə aşağıdakı yaşıl oxla gedirik.

Tərs yazılış

a2 + 2ab + b2 = (a + b)2 a2 − 2ab + b2 = (a − b)2

Kvadratı iki eyni ikihədlinin hasili kimi də yazmaq olar: (a + b)2 = (a + b)(a + b).

Dərsin əvvəlindəki şəklə bax: x2 + 18x + 81 ifadəsində orta toplananı iki bərabər hissəyə ayırdıq, 18x = 9x + 9x. Göy kvadrat x2, iki yaşıl zolaq 9x və narıncı kvadrat 92 = 81 birlikdə tərəfi x + 9 olan kvadrat olur. Şəkil yalnız müsbət uzunluqlar üçündür, bərabərlik isə x-in istənilən qiymətində doğrudur.

2 · Qayda

Tam kvadratı necə tanıyırıq?

Yadda saxla

Üçhədlinin iki toplananı hansısa a və b birhədlilərinin kvadratıdırsa, üçüncü toplanan isə onların hasilinin 2 mislidirsə (± 2ab), belə üçhədli tam kvadrat adlanır. Onu ikihədlinin kvadratı şəklində yazmaq olar.

a2 ± 2ab + b2 = (a ± b)2

Orta toplananın işarəsi mötərizədəki işarəni seçir: «+» olanda cəmin kvadratı, «−» olanda fərqin kvadratı.

25x² − 40xy + 16y² üçhədlisinin hissələri 25x² ədədi 5x-in kvadratıdır, 16y² isə 4y-in kvadratıdır. Orta toplanan 40xy 2 · 5x · 4y-ə bərabərdir, yəni hasilin 2 mislidir. İşarə mənfi olduğu üçün fərqin kvadratı alınır: (5x − 4y)². 25x² − 40xy + 16y² (5x)² 2 · 5x · 4y (4y)² kvadrat hasilin 2 misli kvadrat işarə «−» → fərqin kvadratı = (5x − 4y)²
Hər toplananın altında «nədir?» sualının cavabı. Rənglər qayda kartındakı a, b və 2ab ilə eynidir.

Yoxlamanı həmişə eyni ardıcıllıqla aparırıq:

  1. Kvadrat olan iki toplananı tap: onlar hansı birhədlilərin kvadratıdır? (25x2 = (5x)2, 16y2 = (4y)2)
  2. Qalan toplananı 2 · a · b ilə müqayisə et: 2 · 5x · 4y = 40xy — uyğundur.
  3. Orta toplananın işarəsinə bax: «−» → (a − b)2, «+» → (a + b)2.
  4. Cavabı yaz: (5x − 4y)2 və ya (5x − 4y)(5x − 4y).

Sıra fərq etmir

64 + p2 − 16p = (p − 8)2

Kvadratlar istənilən yerdə ola bilər: 64 = 82, 16p = 2 · p · 8.

Kvadrat mənfi olmur

b2 ≥ 0

Ona görə kənar toplananlardan biri mənfidirsə (məsələn, «− 16»), üçhədli tam kvadrat deyil.

3 · Laboratoriya

Bu üçhədli tam kvadratdırmı?

Üçhədlini seç. Şəkil üç əlaməti yoxlayır: iki kənar toplanan kvadratdırmı və orta toplanan 2 · a · b-yə bərabərdirmi.

Üçhədlini seç
Tam kvadrat yoxlaması Üç qutuda üçhədlinin toplananları, altında hər birinin oxunuşu və yoxlama nişanı, ən altda nəticə. Seçilmiş üçhədliyə görə dəyişir; izah şəklin altındadır. 4x² + 20x + 25 (2x)² 2 · 2x · 5 5² ✓✓✓ = (2x + 5)² 9a² − 24a + 16 (3a)² 2 · 3a · 4 4² ✓✓✓ = (3a − 4)² x² + 5x + 25 x · x 2 · x · 5 = 10x 5² ✓✗✓ tam kvadrat deyil: 5x ≠ 10x m² + 8m − 16 m · m b yoxdur kvadrat ≥ 0 ✓–✗ tam kvadrat deyil: −16 < 0

4x2 + 20x + 25: 4x2 = (2x)2, 25 = 52, 2 · 2x · 5 = 20x. Hər üç əlamət var, işarə «+»: (2x + 5)2.

9a2 − 24a + 16: 9a2 = (3a)2, 16 = 42, 2 · 3a · 4 = 24a. İşarə «−», ona görə fərqin kvadratı: (3a − 4)2.

x2 + 5x + 25: kənarlar x2 və 52-dir, amma tam kvadrat üçün orta toplanan 2 · x · 5 = 10x olmalı idi, burada isə 5x-dir. Tam kvadrat deyil.

m2 + 8m − 16: heç bir birhədlinin kvadratı mənfi olmur, ona görə «− 16» b2 ola bilməz. Tam kvadrat deyil (8m = 2 · m · 4 olsa da).

Yaşıl nişan — əlamət ödənir, qırmızı — ödənmir. Bircə qırmızı nişan kifayətdir ki, üçhədli tam kvadrat olmasın.

4 · Hesabla

Addım-addım vuruqlara ayır

Hər nümunədə eyni sual verilir: kim a, kim b-dir və orta toplanan 2 · a · b-mi?

Nümunə 1İki dəyişənli üçhədli

49m2 + 42mn + 9n2 üçhədlisini vuruqlara ayırın.

  1. Kənar toplananlar: 49m2 = (7m)2, 9n2 = (3n)2.
  2. Orta toplanan: 2 · 7m · 3n = 42mn — uyğundur, işarə «+».
  3. Cəmin kvadratı düsturu ilə:

    (7m + 3n)2 = (7m + 3n)(7m + 3n)

Nümunə 2Yüksək dərəcə

p4 − 10p2q + 25q2 üçhədlisini ikihədlinin kvadratı şəklində yazın.

  1. p4 = (p2)2, çünki p2 · p2 = p4; 25q2 = (5q)2.
  2. 2 · p2 · 5q = 10p2q, işarə «−».
  3. Fərqin kvadratı:

    (p2 − 5q)2

Nümunə 3Əvvəl ortaq vuruq

7c2 + 28c + 28 ifadəsini vuruqlara ayırın.

  1. 7c2 və 28 kvadrat deyil, amma hər üç toplanan 7-yə bölünür: 7c2 + 28c + 28 = 7(c2 + 4c + 4).
  2. Mötərizədə: a = c, 4 = 22, yəni b = 2, və 2 · c · 2 = 4c.
  3. Deməli, mötərizədəki üçhədli (c + 2)2-dir:

    7(c + 2)2

Nümunə 4Çatışan birhədli

Nöqtələrin yerinə elə birhədli yazın ki, 16t2 + … + 9 üçhədlisini ikihədlinin kvadratı şəklində göstərmək mümkün olsun.

  1. Kənarlar verilib: 16t2 = (4t)2, 9 = 32.
  2. Çatışan toplanan hasilin 2 mislidir: 2 · 4t · 3 = 24t.
  3. İşarə verilməyib, ona görə hər iki işarə yarayır: 16t2 + 24t + 9 = (4t + 3)2 və 16t2 − 24t + 9 = (4t − 3)2.

    … = ±24t

Nümunə 5a və b ikihədli olanda

İfadəni vuruqlara ayırın: (3k + 1)2 + 2(3k + 1)(k − 1) + (k − 1)2.

  1. Bütöv mötərizələri bir hədd kimi gör: a = 3k + 1, b = k − 1. İfadə a2 + 2ab + b2 şəklindədir.
  2. Deməli, o (a + b)2-dir: a + b = (3k + 1) + (k − 1) = 4k.
  3. Mötərizəni açanda işarələrə diqqət: +1 və −1 bir-birini yox edir.

    (4k)2 = 16k2

5 · Diqqət

2-ni unutma, əmsalı köçürmə

Səhv

x2 + 7x + 49 = (x + 7)2

Orta toplanan 2 · x · 7 olmalıdır. 7x bir zolaqdır, ikincisi çatmır.

Düzgün

(x + 7)2 = x2 + 14x + 49

x2 + 7x + 49 isə tam kvadrat deyil.

Bir zolaqla kvadrat alınmır Solda tərəfi x + 7 olan kvadrat: x², iki 7x zolağı və 49; zolaqlar birlikdə 14x-dir. Sağda x² + 7x + 49: yalnız bir 7x zolağı var, bir küncdə qırmızı qırıq xətlə boş yer qalır, kvadrat alınmır. (x + 7)² x²7x7x49 7x + 7x = 14x x² + 7x + 49 x²7x?49 bir zolaq çatmır
«2ab»-dəki 2 iki eyni zolaq deməkdir. Biri olmasa, hissələr kvadrat əmələ gətirmir.

Səhv

x2 − 24x + 144 = (x − 24)2

Orta əmsal mötərizəyə köçürülüb. Mötərizədə b durur, 2b yox.

Düzgün

x2 − 24x + 144 = (x − 12)2

144 = 122 və 24x = 2 · x · 12.

Daha bir qarışıqlıq: (a − b)2 = (a − b)(a − b), iki eyni vuruq. (a − b)(a + b) başqa ifadədir — onu növbəti mövzuda öyrənəcəksən.

6 · Tam kvadrat ayırmaq

Üçhədli ən az nə qədər ola bilər?

x2 − 8x + 20 tam kvadrat deyil. Amma onun içindən tam kvadratı ayırmaq olar və bu, üçhədli haqqında çox şey deyir.

Nümunə 6Ən kiçik qiymət (ƏKQ)

x2 − 8x + 20 üçhədlisinin ala biləcəyi ən kiçik qiyməti tapın.

  1. Orta toplanana bax: 8x = 2 · x · 4. Deməli, a = x, b = 4 və tam kvadrat üçün 42 = 16 lazımdır.
  2. 20-ni 16 + 4 kimi yaz: x2 − 8x + 16 + 4 = (x − 4)2 + 4.
  3. Kvadrat mənfi olmur: (x − 4)2 ≥ 0, ən kiçik qiyməti 0-dır və x = 4 olanda alınır. Onda bütün ifadənin ən kiçik qiyməti 0 + 4-dür.

    ƏKQ = 4 (x = 4 olanda)

x² − 8x + 20 = (x − 4)² + 4 qiymətləri x = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 üçün sütunlar: 13, 8, 5, 4, 5, 8, 13. Hər sütunun altındakı yaşıl hissə sabit 4-dür, üstündəki narıncı hissə (x − 4)²-dir: 9, 4, 1, 0, 1, 4, 9. x = 4 olanda narıncı hissə yoxdur və qiymət ən kiçikdir: 4. 1385 45813 ən kiçik 1234567 x (x − 4)² sabit 4
Yaşıl hissə həmişə 4-dür, narıncı (x − 4)2 isə heç vaxt mənfi olmur. Cədvəl yalnız bir neçə nümunədir; nəticə x-in istənilən qiyməti üçün doğrudur.

Ən böyük qiymət (ƏBQ)

−y2 + 6y − 2 = 7 − (y − 3)2

Mənfini mötərizə xaricinə çıxar: −(y2 − 6y + 9) + 9 − 2. 7-dən mənfi olmayan ədəd çıxılır, ona görə ƏBQ = 7 (y = 3 olanda).

Həmişə müsbət

4z2 + 12z + 11 = (2z + 3)2 + 2

Mənfi olmayan kvadrata 2 əlavə olunur, ona görə ifadə z-in istənilən qiymətində ən azı 2-dir, yəni müsbətdir.

7 · Həyatda

Kalkulyatorsuz böyük hesab

Səbinə yarışma sualında 472 + 2 · 47 · 53 + 532 ifadəsini görür. Üç böyük vurma əvəzinə o, ifadədə a2 + 2ab + b2-ni tanıyır.

Tərəfi 100 olan kvadrat 47 və 53-ə bölünüb Kvadratın hər tərəfi 47 və 53 hissələrinə bölünüb, miqyasa uyğun. Dörd hissə: 47² = 2209, iki dəfə 47 · 53 = 2491, 53² = 2809. Birlikdə tərəfi 47 + 53 = 100 olan kvadrat, yəni 10 000. 47²2209 47 · 532491 53 · 472491 53²2809 47 53 47 53 tərəf: 47 + 53 = 100
Hissələr miqyasa uyğundur: dörd parça birlikdə tərəfi 100 olan kvadratdır.

472 + 2 · 47 · 53 + 532  = (47 + 53)2 = 1002 = 10 000

Yoxlama: 2209 + 4982 + 2809 = 10 000.

Fərqin kvadratı da işləyir:

912 − 2 · 91 · 71 + 712  = (91 − 71)2 = 202 = 400

Bu üsulla iki böyük kvadratın və bir hasilin hesablanmasına ehtiyac qalmır.

8 · Özünü yoxla

Bacarığını sına

Cavabı seç — düzgün olanda yaşıl, səhv olanda qırmızı işıqlanacaq. Həllinə də baxa bilərsən.

  1. Asan

    t2 − 22t + 121 üçhədlisini ikihədlinin kvadratı şəklində yaz.

    Cavab variantları

    Düzdür! 121 = 112, 22t = 2 · t · 11, işarə «−».

    Yox. Orta toplananın işarəsinə və 2-yə bax: mötərizədə b = 11 durur, iki eyni vuruq olmalıdır.

    Həllə bax

    a = t, 121 = 112, yəni b = 11, və 2 · t · 11 = 22t. Orta toplanan mənfidir: t2 − 22t + 121 = (t − 11)2.

  2. Asan

    Hansı üçhədli tam kvadratdır?

    Cavab variantları

    Əla! 9b2 + 6b + 1 = (3b + 1)2.

    Yox. Orta toplanan 2 · 3b · 1 = 6b olmalıdır, kənar toplananlar isə mənfi ola bilməz.

    Həllə bax

    9b2 = (3b)2, 1 = 12, 2 · 3b · 1 = 6b. 3b-də 2 unudulub, «− 1» isə kvadrat deyil.

  3. Orta

    36m2 + … + 25n2 ifadəsində nöqtələrin yerinə nə yazılsa, tam kvadrat alınar?

    Cavab variantları

    Düzdür: 2 · 6m · 5n = 60mn, hər iki işarə ilə.

    Yox. a = 6m, b = 5n; orta toplanan 2 · a · b-dir — nə yalnız a · b, nə də kvadratların hasili.

    Həllə bax

    36m2 = (6m)2, 25n2 = (5n)2. Çatışan toplanan ±2 · 6m · 5n = ±60mn: (6m + 5n)2 və ya (6m − 5n)2.

  4. Orta

    Hesabla: 832 − 2 · 83 · 73 + 732.

    Cavab variantları

    Əla! (83 − 73)2 = 102 = 100.

    Yox. Bu fərqin kvadratıdır: əvvəl 83 − 73, sonra nəticəni kvadrata yüksəlt.

    Həllə bax

    a = 83, b = 73, orta toplanan «−»: (83 − 73)2 = 102 = 100. 10 kvadratı unutmaqdır, 24 336 isə (83 + 73)2-dir.

  5. Çətin

    a2 + 10a + 32 üçhədlisinin ala biləcəyi ən kiçik qiymət neçədir?

    Cavab variantları

    Düzdür: (a + 5)2 + 7, ƏKQ = 7.

    Yox. Tam kvadratı ayır: 10a = 2 · a · 5, 25 lazımdır, 32 = 25 + 7.

    Həllə bax

    a2 + 10a + 25 + 7 = (a + 5)2 + 7. Kvadratın ən kiçik qiyməti 0-dır (a = −5 olanda), ona görə ƏKQ = 7. 32 sərbəst həddir, −5 isə ən kiçik qiymətin alındığı a-dır.

  6. Çətin

    3x2 + 24x + 48 ifadəsini vuruqlara ayır.

    Cavab variantları

    Əla! Əvvəl 3 çıxdı, sonra x2 + 8x + 16 = (x + 4)2.

    Yox. Əvvəl ortaq vuruğu çıxar, sonra mötərizədəki üçhədlini yoxla; orta əmsalı mötərizəyə köçürmə.

    Həllə bax

    3x2 + 24x + 48 = 3(x2 + 8x + 16). 16 = 42, 8x = 2 · x · 4, ona görə 3(x + 4)2. (3x + 4)2 = 9x2 + 24x + 16 başqa ifadədir.

Xülasə

Yadda qalanlar

  • a2 ± 2ab + b2 = (a ± b)2Düsturu sağdan sola oxuyanda tam kvadrat iki eyni vuruğun hasilinə çevrilir.
  • kvadrat, kvadrat, 2 · a · bİki toplanan kvadratdır, üçüncü hasilin 2 mislidir; onun işarəsi cəmi və ya fərqi seçir.
  • (x − 4)2 + 4 ≥ 4Tam kvadratı ayıranda kvadrat ən azı 0 olur, ona görə ƏKQ (və ya ƏBQ) qalan sabit toplanana bərabərdir.

Növbəti mövzu: 2.32 İki ifadənin kvadratları fərqi