• 2.29
  • 7-ci sinif
  • Həndəsə

Üçbucağın tənböləni, medianı və hündürlüyü

Üçbucağın bir təpəsindən qarşı tərəfə üç xüsusi parça çəkmək olar. Biri bucağı yarıya bölür, biri tərəfi yarıya bölür, üçüncüsü isə tərəfə perpendikulyar düşür. Adətən onlar qarşı tərəfin üç müxtəlif nöqtəsinə çatır.

Bu dərsdə

  • tənböləni, medianı və hündürlüyü tərifinə və şəkildəki işarəsinə görə tanıyacaqsan;
  • bucağın tənbölənini pərgarla, hündürlüyü günyə ilə quracaq və hündürlüklərin harada kəsişdiyini üçbucağın növünə görə deyəcəksən;
  • bucaqların cəmindən istifadə edib bu parçalarla bağlı bucaq və perimetr məsələləri həll edəcəksən.
  • tənbölən — qövs
  • median — cizgi
  • hündürlük — kvadrat
Bir təpədən üç parçaABC üçbucağının B təpəsindən AC tərəfinə üç parça çəkilib: BH hündürlükdür (H-da düz bucaq işarəsi), BL tənböləndir (B bucağının iki hissəsində eyni qövs), BM mediandır (AM və MC üzərində bir cizgi). H, L və M AC üzərində üç müxtəlif nöqtədir. AC-nin altında xətkeş, H-da günyə durur. ABC H L M
B-dən AC-yə: BH — hündürlük, BL — tənbölən, BM — median. H, L və M üç müxtəlif nöqtədir.
  1. Bir təpə, üç parça
  2. Təriflər
  3. Qurma
  4. Hündürlüklər
  5. Hesabla
  6. Diqqət
  7. Həyatda
  8. Özünü yoxla
  9. Yekun

1 · Kəşf et

Bir təpə — üç parça

Yadına sal: üçbucağın bucaqlarının cəmi 180°-dir. ABC üçbucağında ∠A = 75°, ∠C = 35°, deməli ∠B = 180° − 75° − 35° = 70°. AC tərəfi 8 sm-dir. B təpəsindən AC-yə üç parça çəkək və hər birinin nəyi böldüyünə baxaq.

B-dən hansı parça?
B təpəsindən seçilmiş parçaABC üçbucağında ∠A = 75°, ∠C = 35°, ∠B = 70°, AC = 8 sm. Seçimə görə B-dən AC-yə tənbölən BL (35° və 35°, AL ≈ 3,0 sm, LC ≈ 5,0 sm), median BM (AM = MC = 4 sm, bucaqlar 45° və 25°) və ya hündürlük BH (15° və 55°, AH ≈ 1,3 sm) göstərilir. 35°35°L ≈ 3,0≈ 5,0 45°25°M 44 15°55°H ≈ 1,3≈ 6,7 ABC∠A = 75°, ∠C = 35°
Şəkil 1B-dən üç parçaAC = 8 sm

BL: 35° və 35°. B bucağı iki bərabər hissəyə bölünür. Amma AC tərəfi yarıya bölünmür: AL ≈ 3,0 sm, LC ≈ 5,0 sm.

BM: AM = MC = 4 sm. AC tərəfi yarıya bölünür. Amma B bucağı bölünmür: 45° və 25°.

BH ⊥ AC. H-da düz bucaq var. Nə bucaq, nə tərəf yarıya bölünmür: 15° və 55°. ABH üçbucağında ∠ABH = 180° − 90° − 75° = 15°.

Üç parça, üç müxtəlif iş, üç müxtəlif nöqtə. Uzunluqlar şəkildən ölçülüb (≈ — yuvarlaqlaşdırılıb).

2 · Qayda

Tənbölən, median, hündürlük

Yadda saxla

  • Bucağın tənböləni — bucağın təpəsindən çıxıb onu iki konqruyent bucağa bölən şüadır.
  • Üçbucağın tənböləni — üçbucağın bucağının tənböləninin qarşı tərəfə qədər olan hissəsidir (parça).
  • Üçbucağın medianı — üçbucağın təpəsini bu təpənin qarşısındakı tərəfin ortası ilə birləşdirən parçadır.
  • Üçbucağın hündürlüyü — üçbucağın təpəsindən qarşı tərəfi öz üzərində saxlayan düz xəttə çəkilmiş perpendikulyar parçadır.

Hündürlüyün tərifində «tərəfə» yox, «tərəfi öz üzərində saxlayan düz xəttə» deyilir: hündürlüyün oturacağı bəzən tərəfin uzantısına düşür. Bunu 4-cü mərhələdə görəcəyik.

Şəkildə hər parça öz işarəsi ilə tanınır. Bərabər bucaqlar eyni sayda qövslə, bərabər parçalar eyni sayda cizgi ilə, düz bucaq kiçik kvadratla göstərilir.

Tənbölən BLB bucağının iki hissəsində eyni sayda qövs: ∠ABL ≅ ∠LBC.LABC
Şəkil 2Tənbölən BL
Yoxlama: ∠ABL ≅ ∠LBC
Median BMAM və MC üzərində eyni sayda cizgi: AM ≅ MC.MABC
Şəkil 3Median BM
Yoxlama: AM ≅ MC
Hündürlük BHH nöqtəsində düz bucaq işarəsi: BH ⊥ AC.HABC
Şəkil 4Hündürlük BH
Yoxlama: BH ⊥ AC
Necə yoxlayırıq?
Parça (B-dən AC-yə)Nə edir?Şəkildə işarəYoxlama
Tənbölən BLB bucağını yarıya bölürbərabər qövslər∠ABL ≅ ∠LBC
Median BMAC tərəfini yarıya bölürbərabər cizgilərAM ≅ MC
Hündürlük BHAC düz xəttinə perpendikulyardırkvadratBH ⊥ AC

Üç təpə — hər birindən üç

Üçbucağın üç bucağı var, deməli üç tənböləni var. Üç tərəfi var, deməli üç medianı və üç hündürlüyü var. Üç tənbölən bir nöqtədə kəsişir; üç median da bir nöqtədə kəsişir. Hər iki nöqtə həmişə üçbucağın daxilində olur.

Üç tənbölən bir nöqtədə kəsişirABC üçbucağının hər bucağı tənbölənlə iki bərabər hissəyə bölünüb (A-da bir, B-də iki, C-də üç qövs). Üç tənbölən üçbucağın daxilində O nöqtəsində kəsişir. O ABC
Şəkil 5Tənbölənlərin kəsişmə nöqtəsi
Hər bucağın iki yarısında eyni sayda qövs var: A-da bir, B-də iki, C-də üç.
Üç median bir nöqtədə kəsişirABC üçbucağının hər tərəfinin ortası işarələnib (bir, iki və üç cizgi) və qarşı təpə ilə birləşdirilib. Üç median üçbucağın daxilində O nöqtəsində kəsişir. O ABC
Şəkil 6Medianların kəsişmə nöqtəsi
Hər tərəfin iki yarısında eyni sayda cizgi var. Medianlar tərəflərin ortalarından keçir.

3 · Qur

Pərgar, xətkeş və günyə ilə

Bucağın tənbölənini pərgarla qurmaq

Transportir olmadan da bucağı dəqiq yarıya bölmək olar. Dərslikdəki alqoritm beş addımdır:

  1. İxtiyari AOB bucağı çək.
  2. Pərgarın iti ucunu O-ya qoy və bucağın hər iki tərəfini kəsən qövs çək. Kəsişmə nöqtələri C və D-dir.
  3. Pərgarın iti ucunu C-yə qoy və bucağın daxilində qövs çək.
  4. Pərgarın açılışını dəyişmədən iti ucunu D-yə qoy və ikinci qövsü çək. Qövslərin kəsişmə nöqtəsi E-dir.
  5. O və E-ni xətkeşlə birləşdir. OE şüası AOB bucağının tənbölənidir.
Bucağın tənbölənini pərgarla qurmaqAOB bucağı. O mərkəzli qövs OA və OB tərəflərini C və D nöqtələrində kəsir. C və D mərkəzli, eyni radiuslu iki qövs bucağın daxilində E nöqtəsində kəsişir. OE şüası AOB bucağını iki bərabər hissəyə bölür. CD E OAB
Şəkil 7Tənbölənin qurulması∠AOB = 72°
Niyə OE bucağı yarıya bölür?

OC = OD, çünki C və D eyni qövsün üzərindədir. CE = DE, çünki iki qövs eyni açılışla çəkilib. OE isə OCE və ODE üçbucaqlarının ortaq tərəfidir. Üç tərəfi uyğun olaraq bərabər olan bu iki üçbucaq üst-üstə düşür, ona görə ∠COE = ∠DOE. Transportirlə yoxla: 72° bucağın hər yarısı 36° alınır.

Üçbucağın tənbölənini qurmaq üçün təpədəki bucağın tənbölənini qurub onu qarşı tərəfə qədər çəkirik.

Medianı qurmaq

Qarşı tərəfi xətkeşlə ölçüb ortasını qeyd edirik (və ya orta nöqtəni pərgarla, parçanın orta perpendikulyarı ilə tapırıq). Sonra orta nöqtəni təpə ilə birləşdiririk: alınan parça mediandır.

Hündürlüyü günyə ilə qurmaq

  1. Günyənin bir katetini qarşı tərəfin düz xətti üzərinə qoy. Lazım olsa, tərəfi kəsik xəttlə uzat.
  2. Günyəni bu xətt boyunca sürüşdür ki, o biri kateti təpədən keçsin.
  3. Təpədən xəttə qədər parça çək: bu, hündürlükdür. Düz bucaq günyənin küncündədir.
Günyə ilə hündürlükABC üçbucağında B bucağı kordur. CB tərəfi B-dən sola kəsik xəttlə uzadılıb. Günyənin bir tərəfi bu düz xəttin üzərində, o biri A-dan keçir; AH hündürlüyü uzantının üzərindəki H nöqtəsinə düşür. ABCH
Şəkil 8Günyə ilə hündürlük∠B kor bucaqdır
Kor B bucağı olan üçbucaqda A-dan çəkilən hündürlük CB-nin uzantısına düşür.

4 · Qayda

Hündürlüklər harada kəsişir?

Üç hündürlük (və ya onların uzantıları) da bir nöqtədə kəsişir. Amma tənbölən və medianlardan fərqli olaraq bu nöqtə üçbucağın daxilində, üzərində və ya xaricində ola bilər. Hansı olduğunu üçbucağın növü deyir.

Üçbucağın növü
Hündürlüklər harada kəsişirSeçimə görə üç üçbucaq: itibucaqlıda üç hündürlük daxildə O nöqtəsində kəsişir; A bucağı düz olanda B və C-dən çəkilən hündürlüklər katetlərin özüdür və kəsişmə nöqtəsi A-dır; A bucağı kor olanda B və C-dən çəkilən hündürlüklər tərəflərin kəsik xəttlə göstərilmiş uzantılarına düşür, hündürlüklərin uzantıları üçbucağın xaricində O nöqtəsində kəsişir.ABCOABCO = AABCO
Şəkil 9Üç hündürlükO — kəsişmə nöqtəsi

Nəticə 1. İtibucaqlı üçbucağın hündürlüklərinin kəsişmə nöqtəsi üçbucağın daxilində yerləşir.

Nəticə 2. Düzbucaqlı üçbucaqda hündürlüklərin kəsişmə nöqtəsi düz bucağın təpəsidir. B və C-dən çəkilən hündürlüklərin oturacağı A-ya düşür: katetlər həm də hündürlükdür (BA ⊥ AC, CA ⊥ AB).

Nəticə 3. Korbucaqlı üçbucaqda hündürlüklərin kəsişmə nöqtəsi üçbucağın xaricində yerləşir. İti B və C bucaqlarından çəkilən hündürlüklər qarşı tərəflərin uzantısına düşür; O-da hündürlüklərin uzantıları kəsişir. Kəsik xətlər tərəflərin və hündürlüklərin uzantılarıdır.

Kor bucağın təpəsindən

Kor bucaqlı üçbucaqda yalnız kor bucağın təpəsindən çəkilən hündürlük üçbucağın daxilindədir.

Niyə uzantıya?

A bucağı kor olsun. B-dən çəkilən hündürlüyün oturacağı H AC-nin içinə düşsəydi, ABH üçbucağında həm 90°, həm də kor A bucağı olardı — cəmi 180°-dən çox.

5 · Hesabla

Tərif + bucaqların cəmi

Hər məsələdə əvvəl soruşuruq: bu parça nəyi bölür və ya hansı düz bucağı yaradır? Sonra bucaqların cəmini (180°) və qonşu bucaqları işlədirik.

Nümunə 1Medianlardan perimetr

ABC üçbucağında AK, BL və CM medianlardır (K ∈ BC, L ∈ AC, M ∈ AB). MB = 2,6 sm, KC = 3,4 sm, AL = 2,9 sm. ABC üçbucağının perimetrini tapın.

Üç median və yarım tərəflərABC üçbucağında AK, BL və CM medianlardır. MB = 2,6 sm, KC = 3,4 sm, AL = 2,9 sm yazılıb; hər tərəfin iki yarısında eyni sayda cizgi var. ABC KLM 2,63,42,9
Şəkil 10Hər median bir tərəfi yarıya bölür
  1. CM median olduğundan M AB-nin ortasıdır: AB = 2 · 2,6 = 5,2 sm.
  2. AK median: BC = 2 · 3,4 = 6,8 sm.
  3. BL median: AC = 2 · 2,9 = 5,8 sm.
  4. P = 5,2 + 6,8 + 5,8 = 17,8 sm.

    P = 17,8 sm

Nümunə 2AD nədir?

ABC üçbucağında ∠B = 50°, ∠C = 70°. D nöqtəsi BC tərəfinin üzərindədir və ∠BAD = 30°. AD parçası ABC üçbucağının tənbölənidirmi? Hündürlüyüdürmü?

AD parçası nədir?ABC üçbucağında ∠B = 50°, ∠C = 70°. A-dan BC üzərindəki D nöqtəsinə AD çəkilib, ∠BAD = 30°. DAC və ADC bucaqları sual işarəsi ilə göstərilib. 50°70°30° ?? ABCD
Şəkil 11İki yoxlama: bucaq və perpendikulyarlıq
  1. ∠A = 180° − 50° − 70° = 60°.
  2. ∠DAC = 60° − 30° = 30° = ∠BAD. A bucağı yarıya bölünüb: AD tənböləndir.
  3. ABD üçbucağında ∠ADB = 180° − 50° − 30° = 100°, qonşu bucaq ∠ADC = 180° − 100° = 80°.
  4. 80° ≠ 90°, deməli AD BC-yə perpendikulyar deyil.

    AD tənböləndir, hündürlük deyil

Nümunə 3Hündürlüklə tənbölən arasında

ABC üçbucağında ∠A = 76°, ∠C = 44°. B təpəsindən BH hündürlüyü və BL tənböləni çəkilib (H və L AC-nin üzərindədir). HBL bucağını tapın.

Hündürlük və tənbölən arasındakı bucaqABC üçbucağında ∠A = 76°, ∠C = 44°. B-dən AC-yə BH hündürlüyü (H-da düz bucaq) və BL tənböləni çəkilib; H nöqtəsi A ilə L arasındadır. HBL bucağı sual işarəsi ilə göstərilib. 76°44°? ABCHL
Şəkil 12Bir təpədən iki parça
  1. ∠B = 180° − 76° − 44° = 60°.
  2. BL tənbölən: ∠ABL = 60° : 2 = 30°.
  3. ABH üçbucağında ∠AHB = 90°: ∠ABH = 180° − 90° − 76° = 14°.
  4. 14° < 30°, ona görə H nöqtəsi A ilə L arasındadır: ∠HBL = 30° − 14° = 16°.

    ∠HBL = 16°

6 · Diqqət

Üç tez-tez edilən səhv

Tənbölən tərəfi yarıya bölmür

Səhv

BL tənbölən ⇒ AL = LC

Şəkil 1-də 35° = 35°, amma AL ≈ 3,0 sm, LC ≈ 5,0 sm.

Düz

BL tənbölən ⇒ ∠ABL = ∠LBC

Tərəfi yarıya yalnız median bölür; tənbölən bucağı bölür.

Hündürlük həmişə içəridə deyil

Səhv

Səhv: hündürlük içəridəA bucağı kor olan ABC üçbucağında B-dən AC tərəfinin içindəki X nöqtəsinə parça çəkilib; o, AC-yə perpendikulyar deyil.XABC

BX AC tərəfinin içinə çəkilib, amma AC-yə perpendikulyar deyil: bu, hündürlük deyil.

Düz

Düz: hündürlük uzantıya düşürEyni üçbucaqda CA tərəfi A-dan o tərəfə kəsik xəttlə uzadılıb; B-dən çəkilən BH hündürlüyü bu uzantının üzərindəki H nöqtəsinə düşür, H-da düz bucaq var.HABC

A bucağı kordur: B-dən çəkilən BH hündürlüyü CA-nın uzantısına düşür (Nəticə 3).

Yarımı bütün bucaq saymaq

Səhv

∠ABL = 30° ⇒ ∠B = 30°

Tənbölən bucağın yalnız yarısını verir.

Düz

∠B = 2 · 30° = 60°

Bucaqların cəminə yalnız bütün bucağı yazırıq (Nümunə 3).

7 · Həyatda

Ağırlıq mərkəzi

Fizika ilə əlaqə

Cismin ağırlıq mərkəzi — cismin bütün kütləsinin cəmləşdiyi nöqtədir. Üçbucaq şəkilli nazik lövhənin ağırlıq mərkəzi onun medianlarının kəsişmə nöqtəsinə düşür.

Sına: kartondan istənilən üçbucaq kəs, xətkeşlə tərəflərin ortalarını tap və üç medianı çək. Lövhəni medianların kəsişmə nöqtəsindən qələmin ucuna qoysan, o düşmədən, üfüqi vəziyyətdə durur. Başqa nöqtədən qoysan, bir tərəfə əyilib düşür.

Karton üçbucaq qələmin ucundaKartondan kəsilmiş üçbucağın üzərində üç median karandaşla çəkilib və O nöqtəsində kəsişir. Üçbucaq məhz O nöqtəsindən qələmin ucuna qoyulub və üfüqi vəziyyətdə tarazlıqda durur. O
Şəkil 13Qələmin ucunda tarazlıq
Medianlar karandaşla çəkilib; qələmin ucu onların kəsişmə nöqtəsi O-dadır.

8 · Özünü yoxla

Bacarığını sına

Cavabı seç: düz olanda lime, səhv olanda qırmızı işıqlanacaq. Həllə də baxa bilərsən.

  1. Asan

    ABC üçbucağında A-dan BC üzərindəki K nöqtəsinə AK parçası çəkilib, BK və KC parçalarının hər birinin üzərinə isə bir cizgi qoyulub. AK nədir?

    Sual 1 variantları

    Düzdür! Eyni sayda cizgi bərabər parçaları göstərir: BK = KC.

    Cizgilər bucağı yox, parçanı işarələyir. Hansı parça tərəfin ortasına gedir?

    Həllə bax

    Bir cizgi BK = KC deməkdir, yəni K BC-nin ortasıdır. Təpəni qarşı tərəfin ortası ilə birləşdirən parça mediandır. Tənbölən qövslərlə, hündürlük kvadratla işarələnir.

  2. Asan

    Hansı nöqtə istənilən üçbucaqda üçbucağın daxilində yerləşir?

    Sual 2 variantları

    Düzdür! Medianlar həmişə daxildə kəsişir.

    Korbucaqlı üçbucağı xatırla (Şəkil 9): hündürlüklərlə bağlı nə xaricə çıxır?

    Həllə bax

    Medianlar (tənbölənlər də) həmişə üçbucağın daxilində kəsişir. Korbucaqlı üçbucaqda isə hündürlüklərin kəsişmə nöqtəsi xaricdədir və iki hündürlüyün oturacağı tərəflərin uzantısına düşür (Nəticə 3).

  3. Orta

    ABC üçbucağında AK, BL və CM medianlardır (K ∈ BC, L ∈ AC, M ∈ AB). AM = 2,4 sm, BK = 3,1 sm, üçbucağın perimetri isə 19 sm-dir. AL neçə santimetrdir?

    Sual 3 variantları

    Düzdür! AC = 8 sm, onun yarısı 4 sm.

    AM və BK tərəflərin yarısıdır. Əvvəl AB və BC-ni tap, sonra AC-ni, sonra onun yarısını.

    Həllə bax

    AB = 2 · 2,4 = 4,8 sm, BC = 2 · 3,1 = 6,2 sm. AC = 19 − 4,8 − 6,2 = 8 sm. L AC-nin ortasıdır: AL = 8 : 2 = 4 sm.

  4. Orta

    ABC üçbucağında ∠A = 116°. C təpəsindən çəkilən hündürlüyün oturacağı harada yerləşir?

    Sual 4 variantları

    Düzdür! A bucağı kordur, hündürlük tərəfin uzantısına düşür.

    A bucağı 116°-dir. Oturacaq AB-nin içində olsaydı, kiçik üçbucağın bucaqlarının cəmi nə qədər olardı?

    Həllə bax

    Oturacaq H AB-nin içində olsaydı, AHC üçbucağında ∠H = 90° və ∠A = 116° olardı: cəm artıq 180°-dən çoxdur. H = A olsaydı, ∠A = 90° olardı. Deməli H BA düz xəttinin A-dan o tərəfindədir (Şəkil 9, korbucaqlı).

  5. Çətin

    ABC üçbucağında ∠A = 62°, ∠C = 36°. B təpəsindən BH hündürlüyü və BL tənböləni çəkilib. HBL bucağı neçə dərəcədir?

    Sual 5 variantları

    Düzdür! 41° − 28° = 13°.

    ∠ABL və ∠ABH-ı ayrıca tap, sonra kiçiyi böyükdən çıx (Nümunə 3).

    Həllə bax

    ∠B = 180° − 62° − 36° = 82°, ∠ABL = 82° : 2 = 41°. ABH üçbucağında ∠ABH = 180° − 90° − 62° = 28°. ∠HBL = 41° − 28° = 13°.

  6. Çətin

    ABC üçbucağında AD parçası həm tənbölən, həm də hündürlükdür (D ∈ BC). ∠B = 54°. C bucağı neçə dərəcədir?

    Sual 6 variantları

    Düzdür! ABD və ACD üçbucaqlarında iki bucaq eynidir, üçüncü də eyni alınır.

    Əvvəl ABD üçbucağında ∠BAD-ı tap, sonra ACD üçbucağına keç.

    Həllə bax

    AD hündürlükdür: ∠ADB = ∠ADC = 90°. ABD üçbucağında ∠BAD = 180° − 90° − 54° = 36°. AD tənböləndir: ∠CAD = 36°. ACD üçbucağında ∠C = 180° − 90° − 36° = 54°.

9 · Yekun

Üç nəticə

  • Üç parça — üç işTənbölən bucağı, median tərəfi yarıya bölür; hündürlük tərəfin düz xəttinə perpendikulyardır. Şəkildə: qövs, cizgi, kvadrat.
  • Üçü bir nöqtədəTənbölənlər və medianlar həmişə daxildə kəsişir. Medianların kəsişmə nöqtəsi üçbucaq lövhənin ağırlıq mərkəzidir.
  • Hündürlük növə baxırİtibucaqlıda kəsişmə daxildə, düzbucaqlıda düz bucağın təpəsində, korbucaqlıda xaricdədir.

Növbəti mövzu: 2.30 İkihədlilərin kvadrata yüksəldilməsi — cəbrə qayıdırıq.