• 2.16
  • 7-ci sinif
  • Həndəsə

İki düz xətt, bir kəsən, səkkiz bucaq

Bir düz xətt iki düz xətti kəsəndə neçə bucaq alınır? Səkkiz. Hər birinin adını iki sualla tapırsan: bucaq iki düz xəttin arasındadır, yoxsa kənarında? Kəsənin hansı tərəfindədir?

Bu dərsdə

  • kəsəni tanıyacaq, səkkiz bucağı nömrələyib daxili və xarici bucaqları ayıracaqsan;
  • beş cütün — daxili və xarici çarpaz, daxili və xarici birtərəfli, uyğun bucaqların — adını deyəcəksən;
  • qarşılıqlı və qonşu bucaqlarla səkkiz bucağı tapacaq, «əgər bərabərdirsə» şərtindən nəticə çıxaracaqsan.
  • kəsən k
  • daxili zolaq
  • cütün bucaqları
Şəkil 1m, n və kəsən k
İki düz xətt, kəsən və səkkiz bucaqm və n düz xətləri paralel deyil. k düz xətti m-i P, n-i Q nöqtəsində kəsir. P-də bucaqlar: 1 yuxarı-solda, 2 yuxarı-sağda, 3 aşağı-solda, 4 aşağı-sağda; Q-da eyni qayda ilə 5, 6, 7, 8. m ilə n arasındakı mavi zolaqda daxili bucaqlar 3, 4, 5, 6 yerləşir; 1, 2, 7, 8 xaricidir.mnkPQ12435687daxilixaricixarici

Nömrələmə: hər kəsişmədə yuxarı-sol, yuxarı-sağ, aşağı-sol, aşağı-sağ — P-də 1, 2, 3, 4, Q-da 5, 6, 7, 8. Dərs boyu və suallarda bu nömrələmə işlədilir.

  1. Bir kəsişmə
  2. Kəsən
  3. Beş cüt
  4. Hesabla
  5. Şərt
  6. Diqqət
  7. Həyatda
  8. Özünü yoxla
  9. Yekun

1 · Kəşf et

Bir kəsişmə — dörd bucaq

Əvvəlcə tanış vəziyyət: m və k düz xətləri P nöqtəsində kəsişir və dörd bucaq alınır. ∠2 = 62°. Qalan üç bucağı ölçmədən tapmaq olar. Seç və şəklə bax.

Hansı bucaqlar?
Şəkil 2P nöqtəsində dörd bucaq
Bir kəsişmədə dörd bucaqm düz xətti ilə k düz xətti P nöqtəsində kəsişir. ∠2 = 62° verilib. Qarşılıqlı bucaq ∠3 də 62°-dir; qonşu bucaqlar ∠1 və ∠4 isə 180° − 62° = 118°-dir.mk1118°262°362°4118°P

∠3 = ∠2 = 62°. ∠3 ∠2-nin qarşılığıdır: onların tərəfləri bir-birinin davamıdır. Qarşılıqlı bucaqlar bərabərdir.

∠1 = ∠4 = 180° − 62° = 118°. ∠1 və ∠4 ∠2-yə qonşudur: bir tərəf ortaqdır, o biri tərəflər bir düz xətt əmələ gətirir. Qonşu bucaqların cəmi 180°-dir.

118°, 62°, 62°, 118°. Dördünün cəmi 360°-dir — bir nöqtə ətrafındakı bucaqların cəmi kimi.

Bir kəsişmədə bir bucaq bilinirsə, dördü də bilinir. İndi ikinci düz xətti əlavə edək.

2 · Qayda

Kəsən və səkkiz bucaq

Yadda saxla

m və n düz xətlərini kəsən üçüncü k düz xəttinə kəsən deyilir. m və n istənilən iki düz xətt ola bilər. Kəsişmə nöqtələrində (P və Q) səkkiz bucaq alınır.

  • Daxili bucaqlar m ilə n-in arasındadır: ∠3, ∠4, ∠5, ∠6. Xarici bucaqlar onlardan kənardadır: ∠1, ∠2, ∠7, ∠8.
  • k-nın sol tərəfində ∠1, ∠3, ∠5, ∠7, sağ tərəfində ∠2, ∠4, ∠6, ∠8 yerləşir.
daxili / xarici · sol / sağ
Şəkil 3Zolaq və tərəflər
Daxili və xarici bucaqlar, kəsənin iki tərəfim və n arasındakı mavi zolaq daxili hissədir: orada 3, 4, 5, 6 bucaqları var. 1, 2, 7, 8 xarici bucaqlardır. k kəsəninin sol tərəfində 1, 3, 5, 7, sağ tərəfində 2, 4, 6, 8 bucaqları yerləşir.mnk12345678PQdaxilixaricixarici← k-dan soldak-dan sağda →
Mavi zolaq m ilə n arasıdır: daxili bucaqlar oradadır. k zolağı iki tərəfə bölür.
Səkkiz bucağın yeri
k-dan soldak-dan sağda
daxili∠3, ∠5∠4, ∠6
xarici∠1, ∠7∠2, ∠8

Bu dərsin nömrələməsi

P-də 1, 2 yuxarıda, 3, 4 aşağıda (soldan sağa); Q-da eyni qayda ilə 5, 6, 7, 8. Dərslikdə (Şəkil 21) bucaqlar saat əqrəbi istiqamətində nömrələnib, ona görə orada cütlərin nömrələri başqadır — adlar isə eynidir.

Cüt nədir?

Cüt müxtəlif kəsişmə nöqtələrindəki iki bucaqdır: biri P-də, biri Q-da. Eyni nöqtədəki iki bucaq ya qarşılıqlı, ya qonşudur.

3 · Qayda

Beş cüt

Cütün adı iki hissədən ibarətdir. Daxili — ikisi də m ilə n arasındadırsa, xarici — ikisi də kənardadırsa. Çarpaz — k-nın müxtəlif tərəflərindədirsə, birtərəfli — eyni tərəfindədirsə. Beşinci ad ayrıdır: uyğun bucaqlar iki kəsişmədə eyni yeri tutur.

Cütün adını seç
Şəkil 4Cütlər şəkildə
Beş cüt bucaqm və n düz xətləri k kəsəni ilə kəsişir, bucaqlar 1-dən 8-ə qədər nömrələnib. Seçilmiş cüt adının bucaqları rənglənir: birinci cüt yaşıl, ikinci cüt mavi; qırıq xətlər cütləri birləşdirir.mnk12345678PQ

Daxili çarpaz: ∠3 və ∠6; ∠4 və ∠5. İkisi də m ilə n arasında, k-nın müxtəlif tərəflərində. Cütləri birləşdirən xətlər X kimi kəsişir. Köməkçi iz: ∠3 və ∠6 «Z» hərfinin künclərindədir.

Xarici çarpaz: ∠1 və ∠8; ∠2 və ∠7. İkisi də m və n-dən kənarda, k-nın müxtəlif tərəflərində. Xətlər yenə çarpazlaşır.

Daxili birtərəfli: ∠4 və ∠6; ∠3 və ∠5. İkisi də m ilə n arasında, k-nın eyni tərəfində. Xətlər kəsişmir. Köməkçi iz: ∠4 və ∠6 «U» hərfinin içindədir.

Xarici birtərəfli: ∠2 və ∠8; ∠1 və ∠7. İkisi də kənarda, k-nın eyni tərəfində.

Uyğun: ∠2 və ∠6, ∠3 və ∠7; ∠1 və ∠5, ∠4 və ∠8. Hər cüt öz kəsişməsində eyni yerdədir: məsələn, ∠2 və ∠6 ikisi də yuxarı-sağdadır. Köməkçi iz: ∠2 və ∠6 «F» hərfinin içindədir.

Z, U, F izləri dərslik termini deyil, yalnız yaddaşa kömək edir: şəkil dönəndə hərflər də dönür. Əsas — iki sual.

Beş cüt bu dərsin nömrələməsi ilə
AdCütlərƏlamət
daxili çarpaz∠3 və ∠6; ∠4 və ∠5arasında · müxtəlif tərəflərdə
xarici çarpaz∠1 və ∠8; ∠2 və ∠7kənarda · müxtəlif tərəflərdə
daxili birtərəfli∠3 və ∠5; ∠4 və ∠6arasında · eyni tərəfdə
xarici birtərəfli∠1 və ∠7; ∠2 və ∠8kənarda · eyni tərəfdə
uyğun∠1 və ∠5; ∠2 və ∠6; ∠3 və ∠7; ∠4 və ∠8iki kəsişmədə eyni yer

4 · Hesabla

Bucaqları addım-addım tapırıq

Nümunə 1Bir kəsişmə

P nöqtəsində ∠1 ∠2-dən 56° böyükdür. P-dəki dörd bucağı tapın.

  1. ∠1 və ∠2 qonşudur: ∠1 + ∠2 = 180°, həm də ∠1 − ∠2 = 56°.
  2. Cəmə fərqi əlavə edək: 2 · ∠1 = 236°, ∠1 = 118°; ∠2 = 180° − 118° = 62°.
  3. Qarşılıqlı bucaqlar: ∠4 = ∠1 = 118°, ∠3 = ∠2 = 62°.

    118°, 62°, 62°, 118°

Nümunə 2İki kəsişmə, səkkiz bucaq

m və n düz xətləri k kəsəni ilə kəsişir. ∠3 = 62°, ∠8 = 104°. Səkkiz bucağın hamısını tapın. Daxili çarpaz ∠4 və ∠5 bərabərdirmi?

Şəkil 5Verilən: ∠3 və ∠8 (ağ çiplər)
Səkkiz bucağın ölçüləriVerilib: ∠3 = 62° və ∠8 = 104°. P-də: ∠2 = 62°, ∠1 = ∠4 = 118°. Q-da: ∠5 = 104°, ∠6 = ∠7 = 76°. Daxili çarpaz ∠4 = 118° və ∠5 = 104° bərabər deyil.mnk1118°262°362°4118°5104°676°776°8104°
  1. P-də: ∠2 = ∠3 = 62° (qarşılıqlı), ∠1 = ∠4 = 180° − 62° = 118° (qonşu).
  2. Q-da: ∠5 = ∠8 = 104° (qarşılıqlı), ∠6 = ∠7 = 180° − 104° = 76° (qonşu).
  3. ∠4 = 118°, ∠5 = 104° — bərabər deyil. P-dəki bucaqlar Q-dakıları təyin etmir: hər kəsişmə üçün bir bucaq lazımdır.
  4. Yoxlama: hər kəsişmədə qonşu bucaqların cəmi 180°-dir: 118° + 62°, 104° + 76°.

    118°, 62°, 62°, 118°; 104°, 76°, 76°, 104°

5 · Şərt

Bir bərabərlik — səkkiz bucaq

Nümunə 2-də daxili çarpaz bucaqlar bərabər deyildi. Bəs məsələdə şərt verilsə: «∠3 = ∠6»? Onda bir bucaq bütün səkkizini verir. Başla düyməsini bas və ardıcıllığa bax.

  1. ∠2 = 65° — verilib.
  2. ∠3 = ∠2 = 65° — qarşılıqlı.
  3. ∠6 = ∠3 = 65° — şərt.
  4. ∠7 = ∠6 = 65° — qarşılıqlı.
  5. Qalan dördü qonşudur: 180° − 65° = 115°.
Şəkil 6Şərt: ∠3 = ∠6, ∠2 = 65°
Şərt: ∠3 = ∠6Verilib: ∠2 = 65° və ∠3 = ∠6. ∠3 = ∠2 = 65° (qarşılıqlı), ∠6 = ∠3 = 65° (şərt), ∠7 = ∠6 = 65° (qarşılıqlı); qalan dörd bucaq qonşu olduğu üçün 180° − 65° = 115°-dir.mnk1115°265°365°4115°5115°665°765°8115°

Şərtdən çıxanlar

Əgər daxili çarpaz bucaqlardan bir cüt bərabərdirsə (∠3 = ∠6), onda:

  • digər daxili çarpaz bucaqlar da bərabərdir: ∠4 = 180° − ∠3 = 180° − ∠6 = ∠5;
  • uyğun bucaqlar bərabərdir, məsələn: ∠2 = ∠3 = ∠6;
  • daxili birtərəfli bucaqların cəmi 180°-dir, məsələn: ∠4 + ∠6 = ∠5 + ∠6 = 180°.
∠3 = ∠6 ⇒ ∠4 = ∠5

Başqa şərt — eyni nəticə

Uyğun bucaqlardan bir cüt bərabərdirsə (∠2 = ∠6) və ya daxili birtərəfli bucaqların cəmi 180°-dirsə (∠4 + ∠6 = 180°), yenə ∠3 = ∠6 alınır: ∠3 = ∠2 (qarşılıqlı), ∠3 = 180° − ∠4 (qonşu).

Şərt yoxdursa

m və n ixtiyari olanda bu bərabərliklər alınmır (Nümunə 2). Şərt ödənəndə m və n-in necə yerləşdiyini növbəti dərsdə öyrənəcəksən.

Nümunə 3İfadələr və şərt

∠2 = 3x − 10°, ∠6 = 2x + 16° və ∠3 = ∠6. x-i və ∠5-i tapın.

Şəkil 7∠2 = ∠3 = ∠6
Şərt ∠3 = ∠6 ilə ifadələr∠2 = 3x − 10° və ∠6 = 2x + 16°. ∠2 = ∠3 (qarşılıqlı) və şərtə görə ∠3 = ∠6, deməli 3x − 10 = 2x + 16, x = 26; ∠2 = ∠6 = 68°, ∠5 = 180° − 68° = 112°.mnk1112°268°368°4112°5112°668°768°8112°
  1. ∠2 və ∠3 qarşılıqlıdır: ∠3 = ∠2. Şərtə görə ∠6 = ∠3, deməli ∠2 = ∠6.
  2. 3x − 10 = 2x + 16, x = 26.
  3. ∠2 = 3 · 26° − 10° = 68°, yoxlama: ∠6 = 2 · 26° + 16° = 68°.
  4. ∠5 ∠6-ya qonşudur: ∠5 = 180° − 68° = 112°.

    x = 26, ∠5 = 112°

6 · Diqqət

Tez-tez edilən səhvlər

«Daxili çarpaz bucaqlar həmişə bərabərdir»

Səhv

həmişə ∠4 = ∠5

Nümunə 2-də ∠4 = 118°, ∠5 = 104° idi.

Düz

∠4 = ∠5 — yalnız şərt kimi

Şərt verilibsə, ondan qalan bərabərliklər çıxır (5-ci mərhələ).

Eyni nöqtədəki iki bucaq cüt deyil

Səhv

∠1 və ∠4 — çarpaz

İkisi də P-dədir: bunlar qarşılıqlı bucaqlardır.

Düz

∠1 və ∠8 — xarici çarpaz

Cütün bir bucağı P-də, o biri Q-da olur.

Daxili/xarici ilə çarpaz/birtərəflini qarışdırmaq

Səhv

∠3 və ∠5 — daxili çarpaz

«Daxili» düzdür, amma ikisi də k-dan soldadır.

Düz

∠3 və ∠5 — daxili birtərəfli

Hər sualı ayrıca cavabla: arasında? hansı tərəfdə?

Səkkiz bucağın cəmi

Səhv

360°

Bu, bir kəsişmənin dörd bucağının cəmidir.

Düz

2 · 360° = 720°

Kəsişmə nöqtəsi ikidir: P və Q.

Hansı düz xətt kəsəndir?

Üç düz xətt cüt-cüt kəsişəndə hər biri o biri ikisi üçün kəsən ola bilər. Cütün iki təpəsinə bax: onlardan keçən düz xətt kəsəndir. Şəkildə α və β-nın təpələri A və B c üzərindədir, deməli a və b üçün kəsən c-dir. α A-da c-nin sol şüası ilə a arasında, β B-də c-nin sol şüası ilə b arasındadır: hər biri öz kəsişməsində eyni yeri tutur — uyğun bucaqlardır.

Şəkil 8Üç düz xətt
Hansı düz xətt kəsəndir?a, b, c düz xətləri cüt-cüt kəsişir və üçbucaq əmələ gətirir. α bucağı A-da c-nin sol şüası ilə a arasında, β bucağı B-də c-nin sol şüası ilə b arasındadır. Onların təpələri c üzərindədir, ona görə a və b üçün kəsən c-dir; α və β öz kəsişmələrində eyni yeri tutur — uyğun bucaqlardır.αβABCabc
c — a və b üçün kəsəndir: α və β-nın təpələri onun üzərindədir.

7 · Həyatda

Xəritədə kəsən

Şəhər xəritəsində Çinar və Bağ küçələrini dəmir yolu kəsir. Dəmir yolu — kəsən, iki keçid — kəsişmə nöqtələridir. Künclərdəki yerləri bucaqların adları ilə tapmaq olar.

Künclər və cüt adları
KünclərCüt
Kafe (∠4) və Aptek (∠5)daxili çarpaz: küçələrin arasında, dəmir yolunun müxtəlif tərəflərində
Kafe (∠4) və Məktəb (∠6)daxili birtərəfli: arasında, dəmir yolundan sağda
Park (∠1) və Aptek (∠5)uyğun: hər ikisi öz keçidinin yuxarı-sol küncündə
Şəkil 9İki küçə və dəmir yolu
İki küçə və dəmir yoluÇinar və Bağ küçələri paralel deyil. Dəmir yolu hər ikisini kəsir. Birinci keçiddə Park yuxarı-sol (∠1), Kafe aşağı-sağ (∠4) küncdədir; ikinci keçiddə Aptek yuxarı-sol (∠5), Məktəb yuxarı-sağ (∠6) küncdədir.ParkKafeAptekMəktəbÇinar küçəsiBağ küçəsidəmir yolu
Yuxarıdakı keçid P, aşağıdakı Q rolundadır; künclər dərsdəki kimi nömrələnir.

8 · Özünü yoxla

Bacarığını sına

Cavabı seç: düz olanda lime, səhv olanda qırmızı işıqlanacaq. Nömrələr Şəkil 1-dəki kimidir. Həllə də baxa bilərsən.

  1. Asan

    ∠2 və ∠7 hansı cütdür?

    Sual 1 variantları

    Düzdür! İkisi də m və n-dən kənarda, k-nın müxtəlif tərəflərində.

    İki sual ver: ikisi də m ilə n arasındadırmı? k-nın eyni tərəfindədirlərmi?

    Həllə bax

    ∠2 P-də yuxarı-sağ (m-in üstündə), ∠7 Q-da aşağı-sol (n-in altında) bucaqdır. İkisi də xaricidir, k-nın müxtəlif tərəflərindədir — xarici çarpaz.

  2. Asan

    ∠2-yə uyğun olan bucaq hansıdır?

    Sual 2 variantları

    Düzdür! ∠2 və ∠6 öz kəsişmələrində yuxarı-sağdadır.

    Uyğun bucaqlar iki kəsişmədə eyni yeri tutur: biri P-də, biri Q-da.

    Həllə bax

    ∠2 P-də yuxarı-sağdadır; Q-da yuxarı-sağ bucaq ∠6-dır. ∠7 ilə ∠2 xarici çarpazdır, ∠3 isə ∠2-nin qarşılığıdır (eyni nöqtədə).

  3. Orta

    Q nöqtəsində ∠5 = 97°. ∠8 və ∠6 neçə dərəcədir?

    Sual 3 variantları

    Düzdür! Qarşılıq bərabərdir, qonşu 180°-yə tamamlayır.

    Hansı bucaq ∠5-in qarşılığıdır, hansı qonşusu? Qonşu bucaqların cəmi 180°-dir.

    Həllə bax

    ∠8 ∠5-in qarşılığıdır: ∠8 = 97°. ∠6 ∠5-ə qonşudur: ∠6 = 180° − 97° = 83°.

  4. Orta

    Şərt verilməyib, ∠6 = 71°. Hansı bucağın da 71° olduğunu dəqiq demək olar?

    Sual 4 variantları

    Düzdür! ∠7 ∠6-nın qarşılığıdır.

    Şərt yoxdur: P-dəki bucaqları Q-dakılardan tapmaq olmaz. Q-dakı bucaqlara bax: hansı ∠6-nın qarşılığıdır?

    Həllə bax

    ∠7 ∠6-nın qarşılığıdır: ∠7 = 71°. ∠5 ∠6-ya qonşudur: ∠5 = 180° − 71° = 109°. ∠3 P-dədir; ∠3 = ∠6 yalnız şərt kimi verilə bilər.

  5. Çətin

    Məlumdur ki, uyğun ∠4 və ∠8 bərabərdir və ∠2 = 57°. ∠5-i tapın.

    Sual 5 variantları

    Düzdür! Şərt P-dən Q-ya körpü saldı.

    Şərt verilib: ∠4 = ∠8. Əvvəl ∠4-ü, sonra ∠8-i, sonra ∠5-i tap.

    Həllə bax

    ∠4 = 180° − 57° = 123° (∠2-yə qonşu). Şərtə görə ∠8 = 123°. ∠5 ∠8-in qarşılığıdır: ∠5 = 123°. 57° ∠5-in qonşusunun ölçüsü olardı.

  6. Çətin

    m və n ixtiyari düz xətlərdir, heç bir şərt verilməyib. ∠4 = 118°. ∠5-i tapmaq olarmı?

    Sual 6 variantları

    Düzdür! Şərtsiz P-dəki bucaq Q-dakını təyin etmir.

    Daxili çarpaz bucaqların bərabərliyi, daxili birtərəflilərin 180° cəmi yalnız şərt kimi verilir. Burada şərt varmı?

    Həllə bax

    ∠4 yalnız P-dəki bucaqları verir (118° və 62°). Q-dakı bucaqlar n-in vəziyyətindən asılıdır: Nümunə 2-də ∠4 = 118°, ∠5 isə 104° idi.

9 · Yekun

Üç nəticə

  • İki sual — bir adDaxili və ya xarici: m ilə n arasında? Çarpaz və ya birtərəfli: k-nın hansı tərəfində? Uyğun — iki kəsişmədə eyni yer.
  • Hər kəsişməyə bir bucaqQarşılıqlı bucaqlar bərabərdir, qonşuların cəmi 180°; səkkiz bucağın cəmi 720°.
  • Bərabərlik yalnız şərtlə∠3 = ∠6 verilibsə, digər daxili çarpaz və uyğun bucaqlar bərabərdir, daxili birtərəflilərin cəmi 180°-dir. Şərtsiz — yox.

Növbəti mövzu: 2.17 Düz xətlərin paralellik əlamətləri — şərt ödənəndə m və n-in necə yerləşdiyini orada öyrənəcəksən.