• 2.42
  • 7-ci sinif
  • Tənliklər sistemi

Sistemin əvəzetmə üsulu ilə həlli

Sistemdə iki dəyişən var, biz isə birdəyişənli tənliyi həll etməyi bilirik. Bir dəyişəni necə yox edək? Onu bərabər olduğu ifadə ilə əvəz edək — o zaman ikinci tənlikdə yalnız y qalır.

Bu dərsdə

  • tənlikdə bir dəyişəni digəri ilə ifadə edib onu ikinci tənlikdə yerinə yazacaqsan;
  • əvəzetmə üsulunun beş addımı ilə sistemin kökünü (x; y) tapıb yoxlayacaqsan;
  • hansı dəyişəni ifadə etməyin daha əlverişli olduğunu seçəcək, mötərizəli və kəsrli sistemi əvvəlcə sadələşdirəcəksən.
Əvəzetmə: x = 7 − 3y ifadəsi ikinci tənlikdə x-in yerinə yazılır Sistem: x + 3y = 7 və 2x − y = 7. I: birinci tənlikdən x = 7 − 3y. II: ikinci tənlikdə x-in yerinə (7 − 3y) yazılır: 2 · (7 − 3y) − y = 7. III: 14 − 7y = 7, y = 1. IV: x = 7 − 3 · 1 = 4. V: yoxlama 4 + 3 = 7 və 8 − 1 = 7. Sistemin kökü (4; 1). x + 3y = 7 2x − y = 7 ⇔ I x = 7 − 3y II 2 · − y = 7 (7 − 3y) III 14 − 7y = 7, y = 1 IV x = 7 − 3 · 1 = 4 V 4 + 3 = 7 ✓8 − 1 = 7 ✓ sistemin kökü (4; 1)
  1. Eynigüclü tənliklər
  2. Beş addım
  3. Addım-addım
  4. Dəyişəni seç
  5. Əvvəl sadələşdir
  6. Diqqət
  7. Dəyişən itəndə
  8. Özünü yoxla
  9. Yekun

1 · Kəşf et

Bir tənlik — üç yazılış

Bilirsən ki, ikidəyişənli xətti tənlikdə dəyişənlərdən birini digəri ilə ifadə etmək olur. Məsələn, 2x + y = 9 tənliyindən:

y-i x ilə ifadə etsək: y = 9 − 2x x-i y ilə ifadə etsək: x = 4,5 − 0,5y

Bu üç tənliyi eyni ədədlər cütləri ödəyir. Belə tənliklərə eynigüclü tənliklər deyilir və onların arasına ⇔ (eynigüclülük işarəsi) qoyulur: 2x + y = 9 ⇔ y = 9 − 2x.

Üç cüt üç yazılışın hamısını ödəyir
(x; y)2x + y9 − 2x4,5 − 0,5y
(0; 9)9 ✓9 = y ✓0 = x ✓
(2; 5)9 ✓5 = y ✓2 = x ✓
(5; −1)9 ✓−1 = y ✓5 = x ✓

Hər sətirdə 2x + y = 9, 9 − 2x ifadəsi y-ə, 4,5 − 0,5y ifadəsi isə x-ə bərabərdir.

Əsas fikir. Sistemin kökü hər iki tənliyi ödəyən (x; y) cütüdür. Birinci tənlikdən x = 7 − 3y alınırsa, kökdə x ilə 7 − 3y eyni ədəddir. Deməli, ikinci tənlikdə x-in yerinə (7 − 3y) yazmaq olar — və orada yalnız y qalır. Sistemi belə həll etməyə əvəzetmə üsulu deyilir.

2 · Qayda

Əvəzetmə üsulunun beş addımı

Yadda saxla

Dərslikdə addımlar belə yazılıb:

  1. I

    «İkidəyişənli xətti tənliklərdən birində dəyişənin biri digəri ilə ifadə edilir.»

  2. II

    «İfadə edilmiş dəyişənin qiyməti ikinci tənlikdə yerinə yazılır.»

    İfadəni mötərizədə yaz: 2 · (7 − 3y).

  3. III

    «Alınan birdəyişənli xətti tənlik həll edilir və dəyişənin qiyməti tapılır.»

  4. IV

    «Dəyişənin alınmış qiyməti sistemin istənilən tənliyində yerinə yazılır və digər dəyişənin qiyməti tapılır. Alınan ədədlər cütü xətti tənliklər sisteminin köküdür.»

    Ən rahatı I addımda yazdığın ifadədir. Cütdə əvvəl x, sonra y yazılır: (x; y).

  5. V

    «Alınan ədədlər cütünü verilmiş xətti tənliklər sistemində dəyişənlərin yerinə yazaraq cavabın doğruluğu yoxlanılır.»

    Hər iki tənlik doğru bərabərliyə çevrilməlidir.

Seçim səndədir

Dərslik deyir: «Hansı dəyişəni digəri ilə ifadə etməniz sizin seçiminizdən asılıdır.» İstənilən tənlikdən, istənilən dəyişəni ifadə etmək olar.

Əlverişli seçim

Əmsalı 1 və ya −1 olan dəyişəni seç: o, kəsrsiz ifadə olunur. x + 3y = 7 → x = 7 − 3y.

3 · Addım-addım

Beş addımı bir sistemdə izləyək

Sistemi əvəzetmə üsulu ilə həll edək. Hər addımda yeni sistem əvvəlkinə eynigüclüdür, ona görə sətirləri ⇔ ilə birləşdiririk.

Nümunə 1. 3x + y = 2;4x − 3y = 20

  1. I

    Birinci tənlikdə y-in əmsalı 1-dir — onu x ilə ifadə edirik.

    y = 2 − 3x;4x − 3y = 20
  2. II

    İkinci tənlikdə y-in yerinə (2 − 3x) yazırıq.

    ⇔y = 2 − 3x;4x − 3(2 − 3x) = 20

    Mötərizəni açanda −3 hər iki həddə vurulur: −3 · 2 = −6, −3 · (−3x) = +9x.

  3. III

    Birdəyişənli tənliyi həll edirik.

    4x − 6 + 9x = 20⇔13x = 26⇔x = 2
  4. IV

    x = 2-ni I addımdakı ifadədə yerinə yazırıq.

    y = 2 − 3 · 2;x = 2⇔y = −4;x = 2⇔(2; −4)
  5. V

    Cütü verilmiş sistemə yazıb yoxlayırıq.

    3 · 2 + (−4) = 2;4 · 2 − 3 · (−4) = 20⇔2 = 2 ✓;20 = 20 ✓

    Hər iki bərabərlik doğrudur.

Cavab: (2; −4)

Nümunə 1 beş addımda: y ifadə olunur, ikinci tənliyə yazılır, x tapılır, sonra y, sonda yoxlama.

4 · Dəyişəni seç

Hansını ifadə etmək rahatdır?

Dəyişənlər x və y olmaya da bilər. Burada a və b var, cüt isə (a; b) şəklində yazılır.

Nümunə 2Əmsalı 1 olan dəyişəni axtar

Sistemi həll edin: 5a − 2b = 16;a + 4b = −10

  1. SeçimBirinci tənlikdən b-ni ifadə etsək, kəsr alınır: b = 2,5a − 8. İkinci tənlikdə a-nın əmsalı 1-dir: a = −10 − 4b — bu daha əlverişlidir.
  2. Birinci tənlikdə a-nın yerinə yazırıq: 5(−10 − 4b) − 2b = 16.
  3. Həll edirik: −50 − 20b − 2b = 16, −22b = 66, b = −3.
  4. a = −10 − 4 · (−3) = −10 + 12 = 2.
  5. Yoxla5 · 2 − 2 · (−3) = 10 + 6 = 16 ✓; 2 + 4 · (−3) = −10 ✓.

(a; b) = (2; −3)

Kəsrli yolla (b = 2,5a − 8) da eyni cavab alınar — sadəcə hesab uzanar. Seçim düzgünlüyə yox, rahatlığa təsir edir.

5 · Əvvəl sadələşdir

Mötərizə və kəsr olanda

Tənliklərdə mötərizə və ya kəsr varsa, əvvəlcə hər tənliyi ax + by = c şəklinə gətiririk. Kəsrdən azad olmaq üçün tənliyin hər iki tərəfini ortaq məxrəcə vururuq.

Nümunə 3Sadələşdir, sonra əvəz et

Sistemi həll edin: x3 / − y2 / = 4;2(x + y) − 3 = y + 13

  1. Birinci tənliyin hər iki tərəfini 6-ya vururuq: 2x − 3y = 24.
  2. İkincidə mötərizəni açıb oxşar hədləri toplayırıq: 2x + 2y − 3 = y + 13 ⇔ 2x + y = 16.
  3. Yeni sistemdə y-in əmsalı 1-dir: y = 16 − 2x. Onu birinci tənlikdə yazırıq: 2x − 3(16 − 2x) = 24.
  4. 2x − 48 + 6x = 24, 8x = 72, x = 9; y = 16 − 2 · 9 = −2.
  5. Yoxla verilmiş sistemdə: 9 : 3 − (−2) : 2 = 3 + 1 = 4 ✓; 2 · 7 − 3 = 11 və −2 + 13 = 11 ✓.

(9; −2)

6 · Diqqət

Tez-tez buraxılan səhvlər

I addımda işarə

Səhv

3x − y = 4 → y = 4 − 3x

−y-ni sağa keçirəndə işarə dəyişdirilməyib.

Düz

3x − y = 4 → y = 3x − 4

3x − 4 = y; yoxla: x = 2 olanda y = 2 və 6 − 2 = 4.

II addımda mötərizə

Səhv

2(5 − 3y) = 10 − 3y

2 yalnız birinci həddə vurulub.

Düz

2(5 − 3y) = 10 − 6y

Mötərizə qarşısındakı ədəd hər həddə vurulur. Ona görə ifadəni həmişə mötərizədə yaz.

İfadəni hansı tənliyə yazmalı?

Səhv

x + 3y = 7: (7 − 3y) + 3y = 7

İfadə alındığı tənliyə qaytarılıb: 7 = 7 alınır, y tapılmır.

Düz

2x − y = 7: 2(7 − 3y) − y = 7

İfadəni digər tənlikdə yerinə yaz — yeni məlumat oradadır.

Yarımçıq cavab

Səhv

Cavab: x = 2 və ya (−4; 2)

Yalnız bir dəyişən tapılıb, ya da cütdə yerlər dəyişib.

Düz

Cavab: (2; −4)

Kök hər iki dəyişənin qiymətidir: əvvəl x, sonra y. V addımda hər iki tənliyi yoxla.

7 · Dəyişən itəndə

Bəs III addımda dəyişən yox olsa?

Əvvəlki mövzudan bilirsən: sistemin yeganə kökü ola bilər, kökü olmaya bilər, ya da sonsuz sayda kökü ola bilər. Əvəzetmə üsulunda son iki hal III addımda görünür: dəyişən ixtisar olunur və 0 · y = k şəklində tənlik qalır.

0 · y = 2 → kökü yoxdur

x = 2y + 1;3x − 6y = 5

3(2y + 1) − 6y = 5, 6y + 3 − 6y = 5, 0 · y = 2. Hər y üçün 0 · y = 0, 0 = 2 isə yalandır — bu tənliyi heç bir y ödəmir.

0 · y = 0 → sonsuz sayda kök

x = 2y + 1;3x − 6y = 3

3(2y + 1) − 6y = 3, 0 · y = 0. Bunu istənilən y ödəyir; hər y üçün x = 2y + 1: (1; 0), (3; 1), (−1; −1), …

Nisbətlə müqayisə et. Hər iki sistemdə birinci tənlik x − 2y = 1 şəklindədir. Uyğun əmsalların nisbəti eynidir: 13 / = −2−6 / . Birinci sistemdə sərbəst hədlərin nisbəti 15 / -dir — fərqlidir, kök yoxdur. İkincidə 13 / -dür — eynidir, sonsuz sayda kök var (əvvəlki mövzudakı nisbət qaydası). Əvəzetmə də nisbət qaydası da eyni nəticəyə gəlir.

0 · y = 2-dən «y = 2» və ya «y = 0» yazmaq səhvdir; 0 · y = 0-ı «kök yoxdur» kimi oxumaq da səhvdir.

8 · Özünü yoxla

Bacarığını sına

Cavabı seç — düzgün olanda yaşıl, səhv olanda qırmızı işıqlanacaq və ipucu çıxacaq. Hər sualın altında həll var.

  1. Asan

    Sistemin kökünü tapın: y = 4x;x + y = 10

    Sual 1: cavabı seç

    Düzdür! x + 4x = 10, x = 2, y = 4 · 2 = 8.

    Yox. Cütdə əvvəl x yazılır və cüt hər iki tənliyi ödəməlidir: y = 4x olmalıdır.

    Həllə bax

    I addım hazırdır: y = 4x. II: x + 4x = 10. III: 5x = 10, x = 2. IV: y = 4 · 2 = 8. V: 8 = 4 · 2 ✓, 2 + 8 = 10 ✓. Kök (2; 8). (8; 2)-də yerlər dəyişib, (1; 9) isə yalnız ikinci tənliyi ödəyir.

  2. Asan

    5x − y = 3 tənliyində y-i x ilə ifadə edin.

    Sual 2: cavabı seç

    Düzdür! 5x − 3 = y.

    Yox. −y-ni sağa, 3-ü sola keçir: hər keçiddə işarə dəyişir.

    Həllə bax

    5x − y = 3 ⇔ 5x − 3 = y ⇔ y = 5x − 3. Yoxla: x = 1 olanda y = 2 və 5 − 2 = 3 ✓.

  3. Orta

    y = 2x − 5 ifadəsini 4x − 3y = 9 tənliyində yerinə yazıb mötərizəni açdıq. Hansı tənlik alınır?

    Sual 3: cavabı seç

    Düzdür! −3 · (−5) = +15.

    Yox. −3 mötərizədəki hər həddə vurulur: −3 · 2x = −6x, −3 · (−5) = +15.

    Həllə bax

    4x − 3(2x − 5) = 9 ⇔ 4x − 6x + 15 = 9 ⇔ −2x = −6 ⇔ x = 3; y = 2 · 3 − 5 = 1. Kök (3; 1).

  4. Orta

    Sistemdə hansı dəyişəni ifadə etmək ən əlverişlidir? 7x + 2y = 3;4x − y = 6

    Sual 4: cavabı seç

    Düzdür! y-in əmsalı −1-dir: y = 4x − 6, kəsr yoxdur.

    Yox. Bu seçim də düzgün cavaba aparır, amma kəsr yaranır. Əmsalı 1 və ya −1 olan dəyişəni axtar.

    Həllə bax

    İkinci tənlikdən y = 4x − 6. Birinciyə yazırıq: 7x + 2(4x − 6) = 3, 15x = 15, x = 1; y = 4 − 6 = −2. Kök (1; −2). Birincidən x = (3 − 2y) : 7 və ya y = 1,5 − 3,5x kəsrlidir.

  5. Çətin

    Sistemin kökünü tapın: x2 / + y = 4;x − 3y = −2

    Sual 5: cavabı seç

    Düzdür! x + 2y = 8 və x − 3y = −2-dən (4; 2).

    Yox. Kəsrdən azad olanda sağ tərəfi də 2-yə vur (x + 2y = 8), cütdə isə əvvəl x yazılır.

    Həllə bax

    Birinci tənliyi 2-yə vururuq: x + 2y = 8, x = 8 − 2y. İkinciyə yazırıq: 8 − 2y − 3y = −2, −5y = −10, y = 2; x = 8 − 4 = 4. Yoxla: 4 : 2 + 2 = 4 ✓, 4 − 6 = −2 ✓. (1,6; 1,2) yalnız sol tərəfi vuranda (x + 2y = 4) alınır.

9 · Yekun

Üç şeyi yadda saxla

  • İfadə et və əvəz etBir dəyişəni digəri ilə ifadə et (əmsalı 1 və ya −1 olanı seç), ifadəni digər tənlikdə mötərizədə yerinə yaz.
  • Beş addımİfadə et → yerinə yaz → birdəyişənli tənliyi həll et → ikinci dəyişəni tap → hər iki tənlikdə yoxla. Cavab (x; y).
  • Əvvəl sadələşdirMötərizəni aç, kəsrdən azad ol (hər iki tərəfi vur). 0 · y = k alınsa: k ≠ 0 — kök yoxdur, k = 0 — sonsuz sayda kök.

Növbəti mövzu: 2.43 Sistemin toplama üsulu ilə həlli.