• 2.41
  • 7-ci sinif
  • Xətti tənliklər sistemi

Sistemi qrafiklə həll edirik

Hər xətti tənliyin qrafiki bir düz xəttdir. İki düz xətt harada görüşür? Kəsişmə nöqtəsi hər iki xəttin üzərindədir, ona görə onun koordinatları sistemin köküdür.

Bu dərsdə

  • sistemin hər tənliyinin qrafikini iki nöqtə ilə — oxlarla kəsişmə nöqtələri və ya y-i x ilə ifadə edib — quracaqsan;
  • kəsişmə nöqtəsinin koordinatlarını (x; y) cütü kimi oxuyub hər iki tənlikdə yoxlayacaqsan;
  • qrafiklərin vəziyyətinə görə köklərin sayını deyəcək və qrafik cavabın nə vaxt dəqiq olmadığını biləcəksən.
İki tənliyin qrafiki A(2; 3) nöqtəsində kəsişir3x + 2y = 12 düz xətti (0; 6) və (4; 0) nöqtələrindən, x − y = −1 düz xətti (−1; 0) və (0; 1) nöqtələrindən keçir. Xətlər A(2; 3) nöqtəsində kəsişir.xy−3−2−1123456−2−1123456012A(2; 3)
  • 13x + 2y = 12
  • 2x − y = −1
  • A3 · 2 + 2 · 3 = 12 ✓, 2 − 3 = −1 ✓ → kök (2; 3)
  1. Ortaq nöqtə
  2. Qrafik üsul
  3. Hesabla
  4. Üç hal
  5. Diqqət
  6. Özünü yoxla
  7. Yekun

1 · Kəşf et

Niyə kəsişmə nöqtəsi kökdür?

Yadına sal: ikidəyişənli xətti tənliyin qrafiki düz xəttdir və onun hər nöqtəsinin koordinatları həmin tənliyi ödəyir. Sistemin kökü isə hər iki tənliyi ödəyən cütdür.

Lövhədə {3x + 2y = 12; x − y = −1} sisteminin qrafikləri var. Nöqtəni seç və onun koordinatlarını iki tənlikdə yoxla.

Nöqtə seç
Üç nöqtə: P, Q və AP(4; 0) yalnız 3x + 2y = 12 xəttinin, Q(0; 1) yalnız x − y = −1 xəttinin üzərindədir; A(2; 3) hər iki xəttin üzərindədir.xy−3−2−1123456−2−1123456012PQA
Lövhə 1Bir xəttin nöqtəsi, iki xəttin nöqtəsi

P(4; 0) — 1-ci xəttin OX oxu ilə kəsişmə nöqtəsi.

  • 13 · 4 + 2 · 0 = 12 ✓
  • 24 − 0 = 4 ≠ −1 ✗

P yalnız 1-ci xəttin üzərindədir — sistemin kökü deyil.

Q(0; 1) — 2-ci xəttin OY oxu ilə kəsişmə nöqtəsi.

  • 13 · 0 + 2 · 1 = 2 ≠ 12 ✗
  • 20 − 1 = −1 ✓

Q yalnız 2-ci xəttin üzərindədir — sistemin kökü deyil.

A(2; 3) — iki xəttin kəsişmə nöqtəsi.

  • 13 · 2 + 2 · 3 = 12 ✓
  • 22 − 3 = −1 ✓

A hər iki xəttin üzərindədir: (2; 3) sistemin köküdür.

Xəttin hər nöqtəsi yalnız öz tənliyini ödəyir. Hər iki tənliyi ödəyən nöqtə hər iki xəttin üzərində olmalıdır — bu, onların ortaq nöqtəsidir.

2 · Qayda

Qrafik üsul

Yadda saxla

Sistemi qrafik üsulla həll etmək üçün sistemdəki hər xətti tənliyin qrafikini eyni koordinat müstəvisində qururuq. Qrafiklər kəsişirsə, kəsişmə nöqtəsinin koordinatları sistemin köküdür.

  1. Hər tənlik üçün iki nöqtə tap və onları düz xətlə birləşdir.
  2. Kəsişmə nöqtəsini tap və koordinatlarını oxu: əvvəl x (OX oxu üzrə), sonra y (OY oxu üzrə).
  3. Oxunan cütü hər iki tənlikdə yoxla.
  4. Cavabı cüt kimi yaz: (x; y).

Düz xətti qurmaq üçün iki nöqtə kifayətdir. Onları iki yolla seçmək rahatdır:

Oxlarla kəsişmə

x = 0 qoy → OY oxu üzərindəki nöqtə; y = 0 qoy → OX oxu üzərindəki nöqtə.

y-i x ilə ifadə et

y = kx + b şəklinə gətir və iki x üçün y-i hesabla. b xəttin OY oxunu kəsdiyi nöqtədir.

y = b xətti

y = −2 kimi tənliyin qrafiki OX oxuna paralel (üfüqi) düz xəttdir: onun bütün nöqtələrində y = −2.

3 · Hesabla

Qur, oxu, yoxla

Nümunə 1Oxlarla kəsişmə nöqtələri ilə

Sistemi qrafik üsulla həll edin: {x + 3y = 3; x − y = −5}.

  1. x + 3y = 3: x = 0 olanda 3y = 3, y = 1 → (0; 1); y = 0 olanda x = 3 → (3; 0).
  2. x − y = −5: x = 0 olanda −y = −5, y = 5 → (0; 5); y = 0 olanda x = −5 → (−5; 0).
  3. Hər cüt nöqtəni düz xətlə birləşdiririk. Xətlər B nöqtəsində kəsişir: x = −3, y = 2.
Nümunə 1: oxlarla kəsişmə nöqtələri ilə qurulan iki düz xəttx + 3y = 3 xətti (0; 1) və (3; 0), x − y = −5 xətti (0; 5) və (−5; 0) nöqtələrindən keçir; xətlər B(−3; 2) nöqtəsində kəsişir.xy−5−4−3−2−1123−2−11234512B(−3; 2)
Lövhə 2Dörd nöqtə, iki xətt, bir kəsişmə
  1. Yoxlama: −3 + 3 · 2 = 3 ✓, −3 − 2 = −5 ✓.

    Cavab: (−3; 2)

Nümunə 2y-i x ilə ifadə edib

Sistemi qrafik üsulla həll edin: {2x + y = 3; x − y = 3}.

  1. Hər tənlikdə y-i x ilə ifadə edirik: y = 3 − 2x, y = x − 3.
  2. Hər xətt üçün iki nöqtə hesablayırıq:
    y = 3 − 2x
    x02
    y3−1
    y = x − 3
    x03
    y−30
  3. Xətləri qururuq: onlar C nöqtəsində kəsişir, x = 2, y = −1. C 1-ci cədvəlin ikinci nöqtəsidir.
Nümunə 2: y = 3 − 2x və y = x − 3 qrafikləriy = 3 − 2x xətti (0; 3) və (2; −1), y = x − 3 xətti (0; −3) və (3; 0) nöqtələrindən keçir; xətlər C(2; −1) nöqtəsində kəsişir.xy−2−11234−3−2−112312C(2; −1)
Lövhə 3Cədvəldən qrafikə
  1. Yoxlama: 2 · 2 + (−1) = 3 ✓, 2 − (−1) = 3 ✓.

    Cavab: (2; −1)

4 · Qayda

İki düz xətt — üç hal

İki düz xətt müstəvidə üç cür yerləşə bilər. Qrafik üsulda hər halın öz cavabı var.

Kəsişən qrafiklər3x + 2y = 12 və x − y = −1 düz xətləri bir nöqtədə, A(2; 3)-də kəsişir.xy−3−2−1123−3−2−112312A
Kəsişir → bir kök{3x + 2y = 12; x − y = −1}: yeganə ortaq nöqtə A(2; 3).
Paralel qrafikləry = 0,5x + 2 və y = 0,5x − 1 düz xətləri paraleldir, ortaq nöqtələri yoxdur.xy−3−2−1123−3−2−112312
Paraleldir → kök yoxdur{x − 2y = −4; x − 2y = 2}: y = 0,5x + 2 və y = 0,5x − 1. Bucaq əmsalı eyni, sərbəst hədd fərqli — ortaq nöqtə yoxdur.
Üst-üstə düşən qrafiklər3x − y = 2 və 6x − 2y = 4 tənliklərinin qrafiki eyni y = 3x − 2 düz xəttidir; (0; −2) və (1; 1) kimi bütün nöqtələr ortaqdır.xy−3−2−1123−3−112312
Üst-üstə düşür → sonsuz sayda kök{3x − y = 2; 6x − 2y = 4}: hər ikisi y = 3x − 2-dir. Xəttin hər nöqtəsi kökdür, məsələn (0; −2), (1; 1).

Qayda

  • Qrafiklər kəsişirsə, kəsişmə nöqtəsinin koordinatları sistemin köküdür — kök birdir.
  • Qrafiklər paraleldirsə, sistemin kökü yoxdur.
  • Qrafiklər üst-üstə düşürsə, sistemin sonsuz sayda kökü var.

İki kök olmur

İki fərqli düz xəttin ən çoxu bir ortaq nöqtəsi olur. Ona görə xətti tənliklər sisteminin düz iki (üç…) kökü ola bilməz.

Qurmadan bilmək

Köklərin sayını əvvəlcədən əmsalların nisbətləri ilə də tapmaq olar (keçən dərs). Qrafik eyni cavabı göstərir.

5 · Diqqət

Qrafik həmişə dəqiq deyil

{x + y = 4; 2x − y = 1} sisteminin qrafiklərinə bax. Kəsişmə nöqtəsi K damaların düyünündə deyil: x 1 ilə 2 arasında, y 2 ilə 3 arasındadır.

Kəsişmə nöqtəsi damaların düyünündə deyilx + y = 4 və 2x − y = 1 düz xətləri 1 ilə 2 arasındakı x və 2 ilə 3 arasındakı y-də kəsişir; həmin xana punktir çərçivə ilə göstərilib.xy−1123−11234012
Lövhə 4Kəsişmə xananın içindədir
Böyüdülmüş xanax 1-dən 2-yə, y 2-dən 3-ə qədər olan xana böyüdülüb. Düz xətlər K nöqtəsində, xananın içində kəsişir; (2; 2) düyünü yalnız x + y = 4 xəttinin üzərindədir.1223(2; 2)K
Lövhə 5Punktir xana böyüdülüb
  1. Göz ilə ən yaxın düyünü — (2; 2)-ni götürsək: 2 + 2 = 4 ✓, amma 2 · 2 − 2 = 2 ≠ 1 ✗. (2; 2) yalnız 1-ci xəttin üzərindədir — kök deyil.
  2. Sistemin dəqiq kökü (53 / ; 73 / )-dür, yəni təxminən (1,7; 2,3). Onu qrafikdən oxumaq olmur; növbəti dərslərdəki əvəzetmə və toplama üsulları bu cavabı dəqiq verir.
  3. Biz isə onu yoxlaya bilərik: 53 / + 73 / = 123 / = 4 ✓, 103 / − 73 / = 1 ✓.

Nəticə

Kəsişmə nöqtəsinin koordinatlarını dəqiq müəyyən etmək çox vaxt çətin olduğu üçün qrafik üsul həmişə əlverişli olmur. Qrafikdən oxunan cütü hər dəfə hər iki tənlikdə yoxla: yoxlama ödənmirsə, oxunuş dəqiq deyil.

İki tez-tez edilən səhv

Səhv

kök (3; 2)

Cütün yeri dəyişib: 3 · 3 + 2 · 2 = 13 ≠ 12.

Düz

kök (2; 3)

Əvvəl absis x (OX oxu üzrə), sonra ordinat y (OY oxu üzrə) — Lövhə 1, A nöqtəsi.

Səhv

kök (4; 0)

(4; 0) yalnız 1-ci xəttin OX oxu ilə kəsişmə nöqtəsidir: 4 − 0 = 4 ≠ −1.

Düz

kök — iki xəttin ortaq nöqtəsi

Oxlarla kəsişmə nöqtələri yalnız xətləri qurmağa kömək edir.

6 · Özünü yoxla

Bacarığını sına

Cavabı seç: düz olanda lime, səhv olanda qırmızı işıqlanacaq. Həllə də baxa bilərsən.

  1. Asan

    Sistemin tənliklərinin qrafikləri M(4; −1) nöqtəsində kəsişir. Sistemin kökü hansıdır?

    Sual 1 variantları

    Düzdür! Kəsişmə nöqtəsinin koordinatları kökdür.

    Kök həm x-i, həm y-i olan cütdür; cütdə əvvəl x yazılır.

    Həllə bax

    Kəsişmə nöqtəsi M(4; −1): x = 4, y = −1. Sistemin kökü (4; −1) cütüdür. (−1; 4) yeri dəyişmiş cütdür.

  2. Asan

    {2x + y = 2; 4x + 2y = 4} sisteminin qrafikləri necə yerləşir?

    Sual 2 variantları

    Düzdür! Hər iki tənlik y = 2 − 2x xəttini verir.

    İkinci tənliyi 2-yə böl. Nə alınır?

    Həllə bax

    4x + 2y = 4 tənliyini 2-yə bölsək, 2x + y = 2 alınır — birinci tənliyin özü. Hər ikisinin qrafiki y = 2 − 2x düz xəttidir, xətlər üst-üstə düşür, sistemin sonsuz sayda kökü var.

  3. Orta

    2x + 5y = 10 düz xətti koordinat oxlarını hansı nöqtələrdə kəsir?

    Sual 3 variantları

    Düzdür! y = 0 → x = 5; x = 0 → y = 2.

    Bir dəyişəni 0 qoy və o birini tənlikdən tap.

    Həllə bax

    OX oxu: y = 0, 2x = 10, x = 5 → (5; 0). OY oxu: x = 0, 5y = 10, y = 2 → (0; 2). (2; 0) və (0; 5) əmsallarla ədədlərin qarışdırılmasıdır.

  4. Orta

    {y = −1; 2x + y = 5} sistemini qrafik üsulla həll edin.

    Sual 4 variantları

    Düzdür! Üfüqi y = −1 xətti 2x + y = 5 xəttini (3; −1)-də kəsir.

    y = −1 üfüqi xəttdir: kəsişmə nöqtəsinin y-i −1 olmalıdır.

    Həllə bax

    y = −1 OX oxuna paralel düz xəttdir. 2x + y = 5 xətti (0; 5) və (2,5; 0) nöqtələrindən keçir. Xətlər (3; −1)-də kəsişir. Yoxlama: y = −1 ✓, 2 · 3 + (−1) = 5 ✓. (2,5; 0) yalnız ikinci xəttin OX oxu ilə kəsişməsidir.

  5. Çətin

    İkidəyişənli xətti tənliklər sisteminin düz iki kökü ola bilərmi?

    Sual 5 variantları

    Düzdür! Kök ya bir, ya heç biri, ya da sonsuz saydadır.

    İki fərqli düz xətt neçə nöqtədə kəsişə bilər? Və OY oxu ilə kəsişmə ortaq nöqtədirmi?

    Həllə bax

    İki fərqli düz xəttin ən çoxu bir ortaq nöqtəsi olur. Paralel xətlərin OY oxu ilə iki kəsişmə nöqtəsi hərəsi yalnız bir xəttin nöqtəsidir — ortaq deyil, kök deyil. Ona görə kök ya bir, ya yoxdur, ya da sonsuz saydadır.

7 · Yekun

Üç nəticə

  • Kəsişmə nöqtəsi = kökHər tənliyin qrafikini qur, kəsişmə nöqtəsini (x; y) kimi oxu.
  • Üç halKəsişir → bir kök; paralel → kök yoxdur; üst-üstə → sonsuz sayda kök.
  • Həmişə yoxlaCüt hər iki tənliyi ödəməlidir; nöqtə düyündə deyilsə, qrafik cavab dəqiq olmaya bilər.

Növbəti mövzu: 2.42 Əvəzetmə üsulu — kökü qrafiksiz və dəqiq tapmaq.