• 2.5
  • 7-ci sinif
  • Statistika və ehtimal

Hadisələrin cəmi

Çarxın 8 bərabər sektorundan 3-ü göy, 2-si narıncıdır. Ox göy və ya narıncı sektorda dayanacaq — bunun ehtimalı nədir? Cavab: 3/8 + 2/8 = 5/8. Bəs ehtimalları toplamaq hər zaman olarmı?

Bu dərsdə

  • «A və ya B» hadisəsini — hadisələrin cəmini — tanıyıb onun əlverişli hallarını sayacaqsan;
  • uyuşmayan hadisələrin ehtimallarını toplayacaq, ortaq halı olan hadisələrdə isə halları bir dəfə sayacaqsan;
  • bir-birini tamamlayan hadisələrdə «olmayan» hadisənin ehtimalını 1-dən çıxmaqla tapacaqsan.
8 sektorlu çarx: göy və ya narıncı sektorun ehtimalı 5/8-dir Çarx 8 bərabər sektora bölünüb: 3 göy (G), 2 narıncı (N), 2 qırmızı (Q) və 1 yaşıl (Y). Qırmızı və yaşıl sektorlar solğunlaşır, göy və narıncı sektorlar parlaq qalır. Kartda: G və ya N, 3/8 + 2/8 = 5/8. 8 bərabər sektor G N G N G Q Y Q G və ya N 3/8 + 2/8 = 5/8 Ggöy Nnarıncı Qqırmızı Yyaşıl
  1. Kəşf et
  2. Qayda
  3. Tamamlayan hadisələr
  4. Hesabla
  5. Diqqət
  6. Həyatda
  7. Özünü yoxla

1 · Kəşf et

«Və ya» nə deməkdir?

Xatırla: hallar eyniimkanlıdırsa, P(A) = əlverişli halların sayı : bütün halların sayı. Zər atanda 6 hal var. İndi iki hadisəni «və ya» ilə birləşdirək: A və ya B hadisəsi o zaman baş verir ki, onlardan heç olmasa biri baş versin.

Hansı iki hadisəni birləşdirək?
Zərin altı üzü və seçilmiş hadisələr Zərin 1-dən 6-ya qədər altı üzü. Seçilən cütə görə A hadisəsinin üzləri göy, B hadisəsinin üzləri narıncı rənglənir və altında A və ya B yazılır. Hər iki hadisəyə düşən üz iki rəngli olur, qırmızı çərçivə alır və altında «A, B» yazılır. A A A B B A A, B

A = «1 düşür», B = «6 düşür». Əlverişli hallar: 1 və 6 — 2 hal. P(1 və ya 6) = 2/6 = 1/3. Bir atışda 1 də, 6 da birdən düşə bilməz.

A = «cüt düşür» (2, 4, 6), B = «5 düşür». Birlikdə: 2, 4, 5, 6 — 4 hal, P = 4/6 = 2/3. Ortaq üz yoxdur, ona görə 3/6 + 1/6 = 4/6 də eyni cavabı verir.

A = «cüt düşür» (2, 4, 6), B = «4-dən böyük düşür» (5, 6). 6 hər iki hadisədədir! Birlikdə yenə 2, 4, 5, 6 — 4 hal, P = 4/6 = 2/3. 3 + 2 = 5 hal desək, 6-nı iki dəfə saymış olarıq.

Göy üzlər A hadisəsinə, narıncı üzlər B hadisəsinə uyğundur; iki rəngli üz hər ikisinə aiddir.

Deməli, «A və ya B» hadisəsinin əlverişli halları A-nın və B-nin hallarının birlikdə siyahısıdır, hər hal bir dəfə yazılır. Ortaq hal olmayanda bu sayları sadəcə toplamaq olur.

2 · Qayda

Hadisələrin cəmi və toplama qaydası

Yadda saxla

İki A və B hadisələrindən heç olmasa birinin baş verməsi bu hadisələrin cəmi adlanır və A + B kimi yazılır.

Eyni vaxtda baş verə bilməyən hadisələrə uyuşmayan hadisələr deyilir. Uyuşmayan A və B hadisələri üçün:

P(A + B) = P(A) + P(B)

Uyuşmayan hadisələrin cəminin ehtimalı onların ehtimallarının cəminə bərabərdir.

Çarxın 8 sektoru bir zolaqda Çarxın sektorları sıraya düzülüb: 3 göy, 2 narıncı, 2 qırmızı, 1 yaşıl. Göy sektorlar 3 hal, narıncılar 2 hal, birlikdə 5 hal. 3/8 + 2/8 = 5/8. G və ya N: 5 hal GGG NN QQY G: 3 hal N: 2 hal 3/8 + 2/8 = 5/8
Göy və narıncı sektorların ortaq hissəsi yoxdur: ox eyni anda iki sektorda dayana bilməz. Ona görə hallar, deməli ehtimallar da toplanır.

Niyə toplamaq olur? Uyuşmayan hadisələrin ortaq halı yoxdur, ona görə A + B-nin əlverişli hallarının sayı A və B-nin hallarının sayları cəminə bərabərdir. Hər iki say eyni ümumi say (burada 8) ilə bölündüyü üçün ehtimallar da toplanır.

Uyuşmayan hadisələr

«2 düşür» və «5 düşür»

Bir atışda ikisi birdən ola bilməz: P(2 və ya 5) = 1/6 + 1/6 = 2/6 = 1/3.

Uyuşan hadisələr

«cüt düşür» və «4-dən böyük düşür»

Uyuşan hadisələr eyni vaxtda baş verə bilən hadisələrdir: 6 düşəndə ikisi də baş verir. Onlara toplama qaydası tətbiq olunmur — halları sayırıq.

3 · Tamamlayan hadisələr

«Baş verir» və «baş vermir»

Zər atanda «cüt düşür» və «tək düşür» hadisələri uyuşmayandır, amma onlardan biri mütləq baş verir: onların cəmi yəqin hadisədir, ehtimalı 1-dir.

Yadda saxla

Uyuşmayan hadisələrin cəmi yəqin hadisədirsə, onlar bir-birini tamamlayan hadisələrdir. Onların ehtimalları cəmi 1-ə bərabərdir:

P(A) + P(A olmayan) = 1

Buradan: P(A olmayan) = 1 − P(A).

Yağış yağır və yağmır: 0,35 + 0,65 = 1 0-dan 1-ə qədər zolaq iki hissəyə bölünüb: göy hissə 0,35 — yağış yağır, narıncı hissə 0,65 — yağış yağmır. İki hissə birlikdə bütün zolağı, yəni 1-i tutur. 0 1 0,35 0,65 yağır yağmır
Proqnoz: sabah yağış yağma ehtimalı 0,35. Yağmaması ehtimalı 1 − 0,35 = 0,65.

Bu qayda xüsusilə «olmayan» suallarında rahatdır: «sarı olmayan», «qüsursuz», «6-dan fərqli» kimi hadisələrin hallarını tək-tək saymaq əvəzinə əks hadisənin ehtimalını 1-dən çıxırıq.

4 · Hesabla

Əvvəl yoxla, sonra topla

Hər məsələdə əvvəlcə soruşuruq: hadisələr eyni vaxtda baş verə bilərmi? Bilmirsə, ehtimalları toplayırıq.

Nümunə 1Torbadan kürə

Torbada 4 qırmızı, 5 göy və 3 yaşıl kürə var. Təsadüfən bir kürə götürülür. Onun qırmızı və ya yaşıl olma ehtimalını tapın.

  1. Cəmi: 4 + 5 + 3 = 12 kürə, hamısı eyniimkanlıdır.
  2. Bir kürə həm qırmızı, həm yaşıl ola bilməz — hadisələr uyuşmayandır.
  3. P(qırmızı) = 4/12, P(yaşıl) = 3/12, deməli P(qırmızı və ya yaşıl) = 4/12 + 3/12 = 7/12.

    P = 7/12

Nümunə 2Kartlar

1-dən 20-yə qədər nömrələnmiş 20 kartdan biri çəkilir. Kartdakı ədədin 5-ə və ya 7-yə bölünən olma ehtimalını tapın.

  1. 5-ə bölünənlər: 5, 10, 15, 20 — 4 kart. 7-yə bölünənlər: 7, 14 — 2 kart.
  2. Ortaq kart yoxdur (həm 5-ə, həm 7-yə bölünən ən kiçik ədəd 35-dir) — hadisələr uyuşmayandır.
  3. P = 4/20 + 2/20 = 6/20 = 3/10 = 0,3.

    P = 0,3

Nümunə 3Qüsursuz oyuncaq

Fabrikdə buraxılan oyuncaqların 3%-i qüsurludur. Təsadüfən götürülən oyuncağın qüsursuz olma ehtimalı nədir?

  1. 3% = 0,03, yəni P(qüsurlu) = 0,03.
  2. «Qüsurlu» və «qüsursuz» bir-birini tamamlayan hadisələrdir.
  3. P(qüsursuz) = 1 − 0,03 = 0,97.

    P = 0,97

5 · Diqqət

Ortaq halı iki dəfə sayma

1-dən 12-yə qədər nömrələnmiş kartlardan biri çəkilir. Ədədin cüt və ya 3-ə bölünən olma ehtimalı nədir?

Səhv düşüncə

6/12 + 4/12 = 10/12

6 və 12 həm cüt, həm də 3-ə bölünəndir — onlar iki dəfə sayılıb.

Düzgün

8/12 = 2/3

Hadisələr uyuşandır, ona görə halları sayırıq: 2, 3, 4, 6, 8, 9, 10, 12 — 8 kart.

1–12 kartlarında cüt və 3-ə bölünən ədədlər 12 kart iki sırada. Cüt ədədlər (2, 4, 8, 10) göy, 3-ə bölünənlər (3, 9) narıncıdır. 6 və 12 yarı göy, yarı narıncıdır və qırmızı çərçivədədir: onlar hər iki hadisəyə aiddir və bir dəfə sayılmalıdır. Birlikdə 8 kart: P = 8/12 = 2/3. 15711 2 4 8 10 3 9 612 cüt: 2, 4, 6, 8, 10, 12 → 6 3-ə bölünən: 3, 6, 9, 12 → 4 ortaq: 6 və 12 — bir dəfə birlikdə 8 kart: P = 8/12 = 2/3
Cüt ədədlər 6 kart, 3-ə bölünənlər 4 kartdır, amma 6 və 12 hər iki siyahıdadır. Birlikdə 6 + 4 = 10 yox, 8 kart alınır.

Bir də «və ya» ilə «və»ni qarışdırma: «cüt və ya 3-ə bölünən» heç olmasa birinin baş verməsidir (8 kart), «həm cüt, həm də 3-ə bölünən» isə yalnız 6 və 12-dir (2 kart).

6 · Həyatda

Sorğunun nəticələri

Məktəbdə 40 şagirddən soruşdular: «Hansı dərnəyə gedirsən?» Hər şagird yalnız bir dərnək seçdi. Təsadüfən seçilmiş şagirdin şahmata və ya musiqiyə getmə ehtimalı nədir? Onun futbola getməməsi ehtimalı isə?

40 şagirdin dərnək seçimi Üfüqi sütunlar: futbol 14, şahmat 9, rəsm 11, musiqi 6 şagird. Şahmat sütunu göy, musiqi sütunu narıncı, digərləri neytral rəngdədir. futbol14 şahmat9 rəsm11 musiqi6 cəmi: 40 şagird
Şahmat (göy) və musiqi (narıncı) birlikdə 9 + 6 = 15 şagirddir.
Dərnək seçimi və nisbi tezlik
DərnəkŞagirdNisbi tezlik
futbol1414/40
şahmat99/40
rəsm1111/40
musiqi66/40
cəmi401

P(şahmat və ya musiqi) = 9/40 + 6/40    = 15/40 = 3/8 = 0,375P(futbol olmayan) = 1 − 14/40    = 26/40 = 0,65

Hər şagird bir dərnək seçdiyi üçün cavablar uyuşmayandır, ona görə nisbi tezlikləri toplamaq olar.

7 · Özünü yoxla

Bacarığını sına

Cavabı seç — düzgün olanda yaşıl, səhv olanda qırmızı işıqlanacaq. Həllinə də baxa bilərsən.

  1. Asan

    Zər atılır. 1 və ya 2 düşmə ehtimalı nədir?

    Cavab variantları

    Düzdür! 1/6 + 1/6 = 2/6 = 1/3.

    Yox. «Və ya» — iki əlverişli hal: 1 və 2. Ehtimalları topla, vurma.

    Həllə bax

    1 və 2 bir atışda birdən düşə bilməz, hadisələr uyuşmayandır: P = 1/6 + 1/6 = 2/6 = 1/3.

  2. Asan

    P(A) = 0,15. A hadisəsinin baş verməməsi ehtimalı nədir?

    Cavab variantları

    Əla! 1 − 0,15 = 0,85.

    Yox. Tamamlayan hadisələrin ehtimalları cəmi 1-dir: 1-dən çıx. Ehtimal 1-dən böyük ola bilməz.

    Həllə bax

    P(A olmayan) = 1 − P(A) = 1 − 0,15 = 0,85.

  3. Orta

    Qutuda 6 qırmızı, 4 ağ və 10 qara kürə var. Götürülən kürənin qırmızı və ya ağ olma ehtimalı nədir?

    Cavab variantları

    Düzdür! 6/20 + 4/20 = 10/20 = 0,5.

    Yox. Hər iki rəngi nəzərə al və ehtimalları topla: cəmi 20 kürə var.

    Həllə bax

    Cəmi 6 + 4 + 10 = 20 kürə. Kürə həm qırmızı, həm ağ ola bilməz: P = 6/20 + 4/20 = 10/20 = 0,5.

  4. Orta

    Zər atılır. Hansı iki hadisə uyuşmayandır?

    Cavab variantları

    Düzdür! 2 tək deyil — bu iki hadisə birdən baş verə bilməz.

    Yox. Bu hadisələrin ortaq halı var: elə üz tap ki, ikisi də baş versin.

    Həllə bax

    6 həm cütdür, həm də 6-dır; 5 həm 3-dən böyükdür, həm də 5-dir — bunlar uyuşan hadisələrdir. 2 isə tək ədəd deyil, ona görə «tək düşür» və «2 düşür» eyni vaxtda baş verə bilməz.

  5. Çətin

    1-dən 10-a qədər nömrələnmiş kartlardan biri çəkilir. Ədədin cüt və ya 3-ə bölünən olma ehtimalı nədir?

    Cavab variantları

    Əla! 6 bir dəfə sayıldı: 7 kart, 7/10 = 0,7.

    Yox. Hadisələr uyuşandır: kartları siyahıya yaz və ortaq kartı bir dəfə say.

    Həllə bax

    Cüt: 2, 4, 6, 8, 10. 3-ə bölünən: 3, 6, 9. 6 hər ikisindədir. Birlikdə: 2, 3, 4, 6, 8, 9, 10 — 7 kart. P = 7/10 = 0,7.

  6. Çətin

    A və B uyuşmayan hadisələrdir, P(A) = 0,25, P(B) = 0,4. Nə A, nə də B baş verməməsi ehtimalı nədir?

    Cavab variantları

    Düzdür! P(A + B) = 0,65, onu 1-dən çıxdıq: 0,35.

    Yox. Əvvəl P(A + B)-ni tap, sonra bu hadisəni tamamlayan hadisənin ehtimalını hesabla.

    Həllə bax

    A və B uyuşmayandır: P(A + B) = 0,25 + 0,4 = 0,65. «Nə A, nə B» hadisəsi A + B-ni tamamlayır: 1 − 0,65 = 0,35.

Xülasə

Yadda qalanlar

  • A + B = «A və ya B»Heç olmasa biri baş verir; əlverişli hallar birlikdə, hər biri bir dəfə sayılır.
  • P(A + B) = P(A) + P(B)Yalnız uyuşmayan hadisələr üçün. Ortaq hal varsa, halları sayırıq.
  • P(A olmayan) = 1 − P(A)Bir-birini tamamlayan hadisələrin ehtimalları cəmi 1-dir.

Növbəti mövzu: 2.6 Rasional ədədlərin yazılışı və oxunuşu