• 2.34
  • 7-ci sinif
  • Müxtəsər vurma düsturları

İki ifadənin kubları cəmi və kubları fərqi

Tili a olan kubun küncündən tili b olan kubu kəsib götürsək, nə qalar? a³ − b³ həcmində cisim — və o, düz üç qutuya bölünür. Qutuların hamısının bir tili eynidir: a − b. Kubların fərqi buna görə hasilə çevrilir.

Bu dərsdə

  • kublar cəmini və kublar fərqini vuruqlara ayıracaq, tam kvadratı natamam kvadratdan seçəcəksən;
  • «ikihədli · natamam kvadrat» hasilini bir addımda çoxhədliyə çevirəcəksən;
  • düsturları ifadənin qiymətini tapmaq, tənlik həll etmək və həcm hesablamaq üçün tətbiq edəcəksən.
Kubdan kub çıxanda qalan cisim üç qutuya bölünür Tili a olan kubun yaxın üst küncündən tili b olan qırmızı kub çıxarılıb; onun yeri qırıq qırmızı xətlə göstərilib. Qalan cisim üç qutuya ayrılıb: altda mavi lövhə a·a·(a − b), arxada yaşıl qutu a·b·(a − b), qabaqda narıncı qutu b·b·(a − b). Hər qutunun bir tili a − b-dir. a²(a − b)ab(a − b)b²(a − b)b³a − b

a³ − b³ = (a − b)(a² + ab + b²)

  1. Kəşf et
  2. Qayda
  3. Vuruqlara ayır
  4. Hasili aç
  5. Diqqət
  6. Hesabla
  7. Həyatda
  8. Özünü yoxla

1 · Kəşf et

Kubdan kub çıx

Tili 5 olan kub 5 · 5 · 5 = 125 vahid kubdan yığılıb. Onun küncündən tili b olan kubu çıxaraq. Qalanı iki yolla saymaq olar: 125 − b³, ya da qalan cismi üç qutuya bölüb onların həcmlərini toplamaq.

Çıxarılan kubun tili b
Tili 5 olan kubdan tili b olan kub çıxarılıb Vahid kublarla torlanmış 5 × 5 × 5 kub. Yaxın üst küncdən b × b × b kub çıxarılıb (qırıq qırmızı xətt). Qalan cisim üç qutudur: mavi 5 × 5 × (5 − b), yaşıl (5 − b) × 5 × b, narıncı b × (5 − b) × b. Sağ tilin yanında 5 − b və b hissələri yazılıb. 555 − 11555 − 22555 − 33555 − 44

b = 1: 125 − 1 = 12425 · 4 = 100, 5 · 4 = 20, 1 · 4 = 4100 + 20 + 4 = 1244 · (25 + 5 + 1) = 4 · 31

b = 2: 125 − 8 = 11725 · 3 = 75, 10 · 3 = 30, 4 · 3 = 1275 + 30 + 12 = 1173 · (25 + 10 + 4) = 3 · 39

b = 3: 125 − 27 = 9825 · 2 = 50, 15 · 2 = 30, 9 · 2 = 1850 + 30 + 18 = 982 · (25 + 15 + 9) = 2 · 49

b = 4: 125 − 64 = 6125 · 1 = 25, 20 · 1 = 20, 16 · 1 = 1625 + 20 + 16 = 611 · (25 + 20 + 16) = 61

1 xana = 1 vahid. Mavi lövhənin oturacağı 5 · 5, yaşıl qutunun üzü 5 · b, narıncı qutunun üzü b · b-dir; üçünün də qalınlığı 5 − b.

Hər seçimdə üç qutunun ortaq tili var: 5 − b. Ona görə həcmlərin cəmini mötərizəyə almaq olar:

125 − b³ = 5³ − b³= (5 − b)(5² + 5b + b²).

5-in yerinə istənilən a yazsaq, hero-dakı şəkil alınır: a³ − b³ = a²(a − b) + ab(a − b) + b²(a − b). Bu, kublar fərqinin düsturudur.

2 · Qayda

Cəm, fərq və natamam kvadrat

Düsturların ikinci vuruğuna ad verək. Dərslikdə deyildiyi kimi, a² + 2ab + b² üçhədlisi (a + b)-nin tam kvadratıdır, a² + ab + b² üçhədlisi isə onun natamam kvadratı hesab edilir. Fərq yalnız orta həddədir: 2ab yerinə ab.

Tam və natamam kvadrat
İkihədliTam kvadratNatamam kvadrat
a + ba² + 2ab + b²a² + ab + b²
a − ba² − 2ab + b²a² − ab + b²

Yadda saxla

Kublar cəmi. İki ifadənin kublarının cəmi bu ifadələrin cəmi ilə onların fərqinin natamam kvadratının hasilinə bərabərdir:

a³ + b³ = (a + b)(a² − ab + b²)

Kublar fərqi. İki ifadənin kublarının fərqi bu ifadələrin fərqi ilə onların cəminin natamam kvadratının hasilinə bərabərdir:

a³ − b³ = (a − b)(a² + ab + b²)

Bu düsturlar kublar cəminin və kublar fərqinin vuruqlara ayrılmasıdır. Sağdan sola oxuyanda isə hasili çoxhədliyə çevirirlər.

Niyə doğrudur: vurub yoxlayaq

Kub şəkli yalnız a > b > 0 üçündür və kublar cəmini göstərmir. Vurma isə hər iki düsturu istənilən a, b üçün isbat edir. (a + b)-nin hər həddini üçhədlinin hər həddinə vuraq:

(a + b)(a² − ab + b²) hasilinin vurma cədvəli Sətirlərdə a və +b, sütunlarda a², −ab, +b². Birinci sətir: a³, −a²b, +ab². İkinci sətir: +a²b, −ab², +b³. −a²b ilə +a²b, +ab² ilə −ab² üst-üstə silinir; a³ + b³ qalır. × a² −ab +b² a +b a³ −a²b +ab² +a²b −ab² +b³ qalır: a³ + b³
Qırmızı xətlə pozulan hədlər cüt-cüt əksdir: −a²b + a²b = 0, ab² − ab² = 0. Altı hasildən yalnız a³ və b³ qalır.

Eyni yolla (a − b)(a² + ab + b²) hasilində ±a²b və ±ab² silinir, a³ − b³ qalır.

Dərslikdəki yol: ikihədlinin kubundan

Dərslikdə düstur (a + b)³-dan çıxarılır (mövzu 2.33). Kubda a³ və b³-dən başqa 3a²b + 3ab² = 3ab(a + b) hədləri də var; onları çıxaq:

a³ + b³ = (a + b)³ − 3ab(a + b) = (a + b)((a + b)² − 3ab) = (a + b)(a² + 2ab + b² − 3ab) = (a + b)(a² − ab + b²).

Fərq üçün də belədir: a³ − b³ = (a − b)³ + 3ab(a − b). Birinci sətri yadda saxla — 6-cı mərhələdə lazım olacaq.

İşarələr

a³ ± b³ = (a ± b)(a² ∓ ab + b²)

Birinci vuruqda işarə ifadədəki kimidir, ab-nin qarşısında əksinədir, b² həmişə «+» ilə gəlir.

Bir düsturdan o birinə

a³ − (−b)³ = a³ + b³

Fərq düsturunda b-ni −b ilə əvəz et: (a + b)(a² − ab + b²) alınır.

3 · Vuruqlara ayır

Əvvəl kubu tanı, sonra düstura qoy

Düstur yalnız hər iki hədd kub olanda işləyir. Ona görə əvvəl hər həddi mötərizədə kub şəklində yazırıq: 8k⁶ = (2k²)³. Bu kublar tez tanınmalıdır:

  1. 1³1
  2. 2³8
  3. 3³27
  4. 4³64
  5. 5³125
  6. 6³216
  7. 7³343
  8. 8³512
  9. 9³729
  10. 10³1000

Onluq və adi kəsr

0,027 = 0,3³

0,3 · 0,3 · 0,3 = 0,027; eyni qayda ilə 8125 / = (25 / )³.

Əmsal və qüvvət

27k⁶ = (3k²)³

Əmsalın kubunu tap (27 = 3³), üstü 3-ə böl (6 : 3 = 2). Eləcə də x⁹ = (x³)³.

  1. Ortaq vuruq varsa, mötərizə xaricinə çıxar.
  2. Hər həddi mötərizədə kub kimi yaz: (…)³ ± (…)³.
  3. a və b-ni düstura qoy, natamam kvadratı a² ∓ ab + b² kimi yaz.
  4. Kvadratları və hasili sadələşdir.
Nümunə 1Ədədin kubu

p³ + 216 ifadəsini vuruqlara ayırın.

  1. 216 = 6³, deməli p³ + 216 = p³ + 6³ — kublar cəmidir: a = p, b = 6.
  2. Cəm · fərqin natamam kvadratı: (p + 6)(p² − p · 6 + 6²).
  3. Sadələşdiririk.

    (p + 6)(p² − 6p + 36)

Nümunə 2Əmsal və qüvvət

8k⁶ − 125m³ ifadəsini vuruqlara ayırın.

  1. Hər həddi kub kimi yazırıq: 8k⁶ = (2k²)³, 125m³ = (5m)³. Kublar fərqidir: a = 2k², b = 5m.
  2. Fərq · cəmin natamam kvadratı:

    (2k² − 5m) ·((2k²)² + 2k² · 5m + (5m)²)

  3. Kvadratlar: (2k²)² = 4k⁴, (5m)² = 25m²; orta hədd 10k²m.

    (2k² − 5m)(4k⁴ + 10k²m + 25m²)

Nümunə 3Onluq kəsr

0,027a³ + 1 ifadəsini vuruqlara ayırın.

  1. 0,027a³ = (0,3a)³, 1 = 1³: kublar cəmi, a → 0,3a, b → 1.

  2. (0,3a + 1) ·((0,3a)² − 0,3a · 1 + 1²)

  3. (0,3a)² = 0,09a² — onluq kəsri də kvadrata yüksəldirik.

    (0,3a + 1)(0,09a² − 0,3a + 1)

Nümunə 4Əvvəl ortaq vuruq

5x³ + 40y³ ifadəsini vuruqlara ayırın.

  1. 40 kub deyil, amma 40 = 5 · 8. Ortaq vuruq 5-i çıxarırıq: 5(x³ + 8y³).
  2. Mötərizədə kublar cəmi var: x³ + (2y)³.
  3. (x + 2y)(x² − x · 2y + (2y)²), ortaq vuruq 5 qalır.

    5(x + 2y)(x² − 2xy + 4y²)

Nümunə 5Həddi ikihədli olanda

(a + 3)³ − 8 ifadəsini vuruqlara ayırın.

  1. (a + 3)-ü bütöv bir ifadə kimi saxlayırıq: (a + 3)³ − 2³, yəni a yerinə (a + 3), b yerinə 2.

  2. ((a + 3) − 2) ·((a + 3)² + 2(a + 3) + 4)

  3. Mötərizələri açırıq:

    (a + 1) ·(a² + 6a + 9 + 2a + 6 + 4)

    (a + 1)(a² + 8a + 19)

Yoxlama: a = 0 olarsa, 27 − 8 = 19 və 1 · 19 = 19.

4 · Hasili aç

Vurmadan, bir addımda

Hasil «ikihədli · üçhədli» şəklindədirsə, yoxla: üçhədli bu ikihədlinin işarəsi əks olan natamam kvadratıdırmı? Bəlidirsə, cavab kubların cəmi və ya fərqidir — altı hasili yazmağa ehtiyac yoxdur.

Nümunə 6Hasili çoxhədliyə çevir

(1 − 4n)(1 + 4n + 16n²) hasilini çoxhədliyə çevirin.

  1. Birinci vuruq a − b: a = 1, b = 4n.
  2. İkinci vuruq: 1² + 1 · 4n + (4n)² — (1 + 4n)-in natamam kvadratı. Düstur uyğun gəlir: kublar fərqi.
  3. 1³ − (4n)³, (4n)³ = 64n³.

    1 − 64n³

Nümunə 7Eyniliyi tamamla

■ və ▲ yerinə elə birhədli yazın ki, (2b + ■)(4b² − 6bc + ▲) = 8b³ + 27c³ bərabərliyi eynilik olsun (hər qiymətdə doğru olsun).

  1. Sağda kublar cəmi: (2b)³ + (3c)³. Birinci vuruq ifadələrin cəmidir: ■ = 3c.
  2. İkinci vuruq (2b)² − 2b · 3c + (3c)² olmalıdır. Orta hədd 6bc uyğun gəlir, son hədd (3c)² = 9c².

    ■ = 3c, ▲ = 9c²

5 · Diqqət

Kublar cəmi cəmin kubu deyil

Səhv

a³ + b³ = (a + b)³

(a + b)³-da 3a²b + 3ab² hədləri də var (mövzu 2.33).

Düzgün

a³ + b³ = (a + b)(a² − ab + b²)

Kublar cəmi hasildir, bir ikihədlinin kubu deyil.

2³ + 1³ ilə (2 + 1)³ fərqlidir Solda 8 vahid kubdan ibarət mavi kub (tili 2) və 1 vahid kubluq narıncı kub: cəmi 9. Sağda tili 3 olan yaşıl kub: 27 vahid kub. Aralarında qırmızı «bərabər deyil» işarəsi. 2³ + 1³ = 9(2 + 1)³ = 27≠
27 − 9 = 18, yəni 3 · 2 · 1 · (2 + 1): bu, (a + b)³-dakı əlavə 3ab(a + b) hissəsidir.

Tam kvadrat yazılıb

t³ − 27 = (t − 3)(t² + 6t + 9)

t² + 6t + 9 tam kvadratdır. t = 1: −26 ≠ (−2) · 16.

Natamam kvadrat

t³ − 27 = (t − 3)(t² + 3t + 9)

Orta hədd ab = 3t-dir, 2ab yox.

(2a)² unudulub

8a³ − 1 = (2a − 1)(2a² + 2a + 1)

(2a)² yerinə 2a² yazılıb.

Düzgün

8a³ − 1 = (2a − 1)(4a² + 2a + 1)

(2a)² = 4a²: əmsal da kvadrata yüksəlir.

Qüvvətin kubu: y⁶ = (y²)³, (y³)³ deyil — (y³)³ = y⁹. Kubun «əsasını» tapmaq üçün üstü 3-ə bölürük.

6 · Hesabla

Qiymət, tənlik, bölünmə

Nümunə 8a − b və ab məlumdur

a − b = 2 və ab = 15 olduqda, a³ − b³ ifadəsinin qiymətini tapın.

  1. Natamam kvadratı a − b və ab ilə yazırıq: a² + ab + b² = (a − b)² + 3ab, çünki (a − b)² = a² − 2ab + b².
  2. (a − b)² + 3ab = 4 + 45 = 49.
  3. a³ − b³ = (a − b)(a² + ab + b²) = 2 · 49.

    a³ − b³ = 98

Yoxlama: a = 5, b = 3 şərti ödəyir; 125 − 27 = 98.

Nümunə 9Tənlik

Tənliyi həll edin: (x + 3)(x² − 3x + 9) − x³ = 3x.

  1. Birinci hasil kublar cəmidir: (x + 3)(x² − 3x + 9) = x³ + 27.
  2. x³ + 27 − x³ = 3x, yəni 27 = 3x: x³ silindi, tənlik xətti oldu.

    x = 9

Yoxlama: 12 · 63 − 729 = 756 − 729 = 27 və 3 · 9 = 27.

Nümunə 10Bölünmə

47³ + 53³ cəmi 100-ə qalıqsız bölünürmü?

  1. Kubları hesablamırıq, vuruqlara ayırırıq:

    47³ + 53³ =(47 + 53)(47² − 47 · 53 + 53²)

  2. Birinci vuruq 47 + 53 = 100, ikinci vuruq tam ədəddir (2527).

    Bəli: 47³ + 53³ = 100 · 2527

Tam ədədlərdə a³ + b³ həmişə a + b-yə, a³ − b³ isə a − b-yə bölünür.

7 · Həyatda

Qutuya nə qədər taxta gedib?

Qapaqlı kub qutunun tili xaricdən 12 sm-dir, divarları 1 sm qalınlığındadır. İçəridəki boşluq tili 12 − 2 = 10 sm olan kubdur. Taxtanın həcmi iki kubun həcmləri fərqidir.

Tili 12 sm olan kub qutu və içindəki 10 sm-lik boşluq Şəffaf mavi kub qutu, tili 12 sm. İçində qırıq qırmızı xətlə tili 10 sm olan boşluq kubu; hər tərəfdə divar 1 sm-dir. 12 sm12 sm10 sm
Qırıq qırmızı xətt içəridəki boşluqdur: hər tərəfdən 1 sm divar qalır.

V = 12³ − 10³ = (12 − 10)(12² + 12 · 10 + 10²) = 2 · (144 + 120 + 100) = 2 · 364 = 728 sm³

Yoxlama: 1728 − 1000 = 728. Düstur böyük kubları hesablamadan, ağılda nəticəyə gətirir.

8 · Özünü yoxla

Bacarığını sına

Cavabı seç — düzgün olanda yaşıl, səhv olanda qırmızı işıqlanacaq. Həllinə də baxa bilərsən.

  1. Asan

    c³ + 27 ifadəsini vuruqlara ayır.

    Cavab variantları

    Düzdür! Cəm · fərqin natamam kvadratı.

    Yox. Cəmdə orta hədd mənfidir və ab = 3c-dir; kublar cəmi cəmin kubu deyil.

    Həllə bax

    27 = 3³: c³ + 3³ = (c + 3)(c² − 3c + 9).

  2. Asan

    (2x − y) ikihədlisinin natamam kvadratı hansıdır?

    Cavab variantları

    Düzdür! a² − ab + b², burada a = 2x, b = y.

    Yox. Natamam kvadratda orta hədd ab-dir (2ab tam kvadratdadır), işarə ikihədlidəki kimidir və (2x)² = 4x².

    Həllə bax

    (2x)² − 2x · y + y² = 4x² − 2xy + y². 4x² − 4xy + y² isə tam kvadratdır: (2x − y)².

  3. Orta

    (5 − 2k)(25 + 10k + 4k²) hasilini çoxhədliyə çevir.

    Cavab variantları

    Əla! 5³ − (2k)³.

    Yox. Birinci vuruq fərqdir, ona görə cavab da fərqdir; (2k)³ = 8k³ — əmsal da kuba yüksəlir.

    Həllə bax

    25 + 10k + 4k² = 5² + 5 · 2k + (2k)² — (5 + 2k)-nın natamam kvadratı. Deməli hasil 5³ − (2k)³ = 125 − 8k³.

  4. Orta

    64a³ − b⁶ ifadəsini vuruqlara ayır.

    Cavab variantları

    Düzdür! (4a)³ − (b²)³.

    Yox. b⁶ = (b²)³; orta hədd ab tipindədir (2ab yox); (4a)² = 16a².

    Həllə bax

    64a³ = (4a)³, b⁶ = (b²)³. Fərq · cəmin natamam kvadratı: (4a − b²)(16a² + 4ab² + b⁴).

  5. Çətin

    x + y = 6 və xy = 5 olarsa, x³ + y³ neçədir?

    Cavab variantları

    Əla! 6 · (36 − 15) = 126.

    Yox. x² − xy + y² = (x + y)² − 3xy; yalnız (x + y)³ götürmək olmaz.

    Həllə bax

    x² − xy + y² = 36 − 15 = 21, x³ + y³ = 6 · 21 = 126. Yoxlama: x = 1, y = 5: 1 + 125 = 126.

  6. Çətin

    (t + 2)³ − 1 ifadəsini vuruqlara ayır.

    Cavab variantları

    Düzdür! a = t + 2, b = 1.

    Yox. Bu kublar fərqidir: (a − b)(a² + ab + b²), (t + 2)² = t² + 4t + 4 və orta hədd (t + 2) · 1 unudulmamalıdır.

    Həllə bax

    ((t + 2) − 1)((t + 2)² + (t + 2) + 1) = (t + 1)(t² + 4t + 4 + t + 2 + 1) = (t + 1)(t² + 5t + 7). Yoxlama t = 0: 8 − 1 = 7.

Xülasə

Yadda qalanlar

  • a³ + b³ = (a + b)(a² − ab + b²)Kublar cəmi: cəm · fərqin natamam kvadratı.
  • a³ − b³ = (a − b)(a² + ab + b²)Kublar fərqi: fərq · cəmin natamam kvadratı.
  • ab, 2ab yoxNatamam kvadratda orta hədd ab-dir, işarəsi birinci vuruqdakının əksidir; a³ + b³ ≠ (a + b)³.

Növbəti mövzu: 2.35 Müxtəsər vurma düsturlarının tətbiqi