• 2.14
  • 7-ci sinif
  • Həndəsə

Parçanın orta perpendikulyarı

A və B evlərindən eyni uzaqlıqda quyu qazmaq lazımdır. Belə yer təkcə bir deyil: AB parçasının ortasından 90° bucaq altında keçən düz xəttin istənilən nöqtəsi yarayır. Bu xətt orta perpendikulyardır.

Bu dərsdə

  • orta perpendikulyarı iki şərtlə tanıyacaqsan: parçanın ortasından keçir və ona perpendikulyardır;
  • onu pərgar və xətkeşlə addım-addım quracaq, pərgarın açılışının niyə parçanın yarısından böyük olmalı olduğunu izah edəcəksən;
  • onun hər nöqtəsinin parçanın uclarından bərabər uzaqlıqda olduğunu əsaslandırıb məsələlərdə istifadə edəcəksən.
  • orta perpendikulyar
  • pərgar qövsü
  • bərabər məsafələr
Ş 1Quyu harada olsun?yuxarıdan görünüş
İki evdən eyni uzaqlıqda olan quyuYuxarıdan görünüş: A və B evləri 24 metr aralıdadır. AB parçasının O ortasından ona perpendikulyar lime düz xətt keçir. Bu xətt üzərindəki M1 nöqtəsi hər evdən 13 metr, AB-nin o biri tərəfindəki M2 nöqtəsi hər evdən 15 metr aralıdır.ABOℓM₁13 m13 mM₂15 m15 mMA = MB
  1. İki şərt
  2. Tərif
  3. Qurma
  4. Xassə
  5. Hesabla
  6. Diqqət
  7. Həyatda
  8. Özünü yoxla
  9. Yekun

1 · Kəşf et

Hansı xətt «orta» və «perpendikulyar»dır?

2.13-də nöqtədən düz xəttə perpendikulyar çəkdik. İndi bir parçaya baxaq: AB = 8 sm, O isə onun orta nöqtəsidir — AO = OB. Üç düz xətti növbə ilə seç və iki sualı yoxla: xətt O-dan keçirmi? AB ilə 90° bucaq əmələ gətirirmi? Şəklin altındakı xətkeşlə uzunluqları özün də ölç.

Düz xətt seç
Ş 2AB və üç düz xəttxətkeş: sm
AB parçası və üç düz xəttAB parçası 8 santimetrdir, O onun ortasıdır. l1 O-dan keçir, amma AB ilə 60 dərəcəlik bucaq əmələ gətirir. l2 AB-yə perpendikulyardır, amma K nöqtəsindən keçir: AK 3, KB 5 santimetr. l3 həm O-dan keçir, həm də AB-yə perpendikulyardır.60°l₁4 sm4 sml₂3 sm5 smKl₃4 sm4 smOAB

l₁ O-dan keçir, amma AB ilə 60° bucaq əmələ gətirir.

l₂ AB-yə perpendikulyardır, amma K-dan keçir: AK = 3 sm, KB = 5 sm — K orta nöqtə deyil.

l₃ O-dan keçir (AO = OB = 4 sm) və AB ilə 90° əmələ gətirir. Yalnız o, hər iki şərti ödəyir.

Bir şərt azdır: lazım olan xətt həm ortadan keçməli, həm də perpendikulyar olmalıdır.

O nöqtəsindən AB-yə yalnız bir perpendikulyar çəkmək olar (2.13-dəki teorem). Deməli, hər iki şərti ödəyən xətt yeganədir. Ona ad verək.

2 · Qayda

Orta perpendikulyar nədir?

Yadda saxla

«Parçanın orta nöqtəsindən keçərək ona perpendikulyar olan düz xəttə parçanın orta perpendikulyarı deyilir.»

  • Birinci şərt: xətt parçanın orta nöqtəsindən keçir — PO = OQ.
  • İkinci şərt: xətt parçaya perpendikulyardır — CD ⊥ PQ.
PO = OQ, CD ⊥ PQ
Ş 3Adlar və işarələrdərslik, şəkil 12
Orta perpendikulyarın adlarıÜfüqi PQ parçası və onun O ortasından keçən şaquli CD düz xətti. O-da düz bucaq işarəsi, PO və OQ üzərində bərabərlik çərtikləri var. CD düz xətti PQ parçasının orta perpendikulyarıdır.PQOCDortaperpendikulyarPO = OQCD ⊥ PQ
Çərtiklər bərabər hissələri, O-dakı kvadrat isə 90° bucağı göstərir. Orta perpendikulyar düz xəttdir: o, iki tərəfə sonsuz uzanır.

3 · Qurma

Pərgar və xətkeşlə qururuq

Ortanı xətkeşin bölgüləri ilə ölçmək olar, amma həndəsədə xətti qururlar. Dərslik deyir: «Müəyyən şərtlərlə və alətlərlə hər hansı həndəsi fiqurun qurulmasını tələb edən təklifə qurma məsələsi deyilir.» Bizim alətlərimiz — pərgar və xətkeş; xətkeşlə yalnız düz xətt çəkirik.

Əvvəlcə: parçanı köçürmək

Hər hansı MN düz xəttində P nöqtəsini qeyd et. Pərgarı AB qədər aç, iti ucunu P-yə qoy və MN-i kəsən qövs çək: kəsişmə Q-dur, PQ ≅ AB.

Pərgarın «açılışı»

İti uc ilə qələm ucu arasındakı məsafə qövsün radiusudur. Açılışı dəyişməsək, iki qövsün radiusu eyni olur.

Ş 4Üç addımda orta perpendikulyarPQ = 6 sm, r = 4 sm
Orta perpendikulyarın pərgar və xətkeşlə qurulmasıPQ parçası 6 santimetrdir. 1-ci addım: P mərkəzli, radiusu 4 santimetr olan qövs PQ-ni kəsir. 2-ci addım: eyni açılışla Q mərkəzli qövs çəkilir. 3-cü addım: qövslər C və D nöqtələrində kəsişir, CD düz xətti çəkilir. CD PQ-ni O ortasında 90 dərəcə bucaq altında kəsir; PC, QC, PD və QD radius qədərdir.PQ1r = 4 sm2CD3OPO = OQ
  1. Pərgarın iti ucunu P-yə qoy və PQ-ni kəsən qövs çək. Radius PQ-nin yarısından böyük olsun (burada r = 4 sm > 3 sm).
  2. Açılışı dəyişmədən iti ucu Q-ya qoy və ikinci qövsü çək.
  3. Qövslərin kəsişmə nöqtələrini C və D adlandır, xətkeşlə CD düz xəttini çək. CD PQ-nin orta perpendikulyarıdır, O isə PQ-nin ortasıdır.

Pərgarı nə qədər açaq?

Dərslikdə radius «PQ parçasının yarısından kiçik olmayan» götürülür. Bu ifadə bir halı da buraxır: radius düz yarıya bərabər ola bilər. Üç açılışı müqayisə et — P-dən çəkilən qövs PQ üzərində P-dən r qədər, Q-dan çəkilən Q-dan r qədər uzağa çatır (mavi zolaqlar).

Radius seç
Ş 5Üç açılışPQ = 6 sm
Pərgarın üç açılışıPQ parçası 6 santimetrdir. Radius 2 santimetr olanda P və Q mərkəzli qövslər PQ üzərində 2 santimetrlik boşluq qoyur və kəsişmir. Radius 3 santimetr olanda qövslər yalnız O ortasında toxunur. Radius 4 santimetr olanda qövslər C və D nöqtələrində kəsişir və CD orta perpendikulyar alınır.boşluqr = 2 smyalnız Or = 3 smCDr = 4 smPQ

2 + 2 = 4 < 6. Qövslər bir-birinə çatmır, ortada 2 sm-lik boşluq qalır — kəsişmə nöqtəsi yoxdur.

3 + 3 = 6. Qövslər yalnız O nöqtəsində toxunur. Bir nöqtədən sonsuz sayda düz xətt keçir, ikinci nöqtə olmadan CD-ni çəkə bilmirik.

4 + 4 = 8 > 6. Qövslər iki nöqtədə — C və D-də kəsişir. CD düz xətti orta perpendikulyardır.

Ona görə praktikada pərgarı yarıdan böyük açırıq: r > PQ : 2. PQ-dən böyük olması şərt deyil.

Niyə CD məhz orta perpendikulyardır?

Dərslik bunu isbat etmir; 6-cı sinifdə öyrəndiyin konqruyentlik əlamətləri ilə əsaslandıraq (Ş 4-dəki qırıq mavi xətlər).

  1. Hər dörd qırıq xətt radius qədərdir: CP = CQ = DP = DQ = r.
  2. CPD və CQD üçbucaqlarında CP = CQ, DP = DQ, CD ortaqdır — üç tərəfə görə konqruyentdirlər. Deməli, ∠PCO = ∠QCO.
  3. PCO və QCO üçbucaqlarında CP = CQ, ∠PCO = ∠QCO, CO ortaqdır — iki tərəf və aralarındakı bucağa görə konqruyentdirlər.
  4. Deməli, PO = OQ və ∠COP = ∠COQ. Bu iki qonşu bucağın cəmi 180°-dir, hər biri 90°-dir.

4 · Xassə

Hər nöqtə uclardan eyni uzaqdır

AB = 12 sm, ℓ onun orta perpendikulyarıdır. M nöqtəsini ℓ boyunca yuxarı-aşağı apar və narıncı parçaları müqayisə et. Sonuncu seçim ℓ üzərində olmayan N nöqtəsidir.

Nöqtə seç
Ş 6M ℓ boyuncaxətkeş: sm
M nöqtəsi orta perpendikulyar boyuncaAB parçası 12 santimetrdir, ℓ onun orta perpendikulyarıdır. ℓ üzərində seçilmiş M nöqtəsindən A və B uclarına çəkilmiş narıncı parçalar həmişə bərabərdir: O-dan 2,5 santimetr yuxarıda 6,5 və 6,5; 4,5 santimetr yuxarıda 7,5 və 7,5; 8 santimetr yuxarıda 10 və 10; O-nun özündə 6 və 6; 4,5 santimetr aşağıda 7,5 və 7,5. ℓ üzərində olmayan N nöqtəsi üçün NA 13, NB 5 santimetrdir.6,5 sm6,5 smM₁7,5 sm7,5 smM₂10 sm10 smM₃6 sm6 sm7,5 sm7,5 smM₄13 sm5 smNABOℓ

M₃A = M₃B = 10 sm. M₃ O-dan 8 sm yuxarıdadır.

M₂A = M₂B = 7,5 sm. M₂ O-dan 4,5 sm yuxarıdadır.

M₁A = M₁B = 6,5 sm. M₁ O-dan 2,5 sm yuxarıdadır.

OA = OB = 6 sm. O-nun özü də ℓ üzərindədir. Bu, ən qısa haldır: A-dan ℓ-ə AO perpendikulyar, AM isə maildir və mail perpendikulyardan uzundur (2.13).

M₄A = M₄B = 7,5 sm. M₄ AB-nin o biri tərəfindədir, O-dan 4,5 sm aşağıda — M₂ ilə eyni məsafələr.

NA = 13 sm, NB = 5 sm. N ℓ üzərində deyil və B-yə daha yaxındır.

ℓ üzərindəki hər nöqtədə iki narıncı parça bərabərdir; seçdiyin nöqtə nə qədər yuxarıdadırsa, onlar o qədər uzundur.

Xassə

Parçanın orta perpendikulyarı üzərindəki hər nöqtə parçanın uclarından bərabər uzaqlıqdadır.

M ∈ ℓ ⇒ MA = MB
Niyə?Konqruyent üçbucaqlar

M ℓ üzərindədir, O ℓ ilə AB-nin kəsişmə nöqtəsidir. Ş 6-dakı iki narıncı rəngli üçbucağa — MOA və MOB-yə bax.

  1. O AB-nin ortasıdır: AO = OB.
  2. ℓ ⊥ AB, deməli ∠MOA = ∠MOB = 90°.
  3. MO hər iki üçbucağın ortaq tərəfidir.
  4. İki tərəf və aralarındakı bucağa görə (6-cı sinif) △MOA ≅ △MOB, deməli onların üçüncü tərəfləri də bərabərdir.

    MA = MB

Qatla və bax

Vərəqi ℓ boyunca qatla: AB özü üzərinə düşür (90°), O yerində qalır və A B-nin üstünə gəlir. MA parçası MB ilə üst-üstə düşür.

2.13 ilə əlaqə

MO AB-yə perpendikulyar, MA və MB maildir. Onların proyeksiyaları bərabərdir (OA = OB), ona görə maillər də bərabərdir.

Qurma da bu fikirdən istifadə edir: C və D nöqtələri P-dən və Q-dan eyni məsafədədir (radius qədər) və CD-nin özü orta perpendikulyar olur.

5 · Hesabla

Xassə ilə məsələ həll edirik

Nümunə 1AMB üçbucağının perimetri

M nöqtəsi AB parçasının orta perpendikulyarı üzərindədir. AB = 8 sm, MA = 9 sm. AMB üçbucağının perimetrini tapın.

Ş 7M orta perpendikulyar üzərində
AMB üçbucağıAB parçası 8 santimetrdir, M nöqtəsi onun orta perpendikulyarı üzərindədir və MA 9 santimetrdir. MB də 9 santimetrdir.9 smMB = ?AB = 8 smABMO
  1. M orta perpendikulyar üzərindədir: MB = MA = 9 sm.
  2. Perimetr üç tərəfin cəmidir: MA + MB + AB = 9 + 9 + 8.

    P(AMB) = 26 sm

Nümunə 2Ən kiçik tam açılış

PQ = 11 sm. Orta perpendikulyarı qurmaq üçün pərgarın ən kiçik tam santimetrlik açılışı neçədir?

  1. Qövslərin iki nöqtədə kəsişməsi üçün r + r > 11, yəni r > 5,5 sm olmalıdır.
  2. Yoxla: 5 + 5 = 10 < 11 — qövslər çatmır; 5,5 + 5,5 = 11 — yalnız toxunur (həm də tam deyil); 6 + 6 = 12 > 11 — iki kəsişmə.

    r = 6 sm

Daha böyük açılış da yarayır, məsələn 8 sm. Ən kiçik tam qiymət 6 sm-dir.

Nümunə 3Bir tərəf «köçür»

ABC üçbucağında AB = 12 sm, BC = 15 sm, AC = 8 sm. AB tərəfinin orta perpendikulyarı BC tərəfini D nöqtəsində kəsir. ADC üçbucağının perimetrini tapın.

Ş 8AD = BDmiqyasla
ABC üçbucağı və AB-nin orta perpendikulyarıABC üçbucağında AB 12, BC 15, AC 8 santimetrdir. AB tərəfinin orta perpendikulyarı BC tərəfini D nöqtəsində kəsir, ona görə AD və BD bərabərdir.ABCD12 sm8 smBC = 15 sm
  1. D AB-nin orta perpendikulyarı üzərindədir: AD = BD (iki çərtik).
  2. P(ADC) = AD + DC + AC = BD + DC + AC.
  3. BD və DC birlikdə BC-ni təşkil edir: BD + DC = BC = 15 sm.
  4. P(ADC) = 15 + 8.

    P(ADC) = 23 sm

AB = 12 sm cavaba lazım olmadı: o, yalnız üçbucağın formasını müəyyən edir.

6 · Diqqət

Üç tez-tez edilən səhv

Bir şərtlə kifayətlənmək

Səhv

ortadan keçir ⇒ orta perpendikulyardır

Ortadan keçən çəp xətt (Ş 2-də l₁) 90° əmələ gətirmir.

Düz

ortadan keçir və 90°

İki şərt birlikdə lazımdır; perpendikulyar, amma ortadan keçməyən xətt (l₂) də yaramır.

Ş 9Ortadan keçmək azdır
Səhv və düz xəttSolda: AB-nin ortasından keçən, amma ona perpendikulyar olmayan qırmızı düz xətt — orta perpendikulyar deyil. Sağda: ortadan keçən və AB ilə 90 dərəcə əmələ gətirən lime düz xətt — orta perpendikulyardır.✗ 90° yox✓ 90°ABAB

Pərgarı düz yarıya açmaq

Səhv

PQ = 6 sm, r = 3 sm

Qövslər yalnız O-da toxunur, CD üçün ikinci nöqtə yoxdur (Ş 5, «3 sm»).

Düz

r > PQ : 2, məsələn 4 sm

Qövslər C və D nöqtələrində kəsişir.

MA-nı AB-nin yarısı saymaq

Səhv

AB = 12 sm ⇒ MA = 6 sm

6 sm AO-dur — O-dan A-yadək olan məsafə.

Düz

MA > AO, əgər M ≠ O

A-dan ℓ düz xəttinə AO perpendikulyar, AM isə maildir; mail perpendikulyardan uzundur (2.13). Ş 6-da M₁A = 6,5 sm.

7 · Həyatda

Fənəri harada qoyaq?

İki ev yolun eyni tərəfindədir. Yolun kənarında elə yerdə fənər qoymaq istəyirik ki, hər iki qapıdan eyni uzaqlıqda olsun.

  1. Qapıları birləşdir: AB parçası.
  2. AB-nin orta perpendikulyarını qur (pərgar və xətkeşlə, kağızdakı planda).
  3. Onun yolun kənarı ilə kəsişmə nöqtəsi L-dir. L orta perpendikulyar üzərindədir, deməli LA = LB.

    LA = LB = 15 m

Ölçmədən tən yarı

Taxtanı, lenti və ya üçbucağın tərəfini tən yarıya bölmək üçün xətkeşin bölgüləri lazım deyil: orta perpendikulyar ortanı özü göstərir.

Ş 10Yol kənarında fənərxətkeş: m
Yol kənarında fənərYuxarıdan görünüş: A və B evləri yolun eyni tərəfindədir. AB parçasının orta perpendikulyarı yolun kənar xəttini L nöqtəsində kəsir. L-də qoyulan fənər hər evdən 15 metr aralıdır.15 m15 mABL — fənər
Planda 1 bölgü 1 m-dir. A qapısından L-ə də, B qapısından L-ə də 15 m-dir.

8 · Özünü yoxla

Bacarığını sına

Cavabı seç: düz olanda lime, səhv olanda qırmızı işıqlanacaq. Həllə də baxa bilərsən.

  1. Asan

    l düz xətti AB parçasının orta nöqtəsindən keçir və AB ilə 70° bucaq əmələ gətirir. l AB-nin orta perpendikulyarıdırmı?

    Sual 1 variantları

    Düzdür! İkinci şərt — perpendikulyarlıq ödənmir.

    Hər iki şərti ayrıca yoxla: l ortadan keçir, bəs bucaq 90°-dirmi?

    Həllə bax

    Orta perpendikulyar həm ortadan keçir, həm 90° əmələ gətirir. l ortadan keçir, amma bucaq 70°-dir. Deməli, l orta perpendikulyar deyil.

  2. Asan

    M nöqtəsi AB parçasının orta perpendikulyarı üzərindədir, MA = 11 sm. MB nə qədərdir?

    Sual 2 variantları

    Düzdür! Orta perpendikulyarın nöqtəsi uclardan bərabər uzaqdır.

    Bölmək və ya vurmaq lazım deyil: xassəni xatırla — MA ilə MB necə əlaqəlidir?

    Həllə bax

    M orta perpendikulyar üzərindədir, ona görə MB = MA = 11 sm.

  3. Orta

    PQ = 9 sm. Pərgarın hansı açılışında P və Q mərkəzli qövslər iki nöqtədə kəsişər?

    Sual 3 variantları

    Düzdür! 5 + 5 = 10 > 9.

    r + r-i 9 ilə müqayisə et. Bərabər olanda qövslər yalnız toxunur.

    Həllə bax

    3 + 3 = 6 < 9 — qövslər çatmır; 4,5 + 4,5 = 9 — yalnız ortada toxunur; 5 + 5 = 10 > 9 — iki kəsişmə nöqtəsi. Radius yarıdan (4,5 sm) böyük olmalıdır.

  4. Orta

    AB = 14 sm. AB-nin orta perpendikulyarı üzərindəki M nöqtəsi üçün MA = 10 sm. AMB üçbucağının perimetri nə qədərdir?

    Sual 4 variantları

    Düzdür! 10 + 10 + 14 = 34 sm.

    Üçbucağın üç tərəfi var: MA, MB və AB. MB nəyə bərabərdir?

    Həllə bax

    MB = MA = 10 sm (xassə). P = MA + MB + AB = 10 + 10 + 14 = 34 sm. 24 sm-də MB unudulub, 27 sm-də AB əvəzinə onun yarısı götürülüb.

  5. Çətin

    ABC üçbucağında AB = 10 sm, BC = 13 sm, AC = 9 sm. AB tərəfinin orta perpendikulyarı BC-ni D nöqtəsində kəsir. ADC üçbucağının perimetri nə qədərdir?

    Sual 5 variantları

    Düzdür! AD = BD, ona görə P(ADC) = BC + AC.

    AD-ni BD ilə əvəz et: AD + DC birlikdə hansı tərəfə bərabər olur?

    Həllə bax

    D orta perpendikulyar üzərindədir: AD = BD. P(ADC) = AD + DC + AC = BD + DC + AC = BC + AC = 13 + 9 = 22 sm. 32 sm ABC-nin perimetridir; AB lazım deyil.

  6. Çətin

    PQ = 10 sm. Orta perpendikulyarı qurarkən P və Q mərkəzli, radiusu 6 sm olan qövslər C və D nöqtələrində kəsişdi. PCQD dördbucaqlısının perimetri nə qədərdir?

    Sual 6 variantları

    Düzdür! Dörd tərəfin hər biri radiusdur: 4 · 6 = 24 sm.

    PCQD-nin tərəfləri PC, CQ, QD, DP-dir. PQ isə onun diaqonalıdır.

    Həllə bax

    PC = CQ = QD = DP = 6 sm (eyni açılış). Perimetr 4 · 6 = 24 sm. PQ = 10 sm dördbucaqlının diaqonalıdır, tərəfi deyil (34 sm-də o da toplanıb).

9 · Yekun

Üç nəticə

  • İki şərtOrta perpendikulyar parçanın ortasından keçir və ona perpendikulyardır.
  • Qurma: r > yarıP və Q-dan eyni radiuslu qövslər; kəsişmə nöqtələrini birləşdir.
  • MA = MBOrta perpendikulyarın hər nöqtəsi parçanın uclarından bərabər uzaqdır.

Növbəti mövzu: 2.15 Mərkəzi simmetriya — O nöqtəsi yenə əsas rolda olacaq.