• 2.7
  • 7-ci sinif
  • Rasional ədədlər

Dövri onluq kəsrlər

5-i 11-ə bölək: 0,454545… Bölmə heç vaxt bitmir, amma rəqəmlər təsadüfi deyil — eyni 45 sonsuza qədər təkrarlanır. Bunu bir cüt mötərizə ilə yazmaq olar: 0,⁠(45).

Bu dərsdə

  • dövri onluq kəsri, onun dövrünü və dövrə qədərki rəqəmlərini tanıyıb mötərizə ilə yazacaq və oxuyacaqsan;
  • saf və qarışıq dövri kəsrləri ayıracaq, bölmənin niyə mütləq təkrarlandığını qalıqlarla izah edəcəksən;
  • bölmədən əvvəl kəsrin sonlu, yoxsa dövri onluq kəsr verəcəyini məxrəcin sadə vuruqlarına görə biləcəksən.
5 : 11 bölməsində qalıqlar 5 və 6 növbə ilə təkrarlanır, ona görə 45 rəqəmləri təkrarlanır Solda «5 : 11» kartı. Ox iki qalıq dairəsinə aparır: 5 və 6. 5-dən 6-ya gedən qövsün üstündə bölmədən çıxan rəqəm 4, 6-dan yenidən 5-ə qayıdan qövsün üstündə rəqəm 5 yazılıb. Altda cavab: 0, sonra 4, 5, 4, 5, 4, 5 rəqəm qutuları və üç nöqtə; hər 45 cütünün altında «dövr» mötərizəsi. Nəticə: 0,(45). Qalıq qayıdanda rəqəmlər də qayıdır. bölürük 5 : 11 qalıqlar 5 6 4 5 0, 4 5 4 5 4 5 … dövr = 0,(45) qalıq qayıdır → rəqəm qayıdır
  1. Kəşf et
  2. Qayda
  3. İki növ
  4. Niyə təkrarlanır
  5. Hesabla
  6. Sonlu, yoxsa dövri?
  7. Diqqət
  8. Həyatda
  9. Özünü yoxla

1 · Kəşf et

Bölmə nə vaxt bitir?

Adi kəsri onluq kəsrə çevirmək üçün surəti məxrəcə bölürük. Hər addımda qalığın yanına 0 yazıb yenidən bölürük. Qalıq həmişə böləndən kiçikdir. Üç bölməyə bax: qalıqlar nə edir?

Hansı bölməyə baxaq?
Üç bölmənin qalıqları Birinci sıra 3 : 8: qalıqlar 3, 6, 4, sonra 0; rəqəmlər 3, 7, 5; qalıq 0 olanda bölmə bitir, 0,375. İkinci sıra 2 : 3: qalıq hər dəfə 2, rəqəm hər dəfə 6; ikinci 2 təkrar kimi işarələnib; 0,666… = 0,(6). Üçüncü sıra 5 : 12: qalıqlar 5, 2, 8, 8; rəqəmlər 4, 1, sonra təkrarlanan 6; ikinci 8 təkrar kimi işarələnib; 0,41666… = 0,41(6). dairədə qalıq, ox üstündə yeni rəqəm 3 : 8 3 6 4 0 375 bitdi = 0,375 — sonlu 2 : 3 2 2 2 2 6666 … = 0,666… = 0,(6) 5 : 12 5 2 8 8 4166 … = 0,41666… = 0,41(6)

3 : 8. Qalıqlar 3, 6, 4 və sonra 0. Qalıq 0 olanda bölmə bitir: 3 : 8 = 0,375 — sonlu onluq kəsr.

2 : 3. 20-ni 3-ə bölürük: 6, qalıq yenə 2. Qalıq dəyişmir, ona görə hər addımda yenə 6 yazılır: 0,666… Bölmə heç vaxt bitmir.

5 : 12. Qalıqlar 5, 2, 8, sonra yenə 8. Əvvəlki rəqəmlər 4 və 1 bir dəfə yazılır, 8 qalığı təkrarlanandan sonra isə 6 sonsuza qədər təkrarlanır: 0,41666…

Halqalı dairə — əvvəl görülmüş qalığın qayıtdığı yer. Qalıq qayıdanda ondan sonrakı rəqəmlər də qayıdır.

Deməli, iki hal ola bilər: ya qalıq 0 olur və bölmə bitir, ya da qalıq təkrarlanır və rəqəmlər dairə vurmağa başlayır. İkinci halda alınan kəsrin xüsusi adı və qısa yazılışı var.

2 · Qayda

Dövri onluq kəsr nədir?

Yadda saxla

Onluq kəsrin yazılışında vergüldən sonra rəqəm və ya rəqəmlər qrupu sonsuz sayda təkrarlanarsa, belə kəsrə dövri onluq kəsr deyilir. Təkrarlanan rəqəm və ya rəqəmlər qrupu dövr adlanır.

Qısa yazılışda dövr mötərizəyə alınır:

0,666… = 0,⁠(6) 0,4545… = 0,⁠(45) 0,41666… = 0,41(6)
4,25(18) yazılışının hissələri Yuxarıda tam yazılış 4,25181818… Altda qısa yazılış 4,25(18): 4 — tam hissə; vergüldən sonrakı 25 — dövrə qədərki rəqəmlər (mavi); mötərizədəki 18 — dövr, yəni təkrarlanan rəqəmlər qrupu (narıncı). 4,25181818… 4 , 25 (18) tam hissə dövr təkrarlanan qrup dövrə qədərki rəqəmlər
Dövrə qədərki rəqəmlər vergüldən sonra, dövrdən əvvəl gələn rəqəmlərdir; tam hissə onlara aid deyil.

Ən qısa dövr

0,⁠(46)

0,464646… kəsrini 0,⁠(4646) və ya 0,4(64) kimi də yazmaq olar, amma ən qısa dövr götürülür: 0,464646… = 0,⁠(46).

Necə oxunur

4,25(18)

«dörd tam iyirmi beş dövrdə on səkkiz». 0,⁠(6) isə «sıfır tam dövrdə altı» oxunur.

3 · İki növ

Saf və qarışıq dövri kəsrlər

Dövri kəsrləri dövrün harada başladığına görə iki növə ayırırıq.

Saf dövri kəsr — dövr vergüldən dərhal sonra başlayır.

0,⁠(36)   3,⁠(7)   0,⁠(142857)

Qarışıq dövri kəsr — dövr vergüldən bir və ya bir neçə rəqəm sonra başlayır.

0,8(3)   2,41(6)   0,05(27)

Dövr harada başlayır: 4 : 11 və 5 : 6 Yuxarıda saf: 4 : 11 = 0,3636… Vergüldən dərhal sonra narıncı qutularda 3, 6, 3, 6, hər 36 cütünün altında mötərizə: 0,(36). Altda qarışıq: 5 : 6 = 0,8333… Vergüldən sonra mavi qutuda 8 — dövrə qədərki rəqəm, sonra narıncı qutularda 3, 3, 3: 0,8(3). saf · 4 : 11 0, 3 6 3 6 … = 0,(36) dövr vergüldən dərhal sonra başlayır qarışıq · 5 : 6 0, 8 3 3 3 … = 0,8(3) dövr bir rəqəmdən sonra başlayır
Mavi — dövrə qədərki rəqəm, narıncı — dövr. Saf kəsrdə mavi hissə yoxdur.

4 · Niyə təkrarlanır

Qalıqlar tükənir

7-yə bölərkən qalıq yalnız 0, 1, 2, 3, 4, 5 və ya 6 ola bilər — 7-dən kiçik başqa ədəd yoxdur. Qalıq 0 olsa, bölmə bitir. Olmasa, cəmi 6 mümkün qalıq qalır.

1 : 7 bölməsinin qalıq dairəsi Çevrə üzərində altı qalıq dairəsi saat əqrəbi istiqamətində: 1, 3, 2, 6, 4, 5. Hər qövsün yanında bölmədən çıxan rəqəm: 1-dən 3-ə gedəndə 1, 3-dən 2-yə 4, 2-dən 6-ya 2, 6-dan 4-ə 8, 4-dən 5-ə 5, 5-dən yenidən 1-ə 7. Altı mümkün qalığın hamısı işləndikdən sonra qalıq 1 qayıdır. Mərkəzdə: 1 : 7 = 0,(142857). 1 4 2 8 5 7 1 3 2 6 4 5 qalıqlar 1 : 7 = 0,(142857)
Dairələrdə qalıqlar, narıncı kvadratlarda bölmədən çıxan rəqəmlər. Altı qalığın hamısı işlənəndən sonra qalıq 1 qayıdır və eyni yol təkrarlanır.
  1. Qalıq həmişə böləndən kiçikdir: 7-yə bölmədə yalnız 0–6.
  2. Qalıq 0 olsa, bölmə bitir — sonlu onluq kəsr.
  3. 0 olmasa, ən çoxu 6 addımda qalıqlardan biri təkrarlanır.
  4. Eyni qalıqdan eyni addımlar başlayır, ona görə rəqəmlər də təkrarlanır — dövr.

1 : 7 = 0,142857142857…      = 0,⁠(142857)

Hər məxrəc üçün eyni mühakimə doğrudur: n-ə bölmədə sıfırdan fərqli qalıqlar 1, 2, …, n − 1-dir, ona görə dövrdə ən çoxu n − 1 rəqəm ola bilər. Deməli, adi kəsr bölünəndə nəticə həmişə ya sonlu, ya da dövri onluq kəsrdir.

5 · Hesabla

Kəsri dövri kəsrə çevir

Surəti məxrəcə bölürük, hər addımda qalığı yazırıq. Qalıq təkrarlanan kimi dayanırıq: dövr tapıldı.

Nümunə 1Bölmə ilə

176 / kəsrini dövri onluq kəsr şəklində yazın.

  1. 17 : 6 = 2, qalıq 5. Tam hissə 2.
  2. 50 : 6 = 8, qalıq 2.
  3. 20 : 6 = 3, qalıq 2 — qalıq 2 təkrarlandı, deməli 3 sonsuza qədər təkrarlanacaq: 2,8333…
  4. 8 vergüldən sonra bir dəfə gəlir — dövrə qədərki rəqəmdir; dövr 3-dür. Kəsr qarışıq dövri kəsrdir.

    176 / = 2,8(3)

Nümunə 2Qarışıq ədəd

2 511 / qarışıq ədədini dövri onluq kəsr şəklində yazın.

  1. Tam və kəsr hissəni cəm şəklində yazırıq: 2 + 511 / .
  2. Yalnız kəsr hissəni bölürük: 5 : 11 = 0,4545… = 0,⁠(45) (yuxarıdakı şəkil).
  3. Tam hissəni əlavə edirik: 2 + 0,⁠(45) = 2,⁠(45).

    2 511 / = 2,⁠(45)

6 · Sonlu, yoxsa dövri?

Bölmədən əvvəl məxrəcə bax

Niyə 2 və 5? Sonlu onluq kəsr məxrəci 10, 100, 1000, … olan kəsrdir, və 10 = 2 · 5. Məxrəcdə yalnız 2 və 5 varsa, onu 10-un qüvvətinə tamamlamaq olur:

38 / = 3 · 1258 · 125 / = 3751000 / = 0,375

Məxrəcdə 3 olsa, heç bir vurma onu 10, 100, 1000-ə çevirə bilməz — bu ədədlərin sadə vuruqları yalnız 2 və 5-dir.

Yadda saxla

Kəsri əvvəlcə ixtisar et, sonra məxrəci sadə vuruqlara ayır.

  • Məxrəcin sadə vuruqları yalnız 2, yalnız 5 və ya hər ikisidirsə — sonlu onluq kəsr alınır.
  • 2 və 5-dən fərqli hər hansı sadə vuruq varsa — dövri onluq kəsr alınır.
Nümunə 3Bölmədən əvvəl müəyyən et

Hansı kəsr sonlu, hansı dövri onluq kəsrə çevrilir?

İxtisar → məxrəcin sadə vuruqları → nəticə
Kəsrİxtisardan sonraMəxrəcNəticə
9/123/44 = 2 · 2sonlu: 0,75
7/407/4040 = 2 · 2 · 2 · 5sonlu: 0,175
11/6011/6060 = 2 · 2 · 3 · 5dövri: 0,18(3)
14/212/33dövri: 0,⁠(6)

11/60-ın məxrəcində 2 və 5 də var, amma bir dənə 3 kifayətdir ki, kəsr dövri olsun.

7 · Diqqət

İki tipik səhv

0,1666… ədədində nə təkrarlanır: 16, yoxsa yalnız 6?

Səhv

0,1666… = 0,⁠(16)

0,⁠(16) = 0,161616… olardı — 1 təkrarlanmır.

Düzgün

0,1666… = 0,1(6)

Mötərizəyə yalnız təkrarlanan rəqəmlər girir.

615 / : məxrəcdə 3 var — deməli dövridir?

Səhv

15 = 3 · 5 → dövri

Kəsr ixtisar olunmadan məxrəcə baxılıb.

Düzgün

6/15 = 2/5 = 0,4

İxtisardan sonra məxrəc 5-dir — kəsr sonludur.

8 · Həyatda

Pul bölgüsü və kalkulyator

Üç dost 10 manatı bərabər bölmək istəyir. 10 : 3 = 3,333… = 3,⁠(3) manat — dəqiq pay heç vaxt bitmir.

Kalkulyator ekranında 2 ÷ 3 Kalkulyator ekranı 0.6666666667 göstərir. Son rəqəm 7 qırmızı halqadadır: ekranda yer bitdiyi üçün rəqəm yuvarlaqlaşdırılıb. Əslində 2 : 3 = 0,(6). 2 ÷ 3 = 0.666666666 7 son rəqəm yuvarlaqlaşdırılıb əslində: 0,(6)
Kalkulyator onluq kəsri nöqtə ilə yazır; biz vergül yazırıq.
10 manat 3 nəfərə (1 manat = 100 qəpik)
HesabNəticə
dəqiq pay3,⁠(3) manat
qəpiklə hər birinə3,33 manat
üç pay birlikdə3 · 3,33 = 9,99 manat
artıq qalır1 qəpik

Pul qəpiyə qədər yazılır, ona görə dövri payı yuvarlaqlaşdırırıq və bir qəpik artıq qalır. Kalkulyator da eyni şeyi edir: 10 rəqəmdən sonra ekran bitir və son rəqəmi yuvarlaqlaşdırır. Dövri kəsrin dəqiq qiyməti yalnız mötərizəli yazılışdadır.

9 · Özünü yoxla

Bacarığını sına

Cavabı seç — düzgün olanda yaşıl, səhv olanda qırmızı işıqlanacaq. Həllinə də baxa bilərsən.

  1. Asan

    0,353535… ədədinin qısa yazılışı hansıdır?

    Cavab variantları

    Düzdür! 35 qrupu vergüldən dərhal sonra təkrarlanır.

    Yox. Nə təkrarlanır — 35 cütü. Onun hamısı mötərizəyə girir, sonsuz hissə atılmır.

    Həllə bax

    Rəqəmlər 35, 35, 35, … qrupları ilə təkrarlanır, dövr 35-dir: 0,353535… = 0,⁠(35). 0,3(5) = 0,3555… olardı, 0,35 isə sonlu kəsrdir.

  2. Asan

    Hansı qarışıq dövri onluq kəsrdir?

    Cavab variantları

    Bəli! Dövrdən əvvəl 3 rəqəmi var.

    Yox. Mötərizə vergüldən dərhal sonra açılırsa, kəsr safdır. Dövrdən əvvəl rəqəm olanı axtar.

    Həllə bax

    2,⁠(7) və 0,⁠(318) kəsrlərində dövr vergüldən dərhal sonra başlayır — saf. 0,3(18)-də dövrdən əvvəl 3 gəlir — qarışıq.

  3. Orta

    4,7(25) ədədində dövrə qədərki rəqəmlər hansılardır?

    Cavab variantları

    Düzdür! Vergüldən sonra, mötərizədən əvvəl yalnız 7 var.

    Yox. Tam hissə (4) sayılmır, mötərizədəki 25 isə dövrün özüdür.

    Həllə bax

    4 — tam hissə, 7 — dövrə qədərki rəqəm, 25 — dövr: 4,7252525…

  4. Orta

    Hansı kəsr sonlu onluq kəsrə çevrilir?

    Cavab variantları

    Əla! 18/45 = 2/5 = 0,4.

    Yox. Məxrəcdə 2 və ya 5 olması bəs etmir — 3 kimi başqa sadə vuruq olmamalıdır. Əvvəl ixtisar etməyi də unutma.

    Həllə bax

    12 = 2 · 2 · 3 və 15 = 3 · 5 — hər ikisində 3 var, 5/12 və 4/15 dövridir. 18/45-i 9-a ixtisar edirik: 2/5, məxrəc yalnız 5 — sonlu: 0,4.

  5. Çətin

    9/22 kəsrini dövri onluq kəsr şəklində yaz.

    Cavab variantları

    Düzdür! 0,40909… — 4 bir dəfə, 09 təkrarlanır.

    Yox. Bölməni qalıqlarla apar və hansı qalığın təkrarlandığına bax: 4 bir dəfə gəlir, sonra 0 və 9 növbələşir.

    Həllə bax

    90 : 22 = 4, qalıq 2; 20 : 22 = 0, qalıq 20; 200 : 22 = 9, qalıq 2 — qalıq 2 təkrarlandı. Rəqəmlər: 4, sonra 0, 9, 0, 9, … Deməli 9/22 = 0,40909… = 0,4(09).

  6. Çətin

    Kəsrin məxrəci 13-dür və o, dövri onluq kəsrə çevrilir. Dövrdə ən çoxu neçə rəqəm ola bilər?

    Cavab variantları

    Bəli! Sıfırdan fərqli qalıq cəmi 12 cür ola bilər.

    Yox. Qalıqları say: 13-ə bölmədə qalıq 0–12-dir, 0 isə bölməni bitirir.

    Həllə bax

    13-ə bölmədə qalıq 0, 1, …, 12 ola bilər. Kəsr dövri olduğuna görə qalıq heç vaxt 0 olmur, qalır 12 qalıq. Ən çoxu 12 addımdan sonra qalıq təkrarlanır, ona görə dövrdə ən çoxu 12 rəqəm olur.

Xülasə

Yadda qalanlar

  • 0,4545… = 0,⁠(45)Təkrarlanan qrup — dövr — mötərizəyə alınır. Saf kəsrdə dövr vergüldən dərhal, qarışıq kəsrdə bir neçə rəqəmdən sonra başlayır.
  • qalıq 0 → sonlu, qalıq qayıdır → dövriQalıqların sayı sonludur, ona görə adi kəsr həmişə sonlu və ya dövri onluq kəsr verir.
  • ixtisar → yalnız 2 və 5?Bəli — sonlu; başqa sadə vuruq varsa — dövri.

Növbəti mövzu: 2.8 Dövri onluq kəsrin adi kəsrə çevrilməsi — əks yol: 0,⁠(45) kimi ədədi yenidən adi kəsr şəklində yazmaq.