• 2.12
  • 7-ci sinif
  • Rasional ədədlər

Rasional ədədlər üzərində əməllər və xassələri

−1,2 · (0,5 − 3) : (−0,6) — cavab müsbətdir, yoxsa mənfi? Hər addımda iki sual ver: işarə nədir və modul nədir. Onda ifadə üç pillədə −5-ə enir.

Bu dərsdə

  • dörd əməldə cavabın işarəsini qayda ilə, modulunu kəsr hesabı ilə tapacaqsan;
  • yerdəyişmə, qruplaşdırma və paylama xassələri ilə hesabı ağılda qısaldacaqsan;
  • adi və onluq kəsrlər qarışan ifadəni əməllər sırası ilə pillə-pillə hesablayacaqsan.
İfadə üç pillədə hesablanır: hər pillədə işarə və modul Yuxarıda ifadə: −1,2 · (0,5 − 3) : (−0,6). Pillə 1: 0,5 − 3 = −2,5, işarə mənfi. Pillə 2: −1,2 · (−2,5) = +3, işarə müsbət. Pillə 3: 3 : (−0,6) = −5, işarə mənfi. Sonda cavab −5. Mavi qutular işarəni, narıncı rəqəmlər modulu göstərir. −1,2 · (0,5 − 3) : (−0,6) 1 0,5 − 3 = −2,5 − 2 −1,2 · (−2,5) = +3 + 3 3 : (−0,6) = −5 − işarə modul = −5
  1. İki sual
  2. İşarə qaydası
  3. Dörd əməl
  4. Xassələr
  5. Ağılda hesab
  6. Əməllərin sırası
  7. Diqqət
  8. Həyatda
  9. Özünü yoxla
  10. Yekun

1 · Kəşf et

Hər hesab iki sualdır

Rasional ədəd m/n şəklində yazıla bilən ədəddir: tam ədədlər, adi və onluq kəsrlər, dövri onluq kəsrlər. Dərslikdə deyildiyi kimi, iki rasional ədədin cəmi, fərqi, hasili və qisməti yenə rasional ədəddir (bölən 0 olmamalıdır). Yeni hesab üsulu yoxdur — kəsrlərlə necə hesablayırdınsa, elə hesablayırsan. Yeni olan tək şey: cavabın iki hissəsi var.

İşarəCavab müsbətdir, yoxsa mənfi?

Bunu qayda deyir — növbəti mərhələdəki 2×2 cədvəl.

ModulCavab 0-dan nə qədər uzaqdır?

Bunu adi kəsr hesabı verir: |−2,5| = 2,5, |3/4| = 3/4.

Ədəd oxunda 1,5 + (−4) hesablayaq. 0-dan sağa 1,5 addım atırıq, sonra sola 4 addım. Oxların uzunluğu — modullar, istiqaməti — işarələr.

Sola gedən ox daha uzundur, ona görə cavab 0-dan solda qalır: işarə −. Nə qədər solda? Uzun oxdan qısanı çıxırıq: 4 − 1,5 = 2,5.

1,5 + (−4) = −2,5

Ədəd oxunda 1,5 + (−4) = −2,5 Ədəd oxu −3-dən 2-yə qədər. Birinci ox 0-dan sağa 1,5 vahid, ikinci ox 1,5-dən sola 4 vahid gedir və −2,5-də dayanır. Oxların uzunluğu modul, istiqaməti işarədir. 1,5 + (−4) = ? −3−2−1 012 +1,5 −4 −2,5
Uzun ox (modul 4) qısa oxdan (modul 1,5) 2,5 vahid uzundur və sola baxır — cavab −2,5.

2 · Qayda

İşarə qaydaları: bir cədvəl, dörd xana

Sətirlər əməli, sütunlar işarələri seçir. Hər xanada iki cavab var: işarə və modul. Çıxma ayrıca xana istəmir: a − b = a + (−b), sonra toplama sətri işləyir.

İşarə qaydaları: toplama, vurma və bölmə; eyni və müxtəlif işarələr
ƏməlEyni işarələrMüxtəlif işarələr
Toplama

İşarəümumi işarə

Modulmodulların cəmi

−1,2 + (−0,5) = −1,7

İşarəmodulu böyük olanın işarəsi

Modulböyük modul − kiçik modul

−3/4 + 1/2 = −1/4
Vurma, bölmə

İşarəhəmişə + (+ · + və − · −)

Modulmodulların hasili və ya qisməti

−0,4 · (−0,5) = +0,2

İşarəhəmişə − (+ · − və − · +)

Modulmodulların hasili və ya qisməti

2/3 : (−1/3) = −2

Dərslikdə vurma belə deyilir: «eyni işarəli iki ədədin hasili müsbət, müxtəlif işarəli iki ədədin hasili isə mənfi işarəli olur». Bölmədə də eynidir, çünki bölmə tərsinə vurmadır. Çox vuruq olanda mənfiləri say: cüt saydadırsa +, tək saydadırsa −.

3 · Hesabla

Dörd əməl, addım-addım

Hər əməl üçün qısa qayda və bir nümunə. Nümunələrdə hər addımın yanında səbəbi yazılıb — öz həllini də belə yaz.

Toplama

  • Eyni işarələr: modulları topla, ümumi işarəni yaz.
  • Müxtəlif işarələr: böyük moduldan kiçiyi çıx, modulu böyük olanın işarəsini yaz.
(−a) + (−b) = −(a + b)
Nümunə 1Qarışıq ədədlər, müxtəlif işarə

Hesablayın: −23/4 + 15/6

  1. İşarələr müxtəlifdir — modulları çıxacağıq.
  2. Ortaq məxrəc 12: 23/4 = 29/12, 15/6 = 110/12.
  3. İşarə29/12 > 110/12, modulu böyük olan mənfidir → cavab mənfi.
  4. Modul29/12 − 110/12 = 121/12 − 110/12 = 11/12.

−23/4 + 15/6 = −11/12

Çıxma

Dərslikdə: «iki ədədin fərqini tapmaq üçün azalanın üzərinə çıxılanın əksini gəlmək olar». Çıxmanı toplamaya çevir, sonra toplama qaydası.

a − b = a + (−b)
Nümunə 2Mənfi ədədi çıxmaq

Hesablayın: −0,8 − (−21/2)

  1. Çıxılanın əksini əlavə et: −0,8 − (−21/2) = −0,8 + 21/2.
  2. Eyni yazılışa gətir: 21/2 = 2,5.
  3. İşarəMüxtəlif işarələr; modulu böyük olan 2,5 müsbətdir → +.
  4. Modul2,5 − 0,8 = 1,7.

−0,8 − (−21/2) = 1,7

Vurma

Modulları vur. İşarələr eynidirsə cavab müsbət, müxtəlifdirsə mənfidir.

(−a) · (−b) = ab, (−a) · b = −ab
Nümunə 3Qarışıq ədəd və onluq kəsr

Hesablayın: −11/5 · 0,75

  1. İşarə− · + = −. İşarəni əvvəl yaz, sonra yalnız modullarla işlə.
  2. Kəsrə çevir: 11/5 = 6/5, 0,75 = 3/4.
  3. Modul6/5 · 3/4 = 18/20 = 9/10.

−11/5 · 0,75 = −9/10 = −0,9

Bölmə

Dərslikdə: «rasional ədədləri bölərkən bölünəni bölənin tərsinə vurmaq lazımdır». İşarə vurmadakı kimidir. 0-a bölmək olmaz — 0-ın tərsi yoxdur.

a : b = a · 1/b, b ≠ 0
Nümunə 4Mənfi kəsrə bölmək

Hesablayın: −2,4 : (−3/5)

  1. İşarə− : − = +.
  2. Kəsrə çevir: 2,4 = 24/10 = 12/5.
  3. Bölənin tərsi: 3/5 → 5/3. Tərs ədəd işarəni saxlayır: −3/5-in tərsi −5/3-dir.
  4. Modul12/5 · 5/3 = 60/15 = 4.

−2,4 : (−3/5) = 4

4 · Qayda

Xassələr və nəyə kömək edirlər

Dərslik soruşur: «Sizcə, toplamanın və vurmanın xassələrini nə üçün tətbiq edirlər?» Cavab son sütundadır: xassə cavabı dəyişmir, amma hesabı qısaldır. xatırla işarəli sətirlər əvvəlki siniflərdən tanışdır.

Toplama və vurmanın xassələri: düstur, nümunə və nəyə kömək etdiyi
XassəDüsturNümunəNiyə kömək edir
Toplamanın yerdəyişmə qanunua + b = b + a −2/5 + 1,4 = 1,4 + (−2/5) = 1 Toplananları rahat sıraya düz: müsbətləri bir yerə, mənfiləri bir yerə.
Toplamanın qruplaşdırma qanunu(a + b) + c = a + (b + c) (−3,6 + 1,6) + 1/3 = −2 + 1/3 = −12/3 Cəmi tam ədəd verən toplananları əvvəl birləşdir.
Vurmanın yerdəyişmə qanunua · b = b · a −3/7 · 0,5 = 0,5 · (−3/7) Asan vurulan cütü yan-yana gətir.
Vurmanın qruplaşdırma qanunu(a · b) · c = a · (b · c) (0,25 · 4) · (−5/9) = 1 · (−5/9) 0,25 · 4, 0,5 · 2, 1,25 · 8 kimi cütlər 1 və ya 10 verir.
Paylama qanunua(b + c) = ab + ac
a(b − c) = ab − ac		 6 · (1/2 − 2/3) = 3 − 4 = −1 Ortaq məxrəc axtarmadan vur. Tərsinə oxu: ortaq vuruğu mötərizədən xaricə çıxar.
0 və 1xatırlaa + 0 = a, a · 1 = a
a · 0 = 0		 −7/8 · 1 + 0 = −7/8 0 əlavə etmək və 1-ə vurmaq ədədi dəyişmir; vuruqlardan biri 0-dırsa, hasil 0-dır.
Əks ədədlərxatırlaa + (−a) = 0 −2,3 + 2,3 = 0 Əks cütləri tap və sil — qalan hesab qısalır.
Tərs ədədlərxatırlaa · 1/a = 1, a ≠ 0 −4/9 · (−9/4) = 1 Bölməni vurmaya çevirir: a : b = a · 1/b.

5 · Hesabla

Ağılda hesab: xassə ilə qısa yol

Hesablamağa başlamazdan əvvəl ifadəyə bax: «dost» cüt, əks ədədlər və ya ortaq vuruq varmı? Hər kartın üstündəki etiket hansı xassənin işlədiyini deyir.

Yerdəyişmə + qruplaşdırma
0,25 · (−7,3) · 40= (0,25 · 40) · (−7,3)= 10 · (−7,3) = −73

0,25 · 40 = 10 — «dost» cüt. Bir mənfi vuruq → cavab mənfi.

Əks ədədlər
−3,7 + 54/9 + 3,7= (−3,7 + 3,7) + 54/9= 0 + 54/9 = 54/9

Onluq və adi kəsri qarışdırmağa ehtiyac qalmadı.

Paylama
12 · (3/4 − 5/6)= 12 · 3/4 − 12 · 5/6= 9 − 10 = −1

12 hər iki məxrəcə bölünür — ortaq məxrəc lazım deyil.

Paylama, tərsinə
1,3 · (−2,7) + 1,3 · (−7,3)= 1,3 · (−2,7 + (−7,3))= 1,3 · (−10) = −13

Ortaq vuruq 1,3 xaricə çıxdı, mötərizədə −10 qaldı.

6 · Pillə-pillə

Əməllərin sırası: bir pillədə bir əməl

Dərslik: «Rasional ədədlər üzərində əməllər yerinə yetirilərkən əməllərin yerinə yetirilmə ardıcıllığına riayət olunur.» Əvvəl sıranı ifadənin üstündə nömrələ, sonra hesabla.

(−1/2 + 0,75) · 22/3 − 1,2 : (−3/5)

  • 1mötərizə
  • 2vurma
  • 3bölmə
  • 4çıxma

Vurma və bölmə bərabər hüquqludur — soldan sağa. Toplama və çıxma ən sonda.

İfadə

(−1/2 + 0,75) · 22/3 − 1,2 : (−3/5)
  1. Mötərizə
    = 1/4 · 22/3 − 1,2 : (−3/5)
    −1/2 + 0,75 = −0,5 + 0,75 = 0,25 = 1/4

    Müxtəlif işarələr: modulu böyük olan 0,75 müsbətdir → +; modul 0,75 − 0,5.

  2. Vurma
    = 2/3 − 1,2 : (−3/5)
    1/4 · 22/3 = 1/4 · 8/3 = 8/12 = 2/3

    Qarışıq ədədi kəsrə çevir; + · + = +.

  3. Bölmə
    = 2/3 − (−2)
    1,2 : (−3/5) = 6/5 · (−5/3) = −2

    Bölənin tərsinə vur; + · − = −, modul 6/5 · 5/3 = 2.

  4. Çıxma
    = 22/3
    2/3 − (−2) = 2/3 + 2 = 22/3

    a − b = a + (−b): mənfi ədədi çıxmaq onun modulunu əlavə etməkdir.

Cavab: 22/3

Adi və ya onluq kəsr? Hansı sadədirsə: 0,75 = 3/4 və 1,2 = 6/5 kimi asan çevrilənləri çevir. Dövri onluq kəsri (məsələn 0,(3)) isə həmişə əvvəl adi kəsrə çevir — 2.3-cü mövzudakı kimi.

7 · Diqqət

Dörd işarə səhvi

Bu səhvlərin hamısında modul düz hesablanıb — itən işarədir. Ona görə işarəni ayrıca addım kimi yaz.

Mənfi ədədi çıxmaq

Səhv

2/3 − (−2) = −11/3

Çıxılanın işarəsi dəyişdirilməyib: 2/3 − 2 hesablanıb.

Düz

2/3 + 2 = 22/3

(−2)-ni çıxmaq 2 əlavə etməkdir: a − (−b) = a + b.

Müxtəlif işarəli toplama

Səhv

−1,5 + 4 = −2,5

İşarə birinci toplanandan götürülüb.

Düz

−1,5 + 4 = 2,5

İşarəni modulu böyük olan verir: |4| > |−1,5|, deməli +.

Mənfi ədədin tərsi

Səhv

−6 : (−2/3) = −6 · 3/2 = −9

Tərsini alanda işarə də dəyişdirilib.

Düz

−6 · (−3/2) = 9

Tərs ədəd işarəni saxlayır: −2/3-in tərsi −3/2-dir. − · − = +.

Mənfi vuruğu paylamaq

Səhv

−2 · (3 − 0,5) = −6 − 1 = −7

İkinci hasilin işarəsi itib.

Düz

−2 · 3 − (−2) · 0,5 = −6 + 1 = −5

−2-ni hər həddə vur: (−2) · (−0,5) = +1. Yoxla: −2 · 2,5 = −5.

8 · Həyatda

Termometr gün ərzində

Səhər saat 06:00-da hava −3,5 °C idi. 14:00-a qədər temperatur 61/4 °C qalxdı, sonra 4 saat ərzində hər saat 0,75 °C düşdü. Saat 18:00-da termometr nə göstərir?

−3,5 + 61/4 + 4 · (−0,75) = −3,5 + 6,25 + (−3) vurma əvvəl = (−3,5 + (−3)) + 6,25 yerdəyişmə = −6,5 + 6,25 = −0,25

18:00-da −0,25 °C

Mənfiləri bir yerə yığmaq (yerdəyişmə qanunu) hesabı iki addıma endirdi. Qrafikdə də görünür: ən isti an 14:00-dır (2,75 °C), axşam isə temperatur 0-dan bir az aşağı düşür.

Gün ərzində temperatur: −3,5 °C-dən 2,75 °C-yə, sonra −0,25 °C-yə Zaman–temperatur qrafiki. 06:00-da −3,5 °C, 14:00-da 6,25 dərəcə artımdan sonra 2,75 °C, 18:00-da 3 dərəcə enişdən sonra −0,25 °C. Sıfır xətti qalındır. 20 °C−2−4 06:0014:0018:00 −3,5° 2,75° −0,25° +6,25° −3°
Artım +6,25°, eniş 4 · (−0,75°) = −3°. İşarə istiqaməti, modul dəyişmənin ölçüsünü göstərir.

9 · Özünü yoxla

Bacarığını sına

Cavabı seç — düzgün olanda yaşıl, səhv olanda qırmızı işıqlanacaq və ipucu çıxacaq. Hər sualın altında həll var.

  1. Asan

    −2,4 + 0,9 = ?

    Sual 1: cavabı seç

    Düzdür! Müxtəlif işarələr: 2,4 − 0,9 = 1,5, işarəni −2,4 verir.

    Yox. Müxtəlif işarəlidə modulları çıxırıq, işarəni isə modulu böyük olan verir.

    Həllə bax

    |−2,4| = 2,4 > 0,9, deməli cavab mənfidir. Modul: 2,4 − 0,9 = 1,5. Cavab: −1,5.

  2. Asan

    −3/4 · (−8/9) = ?

    Sual 2: cavabı seç

    Düzdür! − · − = +, modul 3/4 · 8/9 = 2/3.

    Yox. İki mənfinin hasili müsbətdir; vurmada kəsri çevirmirik — surəti surətə, məxrəci məxrəcə vur.

    Həllə bax

    İşarə: − · − = +. Modul: 3/4 · 8/9 = 24/36 = 2/3. Cavab: 2/3.

  3. Orta

    11/2 : (−0,3) = ?

    Sual 3: cavabı seç

    Düzdür! 3/2 · (−10/3) = −5.

    Yox. Bölmədə bölənin tərsinə vur: −0,3 = −3/10, tərsi −10/3 (işarə qalır). + : − = −.

    Həllə bax

    11/2 = 3/2, −0,3 = −3/10. İşarə: + : − = −. Modul: 3/2 · 10/3 = 5. Cavab: −5.

  4. Orta

    Vuruqları qruplaşdırıb hesablayın: 0,5 · (−3,9) · 40

    Sual 4: cavabı seç

    Düzdür! (0,5 · 40) · (−3,9) = 20 · (−3,9) = −78.

    Yox. 0,5 · 40 = 20 (2 deyil), və bir mənfi vuruq olduğu üçün cavab mənfidir.

    Həllə bax

    Yerdəyişmə və qruplaşdırma: (0,5 · 40) · (−3,9) = 20 · (−3,9) = −78.

  5. Çətin

    1,2 − 0,8 · (−21/2) = ?

    Sual 5: cavabı seç

    Düzdür! Vurma əvvəl: 0,8 · (−2,5) = −2; 1,2 − (−2) = 3,2.

    Yox. Vurma çıxmadan əvvəldir; mənfi ədədi çıxmaq onun modulunu əlavə etməkdir.

    Həllə bax

    1) 0,8 · (−2,5) = −2. 2) 1,2 − (−2) = 1,2 + 2 = 3,2. (1,2 − 0,8)-i əvvəl hesablasan −1, işarəni dəyişməsən −0,8 alınır — hər ikisi səhvdir.

  6. Çətin

    (−2/3 + 0,5) : (−1/12) = ?

    Sual 6: cavabı seç

    Düzdür! −1/6 · (−12) = 2.

    Yox. Əvvəl mötərizə (−1/6), sonra −1/12-in tərsinə, yəni −12-yə vur; iki mənfi → müsbət.

    Həllə bax

    Mötərizə: −2/3 + 1/2 = −4/6 + 3/6 = −1/6. Bölmə: −1/6 : (−1/12) = −1/6 · (−12) = 2.

10 · Yekun

Üç şeyi yadda saxla

  • İşarə + modulHər əməldə iki sual: işarəni 2×2 cədvəldən, modulu kəsr hesabından tap. Çıxma — əksini əlavə et, bölmə — tərsinə vur.
  • Xassələr — qısa yolYerini dəyiş, qruplaşdır, payla: 0,25 · 40 və −3,7 + 3,7 kimi cütləri axtar.
  • Sıra — pillə-pilləMötərizə → vurma və bölmə soldan sağa → toplama və çıxma. Hər pillədə bir əməl.

Növbəti mövzu: 2.13 Perpendikulyar və mail — həndəsəyə keçirik.