• 2.13
  • 7-ci sinif
  • Həndəsə

Perpendikulyar və mail

Evdən yola neçə düz yol çəkmək olar? Sonsuz sayda. Amma ən qısası yalnız biridir: yolla 90° bucaq əmələ gətirən perpendikulyar.

Bu dərsdə

  • şəkildə perpendikulyarı, maili, onların oturacaqlarını və proyeksiyanı tapacaqsan;
  • nöqtədən düz xəttə məsafənin niyə perpendikulyarla ölçüldüyünü izah edəcəksən;
  • mailləri proyeksiyalarına görə müqayisə edəcəksən.
  • perpendikulyar
  • mail
  • proyeksiya
Perpendikulyarın qurulmasıA nöqtəsi a düz xəttindən yuxarıdadır. A mərkəzli pərgar qövsü a-nı P və Q nöqtələrində kəsir. P və Q mərkəzli eyni radiuslu qövslər a-nın altında A′ nöqtəsində kəsişir. AA′ düz xətti a-nı H nöqtəsində kəsir və AH ⊥ a alınır; üçbucaqlı xətkeş H-dakı düz bucağı yoxlayır. AP və AQ bərabər maillərdir, PH = HQ.aAPQA′HAP = AQPH = HQ
  1. A mərkəzli pərgar qövsü a düz xəttini P və Q-da kəsir.
  2. P və Q-dan eyni radiusla çəkilən qövslər A′-da kəsişir.
  3. AA′ düz xətti a-nı H-da kəsir: AH ⊥ a. Üçbucaqlı xətkeş düz bucağı yoxlayır.
  1. Ən qısa yol
  2. Adlar
  3. Müqayisə
  4. Hesabla
  5. Diqqət
  6. Həyatda
  7. Özünü yoxla
  8. Yekun

1 · Kəşf et

Yola ən qısa yol hansıdır?

A nöqtəsində ev var, a düz xətti isə yoldur. Evdən yolun dörd nöqtəsinə düz yol çəkək. Nöqtəni seç və lövhəyə bax: hər xana 1 m-dir, altdakı cədvəl uzunluqları eyni miqyasla düzür.

Yolda nöqtə seç
Evdən yola dörd yolA nöqtəsi (ev) a yolundan 12 xana yuxarıdadır. Yolda K, L, H, M nöqtələri: AK = 20 m, AL = 13 m, AH = 12 m, AM = 15 m. Yalnız AH yolla 90° bucaq əmələ gətirir və ən qısadır. Altdakı cədvəl dörd uzunluğu eyni miqyasla müqayisə edir.a20 m13 m15 m12 mKLMHA — evÖlçü cədvəli · eyni miqyasAK20 mAM15 mAL13 mAH12 m
Lövhə 1Evdən yola dörd yol1 xana = 1 m

AK = 20 m. AK yolla 90° bucaq əmələ gətirmir. Dördünün ən uzunudur.

AL = 13 m. Daha qısadır, amma bucaq yenə 90° deyil.

AH = 12 m — ən qısa. Yalnız AH yolla 90° bucaq əmələ gətirir (H-dakı kvadrat işarəyə bax).

AM = 15 m. M nöqtəsi H-dan 9 m, L isə 5 m aralıdır, ona görə AM AL-dən uzundur.

Dörd yoldan yalnız 90° bucaqlı olan ən qısadır. Növbəti mərhələdə ona ad veririk.

2 · Qayda

Perpendikulyar, mail, proyeksiya

Yadda saxla

  • İki düz xətt kəsişəndə bucaqlardan biri 90° olarsa, onlar perpendikulyardır: a ⊥ b.
  • A nöqtəsindən a-ya 90° bucaq altında çəkilən AH parçası perpendikulyardır, H — perpendikulyarın oturacağıdır.
  • AH-ın uzunluğu A nöqtəsindən a düz xəttinə qədər məsafədir.
  • a-nı 90°-dən fərqli bucaq altında kəsən AB parçası maildir, B — mailin oturacağıdır, ∠ABH — meyil bucağıdır.
  • İki oturacağı birləşdirən BH parçası AB mailinin a üzərindəki proyeksiyasıdır.
AH ⊥ a
Perpendikulyar, mail və proyeksiyaA nöqtəsindən a düz xəttinə AH perpendikulyarı (oturacağı H, düz bucaq işarəsi ilə) və AB maili (oturacağı B) çəkilib. ∠ABH meyil bucağıdır. BH parçası AB mailinin a üzərindəki proyeksiyasıdır. Sağdakı ölçü xətti AH-ın uzunluğunu — A-dan a-ya məsafəni göstərir.a∠ABHməsafəperpendikulyarmail ABproyeksiya BHAHB
Lövhə 2Adlar və işarələrdərslik, Şəkil 1
Hər ad öz parçasının rəngindədir. Sağdakı ölçü xətti məsafəni göstərir: o, AH-ın uzunluğudur, AB-nin yox.

Teorem

İstənilən nöqtədən verilmiş düz xəttə yalnız bir perpendikulyar çəkmək olar.

Mail həmişə uzundur

AB > AH

Lövhə 1-də: 13, 15 və 20 m — hamısı 12 m-dən böyükdür.

Sonsuz sayda mail

A-dan a-ya sonsuz sayda mail çəkmək olar: a-nın H-dan başqa hər nöqtəsinə biri.

3 · Qayda

Mailləri necə müqayisə edək?

Eyni A, eyni yol — indi pərgarla. Pərgarın ucunu A-ya, o biri ucunu B-yə qoy və çevrə çək: onun bütün nöqtələri A-dan 13 m aralıdır. Çevrənin içindəki nöqtələr A-ya daha yaxın, kənardakılar daha uzaqdır.

Müqayisə et
Mailləri pərgar çevrəsi ilə müqayisəA nöqtəsi a-dan 12 m yuxarıdadır, AH perpendikulyardır. A mərkəzli, 13 m radiuslu çevrə a-nı H-dan 5 m aralı B və B′ nöqtələrində kəsir: AB = AB′ = 13 m. H-dan 9 m aralı C nöqtəsi çevrədən kənardadır: AC = 15 m. AH boyunca qırıq xətt qatlama xəttidir.A mərkəzli çevrəqatlama xəttia13 m13 m5 m5 m13 m15 m5 m9 m13 m12 m5 mABHB′C
Lövhə 3Pərgar və qatlama1 xana = 1 m

HB = HB′ = 5 m, deməli AB = AB′ = 13 m. Vərəqi AH boyunca qatla: a öz üzərinə düşür (90°), B ilə B′ üst-üstə gəlir — maillər də üst-üstə gəlir.

HC = 9 m > HB = 5 m, deməli AC = 15 m > AB = 13 m. C çevrədən kənardadır, ona görə A-dan daha uzaqdır.

AH = 12 m < AB = 13 m. H çevrənin içindədir: perpendikulyar istənilən maildən qısadır.

Qayda

Eyni nöqtədən bir düz xəttə çəkilmiş maillər üçün:

HB = HB′ ⇔ AB = AB′ HC > HB ⇔ AC > AB

Bərabər maillərin proyeksiyaları bərabərdir və tərsinə. Proyeksiyası böyük olan mail daha uzundur və tərsinə.

Niyə bərabər? Qatla

AH boyunca qatlayanda a özünə düşür, A yerində qalır. H-dan eyni məsafədə olan B və B′ üst-üstə gəlir, deməli AB və AB′ də.

Niyə uzun? Pərgarla

Çevrə a-nı yalnız B və B′-də kəsir. Onların arasındakı nöqtələr (H da) içəridədir, kənardakılar (C) xaricdədir.

4 · Hesabla

Lövhəyə baxıb həll edirik

Nümunə 1Bərabər maillər

A nöqtəsindən a düz xəttinə iki bərabər mail — AB və AC çəkilib. AB-nin proyeksiyası 7 sm-dir. Maillərin oturacaqları arasındakı məsafəni tapın.

Nümunə 1: iki bərabər mailA-dan a-ya AH perpendikulyarı və bərabər AB, AC mailləri (bərabərlik çərtikləri ilə). HB = 7 sm, HC = 7 sm; BC soruşulur.a7 sm7 smBC = ?ABHC
Lövhə 4Çərtiklər: AB = AC1 xana = 1 sm
  1. Bərabər maillərin proyeksiyaları bərabərdir: HC = HB = 7 sm.
  2. B və C H-ın iki tərəfindədir: bir tərəfdə pərgar çevrəsi a-nı yalnız bir nöqtədə kəsir.
  3. BC = BH + HC = 7 + 7 = 14 sm.

    BC = 14 sm

Nümunə 2Sıraya düz

A-dan a-ya AH perpendikulyarı və AB, AC, AD mailləri çəkilib: HB = 4 sm, HC = 7 sm, HD = 4 sm (D H-ın o biri tərəfindədir). Dörd parçanı artan sırada düzün.

Nümunə 2: üç mail və perpendikulyarA-dan a-ya AH perpendikulyarı və AD, AB, AC mailləri. D H-ın solunda, B və C sağında. HD = 4 sm, HB = 4 sm, HC = 7 sm.a4 sm4 sm7 smADHBC
Lövhə 5Proyeksiyalar oxda1,5 xana = 1 sm
  1. Perpendikulyar ən qısadır: AH birincidir.
  2. HB = HD = 4 sm, deməli AB = AD.
  3. HC = 7 sm > 4 sm, deməli AC ən uzundur.

    AH < AB = AD < AC

Nümunə 3Düzbucaqlıda məsafə

Düzbucaqlı ABCD-nin AB tərəfi 2,5 sm-dir, BC tərəfi ondan 3 dəfə uzundur. B təpəsindən AD və CD tərəflərinə qədər məsafələri tapın.

Nümunə 3: düzbucaqlıda məsafəDüzbucaqlı ABCD: AB = 2,5 sm (sol tərəf), BC = 7,5 sm (yuxarı tərəf). B-dən AD-yə məsafə BA, B-dən CD-yə məsafə BC-dir.2,5 sm7,5 smABCD
Lövhə 6Tərəfin özü perpendikulyardır3 xana = 1 sm
  1. Düzbucaqlının bütün bucaqları 90°-dir: BA ⊥ AD, BC ⊥ CD.
  2. B-dən AD-yə perpendikulyar BA-nın özüdür: məsafə 2,5 sm.
  3. B-dən CD-yə perpendikulyar BC-dir: BC = 3 · 2,5 = 7,5 sm.

    2,5 sm və 7,5 sm

5 · Diqqət

İki tez-tez edilən səhv

Maili məsafə sanmaq

Səhv

məsafə = AL = 13 m

AL yolla 90° bucaq əmələ gətirmir — o, maildir.

Düz

məsafə = AH = 12 m

Məsafə yalnız perpendikulyarla ölçülür (Lövhə 1, H nöqtəsi).

«Düz xəttə yalnız bir perpendikulyar var»

Səhv

düz xəttə — 1 perpendikulyar

Düz xəttin hər nöqtəsindən ona bir perpendikulyar keçir: hamısı sonsuz saydadır.

Düz

verilmiş A nöqtəsindən — 1

Teorem nöqtə haqqındadır: A-dan a-ya yalnız AH çəkmək olar.

Düz xəttə sonsuz sayda perpendikulyara düz xəttinə müxtəlif nöqtələrdən çəkilmiş çoxlu perpendikulyar düz xətt; A nöqtəsindən keçən isə yalnız biridir.aAH
Lövhə 7Çox perpendikulyar, A-dan biri

6 · Həyatda

Perpendikulyar hər gün

Perpendikulyar ən qısa yoldur və «düz duran» hər şeyin ölçüsüdür. Mail isə həmişə ondan uzundur.

Yolu keçməkPiyada A nöqtəsində, yolun bu kənarındadır; a yolun o biri kənarıdır. Zolaqlı keçid boyunca AH = 12 m (perpendikulyar), çəp yol AC = 15 m (mail), HC = 9 m (proyeksiya).12 m15 m9 mA — piyadaHCa
Lövhə 8Yolu keçmək
Zolaqlı keçid yolun kənarına perpendikulyardır: 12 m. Çəp keçid maildir: 15 m.
ŞaqulDivarın üstündəki tirdən ip asılıb, ucunda ağır yük var. İp və onun davamı yerə H nöqtəsində perpendikulyardır; dərslikdəki ekker aləti də belə şaqulla işləyir.ipyükip ⊥ yerHa — yer
Lövhə 9Şaqul
Yük ipi dartır və ip yerə perpendikulyar olur. Dərslikdəki «ekker» də şaqulla düz bucaq qurur.
NərdivanDivar yerə perpendikulyardır. 5 m-lik nərdivan (mail) divara T nöqtəsində söykənib, ayağı L divardan 3 m aralıdır (proyeksiya WL), T yerdən 4 m hündürlükdədir (perpendikulyar TW).4 m5 m3 mTWLyer
Lövhə 10Nərdivan
Divar yerə perpendikulyardır. 5 m-lik nərdivanın ucu cəmi 4 m hündürlüyə çatır.
Kim nədir?
VəziyyətPerpendikulyarMailProyeksiya
Yolu keçməkzolaqlı keçid, 12 mçəp keçid, 15 mHC, 9 m
Şaqulip, yerə qədər——
Nərdivandivar boyu TW, 4 mnərdivan TL, 5 mWL, 3 m

7 · Özünü yoxla

Bacarığını sına

Cavabı seç: düz olanda lime, səhv olanda qırmızı işıqlanacaq. Həllə də baxa bilərsən.

  1. Asan

    AH ⊥ a, AH = 8 sm, AB isə 10 sm-lik maildir. A nöqtəsindən a düz xəttinə qədər məsafə nə qədərdir?

    Sual 1 variantları

    Düzdür! Məsafə perpendikulyarın uzunluğudur.

    Məsafə 90° bucaqlı parça ilə ölçülür. Hansı parça a-ya perpendikulyardır?

    Həllə bax

    AH ⊥ a, deməli məsafə AH = 8 sm. AB maildir və ondan uzundur.

  2. Asan

    AH ⊥ a, AB isə maildir (B nöqtəsi a üzərindədir). BH parçası necə adlanır?

    Sual 2 variantları

    Düzdür! BH iki oturacağı birləşdirir.

    BH a düz xəttinin üzərindədir və B ilə H oturacaqlarını birləşdirir.

    Həllə bax

    B mailin, H perpendikulyarın oturacağıdır. Onları birləşdirən BH parçası AB mailinin a üzərindəki proyeksiyasıdır.

  3. Orta

    Nöqtədən düz xəttə iki bərabər mail çəkilib. Hər birinin proyeksiyası 6 sm-dir. Maillərin oturacaqları arasındakı məsafə nə qədərdir?

    Sual 3 variantları

    Düzdür! 6 + 6 = 12 sm.

    Oturacaqlar H-ın iki tərəfindədir, hər tərəfdə 6 sm.

    Həllə bax

    Bərabər maillərin proyeksiyaları bərabərdir və H-ın iki tərəfində yerləşir (Lövhə 4): 6 + 6 = 12 sm.

  4. Orta

    A-dan a-ya AH perpendikulyarı, AB və AC mailləri çəkilib: HB = 3 sm, HC = 5 sm. Hansı doğrudur?

    Sual 4 variantları

    Düzdür! Proyeksiyası böyük olan mail uzundur.

    Proyeksiyaları müqayisə et: hansı mailin proyeksiyası böyükdür?

    Həllə bax

    HC = 5 sm > HB = 3 sm, deməli AC > AB, yəni AB < AC (Lövhə 3, «AB və AC»).

  5. Çətin

    A-dan a-ya çəkilmiş perpendikulyar AH = 5 sm-dir. A-dan a-ya çəkilmiş mailin uzunluğu hansı ola bilər?

    Sual 5 variantları

    Düzdür! Mail perpendikulyardan uzundur.

    İstənilən mail perpendikulyardan uzundur. 5 sm-lik parça isə AH-ın özü olardı.

    Həllə bax

    AB > AH = 5 sm, ona görə 4 sm və 5 sm olmur. A-dan a-ya uzunluğu 5 sm olan parça yalnız perpendikulyarın özüdür (teorem: o, yeganədir). Cavab 7 sm.

  6. Çətin

    Düzbucaqlı ABCD-də AB = 8 sm, BC = 3 sm. C təpəsindən AB tərəfinə qədər məsafə nə qədərdir?

    Sual 6 variantları

    Düzdür! CB ⊥ AB, deməli məsafə CB-dir.

    C-dən çıxan hansı tərəf AB ilə 90° bucaq əmələ gətirir?

    Həllə bax

    Düzbucaqlının bucaqları 90°-dir, CB ⊥ AB. Məsafə CB = 3 sm. CD isə AB-yə paraleldir, perpendikulyar deyil (Lövhə 6).

8 · Yekun

Üç nəticə

  • Perpendikulyar ən qısadırNöqtədən düz xəttə məsafə AH-ın uzunluğudur; istənilən mail ondan uzundur.
  • Bərabər maillər ⇔ bərabər proyeksiyalarAH boyunca qatla: B ilə B′ üst-üstə gəlir.
  • Böyük proyeksiya ⇔ uzun mailPərgar çevrəsindən kənardakı nöqtələr A-dan daha uzaqdır.

Növbəti mövzu: 2.14 Parçanın orta perpendikulyarı — dərsin əvvəlindəki qurmanın niyə işlədiyini orada görəcəksən.