• 2.18
  • 7-ci sinif
  • Həndəsə

Uyğun tərəfləri paralel və ya perpendikulyar olan bucaqlar

Tərəfləri bir-birinə paralel olan iki bucağı ölçmədən müqayisə etmək olarmı? Olar: onlar ya bərabərdir, ya da cəmləri 180°-dir. Hansı olduğunu bucaqların növü deyir.

Bu dərsdə

  • uyğun tərəfləri paralel və ya perpendikulyar olan bucaqları şəkildə tanıyacaq, eyniadlı və müxtəlifadlı bucaqları ayıracaqsan;
  • bucaqlardan biri məlum olanda o birinin iki mümkün qiymətini tapacaqsan;
  • fərq, nisbət və ifadə verilən məsələlərdə hansı halın uyğun olduğunu seçib tənlik quracaqsan.
  • verilmiş bucaq
  • ikinci bucaq
  • nəticə
Tərəfləri paralel olan bucaqları O-ya sürüşdürürükMavi AOB bucağı 50°-dir. Narıncı MNK bucağının tərəfləri OA və OB ilə eyni istiqamətdə paraleldir, o da 50°-dir. Narıncı CED bucağında EC OA ilə eyni, ED isə OB-yə əks istiqamətdədir; bu bucaq 130°-dir. Hər iki narıncı bucaq dönmədən O-ya sürüşdürüləndə MNK AOB-nin üstünə, CED isə AOB-nin qonşu bucağının üstünə düşür: 50° + 130° = 180°.50°OAB50°NMK130°ECD130°∠MNK = ∠AOB∠CED + ∠AOB = 180°

Narıncı bucaqları dönmədən O-ya sürüşdürürük. MNK düz AOB-nin üstünə düşür, CED isə onun qonşusunun üstünə.

  1. Sürüşdür
  2. Paralel tərəflər
  3. Perpendikulyar tərəflər
  4. Xassələr
  5. Hesabla
  6. Diqqət
  7. Həyatda
  8. Özünü yoxla
  9. Yekun

1 · Kəşf et

Bucağı O-ya sürüşdür: hara düşəcək?

∠AOB = 50°. OA və OB-ni O-dan o tərəfə də uzadaq: iki düz xətt O-da dörd bucaq yaradır. Qarşı-qarşıya duranlar qarşılıqlı bucaqlardır və bərabərdir (50° və 50°), yan-yana duranlar qonşu bucaqlardır və cəmləri 180°-dir (50° + 130°).

N təpəli narıncı bucağın NM tərəfi OA-ya, NK tərəfi OB-yə paraleldir. Hər tərəf ya eyni istiqamətə baxır, ya da əks istiqamətə. Halı seç: bucağın O-ya sürüşdürülmüş qırıq surəti dörd bucaqdan birinin üstünə düşür.

NM və NK necə yönəlib?

Birinci söz NM-in OA-ya, ikinci söz NK-nın OB-yə görə istiqamətidir. Bir oxcuq — OA ailəsi, iki oxcuq — OB ailəsi.

Dörd hal: ikinci bucaq O-ya sürüşdürülürO nöqtəsində OA və OB düz xətləri dörd bucaq yaradır: 50°, 130°, 50°, 130°. N təpəli narıncı bucağın NM tərəfi OA-ya, NK tərəfi OB-yə paraleldir. Seçilən halda bu bucağın O-ya sürüşdürülmüş qırıq narıncı surəti dörd bucaqdan birinin üstünə düşür: hər iki tərəf eyni istiqamətdə — 50°, hər ikisi əks — 50°, biri eyni, biri əks — 130°.50°130°50°130°50°NMK50°NMK130°NMK130°NMKOAB
Şəkil 1. Qırıq narıncı surət — N təpəli bucağın O-ya sürüşdürülmüş halı.

∠MNK = 50° = ∠AOB. Hər iki tərəf eyni istiqamətdədir: surət düz AOB-nin üstünə düşür. Hər ikisi iti bucaqdır.

∠MNK = 50° = ∠AOB. Hər iki tərəf əks istiqamətdədir: surət AOB-nin qarşılıqlı bucağının üstünə düşür. Yenə hər ikisi iti bucaqdır.

∠MNK = 130°, 50° + 130° = 180°. Bir tərəf eyni, biri əks istiqamətdədir: surət AOB-nin qonşu bucağının üstünə düşür. Biri iti, digəri kordur.

∠MNK = 130°, 50° + 130° = 180°. Surət AOB-nin o biri qonşu bucağına düşür. Yenə biri iti, digəri kordur.

Başqa yer yoxdur: surət həmişə dörd bucaqdan birinə düşür. Deməli, ikinci bucaq ya 50°-dir, ya da 130°-dir.

2 · Qayda

Uyğun tərəfləri paralel olan bucaqlar

Şəkil 2-də MNK və CED bucaqlarının tərəfləri AOB bucağının uyğun tərəflərinə paraleldir: OA ∥ NM ∥ EC və OB ∥ NK ∥ ED. AOB və MNK eyniadlı bucaqlardır — hər ikisi itidir. AOB və CED isə müxtəlifadlıdır — biri iti, digəri kor bucaqdır. Test kitablarında bunlara eyni növlü və müxtəlif növlü bucaqlar da deyilir.

I. Eyniadlı bucaqlar: ∠MNK = ∠AOBAOB və MNK bucaqlarının tərəfləri uyğun olaraq paraleldir və eyni istiqamətdədir: OA ∥ NM, OB ∥ NK. Hər ikisi iti bucaqdır və 60°-dir.60°OAB60°NMK
Şəkil 2, I. Eyniadlı: ∠MNK = ∠AOB = 60°.
II. Müxtəlifadlı bucaqlar: ∠CED + ∠AOB = 180°CED bucağında EC OA ilə eyni istiqamətdə, ED isə OB-yə əks istiqamətdə paraleldir. AOB iti (60°), CED kor (120°) bucaqdır; cəmləri 180°-dir.60°OAB120°ECD
Şəkil 2, II. Müxtəlifadlı: 120° + 60° = 180°.

Yadda saxla

Uyğun tərəfləri paralel olan bucaqlar ya konqruyentdir (eyni adlı olduqda), ya da dərəcə ölçülərinin cəmi 180°-dir (müxtəlif adlı olduqda).

β = α  və ya  α + β = 180°
Niyə belədir? 2.17-dəki uyğun bucaqlarla
Niyə ∠MNK = ∠AOB: iki dəfə uyğun bucaqlarKN düz xətti uzadılır və OA düz xəttini P nöqtəsində kəsir. OB ∥ PK və kəsən OA olduğundan ∠AOB = ∠APK (uyğun bucaqlar). NM ∥ PA və kəsən PK olduğundan ∠MNK = ∠APK (uyğun bucaqlar). Deməli ∠MNK = ∠AOB = 60°.60°60°60°OABPNMK
Şəkil 3. KN-i OA düz xəttini kəsənə qədər uzadırıq (P nöqtəsi).
  1. OB ∥ PK, kəsən OA: ∠AOB = ∠APK — uyğun bucaqlar.
  2. NM ∥ PA, kəsən PK: ∠MNK = ∠APK — yenə uyğun bucaqlar.
  3. Deməli ∠MNK = ∠AOB. Müxtəlifadlı halda ikinci bucaq bu bucağın qonşusudur, ona görə cəm 180° alınır.

Dərslikdə tam isbat ayrıca (QR kodla) verilir; burada yalnız qısa izahdır.

3 · Qayda

Uyğun tərəfləri perpendikulyar olan bucaqlar

İndi AOB kor bucaqdır, 120°. Onun daxilindəki N nöqtəsindən OA-ya NM ⊥ OA, OB-yə NK ⊥ OB perpendikulyarlarını çəkək. N-də yaranan bucağı seç.

N-də hansı bucaq?

D nöqtəsi KN-in N-dən o tərəfə davamındadır.

Tərəfləri perpendikulyar olan bucaqlarAOB kor bucaqdır, 120°. Onun daxilindəki N nöqtəsindən OA-ya NM, OB-yə NK perpendikulyarları çəkilib; M və K-da düz bucaq işarəsi var. ∠MNK = 60° (iti, AOB isə kor — müxtəlifadlı, 60° + 120° = 180°). KN-i N-dən o tərəfə uzadıb ND şüasını alsaq, ∠MND = 120° olur (hər ikisi kor — eyniadlı, bərabər).120°60°120°DOABNMK
Şəkil 4. M və K-dakı kvadrat işarələr düz bucaqdır.

∠MNK = 60°, 60° + 120° = 180°. MNK iti, AOB kordur — bucaqlar müxtəlifadlıdır, cəmləri 180°-dir.

∠MND = 120° = ∠AOB. Hər ikisi kordur — eyniadlıdır, bərabərdir. MND və MNK qonşu bucaqlardır.

Yadda saxla

Uyğun tərəfləri perpendikulyar olan bucaqlar ya konqruyentdir, ya da dərəcə ölçülərinin cəmi 180°-dir.

β = α  və ya  α + β = 180°

Hansı halın olduğunu yenə bucaqların növü deyir: eyniadlı — bərabər, müxtəlifadlı — cəmi 180°.

Niyə? Bucağı 90° döndər

MNK bucağını N ətrafında 90° döndərək. NM şaquli idi, indi üfüqi olur və OA-ya paraleldir; NK də OB-yə paralel olur. Döndərmə bucağı dəyişmir, ona görə sual Qayda I-ə gəlir.

Niyə? Bucağı N ətrafında 90° döndərMNK bucağının tərəfləri AOB-nin tərəflərinə perpendikulyardır. Bu bucağın surəti N ətrafında 90° döndərilir: NM′ OA ilə eyni istiqamətdə paralel, NK′ isə OB-yə əks istiqamətdə paralel olur. Döndərmə bucağı dəyişmir, ona görə 60° qalır; indi Qayda I işləyir: bucaqlar müxtəlifadlıdır, 60° + 120° = 180°.120°90° döndərM′K′60°OABNMK
Şəkil 5. Döndərmədən sonra NM′ ∥ OA (eyni istiqamət), NK′ ∥ OB (əks istiqamət): müxtəlifadlı, 60° + 120° = 180°.

4 · Xassələr

Növə bax — cavabı seç

Hər iki qayda eyni üç xassəyə gəlir. Bucaqların tərəfləri uyğun olaraq paralel və ya perpendikulyardırsa:

Uyğun tərəfləri paralel (perpendikulyar) olan iki bucaq
BucaqlarAdıNəticə
iti və iti, ya da kor və koreyniadlıkonqruyentdir: β = α
biri iti, digəri kormüxtəlifadlıcəmi 180°: α + β = 180°
biri düz bucaq (90°)—digəri də düz bucaqdır

Növ məlum deyilsə

ya α, ya 180° − α

Yalnız bir bucaq verilibsə, iki cavab yazılır: «ya … ya da».

Bərabər deyilsə

α + β = 180°

Bucaqlar fərqlidirsə (fərqi, nisbəti verilir), deməli müxtəlifadlıdırlar.

Tərsi doğru deyil

Cəmi 180° olan və ya dərəcə ölçüləri eyni olan bucaqların tərəfləri hər zaman paralel və ya perpendikulyar olmur.

5 · Hesabla

Dörd nümunə

Nümunə 1İki mümkün cavab

124°-li bucağın uyğun tərəflərinə paralel olan bucaq neçə dərəcə ola bilər?

124°-li bucağın dörd bucaq xəritəsiOA və OB düz xətləri O-da dörd bucaq yaradır: iki dənə 124° (mavi) və iki dənə 56° (narıncı). Tərəfləri OA və OB-yə paralel olan istənilən bucaq sürüşdürüləndə bunlardan birinin üstünə düşür.124°56°124°56°OAB
Şəkil 6. 124°-li bucağın dörd bucaq xəritəsi.
  1. Bucaqların növü verilməyib, ona görə iki hala baxırıq.
  2. Eyniadlıdırsa, bərabərdir: 124°.
  3. Müxtəlifadlıdırsa, cəmləri 180°-dir: 180° − 124° = 56°.

    124° və ya 56°

Nümunə 2Şəkildə ifadələr

ABC və DMK bucaqlarında BA ∥ MD, BC ∥ MK, hər ikisi itidir. ∠ABC = 4x − 20°, ∠DMK = 2x + 30°. ∠ABC-ni tapın.

BA ∥ MD, BC ∥ MK: hər iki bucaq itidirABC və DMK bucaqlarının tərəfləri uyğun olaraq paralel və eyni istiqamətdədir. Hər ikisi iti bucaqdır. ∠ABC = 4x − 20°, ∠DMK = 2x + 30°.4x − 20°2x + 30°BCAMKD
Şəkil 7. Tərəflər eyni istiqamətdə paraleldir: oxcuqlar eynidir.
  1. Hər iki bucaq iti — eyniadlıdır, deməli bərabərdir: 4x − 20° = 2x + 30°.
  2. 4x − 2x = 30° + 20°, 2x = 50°, x = 25°. Bu hələ cavab deyil!
  3. ∠ABC = 4 · 25° − 20° = 80°. Yoxla: 2 · 25° + 30° = 80°.

    ∠ABC = 80°

Nümunə 3Nisbət verilib

Uyğun tərəfləri paralel olan iki bucağın dərəcə ölçüləri 7 : 8 nisbətindədir. Bucaqları tapın.

  1. Nisbət 7 : 8 olduğu üçün bucaqlar bərabər deyil — deməli müxtəlifadlıdır və cəmləri 180°-dir.
  2. Bucaqlar 7k və 8k: 7k + 8k = 180°, 15k = 180°, k = 12°.
  3. 7 · 12° = 84°, 8 · 12° = 96°. Yoxla: biri iti, digəri kor, 84° + 96° = 180°.

    84° və 96°

Nümunə 4İki hala bax

α və β bucaqlarının uyğun tərəfləri perpendikulyardır və 3α − β = 112°. α-nı tapın.

  1. I hal, eyniadlı: β = α. Onda 3α − α = 112°, 2α = 112°, α = 56° (β = 56°, hər ikisi iti — uyğundur).
  2. II hal, müxtəlifadlı: β = 180° − α. Onda 3α − 180° + α = 112°, 4α = 292°, α = 73°, β = 107° (biri iti, biri kor — uyğundur).
  3. Hər iki halda bucaqlar müsbətdir və növ şərtə uyğundur, ona görə iki cavab qalır.

    α = 56° və ya α = 73°

6 · Diqqət

Dörd tez-tez edilən səhv

Yalnız bir cavab yazmaq

Səhv

75° → yalnız 75°

Növ verilməyibsə, ikinci hal itir.

Düz

75° və ya 105°

Eyniadlı — bərabər, müxtəlifadlı — 180° − 75°.

Perpendikulyar görüb 90° götürmək

Səhv

90° − 75° = 15°

Tərəflərin perpendikulyar olması bucaqların cəmini 90° etmir.

Düz

75° və ya 180° − 75° = 105°

Perpendikulyar tərəflərdə də 180° işləyir (Şəkil 4).

Tərsini doğru saymaq və bir cütlə kifayətlənmək

Bərabərdir, amma tərəfləri paralel deyilİki bucaq da 50°-dir, amma N təpəli bucaq döndərilib: NM OA-ya, NK OB-yə paralel deyil. Bərabər bucaqların tərəfləri hər zaman paralel olmur.50°50°ONABMKNM ∥ OA deyil
Şəkil 8. Hər ikisi 50°-dir, amma tərəflər paralel deyil. Bərabərlikdən paralellik çıxmır.
Yalnız bir cüt tərəf paraleldirNM tərəfi OA-ya paraleldir, NK isə istənilən istiqamətdə ola bilər. Ona görə ∠MNK 72°, 104°, 140° və ya başqa ölçüdə ola bilər; qayda işləmir.50°72°104°140°ONMNK ?
Şəkil 9. Yalnız NM ∥ OA. NK istənilən istiqamətdə ola bilər, ona görə ∠MNK istənilən ola bilər: qayda hər iki cüt tərəf üçün şərtdir.

7 · Həyatda

Pandusda gizlənmiş bucaq

Pandus (maili yol) yerlə 30° bucaq əmələ gətirir. Pandusun üstündəki qutudan iki xətt çəkək: şaqul — yerə perpendikulyar, və pandusa perpendikulyar xətt.

  • şaqul ⊥ yer, «⊥ pandus» xətti ⊥ pandus — tərəflər uyğun olaraq perpendikulyardır;
  • pandus bucağı da, Q-dakı bucaq da itidir — eyniadlı;
  • deməli Q-dakı bucaq da 30°-dir.

Fizikada maili müstəvi məsələlərində məhz bu bucaq lazım olur.

Pandusda iki bərabər bucaqPandus yerlə 30° bucaq əmələ gətirir. Pandusun üstündəki qutunun altındakı Q nöqtəsindən şaqul xətti yerə (yerə perpendikulyar) və pandusa perpendikulyar xətt çəkilib. Bu iki xətt arasındakı bucaq da 30°-dir: tərəfləri pandus bucağının tərəflərinə perpendikulyardır və hər ikisi iti bucaqdır.30°30°Qşaqul⊥ panduspandus
Şəkil 10. Ölçmədən bilirik: Q-dakı bucaq pandusun meyl bucağına bərabərdir.

8 · Özünü yoxla

Bacarığını sına

Cavabı seç: düz olanda lime, səhv olanda qırmızı işıqlanacaq. Həllə də baxa bilərsən.

  1. Asan

    Uyğun tərəfləri paralel olan iki bucaqdan biri 72°-dir. O biri neçə dərəcə ola bilər?

    Sual 1 variantları

    Düzdür! Növ verilməyib, ona görə iki cavab var.

    Növ məlum deyil: eyniadlı da, müxtəlifadlı da ola bilər. Müxtəlifadlıda cəm 180°-dir, 90° yox.

    Həllə bax

    Eyniadlı: 72°. Müxtəlifadlı: 180° − 72° = 108°. Cavab: 72° və ya 108°.

  2. Asan

    Uyğun tərəfləri paralel olan iki bucaqdan biri iti, digəri kor bucaqdır. Belə bucaqlar necə adlanır?

    Sual 2 variantları

    Düzdür! Biri iti, digəri kor — müxtəlifadlı; cəmləri 180°-dir.

    Eyniadlı ikisi də iti və ya ikisi də kor olanda deyilir. Qarşılıqlı bucaqlar isə bir təpədə qarşı-qarşıya duran bucaqlardır.

    Həllə bax

    İti və kor bucaq — müxtəlif adlı bucaqlardır, yəni müxtəlifadlıdır. Onların cəmi 180°-dir.

  3. Orta

    Uyğun tərəfləri paralel olan iki bucaqdan biri iti, digəri kordur. Onların fərqi 36°-dir. Kiçik bucaq neçə dərəcədir?

    Sual 3 variantları

    Düzdür! 108° − 72° = 36° və 72° + 108° = 180°.

    Müxtəlifadlıdır, ona görə cəm 180°-dir (90° yox). Soruşulan kiçik bucaqdır.

    Həllə bax

    α + β = 180°, β − α = 36°. Birincidən ikincini çıxsaq: 2α = 144°, α = 72°. Böyük bucaq 108°-dir.

  4. Orta

    Uyğun tərəfləri perpendikulyar olan iki bucaq bərabər deyil, biri o birindən 5 dəfə böyükdür. Kiçik bucaq neçə dərəcədir?

    Sual 4 variantları

    Düzdür! 30° + 150° = 180°.

    Bərabər deyilsə, cəmləri 180°-dir: x + 5x = 180°. Kiçik bucağı soruşurlar.

    Həllə bax

    Kiçik bucaq x, böyük 5x. Müxtəlifadlıdır: x + 5x = 180°, 6x = 180°, x = 30°. Böyük bucaq 150°-dir.

  5. Çətin

    ABC və DMK bucaqlarında BA ∥ MD, BC ∥ MK, bucaqlar eyniadlıdır. ∠ABC = 5x − 12°, ∠DMK = 3x + 24°. ∠ABC neçə dərəcədir?

    Sual 5 variantları

    Düzdür! x = 18°, ∠ABC = 5 · 18° − 12° = 78°.

    Eyniadlı bucaqlar bərabərdir. x-i tapandan sonra onu ifadədə yerinə qoy.

    Həllə bax

    5x − 12° = 3x + 24°, 2x = 36°, x = 18°. ∠ABC = 5 · 18° − 12° = 78°; yoxla: 3 · 18° + 24° = 78°.

  6. Çətin

    ∠1 və ∠2-nin uyğun tərəfləri paraleldir və onlar müxtəlifadlıdır. ∠2 və ∠3-ün uyğun tərəfləri perpendikulyardır və onlar eyniadlıdır. ∠1 = 40°. ∠3 neçə dərəcədir?

    Sual 6 variantları

    Düzdür! ∠2 = 180° − 40° = 140°, ∠3 = ∠2 = 140°.

    Addım-addım get: əvvəl ∠2-ni tap (müxtəlifadlı — cəm 180°, 90° yox), sonra ∠3-ü (eyniadlı — bərabər).

    Həllə bax

    ∠1 və ∠2 müxtəlifadlıdır: ∠2 = 180° − 40° = 140°. ∠2 və ∠3 eyniadlıdır: ∠3 = ∠2 = 140°. 40° növləri nəzərə almamaqdır, 50° isə 90° − 40° səhvidir.

9 · Yekun

Üç nəticə

  • Eyniadlı — bərabərUyğun tərəfləri paralel və ya perpendikulyar olan iki iti (iki kor) bucaq konqruyentdir.
  • Müxtəlifadlı — cəmi 180°Biri iti, digəri kordursa, cəmləri 180°-dir; biri düz bucaqdırsa, digəri də düzdür.
  • Növ məlum deyilsə — iki cavabα verilibsə, ikinci bucaq ya α, ya da 180° − α olur. Tərs təklif isə doğru deyil.

Növbəti mövzu: 2.19 Birhədlilər və onların hasili — həndəsədən cəbrə keçirik.