• 2.24
  • 7‑ci sinif
  • Çoxhədlilər

Birhədlinin çoxhədliyə vurulması

Divar üç panelə bölünüb: hündürlüyü 3a, panellərin eni 2a, b və 6. Sahəni bütöv də, panel‑panel də tapmaq olar — cavab eynidir: 6a2 + 3ab + 18a.

Bu dərsdə

  • birhədlini çoxhədlinin hər bir həddinə vurub hasili standart şəkildə yazacaqsan;
  • hər hasilin işarəsini, əmsalını və üstünü səhvsiz tapacaqsan;
  • bir neçə hasildən ibarət ifadəni sadələşdirəcək, qiymətini tapacaq və mötərizəli tənliyi həll edəcəksən.
Hündürlüyü 3a olan divar eni 2a, b və 6 olan üç panelə bölünüb Düzbucaqlı divarın hündürlüyü 3a-dır. Eni üç hissədən ibarətdir: 2a, b və 6. Panellərin sahələri 3a·2a = 6a², 3a·b = 3ab və 3a·6 = 18a. Aşağıda: 3a(2a + b + 6) = 6a² + 3ab + 18a. bütöv sahə = panellərin cəmi 3a 2ab6 3a·2a6a²3a·b3ab3a·618a 3a(2a + b + 6) = 6a² + 3ab + 18a
  1. Kəşf et
  2. Qayda
  3. İşarə laboratoriyası
  4. Hesabla
  5. Sadələşdir
  6. Tənlik
  7. Diqqət
  8. Həyatda
  9. Özünü yoxla

1 · Kəşf et

Bir vuruq — bir neçə toplanan

Dərslik belə başlayır: «Siz vurmanın toplamaya və çıxmaya görə paylama xassəsini bilirsiniz.» Bu xassə başda hesablamağı da asanlaşdırır. 6 · 47 hasilini tapmaq üçün 47‑ni 40 + 7 kimi yazırıq:

6 · 47 = 6 · (40 + 7)= 6 · 40 + 6 · 7= 240 + 42 = 282

6 vuruğu mötərizədəki hər toplanana vurulur. Hərflərlə: a(b + c) = ab + ac və a(b − c) = ab − ac.

Yuxarıdakı divar da eyni şeyi göstərir. Bütöv sahə «hündürlük × en»‑dir: 3a(2a + b + 6). Hər panelin sahəsi isə ayrıca hesablanır: 3a · 2a = 6a2; 3a · b = 3ab; 3a · 6 = 18a. Panellər bütün divarı örtdüyü üçün iki yol eyni nəticə verir:

3a(2a + b + 6) = 6a2 + 3ab + 18a

Burada 3a birhədli, 2a + b + 6 isə çoxhədlidir. Deməli, birhədlini çoxhədliyə vurmaq paylama xassəsini bir neçə hədd üçün tətbiq etmək deməkdir.

2 · Qayda

Birhədli hər həddə vurulur

Yadda saxla

«Birhədlini çoxhədliyə vurmaq üçün birhədlini çoxhədlinin hər bir həddinə vurub alınan hasilləri cəm şəklində yazmaq lazımdır.»

a(b + c + d) = ab + ac + ad

Dərslik əlavə edir: «Birhədlinin çoxhədliyə hasili çoxhədlidir!»

a(b + c + d) bərabərliyinin sahə şəkli Hündürlüyü a olan düzbucaqlı eni b, c və d olan üç zolağa bölünüb. Zolaqların sahələri ab, ac və ad-dır. Bütöv sahə a(b + c + d) zolaqların sahələrinin cəminə bərabərdir. babcacdad a a(b + c + d) = ab + ac + ad
Hündürlüyü a olan düzbucaqlı eni b, c, d olan zolaqlara bölünür. Bütöv sahə zolaqların sahələrinin cəminə bərabərdir — bu, paylama xassəsinin həndəsi mənasıdır.

Hər hasil — birhədlilərin hasili

3a · 2a = 6a2

Əmsallar vurulur, eyni hərfin üstləri toplanır (2.19): 3 · 2 = 6, a · a = a2.

İşarə qaydası

(−) · (−) = +

(+) · (−) = −. Hər hasilin işarəsini ayrıca tap: o, vuranın və həddin işarələrindən asılıdır.

Şəkil yalnız müsbət hədlər üçün çəkilir, amma qayda mənfi hədlər üçün də doğrudur: işarələri rasional ədədlərin vurulma qaydası müəyyən edir. Bunu növbəti laboratoriyada yoxlayaq.

3 · İşarə laboratoriyası

Vuranın işarəsi nəyi dəyişir?

Eyni çoxhədlini — 2y2 − 3y + 5 — üç müxtəlif vurana vururuq. Vuranı seç və hasillərin işarəsinə bax.

Vuran
Vurma cədvəli: seçilmiş vuran 2y² − 3y + 5 çoxhədlisinin hər həddinə vurulur Yuxarı sətirdə çoxhədlinin hədləri: +2y², −3y, +5. Sol xanada seçilmiş vuran. Alt sətirdə hər həddin vurana hasili; müsbət hasillər yaşıl, mənfi hasillər qırmızı xanadadır. Altında hasillərin cəmi. ×+2y²−3y+5 2y+4y³−6y²+10y= 4y³ − 6y² + 10y−2y−4y³+6y²−10y= −4y³ + 6y² − 10y−1−2y²+3y−5= −2y² + 3y − 5 müsbət hasil mənfi hasil

2y müsbətdir: hər hasil həddin öz işarəsini saxlayır. 2y · (2y2 − 3y + 5) = 4y3 − 6y2 + 10y.

−2y mənfidir: hər hasilin işarəsi dəyişir. −2y · (2y2 − 3y + 5) = −4y3 + 6y2 − 10y — əvvəlki nəticənin əksi.

−1‑ə vurmaq hər həddin işarəsini dəyişir: −(2y2 − 3y + 5) = −2y2 + 3y − 5. Bu, 2.23‑dəki «mötərizə qarşısında mənfi» qaydasının özüdür.

Yuxarı sətir — çoxhədlinin hədləri, sol xana — vuran, alt sətir — hasillər. Yaşıl xana müsbət, qırmızı xana mənfi hasildir.

4 · Hesabla

Addım‑addım vururuq

Hər nümunədə eyni iş görülür: birhədlini hər həddə vururuq, hasilləri işarələri ilə birlikdə yazırıq.

Nümunə 1Müsbət birhədli

Hasili çoxhədli şəklində yazın: 4m3 · (5m2 − m + 6).

  1. Birhədlini hər həddə vururuq: 4m3 · 5m2 = 20m5; 4m3 · (−m) = −4m4; 4m3 · 6 = 24m3.
  2. Hasilləri cəm şəklində yazırıq. Hədlər artıq standart sıradadır: üstlər 5, 4, 3.

    4m3 · (5m2 − m + 6) = 20m5 − 4m4 + 24m3

Nümunə 2Mənfi birhədli, iki hərf

Hasili standart şəkildə yazın: −5pq · (3p2 − 2pq + q2).

  1. Əmsallar: (−5) · 3 = −15, (−5) · (−2) = +10, (−5) · 1 = −5.
  2. Hərflər: pq · p2 = p3q, pq · pq = p2q2, pq · q2 = pq3.
  3. Hər hasil: −5pq · 3p2 = −15p3q; −5pq · (−2pq) = 10p2q2; −5pq · q2 = −5pq3.

    −5pq · (3p2 − 2pq + q2) = −15p3q + 10p2q2 − 5pq3

Nümunə 3Onluq kəsr əmsallar

Vurmanı yerinə yetirin: 1,5y · (4y2 − 0,6y + 2).

  1. Əmsallar: 1,5 · 4 = 6; 1,5 · (−0,6) = −0,9; 1,5 · 2 = 3.
  2. Hasillər: 1,5y · 4y2 = 6y3; 1,5y · (−0,6y) = −0,9y2; 1,5y · 2 = 3y.

    1,5y · (4y2 − 0,6y + 2) = 6y3 − 0,9y2 + 3y

Nümunə 4Sütunla vurma

Dərslik sütunlu vurma üsulunu da göstərir: birhədli çoxhədlinin altında yazılır, hər həddə ox çəkilir və hasillər xəttin altına yazılır. −3d · (2d4 − d2 + 7) hasilini belə tapaq.

Sütunla vurma: −3d birhədlisi 2d⁴ − d² + 7 çoxhədlisinin hər həddinə Yuxarıda çoxhədlinin hədləri 2d⁴, −d², +7. Solda −3d birhədlisi; ondan hər həddə ox çəkilib. Xəttin altında hasillər: −6d⁵, +3d³, −21d. 2d⁴− d²+ 7 −3d −6d⁵+ 3d³− 21d
Hər ox bir hasildir: −3d · 2d4 = −6d5; −3d · (−d2) = 3d3; −3d · 7 = −21d.

−3d · (2d4 − d2 + 7) = −6d5 + 3d3 − 21d

Yoxlama: d = 1 olanda sol tərəf −3 · (2 − 1 + 7) = −24, sağ tərəf −6 + 3 − 21 = −24. Bərabərdir.

5 · Sadələşdir

Bir neçə hasil bir ifadədə

İfadədə bir neçə hasil varsa, əvvəl hər hasili açırıq, sonra oxşar hədləri islah edirik (2.22–2.23). Hasilin qarşısındakı «−» vuranın öz işarəsidir.

Nümunə 5Aç və islah et

İfadəni sadələşdirin: 4b(b − 9) − 3b(b − 8).

  1. Birinci hasil: 4b2 − 36b.
  2. İkinci vuran −3b‑dir: −3b · b = −3b2, −3b · (−8) = +24b.
  3. Hamısını yazırıq: 4b2 − 36b − 3b2 + 24b.
  4. Oxşar hədlər: 4b2 − 3b2 = b2, −36b + 24b = −12b.

    4b(b − 9) − 3b(b − 8) = b2 − 12b

Nümunə 6Sadələşdir, sonra qiymətini tap

2n(n + 6) − n(n + 11) ifadəsinin n = −6 olanda qiymətini tapın.

  1. Açırıq: 2n2 + 12n − n2 − 11n.
  2. İslah edirik: n2 + n.
  3. n = −6: (−6)2 + (−6) = 36 − 6 = 30.
  4. Yoxlama (sadələşdirmədən): 2 · (−6) · 0 − (−6) · 5 = 0 + 30 = 30.

    n2 + n = 30, n = −6 olanda

Nümunə 7Əsaslandırın

İsbat edin ki, 2t(t − 10) − t(3t − 20) − 7 ifadəsinin qiyməti t‑nin istənilən qiymətində mənfidir.

  1. Açırıq: 2t2 − 20t − 3t2 + 20t − 7.
  2. İslah edirik: 2t2 − 3t2 = −t2, −20t + 20t = 0; qalır −t2 − 7.
  3. t2 ≥ 0 olduğundan −t2 ≤ 0, deməli −t2 − 7 ≤ −7 < 0.

    −t2 − 7 < 0 — ifadə həmişə mənfidir

6 · Tənlik

Mötərizəli tənliklər

Tənlikdə mötərizə varsa, əvvəl vurmanı yerinə yetiririk, sonra dərsliyin xatırlatdığı kimi «tənliyin hədlərini bərabərliyin bir tərəfindən digərinə» keçiririk — keçən hədd işarəsini dəyişir.

Nümunə 8Mötərizələri aç, hədləri keçir

Tənliyi həll edin: 4(3x − 2) − 5(x + 8) = 78.

  1. Açırıq: 12x − 8 − 5x − 40 = 78.
  2. İslah edirik: 7x − 48 = 78.
  3. −48‑i sağa keçiririk: 7x = 78 + 48 = 126; x = 126 : 7 = 18.
  4. Yoxlama: 4 · 52 − 5 · 26 = 208 − 130 = 78.

    x = 18

Nümunə 9«Neçə vahid kiçik?»

y‑in hansı qiymətində 2(y − 9) ifadəsinin qiyməti 5(y + 6) ifadəsinin qiymətindən 9 vahid kiçikdir?

  1. «9 vahid kiçik» o deməkdir ki, böyük ifadədən 9 çıxsaq, kiçiyini alırıq: 2(y − 9) = 5(y + 6) − 9.
  2. Açırıq: 2y − 18 = 5y + 30 − 9, yəni 2y − 18 = 5y + 21.
  3. Hədləri keçiririk: 2y − 5y = 21 + 18; −3y = 39; y = −13.
  4. Yoxlama: 2 · (−22) = −44, 5 · (−7) = −35, −35 − 9 = −44.

    y = −13

7 · Diqqət

Dörd tipik səhv

Yalnız birinci həddə vuranda sahənin böyük hissəsi itir Hündürlüyü 2k, eni k², 4k və 7 olan düzbucaqlı. Səhv yazılışda yalnız birinci zolaq 2k hündürlüyündədir (2k³); qalan iki zolaq 1 hündürlüyündə qalıb (4k və 7). Qırıq xətli hissələr itən sahələrdir: 8k² və 14k. Aşağıda səhv cavab 2k³ + 4k + 7 və düz cavab 2k³ + 8k² + 14k. 2k k²2k³4k8k²itib4k714kitib7 ✗ 2k³ + 4k + 7 ✓ 2k³ + 8k² + 14k
Birhədlini yalnız birinci həddə vuranda qalan zolaqlar «1» hündürlüyündə qalır: 8k2 və 14k sahələri itir.

Yalnız birinci hədd

2k(k2 + 4k + 7) = 2k3 + 4k + 7

4k və 7 birhədliyə vurulmayıb.

Hər hədd

2k(k2 + 4k + 7) = 2k3 + 8k2 + 14k

2k hər üç həddə vurulur.

Üstlər vurulub

−2y3(y4 + 3y) = −2y12 − 6y3

y3 · y4 «y12» deyil.

Üstlər toplanır

−2y3(y4 + 3y) = −2y7 − 6y4

y3 · y4 = y7, y3 · y = y4.

Mənfi · mənfi = mənfi?

−4n(2n − 3) = −8n2 − 12n

İkinci hasilin işarəsi səhvdir.

Mənfi · mənfi = müsbət

−4n(2n − 3) = −8n2 + 12n

(−4n) · (−3) = +12n.

«−» yalnız birinci həddə

7t − 4(t − 5) = 3t − 20

−4 · (−5) mənfi götürülüb.

Vuran −4‑dür

7t − 4(t − 5) = 3t + 20

−4 · (−5) = +20, deməli 7t − 4t + 20 = 3t + 20.

8 · Həyatda

Fermer sahəsinin planı

Fermer sahəsinin planı (sxematik) Eni 5x olan düzbucaqlı sahə üç hissəyə bölünüb: pomidor (uzunluğu 2x, sahəsi 10x²), xiyar (uzunluğu 7, sahəsi 35x) və bibər (uzunluğu x, sahəsi 5x²). Aşağıda: S = 5x(3x + 7) = 15x² + 35x. 5x 2xpomidor10x²7xiyar35xxbibər5x² S = 5x(3x + 7) = 15x² + 35x
Plan sxematikdir: zolaqların eni miqyasla çəkilməyib.

Fermer düzbucaqlı sahəni üç hissəyə bölür: pomidor, xiyar və bibər. Sahənin eni 5x metr, hissələrin uzunluqları 2x, 7 və x metrdir. Bütöv sahə:

5x(2x + 7 + x) = 5x(3x + 7) = 15x2 + 35x

Hissələrin sahələrini ayrıca toplasaq da eyni çoxhədli alınır: 10x2 + 35x + 5x2 = 15x2 + 35x. Formula bir dəfə yazılır, sonra istənilən x üçün hesablanır.

x = 13 olanda sahənin eni 65 m, uzunluğu 46 m olur:

x = 13 olanda hissələrin sahələri
HissəSahə (ifadə)Sahə, m2
pomidor5x · 2x = 10x21690
xiyar5x · 7 = 35x455
bibər5x · x = 5x2845
bütöv sahə15x2 + 35x2990

Yoxlama: 65 · 46 = 2990 m2 — düzbucaqlının eni ilə uzunluğunun hasili də eyni cavabı verir.

9 · Özünü yoxla

Bacarığını sına

Cavabı seç — düzgün olanda yaşıl, səhv olanda qırmızı işıqlanacaq. Həllinə də baxa bilərsən.

  1. Asan

    5(3w − 2) hasilini tap.

    Cavab variantları

    5 hər iki həddə vurulub, işarə də yerindədir.

    5‑i hər həddə vur və işarəni saxla: 5 · (−2) = −10.

    Həllə bax

    5 · 3w = 15w, 5 · (−2) = −10, deməli 15w − 10. «15w − 2» — ikinci hədd vurulmayıb; «15w + 10» — 5 · (−2) müsbət götürülüb; «8w + 3» — əmsallar vurulmayıb, toplanıb.

  2. Asan

    r2(4r − 3) hasilini tap.

    Cavab variantları

    Əla! r2 · 4r = 4r3, r2 · (−3) = −3r2.

    r2-ni ikinci həddə də vur; əmsallar vurulur, toplanmır.

    Həllə bax

    r2 · 4r = 4r3 (üstlər toplanır: 2 + 1 = 3), r2 · (−3) = −3r2. Cavab: 4r3 − 3r2. «4r3 − 3» — −3 vurulmayıb; «4r3 + 3r2» — işarə səhvdir; «5r3 − 2r2» — əmsallar toplanıb.

  3. Orta

    −3v(2v2 − v + 4) hasilini tap.

    Cavab variantları

    Düzdür! (−3v) · (−v) = +3v2.

    Hər hasilin işarəsini ayrıca yoxla: mənfi · mənfi = müsbət, mənfi · müsbət = mənfi.

    Həllə bax

    (−3v) · 2v2 = −6v3; (−3v) · (−v) = +3v2; (−3v) · 4 = −12v. Cavab: −6v3 + 3v2 − 12v. «−6v3 − 3v2 − 12v» — (−) · (−) mənfi götürülüb; «6v3 − 3v2 + 12v» — birhədlinin minusu itib; «−6v3 + 3v2 + 4» — 4 vurulmayıb.

  4. Orta

    2m(3m − 1) − m(m + 8) ifadəsini sadələşdir.

    Cavab variantları

    Düzdür! İkinci hasilin hər iki həddi mənfi oldu.

    İkinci vuran −m‑dir: −m · m = −m2, −m · 8 = −8m.

    Həllə bax

    6m2 − 2m − m2 − 8m = 5m2 − 10m. «5m2 + 6m» — −m · 8 müsbət götürülüb; «7m2 − 10m» — −m · m müsbət götürülüb; «5m2 − 2m + 8» — −m yalnız birinci həddə vurulub.

  5. Çətin

    Tənliyi həll et: 3(4x − 5) − 4(2x − 7) = −15.

    Cavab variantları

    Düzdür! Yoxlama: 3 · (−33) − 4 · (−21) = −99 + 84 = −15.

    Əvvəl mötərizələri tam aç: −4 · (−7) = +28, sonra 13‑ü işarəsini dəyişərək keçir.

    Həllə bax

    12x − 15 − 8x + 28 = −15; 4x + 13 = −15; 4x = −28; x = −7. «1,75» — −4 yalnız 2x‑ə vurulub; «−0,5» — 13 o biri tərəfə işarəsi dəyişmədən keçirilib; «−9,5» — 3 yalnız 4x‑ə vurulub.

  6. Çətin

    y(4y − 5) − 2y(2y − 3) − y − 9 ifadəsini sadələşdir. Nə alınır?

    Cavab variantları

    Əla! y‑li hədlərin hamısı silinir: ifadənin qiyməti y‑dən asılı deyil.

    Hasilləri tam aç: −2y · 2y = −4y2, −2y · (−3) = +6y, sonra oxşar hədləri topla.

    Həllə bax

    4y2 − 5y − 4y2 + 6y − y − 9 = −9: 4y2 − 4y2 = 0 və −5y + 6y − y = 0. «−12y − 9» — −2y · (−3) mənfi götürülüb; «8y2 − 9» — −2y · 2y müsbət götürülüb; «−6y − 12» — −2y yalnız birinci həddə vurulub.

Xülasə

Yadda qalanlar

  • a(b + c + d) = ab + ac + adBirhədli çoxhədlinin hər həddinə vurulur; nəticə çoxhədlidir.
  • (−) · (−) = +Hər hasilin işarəsini ayrıca tap; mənfi birhədli bütün işarələri dəyişir.
  • Aç → islah etİfadədə və tənlikdə əvvəl mötərizələri aç, sonra oxşar hədləri topla.

Növbəti mövzu: 2.25 Çoxhədlinin çoxhədliyə vurulması