• 2.20
  • 7-ci sinif
  • Birhədlilər

Birhədlilərin nisbəti

14x6y4 birhədlisini 2x2y birhədlisinə necə bölək? Bölməni kəsr kimi yazıb ixtisar edirik: eyni vuruqlar cüt-cüt silinir və qalan 7x4y3 olur.

Bu dərsdə

  • eyni əsaslı qüvvətləri böləndə üstlərin niyə çıxıldığını ixtisarla izah edəcəksən;
  • birhədlini birhədliyə böləcəksən: əmsalları bölüb, hər hərfin üstlərini çıxacaqsan;
  • nisbəti əvvəl sadələşdirib qiymətini tapacaq, naməlum vuruğu bölmə ilə tapacaq və qismətin nə vaxt birhədli olmadığını görəcəksən.
14x⁶y⁴ : 2x²y kəsr kimi yazılır və ixtisar olunur: 7x⁴y³ Yuxarıda tapşırıq: 14x⁶y⁴ : 2x²y. Ortada kəsr: surətdə 14, altı x və dörd y, məxrəcdə 2, iki x və bir y. Surətdə və məxrəcdə eyni olan iki x cütü və bir y cütü çəp xətlə ixtisar olunur, 14 və 2 isə 7 və 1 olur. Surətdə dörd x və üç y qalır. Nəticə 7x⁴y³: 14 : 2 = 7, x üçün 6 − 2 = 4, y üçün 4 − 1 = 3. x və y sıfırdan fərqlidir. 14x⁶y⁴ : 2x²y = ? 14xxxxxxyyyy 2xxy 71 = 7x⁴y³ 14 : 2 = 7 x: 6 − 2 = 4 y: 4 − 1 = 3 x ≠ 0, y ≠ 0
  1. İxtisar
  2. Qüvvətlərin nisbəti
  3. Birhədliyə bölmə
  4. Diqqət
  5. Həyatda
  6. Özünü yoxla
  7. Yekun

1 · Kəşf et

Bölmə — kəsrin ixtisarıdır

Bölməni kəsr xətti ilə də yazmaq olar: a : b = ab / . Dərslik ixtisarı belə tərif edir: «Kəsrin surət və məxrəcinin vahiddən fərqli ortaq vuruğa bölünməsinə kəsrin ixtisarı deyilir.»

Ədədlə xatırlayaq: 3042 / = 6 · 56 · 7 / = 57 / — ortaq vuruq 6 həm surətdən, həm məxrəcdən silindi, çünki 6 : 6 = 1.

Qüvvət də vuruqlardan ibarətdir: a8 səkkiz dənə a vuruğudur. Deməli, a8 : a3-ü kəsr kimi yazıb surətdəki və məxrəcdəki a-ları cüt-cüt ixtisar edə bilərik. Hər cüt aa / = 1-dir. Bunun üçün a ≠ 0 olmalıdır: sıfıra bölmək olmaz.

Hansı nisbətə baxaq? (a ≠ 0)
aᵐ : aⁿ kəsr kimi: eyni vuruqlar cüt-cüt ixtisar olunur Kəsr xəttinin üstündə surətin a vuruqları, altında məxrəcin a vuruqları yazılıb. Hər surət a-sı bir məxrəc a-sı ilə çəp xətlə ixtisar olunur. Seçilmiş halda qalan vuruqlar rəngli fonla göstərilir və altda nəticə yazılır: a⁸ : a³ = a⁵, a⁵ : a = a⁴, a⁴ : a⁴ = 1, a² : a⁵ = 1/a³ (birhədli deyil). aaaaaaaaaaasurət: 8 vuruqməxrəc: 3 vuruq a⁸ : a³ = a⁸⁻³ = a⁵ 3 cüt ixtisar · 5 vuruq qaldı aaaaaasurət: 5 vuruqməxrəc: 1 vuruq a⁵ : a = a⁵⁻¹ = a⁴ 1 cüt ixtisar · 4 vuruq qaldı aaaaaaaasurət: 4 vuruqməxrəc: 4 vuruq a⁴ : a⁴ = a⁰ = 1 4 cüt ixtisar · 1 qaldı aaaaaaasurət: 2 vuruqməxrəc: 5 vuruq a² : a⁵ = 1 / a³ birhədli deyil: a məxrəcdə qaldı

a8 : a3: məxrəcdəki 3 a-nın hər biri surətdəki bir a ilə ixtisar olunur. Surətdə 8 − 3 = 5 vuruq qalır: a8 : a3 = a5.

a5 : a: a-nın üstü yazılmayıb, o, 1-dir: a = a1. Bir cüt ixtisar olunur, 5 − 1 = 4 vuruq qalır: a5 : a = a4.

a4 : a4: bütün 4 cüt ixtisar olunur. Hər cüt 1-dir, 1 · 1 · 1 · 1 = 1: a4 : a4 = 1 — 0 yox, 1 qalır.

a2 : a5: 2 cüt ixtisar olunur, amma məxrəcdə 3 a artıq qalır: a2 : a5 = 1a3 / . Hərf məxrəcdə qaldığı üçün bu, birhədli deyil. Ona görə qaydada bölünənin üstü böyük götürülür.

Lime çəp xətt bir surət vuruğunu bir məxrəc vuruğu ilə ixtisar edir; rəngli fon qalan vuruqları göstərir.

Hər dəfə ixtisar olunan cütlərin sayı kiçik üstə bərabərdir. Ona görə surətdə qalan vuruqların sayı böyük üst − kiçik üst olur.

2 · Qayda

Eyni əsaslı qüvvətlərin nisbəti

Yadda saxla

Dərslikdə: «Sıfırdan fərqli istənilən a rasional ədədi və m, n natural ədədləri (m > n) üçün

am : an = am−n

Bərabərliyin tərəflərinin yerini dəyişmək olar: am−n = am : an.»

Əsas eyni qalır, üstlər çıxılır: bölünənin üstündən bölənin üstü.

a⁸ : a³ = a⁵ yazılışının hissələri Böyük yazılış a⁸ : a³ = a⁵. Alt etiket: hər iki a eyni əsasdır, mavi. Üst etiket: üstlər çıxılır, 8 − 3 = 5, narıncı. Sağda iki şərt: a ≠ 0 və m > n. üstlər çıxılır: 8 − 3 = 5 a8:a3=a5 eyni əsas — dəyişmir a ≠ 0 m > n
a8 : a3 = a5: üç cüt ixtisar olunur, beş vuruq qalır.

Əsas mənfi ədəd də ola bilər: (−6)9 : (−6)7 = (−6)2 = 36. Qayda üstləri çıxır; qiymətin işarəsini isə alınan üst həll edir — cüt üstdə müsbət.

Sıfır üst

a0 = 1

Dərslikdə: 1 = an : an = an−n = a0 (a ≠ 0). Məsələn, t5 : t5 = t0 = 1.

Üst yazılmayıbsa

a = a1

Ona görə a5 : a = a5−1 = a4.

Ardıcıl bölmə

310 : 34 : 3 = 35

Soldan sağa bölünür, hər bölənin üstü çıxılır: 10 − 4 − 1 = 5.

3 · Hesabla

Birhədlini birhədliyə bölmək

Birhədli ədəd və hərf vuruqlarının hasilidir, ona görə kəsrdə ədədlər ədədlərlə, hər hərf öz hərfi ilə ixtisar olunur. Dəyişənlər sıfırdan fərqlidir.

  1. ƏmsalƏmsalları böl; işarəni bölmənin işarə qaydası ilə tap.
  2. ÜstHər hərf üçün bölünənin üstündən bölənin üstünü çıx.
  3. HərfÜstlər bərabərdirsə hərf itir (a0 = 1); bölündə olmayan hərf olduğu kimi qalır.
  4. CavabNəticəni standart şəkildə yaz.
Üstlər cədvəli: −32a⁷b²c : (8a³b²) = −4a⁴c Cədvəlin sütunları əmsal, a, b və c. Bölünən sətri: −32, 7, 2, 1. Bölən sətri: 8, 3, 2, c yoxdur. Əməl sətri: −32 : 8, 7 − 3, 2 − 2, c qalır. Nəticə sətri: −4, a⁴, 1, c. Altda: −32a⁷b²c : (8a³b²) = −4a⁴c. Əmsalabc bölünənbölənəməlnəticə −32721 832— −32 : 87 − 32 − 2qalır −4 a⁴ 1 c −32a⁷b²c : (8a³b²) = −4a⁴c
Üstlər cədvəli: hər sütun ayrıca hesablanır.
Nümunə 1Sütun-sütun

a ≠ 0, b ≠ 0. Nisbəti tapın: −32a7b2c : (8a3b2)

  1. Əmsal−32 : 8 = −4 (mənfi : müsbət = mənfi).
  2. Üsta: 7 − 3 = 4; b: 2 − 2 = 0, yəni b0 = 1 — b itir.
  3. Hərfc bölündə yoxdur, ona görə olduğu kimi qalır.
  4. Yoxla vurma ilə: 8a3b2 · (−4a4c) = −32a7b2c.

    −32a7b2c : (8a3b2) = −4a4c

Nümunə 2Kəsr şəklində

x ≠ 0, y ≠ 0. Kəsri ixtisar edin: −9x3y76x3y2 /

  1. Əmsal−9 : 6 = −1,5.
  2. Hərfx3 həm surətdə, həm məxrəcdə var: 3 − 3 = 0, x itir.
  3. Üsty: 7 − 2 = 5.

    −9x3y76x3y2 / = −1,5y5

Nümunə 3Ədədi qiymət

Hesablayın: 511 · 25512 /

  1. 25-i əsası 5 olan qüvvət kimi oxu: 25 = 52.
  2. Surət: 511 · 52 = 513 (hasildə üstlər toplanır).
  3. Nisbət: 513 : 512 = 51 = 5.

    Cavab: 5

Nümunə 4Əvvəl sadələşdir

x = −2, y = 5 olduqda 8x6y3 : (2x3y2) ifadəsinin qiymətini tapın.

  1. Əvvəl sadələşdir: 8 : 2 = 4; x: 6 − 3 = 3; y: 3 − 2 = 1. Nisbət 4x3y-dir.
  2. İndi qiymətləri yaz: (−2)3 = −8 (tək üst — mənfi), 4 · (−8) · 5 = −160. (−2)6 və 53-ü ayrıca hesablamağa ehtiyac qalmadı.

    Cavab: −160

Nümunə 5Naməlum vuruq

m ≠ 0, n ≠ 0. Hansı birhədli * yerinə yazılmalıdır: * · 4m3n = 36m7n4?

  1. Naməlum vuruq = hasil : məlum vuruq: * = 36m7n4 : 4m3n.
  2. 36 : 4 = 9; m: 7 − 3 = 4; n: 4 − 1 = 3.
  3. Yoxla: 9m4n3 · 4m3n = 36m7n4.

    * = 9m4n3

Qismət həmişə birhədli olmur. Hərfin üstü bölündə böyükdürsə və ya hərf bölünəndə yoxdursa, o hərf məxrəcdə qalır:

8m3 : (2m5) = 4m2 / ,14x5 : (7x2z) = 2x3z / .

Dərslik belə cavabları kəsr şəklində saxlayır. Bunlar birhədli deyil, çünki birhədlidə hərf məxrəcdə olmur.

Nisbətin dərəcəsi. Qismət birhədli olanda hər hərfin üstü çıxılır, ona görə dərəcələr də çıxılır:

14x6y4 (dərəcə 10) : 2x2y (dərəcə 3)= 7x4y3 (dərəcə 7 = 10 − 3).

4 · Diqqət

Dörd tez-tez edilən səhv

Bütün nümunələrdə dəyişənlər sıfırdan fərqlidir.

Üstləri bölmək

Səhv

x14 : x2 = x7

Üstlər bölünüb: 14 : 2.

Düz

x14 : x2 = x12

İki cüt ixtisar olunur: 14 − 2 = 12.

Əmsalları çıxmaq

Səhv

28y7 : 7y3 = 21y4

Üst kimi əmsal da çıxılıb: 28 − 7.

Düz

28y7 : 7y3 = 4y4

Əmsallar bölünür (28 : 7 = 4), yalnız üstlər çıxılır.

Bərabər qüvvətlər

Səhv

y6 : y6 = 0

«Hər şey silindi, heç nə qalmadı» düşüncəsi.

Düz

y6 : y6 = y0 = 1

Ədədi özünə bölmək 1 verir.

y⁶ : y⁶ = 1 Surətdə altı y, məxrəcdə altı y. Hər y cütü ixtisar olunur və 1 verir. Altı vahidin hasili 1-dir, ona görə y⁶ : y⁶ = 1, sıfır deyil. yyyyyyyyyyyy 1 · 1 · 1 · 1 · 1 · 1 = 1 hər cüt 1-dir, 0 deyil
İxtisar olunan hər cüt 1-dir; vahidlərin hasili 1-dir.

Ardıcıl bölmənin sırası

Səhv

m12 : m5 : m2 = m9

Əvvəl m5 : m2 bölünüb: 12 − (5 − 2).

Düz

m12 : m5 : m2 = m5

Soldan sağa: 12 − 5 − 2 = 5.

Bir də: əsas dəyişmir. 69 : 64 = 65-dir, 15 yox — əsasları bölmək olmaz.

5 · Həyatda

Günəş işığından meqabayta

Günəş işığı Yerə təqribən 500 saniyəyə çatır Solda Günəş, sağda Yer, aralarında işıq şüası. Şüanın üstündə məsafə: təqribən 1,5 · 10⁸ km. Altında işığın sürəti: təqribən 3 · 10⁵ km/s. Aşağıda nəticə: t = 0,5 · 10³ s = 500 s. Şəkil miqyassızdır. 1,5 · 10⁸ km işıq: 3 · 10⁵ km/s GünəşYer t = 0,5 · 10³ s = 500 s
Vaxt = məsafə : sürət. Şəkil miqyassızdır; ədədlər təqribidir.
Günəşİşıq neçə saniyəyə çatır?

Günəşdən Yerə qədər məsafə təqribən 1,5 · 108 km, işığın sürəti isə təqribən 3 · 105 km/s-dir. Günəş işığı Yerə neçə saniyəyə çatır?

  1. Vaxt = məsafə : sürət = 1,5 · 108 : (3 · 105).
  2. Əmsal1,5 : 3 = 0,5; Üst 108 : 105 = 103 — birhədlilərdə olduğu kimi.
  3. 0,5 · 103 = 500 s, yəni təqribən 8 dəqiqə 20 saniyə.

    ≈ 500 s

Kompüterdə yaddaş. İnformatikada 1 kilobayt = 210 bayt, 1 meqabayt = 220 bayt, 1 qiqabayt = 230 bayt. 1 meqabaytda neçə kilobayt var?

220 : 210 = 220−10 = 210= 1024 kilobayt;1 qiqabaytda:230 : 220 = 210 = 1024 meqabayt.

Hər addımda vahid 210 dəfə böyüyür — böyük ədədləri vurmadan, sadəcə üstləri çıxıb tapırıq.

6 · Özünü yoxla

Bacarığını sına

Cavabı seç — düzgün olanda yaşıl, səhv olanda qırmızı işıqlanacaq və ipucu çıxacaq. Bütün suallarda dəyişənlər sıfırdan fərqlidir.

  1. Asan

    z11 : z3 = ?

    Cavab variantları

    Düzdür! 11 − 3 = 8, əsas eyni qalır.

    Bölmədə üstlər toplanmır və əsas bölünmür: əsas z qalır, üstlər çıxılır.

    Həllə bax

    Üç cüt ixtisar olunur: z11 : z3 = z11−3 = z8.

  2. Asan

    (−3)7 : (−3)4 ifadəsinin qiyməti?

    Cavab variantları

    Əla! (−3)3 = −27.

    Əvvəl üstləri çıx: 7 − 4 = 3. (−3)3 — üç mənfi vuruq, işarəni say; «−3 · 3» isə qüvvət deyil.

    Həllə bax

    (−3)7 : (−3)4 = (−3)3 = (−3) · (−3) · (−3) = −27. Tək üstdə mənfi əsasın qüvvəti mənfidir.

  3. Orta

    21m8n5 : (−3m7n2) = ?

    Cavab variantları

    Düzdür! m-in üstü 1 qalır.

    Üç şeyi yoxla: müsbət : mənfi = mənfi; 8 − 7 = 1, yəni m itmir; bölmədə üstlər toplanmır.

    Həllə bax

    21 : (−3) = −7; m: 8 − 7 = 1; n: 5 − 2 = 3. Cavab −7mn3.

  4. Orta

    15x0y3 : (5y3) = ?

    Cavab variantları

    Əla! x0 = 1 və y3 : y3 = 1.

    x0 — x deyil, 1-dir; y3 : y3 də 0 yox, 1-dir; əmsallar isə bölünür.

    Həllə bax

    x0 = 1, ona görə bölünən 15y3-dür. 15 : 5 = 3; y: 3 − 3 = 0, y0 = 1. Cavab 3.

  5. Çətin

    p9 · p3 : p7 : p ifadəsini qüvvət şəklində yazın.

    Cavab variantları

    Düzdür! Hasildə toplanır, bölmədə çıxılır, soldan sağa.

    Soldan sağa get: vurmada üstü topla, hər bölmədə çıx; p = p1.

    Həllə bax

    p9 · p3 = p12; p12 : p7 = p5; p5 : p = p4. p6 cavabı əvvəl p7 : p bölünəndə (yanlış sıra), p20 isə bütün üstlər toplananda alınır.

  6. Çətin

    312 : 9 ifadəsini əsası 3 olan qüvvət şəklində yazın.

    Cavab variantları

    Əla! 9 = 32, sonra 12 − 2 = 10.

    Əvvəl 9-u əsası 3 olan qüvvət kimi yaz; sonra üstləri çıx (9-u yox, onun üstünü).

    Həllə bax

    9 = 32, ona görə 312 : 32 = 312−2 = 310. 33 cavabı 12-dən 9 çıxanda, 36 isə 12 : 2 bölünəndə alınır.

7 · Yekun

Üç şeyi yadda saxla

  • am : an = am−na ≠ 0, m > n: eyni vuruqlar cüt-cüt ixtisar olunur, ona görə üstlər çıxılır.
  • a0 = 1Bərabər qüvvətlərin nisbəti 1-dir, 0 deyil; üstü bərabər olan hərf nəticədən itir.
  • Əmsal : əmsal, üst − üstBirhədlini birhədliyə böləndə əmsallar bölünür, hər hərfin üstləri çıxılır; hərf məxrəcdə qalırsa, qismət birhədli deyil.

Növbəti mövzu: 2.21 Birhədlilərin hasilinin və nisbətinin qüvvətə yüksəldilməsi