• 2.21
  • 7-ci sinif
  • Birhədlilər

Hasilin və nisbətin qüvvəti

(−3x2y4)2 ifadəsində mötərizəni necə açaq: mənfi işarə hara gedir, üstlər nə olur? Kənardakı üst mötərizənin içindəki hər vuruğa çatır, ona görə cavab 9x4y8-dir.

Bu dərsdə

  • qüvvəti qüvvətə yüksəldəndə üstlərin niyə vurulduğunu sətir-sütun cədvəli ilə izah edəcəksən;
  • hasili və nisbəti qüvvətə yüksəldəcək, əmsalın işarəsini cüt və tək üstə görə tapacaqsan;
  • qüvvətlərin hasilini və nisbətini sadələşdirəcək, birhədlini kvadrat və ya kub şəklində yazacaqsan.
Kənardakı üst mötərizədəki hər vuruğa çatır Yuxarıda (−3x²y⁴)² ifadəsi. Kənardakı narıncı 2-dən üç ox mötərizənin içindəki üç vuruğa gedir: −3, x² və y⁴. Altda üç kart: (−3)² = 9, çünki cüt üstdə mənfi işarə itir; (x²)² = x⁴, çünki 2 · 2 = 4; (y⁴)² = y⁸, çünki 4 · 2 = 8. Ən altda cavab: 9x⁴y⁸. (−3x2y4) 2 üst hərvuruğa (−3)²cüt üst: +9 (x²)²2 · 2 = 4x⁴ (y⁴)²4 · 2 = 8y⁸ 9x⁴y⁸ =
  1. Kəşf et
  2. Qüvvətin qüvvəti
  3. Hasilin qüvvəti
  4. Nisbətin qüvvəti
  5. Hesabla
  6. Diqqət
  7. Həyatda
  8. Özünü yoxla

1 · Kəşf et

Qüvvəti yenidən qüvvətə yüksəldək

Xatırla: an — n dənə a vuruğunun hasilidir. Ötən dərslərdə gördük ki, eyni əsaslı qüvvətləri vuranda üstlər toplanır: am · an = am + n. İndi qüvvətin özü vuruq olsun. Məsələn, (103)4 nə deməkdir?

(103)4 = 103 · 103 · 103 · 103    = 1000 · 1000 · 1000 · 1000    = 1 000 000 000 000 = 1012

Dörd dəfə üç sıfır: 3 · 4 = 12 sıfır. Üstlər toplanmadı — vuruldu.

Hərflərlə də eynidir. Aşağıdakı cədvəldə hər sətir bir am vuruğudur (m dənə a), sətirlərin sayı isə kənardakı üst n-dir. Qüvvəti seç və a-ları say.

Qüvvəti seç
(a²)⁷: 7 sətir, hər sətirdə 2 dənə a Cədvəldə 7 sətir var, hər sətir bir a² vuruğudur və 2 dənə a-dan ibarətdir. Cəmi 7 · 2 = 14 dənə a, yəni (a²)⁷ = a¹⁴. (a²)⁷7 sətir × 2 sütun 12a²aa a²aa a²aa a²aa a²aa a²aa a²aa 7 · 2 = 14 dənə a(a²)⁷ = a¹⁴ (a⁷)²: 2 sətir, hər sətirdə 7 dənə a Cədvəldə 2 sətir var, hər sətir bir a⁷ vuruğudur və 7 dənə a-dan ibarətdir. Cəmi 2 · 7 = 14 dənə a, yəni (a⁷)² = a¹⁴. (a⁷)²2 sətir × 7 sütun 1234567a⁷aaaaaaa a⁷aaaaaaa 2 · 7 = 14 dənə a(a⁷)² = a¹⁴ (a⁴)⁴: 4 sətir, hər sətirdə 4 dənə a Cədvəldə 4 sətir var, hər sətir bir a⁴ vuruğudur və 4 dənə a-dan ibarətdir. Cəmi 4 · 4 = 16 dənə a, yəni (a⁴)⁴ = a¹⁶. (a⁴)⁴4 sətir × 4 sütun 1234a⁴aaaa a⁴aaaa a⁴aaaa a⁴aaaa 4 · 4 = 16 dənə a(a⁴)⁴ = a¹⁶ (a⁷)³: 3 sətir, hər sətirdə 7 dənə a Cədvəldə 3 sətir var, hər sətir bir a⁷ vuruğudur və 7 dənə a-dan ibarətdir. Cəmi 3 · 7 = 21 dənə a, yəni (a⁷)³ = a²¹. (a⁷)³3 sətir × 7 sütun 1234567a⁷aaaaaaa a⁷aaaaaaa a⁷aaaaaaa 3 · 7 = 21 dənə a(a⁷)³ = a²¹

(a2)7 — 7 sətir, hər sətirdə 2 dənə a. Cəmi 2 · 7 = 14 vuruq: (a2)7 = a14.

(a7)2 — 2 sətir, hər sətirdə 7 dənə a. Cədvəl dönüb, amma a-ların sayı yenə 7 · 2 = 14: (a7)2 = a14 = (a2)7.

(a4)4 — 4 sətir × 4 sütun, kvadrat cədvəl: 16 vuruq, (a4)4 = a16. Üst 4 + 4 = 8 deyil!

(a7)3 — 3 sətir × 7 sütun = 21: (a7)3 = a21. Hasilin qaydası ilə yoxla: a7 · a7 · a7 = a7 + 7 + 7 = a21.

Hər sətir bir am vuruğudur, sətirlərin sayı n-dir. a-ların sayı = sətirlər × sütunlar = m · n.

Nəticə: am vuruğu n dəfə təkrarlananda a hərfi m · n dəfə yazılır. Sətirləri toplasaq da eyni çıxır: m + m + … + m (n dəfə) elə m · n-dir.

2 · Qüvvətin qüvvəti

Əsas qalır, üstlər vurulur

Yadda saxla

Dərslikdə: «İstənilən a rasional ədədi, m və n natural ədədləri üçün

(am)n = amn

Natural üstlü qüvvəti qüvvətə yüksəltdikdə, əsas olduğu kimi qalır, üstlərin hasili isə qüvvətdə yazılır.»

(aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ yazılışının hissələri Solda (a üstü m) üstü n, sağda a üstü m vurulsun n. Mavi a hər iki tərəfdə eynidir: əsas olduğu kimi qalır. Narıncı m və n sağda vurulur. (am)n =am·n əsas eyni qalır üstlər vurulur
Mavi — əsas, narıncı — üstlər. Sağ tərəfdə yeni üst m · n-dir.

Niyə belədir? Qüvvətin tərifinə görə (dərslikdəki isbat):

(am)n = am · am · … · am (n vuruq)    = am + m + … + m = amn.

Hər iki istiqamətdə

amn = (am)n = (an)m

Cədvəli döndərmək kimidir: 614 = (62)7 = (67)2.

Fərqi gör

(a8)5 = a40

Amma a8 · a5 = a13: qüvvətin qüvvətində üstlər vurulur, hasildə toplanır.

3 · Hasilin qüvvəti

Üst hər vuruğa çatır

Yadda saxla

Dərslikdə: «İstənilən a və b rasional ədədləri, m natural ədədi üçün

(ab)m = am · bm»

Səbəbi vurmanın yerdəyişmə xassəsidir: (ab)3 = ab · ab · ab hasilində a-ları bir yerə, b-ləri başqa yerə yığırıq.

(ab)³ = a³b³: vuruqların yeri dəyişir Yuxarıda üç dənə (a · b) vuruğu. Mavi oxlar hər a-nı sola, boz oxlar hər b-ni sağa aparır. Altda a · a · a = a³ və b · b · b = b³, nəticə (ab)³ = a³b³. (ab)³ = (ab) · (ab) · (ab) a·b·a·b·a·baaa··bbb···3 dənə a: a³3 dənə b: b³(ab)³ = a³b³
Üç dənə ab vuruğu: üç a və üç b. Yerini dəyişəndə a3b3 alınır.

Birhədlini qüvvətə yüksəltmək

Birhədli əmsal və hərflərin hasilidir, ona görə kənardakı üst hər vuruğa — əmsala da — çatır:

  1. Əmsalı işarəsi ilə birlikdə qüvvətə yüksəlt.
  2. Hər hərfin üstünü kənardakı üstə vur (əsas qalır, üstlər vurulur).
  3. Üstü yazılmayan hərfin üstü 1-dir: (mn4)3 = m3n12.

İşarə: cüt və tək üst

(−1)ⁿ: işarə hər vuruqda dəyişir İki rels: yuxarıda plyus, aşağıda minus. Üst 1, 3, 5 olanda nöqtə minus relsindədir, 2, 4, 6 olanda plyus relsində. Xətt hər vuruqda relsdən relsə keçir: tək üst mənfi, cüt üst müsbət nəticə verir. +− 123456üsttək üst → −cüt üst → +
Hər yeni mənfi vuruq işarəni dəyişir: (−1)1 = −1, (−1)2 = 1, (−1)3 = −1, …

Mənfi ədədlərin cüt sayda vurulması müsbət, tək sayda vurulması mənfi hasil verir. Ona görə mənfi əmsallı birhədlini qüvvətə yüksəldəndə işarəni üst həll edir:

  • cüt üst — nəticə müsbətdir: (−3x2y4)2 = 9x4y8;
  • tək üst — mənfi qalır: (−k6)7 = −k42.

Mötərizə vacibdir. −104 = −10 000, çünki üst yalnız 10-a aiddir; (−10)4 = 10 000, çünki dörd dənə −10 vurulur.

4 · Nisbətin qüvvəti

Surət də, məxrəc də

Yadda saxla

Dərslikdə: «İstənilən a və b (b ≠ 0) rasional ədədləri, m natural ədədi üçün

(ab / )m = ambm /

Nisbəti qüvvətə yüksəltmək üçün surət və məxrəcdəki hər birhədlini həmin qüvvətə yüksəltmək lazımdır.»

(3/10)²: üst surətə də, məxrəcə də çatır Solda mötərizədə 3 bölü 10, kənarda üst 2. İki narıncı ox 2-dən surətdəki 3-ə və məxrəcdəki 10-a gedir. Sağda 3 kvadrat bölü 10 kvadrat bərabərdir 9 bölü 100. (310) 2 =3²10² =9100 surət: 3² = 9, məxrəc: 10² = 100
Kənardakı üstdən iki ox çıxır: biri surətə, biri məxrəcə. (310 / )2 = 9100 / .

Niyə? Kəsrləri vuranda surətlər surətlərə, məxrəclər məxrəclərə vurulur:

(ab / )3 = ab / · ab / · ab / = a · a · ab · b · b / = a3b3 /

Sağdan sola da oxunur

ambm / = (ab / )m

Məsələn, 392 : 132 = (39 : 13)2 = 32 = 9 — 392 = 1521-i hesablamağa ehtiyac qalmır.

5 · Hesabla

Addım-addım sadələşdirək

Hər nümunədə iki sual verək: hər vuruq hansı qüvvətə yüksəlir və işarə nə olur? Bölmə olan yerdə hərflər sıfırdan fərqlidir.

Nümunə 1Tək üst, mənfi əmsal

Birhədlini kuba yüksəldin: (−6p2q4)3

  1. İşarə Üst 3 təkdir — nəticə mənfi olacaq.
  2. Əmsal 63 = 216, deməli (−6)3 = −216.
  3. Hərflər (p2)3 = p6, (q4)3 = q12.

    (−6p2q4)3 = −216p6q12

Nümunə 2Qüvvətlərin hasili

Standart şəkildə yazın: (−c3d)4 · (6cd2)2

  1. Birinci mötərizə: üst 4 cütdür, mənfi işarə itir; d = d1. (−c3d)4 = c12d4.
  2. İkinci mötərizə: 62 = 36, c1 · 2 = c2, d2 · 2 = d4. (6cd2)2 = 36c2d4.
  3. İndi vururuq — eyni əsaslı qüvvətlərin üstləri toplanır: c12 + 2 = c14, d4 + 4 = d8.

    (−c3d)4 · (6cd2)2 = 36c14d8

Nümunə 3Nisbətin kubu

v ≠ 0. Nisbəti kuba yüksəldin: (−u310v2 / )3

  1. İşarə Üst 3 təkdir, surətdəki mənfi işarə qalır.
  2. Surət (u3)3 = u9.
  3. Məxrəc Hər vuruq kuba: (10v2)3 = 103 · v6 = 1000v6.

    (−u310v2 / )3 = −u91000v6 /

Nümunə 4Qüvvətlərin nisbəti

p ≠ 0, r ≠ 0. Bölməni yerinə yetirin: (12p5r3)2 : (2p3r)3

  1. Bölünən: (12p5r3)2 = 144p10r6.
  2. Bölən: (2p3r)3 = 8p9r3.
  3. Birhədlini birhədliyə bölürük: 144 : 8 = 18, p10 − 9 = p, r6 − 3 = r3.

    (12p5r3)2 : (2p3r)3 = 18pr3

Əvvəl qüvvətə yüksəlt, sonra böl. 12 : 2 = 6 ilə başlamaq olmaz: mötərizələrin üstləri fərqlidir (2 və 3).

Nümunə 5Kvadrat və kub şəklində

c6d18 birhədlisini həm birhədlinin kvadratı, həm də kubu şəklində yazın. −c6d18 üçün hansı mümkündür?

  1. Kvadrat Hər üstü 2-yə bölürük: 6 : 2 = 3, 18 : 2 = 9. (c3d9)2 = c6d18; həmçinin (−c3d9)2 = c6d18.
  2. Kub Üstləri 3-ə bölürük: 6 : 3 = 2, 18 : 3 = 6. (c2d6)3 = c6d18.
  3. Mənfi Kvadrat mənfi ola bilməz, kub isə tək üstdür: (−c2d6)3 = −c6d18.

    c6d18 = (c3d9)2 = (c2d6)3; −c6d18 = (−c2d6)3

Nümunə 6Hansı böyükdür?

Hesablamadan müqayisə edin: 235 və 515.

  1. Üstlərin ortaq böləni 5-dir: 35 = 7 · 5, 15 = 3 · 5.
  2. 235 = (27)5 = 1285, 515 = (53)5 = 1255.
  3. Üstlər eynidir (5), əsas 128 > 125, deməli 1285 > 1255.

    235 > 515

Yoxlama: 235 = 34 359 738 368, 515 = 30 517 578 125. Əsaslar çox yaxın olsa da, ortaq üst sualı tez həll edir.

6 · Diqqət

Dörd tipik səhv

Üstləri toplamaq

Səhv

(b7)4 = b11

7 + 4 — bu, b7 · b4 hasilinin qaydasıdır.

Düz

(b7)4 = b28

4 sətir, hər sətirdə 7 dənə b: 7 · 4 = 28.

(b⁷)⁴ ilə b⁷ · b⁴ fərqlidir Yuxarıda (b⁷)⁴: 4 sətir, hər sətirdə 7 dənə b, cəmi 28, yəni b²⁸. Aşağıda b⁷ · b⁴: bir sətirdə 7 və 4 dənə b, cəmi 11, yəni b¹¹. Bunlar fərqli ifadələrdir. (b⁷)⁴: 4 sətir × 7 b⁷bbbbbbbb⁷bbbbbbbb⁷bbbbbbbb⁷bbbbbbb7 · 4 = 28 → b²⁸b⁷ · b⁴: bir sətirbbbbbbbbbbb7 + 4 = 11 → b¹¹
Qüvvətin qüvvəti — cədvəl (sətir × sütun), hasil — bir sətir (toplama).

Əmsalı unutmaq

Səhv

(6t3)2 = 6t6

Üst yalnız hərfə tətbiq olunub.

Düz

(6t3)2 = 36t6

Əmsal da vuruqdur: 62 = 36.

Tək üstdə işarəni itirmək

Səhv

(−k6)7 = k42

Mənfi işarə «qüvvətdə itir» sanılıb.

Düz

(−k6)7 = −k42

7 təkdir: yeddi mənfi vuruğun hasili mənfidir.

Məxrəci unutmaq

Səhv

(w510 / )2 = w1010 /

Yalnız surət kvadrata yüksəldilib.

Düz

(w510 / )2 = w10100 /

Surət də, məxrəc də kvadrata: 102 = 100.

7 · Həyatda

Kvadrat metr, kub santimetr

Uzunluq vahidlərini qüvvətlə yazmaq rahatdır: 1 m = 102 sm, 1 km = 103 m. Sahədə vahid kvadrata, həcmdə kuba yüksəlir — bu, hasilin qüvvətidir: ədəd də, vahid də qüvvətə yüksəlir.

1 m³ kubu: hər kənar 10² sm Kənarı 1 metr olan kub. Hər üç kənarın yanında yazılıb: 1 m = 10² sm. Küncdə kiçik 1 sm³ kubik göstərilib (miqyassız). Altda: (10² sm)³ = 10⁶ sm³. 1 sm³ 10² sm 10² sm 10² sm (10² sm)³ = 10⁶ sm³
Kənarı 1 m olan kubu 1 sm-lik kubiklərlə doldursaq, hər kənar boyunca 102 kubik düzülür. Şəkil miqyassızdır.
Vahidlərin çevrilməsi
VahidHesabNəticə
1 km2(103 m)2 = 106 m21 000 000 m2
1 m2(102 sm)2 = 104 sm210 000 sm2
1 m3(102 sm)3 = 106 sm31 000 000 sm3
1 m3(10 dm)3 = 103 dm31000 litr

1 litr = 1 dm3 olduğuna görə, həcmi 1 m3 olan akvariuma 1000 litr su sığır. Onu 1 sm3-lük kubiklərlə doldurmaq üçün isə (102)3 = 106 — bir milyon kubik lazımdır.

Səhv tez-tez belə olur: «1 m = 100 sm, deməli 1 m3 = 100 sm3». Vahid də kuba yüksəlir: 1003, 100 yox.

8 · Özünü yoxla

Bacarığını sına

Cavabı seç — düzgün olanda yaşıl, səhv olanda qırmızı işıqlanacaq və ipucu çıxacaq. Hər sualın altında həll var.

  1. Asan

    (z6)5 ifadəsini qüvvət şəklində yaz.

    Cavab variantları

    Düzdür: 6 · 5 = 30.

    Yox. Qüvvətin qüvvətində üstlər nə toplanır, nə də biri digərinə yüksəlir — vurulur.

    Həllə bax

    (z6)5 = z6 · 5 = z30: 5 sətir, hər sətirdə 6 dənə z.

  2. Asan

    (−h7)3 neçəyə bərabərdir?

    Cavab variantları

    Əla: üst 3 təkdir, mənfi qalır; 7 · 3 = 21.

    İki şeyi yoxla: tək üstdə işarə qalır, üstlər isə vurulur.

    Həllə bax

    Üç mənfi vuruğun hasili mənfidir; (h7)3 = h21. Deməli (−h7)3 = −h21.

  3. Orta

    (−3r4s2)5 birhədlisini standart şəkildə yaz.

    Cavab variantları

    Düzdür! Əmsal da beşinci qüvvətə yüksəldi.

    Əmsal da qüvvətə yüksəlir, 5 isə təkdir: (−3)5 = −243 — nə 3 · 5, nə də −3.

    Həllə bax

    (−3)5 = −243 (tək üst); (r4)5 = r20; (s2)5 = s10. Cavab: −243r20s10.

  4. Orta

    w ≠ 0. (−v36w2 / )2 = ?

    Cavab variantları

    Düzdür: cüt üstdə mənfi itir, məxrəcin hər vuruğu kvadrata yüksəlir.

    Yoxla: üst 2 cütdür (işarə itir) və məxrəcdəki 6 da kvadrata yüksəlir.

    Həllə bax

    Surət: (−v3)2 = v6. Məxrəc: (6w2)2 = 36w4. Cavab: v636w4 / .

  5. Çətin

    k ≠ 0. (10k3)2 : (2k2)3 ifadəsinin qiyməti nədir?

    Cavab variantları

    Düzdür: k tamamilə ixtisar olunur və cavab ədəddir.

    Əvvəl hər mötərizəni qüvvətə yüksəlt (102 = 100, 23 = 8), sonra böl; k6 : k6 = k0 = 1.

    Həllə bax

    (10k3)2 = 100k6, (2k2)3 = 8k6. 100 : 8 = 12,5, k6 : k6 = 1. Cavab: 12,5.

  6. Çətin

    254 · 53 ifadəsini əsası 5 olan qüvvət şəklində yaz.

    Cavab variantları

    Əla! Əvvəl qüvvətin qüvvəti (vurma), sonra hasil (toplama).

    25 = 52, ona görə 254 = (52)4 — burada üstlər vurulur; sonra hasildə toplanır.

    Həllə bax

    254 = (52)4 = 58; 58 · 53 = 58 + 3 = 511.

Yekun

Üç qayda

  • (am)n = amnQüvvətin qüvvətində əsas qalır, üstlər vurulur: n sətir × m sütun.
  • (ab)m = ambmÜst hər vuruğa, əmsala da çatır. Mənfi əsas: cüt üst +, tək üst −.
  • (ab / )m = ambm / Surət də, məxrəc də qüvvətə yüksəlir (b ≠ 0).

Növbəti mövzu: 2.22 Çoxhədli və onun standart şəkli.