• 2.11
  • 7-ci sinif
  • Rasional ədədlər

Modullu və ikiqat bərabərsizliklər

Hansı ədədlər 0-dan 3 vahiddən az uzaqdadır? Ədəd oxunda onlar bir aralıq təşkil edir, ona görə |x| < 3 yazılışı −3 < x < 3 ilə eyni şeydir.

Bu dərsdə

  • ikiqat bərabərsizliyi oxuyacaq, iki bərabərsizlik kimi yazacaq və ədəd oxunda boş və dolu uclarla göstərəcəksən;
  • modulu 0-a qədər məsafə kimi oxuyub |x| < a və |x| > a bərabərsizliklərini ikiqat bərabərsizlik və ya iki şüa ilə yazacaqsan;
  • bərabərsizliyin tam həllərini ədəd oxunda sayacaq, ən böyük və ən kiçik tam həlli tapacaqsan.
|x| < 3 ədəd oxunda: 0-dan 3 vahiddən az uzaq olan ədədlər Ədəd oxu −5-dən 5-ə qədər. Yuxarıdakı kartda: modul x kiçikdir 3, bu, −3 kiçikdir x kiçikdir 3 deməkdir. 0-dan 3-ə və 0-dan −3-ə mavi ölçü xətləri, hər biri 3 vahid. −3 ilə 3 arasında lime zolaq, uclar boşdur. Zolaqdakı tam ədədlər −2, −1, 0, 1, 2 nöqtələrlə qeyd olunub və 1-dən 5-ə qədər nömrələnib: 5 tam həll. |x| < 3⇔−3 < x < 3 3 vahid 3 vahid −5−4−3−2−1012345 12345 5 tam həll
  1. Kəşf et
  2. İkiqat bərabərsizlik
  3. Laboratoriya
  4. Modul və məsafə
  5. Hesabla
  6. Diqqət
  7. Həyatda
  8. Özünü yoxla

1 · Kəşf et

İki şərt — bir parça

Yadına sal: ədəd oxunda sağda yerləşən ədəd böyükdür. Deməli, iki nöqtə arasındakı istənilən nöqtənin koordinatı soldakı nöqtənin koordinatından böyük, sağdakınınkından isə kiçikdir.

Tutaq ki, x ədədi iki şərti ödəyir: x > −2 və x < 4. Birinci şərti −2-dən sağdakı bütün nöqtələr, ikincini 4-dən soldakı bütün nöqtələr ödəyir. Hər iki şərti eyni anda ödəyən nöqtələr bu iki şüanın ortaq hissəsidir.

x > −2 və x < 4 şərtlərinin ortaq hissəsi Üç ədəd oxu. Birincidə x böyükdür −2: −2-dən sağa mavi şüa, uc boş. İkincidə x kiçikdir 4: 4-dən sola narıncı şüa, uc boş. Üçüncüdə hər iki şərtin doğru olduğu yer: −2 ilə 4 arasında lime parça, uclar boş: −2 kiçikdir x kiçikdir 4. 1-ci şərt: x > −22-ci şərt: x < 4Hər ikisi: −2 < x < 4−4−3−2−10123456 x > −2 və x < 4 şərtlərinin ortaq hissəsi Üç ədəd oxu. Birincidə x böyükdür −2: −2-dən sağa mavi şüa, uc boş. İkincidə x kiçikdir 4: 4-dən sola narıncı şüa, uc boş. Üçüncüdə hər iki şərtin doğru olduğu yer: −2 ilə 4 arasında lime parça, uclar boş: −2 kiçikdir x kiçikdir 4. 1-ci şərt: x > −22-ci şərt: x < 4Hər ikisi: −2 < x < 4−4−3−2−10123456
Qırıq xətlər −2 və 4 nöqtələrini üç oxda birləşdirir. Hər iki şərt yalnız lime hissədə doğrudur; −2 və 4-ün özləri şərtləri ödəmir, ona görə uclar boşdur.

İki bərabərsizliyi birlikdə bir sətirdə yazırıq:

−2 < x < 4

Belə oxunur: «x −2-dən böyük, 4-dən kiçikdir», qısaca «x −2 ilə 4 arasındadır».

2 · Qayda

İkiqat bərabərsizlik

Yadda saxla

a < x < b, a ≤ x < b, a < x ≤ b və ya a ≤ x ≤ b şəklində verilmiş bərabərsizlik ikiqat bərabərsizlik adlanır. Burada a və b məlum rasional ədədlər, x isə axtarılan ədəddir.

a < x < b

Ciddi işarə (<, >) — uc həllə aid deyil, ədəd oxunda boş nöqtədir. Qeyri-ciddi işarə (≤, ≥) — uc həllə aiddir, nöqtə doludur.

İkiqat bərabərsizliyin dörd növü ədəd oxunda Dörd ədəd oxu. a kiçikdir x kiçikdir b: hər iki uc boş. a kiçik və ya bərabərdir x kiçikdir b: a dolu, b boş. a kiçikdir x kiçik və ya bərabərdir b: a boş, b dolu. a kiçik və ya bərabərdir x kiçik və ya bərabərdir b: hər iki uc dolu. Həmişə a ilə b arası lime zolaqdır.a < x < b(a; b)aba ≤ x < b[a; b)aba < x ≤ b(a; b]aba ≤ x ≤ b[a; b]ab
Yazılışda mötərizə ( ) ucun həllə daxil olmadığını, kvadrat mötərizə [ ] daxil olduğunu göstərir.

Məsələn, −1 ≤ x < 2,5 bərabərsizliyində −1 dolu, 2,5 boş nöqtədir; həllər çoxluğu [−1; 2,5) kimi yazılır.

Başqa istiqamətdə

b > x > a

İkiqat bərabərsizlik > və ≥ ilə də yazılır: 4 > x > −2 elə −2 < x < 4 deməkdir.

Aralıq və parça

(a; b) · [a; b]

a < x < b bərabərsizliyinin həlləri aralıq, a ≤ x ≤ b bərabərsizliyinin həlləri parça təşkil edir.

Sözdən işarəyə
Sözləİşarə ilə
x 5-dən kiçikdirx < 5
x 5-dən böyük deyil, x 5-i aşmırx ≤ 5
x 5-dən kiçik deyilx ≥ 5
x −1 ilə 5 arasındadır−1 < x < 5

3 · Laboratoriya

Ədəd oxunda sına

Ədədin modulu onun 0-dan məsafəsidir: |−3| = 3 və |3| = 3, çünki −3 də, 3 də 0-dan 3 vahid uzaqdadır. Deməli, |x| < 3 yazılışı «x 0-dan 3 vahiddən az uzaqdadır» deməkdir.

Bərabərsizliyi seç: ox həllər çoxluğunu, ucları, 0-a qədər məsafəni və tam həlləri göstərəcək, altdakı oxunuş isə hamısını sözlə yazacaq.

Ədəd oxu laboratoriyasıox: −6 … 6

Rejim
İşarə: |x| … a
a ədədi
Sərhədlər
Sol uc
Sağ uc
Ədəd oxu laboratoriyası−6-dan 6-ya qədər ədəd oxu. Seçilmiş bərabərsizliyin həllər çoxluğu lime zolaqla, boş və dolu uclarla, modul rejimində 0-dan ±a nöqtələrinə qədər mavi ölçü xətləri ilə, tam həllər isə nöqtələr və nömrəli kvadrat etiketlərlə göstərilir. Hər vəziyyətin mətni fiqurun altındakı oxunuşdadır.1122334455x > −2x ≥ −2x < 4x ≤ 4x > −1,5x ≥ −1,5x < 3,5x ≤ 3,5−6−5−4−3−2−101234561123…………12312345…………123451234567…………1234567123456789…………1234567891234567891011…………12345123456123456123456712345123451234512345 Ədəd oxu laboratoriyası−6-dan 6-ya qədər ədəd oxu. Seçilmiş bərabərsizliyin həllər çoxluğu lime zolaqla, boş və dolu uclarla, modul rejimində 0-dan ±a nöqtələrinə qədər mavi ölçü xətləri ilə, tam həllər isə nöqtələr və nömrəli kvadrat etiketlərlə göstərilir. Hər vəziyyətin mətni fiqurun altındakı oxunuşdadır.1122334455x > −2x ≥ −2x < 4x ≤ 4x > −1,5x ≥ −1,5x < 3,5x ≤ 3,5−6−5−4−3−2−101234561123…………12312345…………123451234567…………1234567123456789…………1234567891234567891011…………12345123456123456123456712345123451234512345
  • həllər çoxluğu
  • boş uc — daxil deyil
  • dolu uc — daxildir
  • 0-a qədər məsafə
  • tam həllərin sayğacı
Bərabərsizlik
|x| < 1
Eynigüclü
−1 < x < 1
Ədəd oxunda
0-dan məsafəsi 1-dən kiçik olan nöqtələr: aralıq, uclar boş
Yazılış
(−1; 1)
Tam həllər
0 — 1 ədəd
Bərabərsizlik
|x| < 2
Eynigüclü
−2 < x < 2
Ədəd oxunda
0-dan məsafəsi 2-dən kiçik olan nöqtələr: aralıq, uclar boş
Yazılış
(−2; 2)
Tam həllər
−1, 0, 1 — 3 ədəd
Bərabərsizlik
|x| < 3
Eynigüclü
−3 < x < 3
Ədəd oxunda
0-dan məsafəsi 3-dən kiçik olan nöqtələr: aralıq, uclar boş
Yazılış
(−3; 3)
Tam həllər
−2, −1, 0, 1, 2 — 5 ədəd
Bərabərsizlik
|x| < 4
Eynigüclü
−4 < x < 4
Ədəd oxunda
0-dan məsafəsi 4-dən kiçik olan nöqtələr: aralıq, uclar boş
Yazılış
(−4; 4)
Tam həllər
−3, −2, −1, 0, 1, 2, 3 — 7 ədəd
Bərabərsizlik
|x| < 5
Eynigüclü
−5 < x < 5
Ədəd oxunda
0-dan məsafəsi 5-dən kiçik olan nöqtələr: aralıq, uclar boş
Yazılış
(−5; 5)
Tam həllər
−4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4 — 9 ədəd
Bərabərsizlik
|x| ≤ 1
Eynigüclü
−1 ≤ x ≤ 1
Ədəd oxunda
0-dan məsafəsi 1-dən böyük olmayan nöqtələr: parça, uclar dolu
Yazılış
[−1; 1]
Tam həllər
−1, 0, 1 — 3 ədəd
Bərabərsizlik
|x| ≤ 2
Eynigüclü
−2 ≤ x ≤ 2
Ədəd oxunda
0-dan məsafəsi 2-dən böyük olmayan nöqtələr: parça, uclar dolu
Yazılış
[−2; 2]
Tam həllər
−2, −1, 0, 1, 2 — 5 ədəd
Bərabərsizlik
|x| ≤ 3
Eynigüclü
−3 ≤ x ≤ 3
Ədəd oxunda
0-dan məsafəsi 3-dən böyük olmayan nöqtələr: parça, uclar dolu
Yazılış
[−3; 3]
Tam həllər
−3, −2, −1, 0, 1, 2, 3 — 7 ədəd
Bərabərsizlik
|x| ≤ 4
Eynigüclü
−4 ≤ x ≤ 4
Ədəd oxunda
0-dan məsafəsi 4-dən böyük olmayan nöqtələr: parça, uclar dolu
Yazılış
[−4; 4]
Tam həllər
−4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4 — 9 ədəd
Bərabərsizlik
|x| ≤ 5
Eynigüclü
−5 ≤ x ≤ 5
Ədəd oxunda
0-dan məsafəsi 5-dən böyük olmayan nöqtələr: parça, uclar dolu
Yazılış
[−5; 5]
Tam həllər
−5, −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5 — 11 ədəd
Bərabərsizlik
|x| > 1
Eynigüclü
x < −1 və ya x > 1
Ədəd oxunda
0-dan məsafəsi 1-dən böyük olan nöqtələr: iki şüa, uclar boş
Tam həllər
…, −3, −2 və 2, 3, … — sonsuz sayda
Bərabərsizlik
|x| > 2
Eynigüclü
x < −2 və ya x > 2
Ədəd oxunda
0-dan məsafəsi 2-dən böyük olan nöqtələr: iki şüa, uclar boş
Tam həllər
…, −4, −3 və 3, 4, … — sonsuz sayda
Bərabərsizlik
|x| > 3
Eynigüclü
x < −3 və ya x > 3
Ədəd oxunda
0-dan məsafəsi 3-dən böyük olan nöqtələr: iki şüa, uclar boş
Tam həllər
…, −5, −4 və 4, 5, … — sonsuz sayda
Bərabərsizlik
|x| > 4
Eynigüclü
x < −4 və ya x > 4
Ədəd oxunda
0-dan məsafəsi 4-dən böyük olan nöqtələr: iki şüa, uclar boş
Tam həllər
…, −6, −5 və 5, 6, … — sonsuz sayda
Bərabərsizlik
|x| > 5
Eynigüclü
x < −5 və ya x > 5
Ədəd oxunda
0-dan məsafəsi 5-dən böyük olan nöqtələr: iki şüa, uclar boş
Tam həllər
…, −7, −6 və 6, 7, … — sonsuz sayda
Bərabərsizlik
|x| ≥ 1
Eynigüclü
x ≤ −1 və ya x ≥ 1
Ədəd oxunda
0-dan məsafəsi 1-dən kiçik olmayan nöqtələr: iki şüa, uclar dolu
Tam həllər
…, −2, −1 və 1, 2, … — sonsuz sayda
Bərabərsizlik
|x| ≥ 2
Eynigüclü
x ≤ −2 və ya x ≥ 2
Ədəd oxunda
0-dan məsafəsi 2-dən kiçik olmayan nöqtələr: iki şüa, uclar dolu
Tam həllər
…, −3, −2 və 2, 3, … — sonsuz sayda
Bərabərsizlik
|x| ≥ 3
Eynigüclü
x ≤ −3 və ya x ≥ 3
Ədəd oxunda
0-dan məsafəsi 3-dən kiçik olmayan nöqtələr: iki şüa, uclar dolu
Tam həllər
…, −4, −3 və 3, 4, … — sonsuz sayda
Bərabərsizlik
|x| ≥ 4
Eynigüclü
x ≤ −4 və ya x ≥ 4
Ədəd oxunda
0-dan məsafəsi 4-dən kiçik olmayan nöqtələr: iki şüa, uclar dolu
Tam həllər
…, −5, −4 və 4, 5, … — sonsuz sayda
Bərabərsizlik
|x| ≥ 5
Eynigüclü
x ≤ −5 və ya x ≥ 5
Ədəd oxunda
0-dan məsafəsi 5-dən kiçik olmayan nöqtələr: iki şüa, uclar dolu
Tam həllər
…, −6, −5 və 5, 6, … — sonsuz sayda
Bərabərsizlik
−2 < x < 4
İki şərt
x > −2 və x < 4
Ədəd oxunda
sol uc boş, sağ uc boş
Yazılış
(−2; 4)
Tam həllər
−1, 0, 1, 2, 3 — 5 ədəd
Bərabərsizlik
−2 < x ≤ 4
İki şərt
x > −2 və x ≤ 4
Ədəd oxunda
sol uc boş, sağ uc dolu
Yazılış
(−2; 4]
Tam həllər
−1, 0, 1, 2, 3, 4 — 6 ədəd
Bərabərsizlik
−2 ≤ x < 4
İki şərt
x ≥ −2 və x < 4
Ədəd oxunda
sol uc dolu, sağ uc boş
Yazılış
[−2; 4)
Tam həllər
−2, −1, 0, 1, 2, 3 — 6 ədəd
Bərabərsizlik
−2 ≤ x ≤ 4
İki şərt
x ≥ −2 və x ≤ 4
Ədəd oxunda
sol uc dolu, sağ uc dolu
Yazılış
[−2; 4]
Tam həllər
−2, −1, 0, 1, 2, 3, 4 — 7 ədəd
Bərabərsizlik
−1,5 < x < 3,5
İki şərt
x > −1,5 və x < 3,5
Ədəd oxunda
sol uc boş, sağ uc boş
Yazılış
(−1,5; 3,5)
Tam həllər
−1, 0, 1, 2, 3 — 5 ədəd. Sərhədlər tam ədəd deyil, ona görə uclar boş da, dolu da olsa, say dəyişmir.
Bərabərsizlik
−1,5 < x ≤ 3,5
İki şərt
x > −1,5 və x ≤ 3,5
Ədəd oxunda
sol uc boş, sağ uc dolu
Yazılış
(−1,5; 3,5]
Tam həllər
−1, 0, 1, 2, 3 — 5 ədəd. Sərhədlər tam ədəd deyil, ona görə uclar boş da, dolu da olsa, say dəyişmir.
Bərabərsizlik
−1,5 ≤ x < 3,5
İki şərt
x ≥ −1,5 və x < 3,5
Ədəd oxunda
sol uc dolu, sağ uc boş
Yazılış
[−1,5; 3,5)
Tam həllər
−1, 0, 1, 2, 3 — 5 ədəd. Sərhədlər tam ədəd deyil, ona görə uclar boş da, dolu da olsa, say dəyişmir.
Bərabərsizlik
−1,5 ≤ x ≤ 3,5
İki şərt
x ≥ −1,5 və x ≤ 3,5
Ədəd oxunda
sol uc dolu, sağ uc dolu
Yazılış
[−1,5; 3,5]
Tam həllər
−1, 0, 1, 2, 3 — 5 ədəd. Sərhədlər tam ədəd deyil, ona görə uclar boş da, dolu da olsa, say dəyişmir.

Laboratoriyada yoxla:

  1. Modul rejimində a = 4 seç və < ilə ≤ arasında keç. Tam həllərin sayı necə dəyişir?
    Nə gördün?

    7-dən 9-a çıxır: ≤ işarəsində iki uc, −4 və 4, dolu olur və həllərə əlavə olunur.

  2. İndi > işarəsini seç. Həllər çoxluğu necə görünür?
    Nə gördün?

    Aralıq iki şüaya çevrilir: 0-dan 4-dən çox uzaq olan nöqtələr −4-dən solda və 4-dən sağdadır. Tam həllər sonsuz sayda olur.

  3. İkiqat rejimdə −1,5 və 3,5 sərhədlərini seç və uc işarələrini dəyiş. Tam həllərin sayı dəyişirmi?
    Nə gördün?

    Dəyişmir, həmişə 5-dir (−1, 0, 1, 2, 3): sərhədlər tam ədəd deyil, ona görə uc boş da, dolu da olsa, yeni tam ədəd əlavə olunmur.

4 · Modul və məsafə

|x| < a və |x| > a

Yadda saxla

Modulu a-dan kiçik olan ədədlər 0-dan a vahiddən az uzaqdadır — 0-ın hər iki tərəfində:

|x| < a ⇔ −a < x < a

|x| ≤ a isə −a ≤ x ≤ a ilə eynigüclüdür. Eynigüclülük eyni həllər çoxluğuna malik olmaq deməkdir.

a > 0 olduqda modulu a-dan böyük olan ədədlər −a-dan solda və ya a-dan sağdadır:

|x| > a ⇔ x < −a və ya x > a

a ≥ 0 olduqda |x| ≥ a bərabərsizliyi x ≤ −a və ya x ≥ a ilə eynigüclüdür.

|x| < a və |x| > a ədəd oxunda Yuxarıda: modul x kiçikdir a. 0-dan a-ya və 0-dan −a-ya mavi ölçü xətləri a; −a ilə a arasında lime aralıq, uclar boş: −a kiçikdir x kiçikdir a. Aşağıda: modul x böyükdür a. Yenə 0-dan ±a-ya ölçü xətləri; −a-dan sola və a-dan sağa iki lime şüa, uclar boş: x kiçikdir −a və ya x böyükdür a. |x| < a⇔−a < x < a aa −a0a |x| > a⇔x < −a və ya x > a aa −a0a
Mavi ölçü xətləri 0-a qədər məsafəni göstərir. Məsafə a-dan azdırsa, nöqtə −a ilə a arasındadır; çoxdursa, onlardan kənardadır.

|x| > a heç vaxt bir ikiqat bərabərsizliklə yazılmır: həllər bir parça deyil, bir-birindən ayrı iki şüadır. Sözlə verilmiş şərt də eyni yolla yazılır: «x-in modulu 4,5-i aşmır» — |x| ≤ 4,5, yəni −4,5 ≤ x ≤ 4,5.

Mənfi ədəddən kiçik

|x| < −2

Həlli yoxdur: modul məsafədir, mənfi ola bilməz.

Mənfi ədəddən böyük

|x| ≥ −2

Hər bir ədəd həlldir: istənilən modul −2-dən böyükdür.

Sıfırdan böyük deyil

|x| ≤ 0

Yeganə həll x = 0-dır: 0-dan məsafəsi 0 olan tək nöqtə.

5 · Hesabla

Tam həlləri ədəd oxunda sayırıq

Həllər çoxluğunu ədəd oxunda çəkir, içində qalan tam nöqtələri soldan sağa sayırıq. Səhv ən çox uclarda olur: əvvəlcə ucun tam ədəd olub-olmadığına, sonra boş və ya dolu olduğuna bax.

Nümunə 1Kəsr sərhəd

−2,5 < x ≤ 3 ikiqat bərabərsizliyinin tam həllərini yazın və sayını deyin.

−2,5 < x ≤ 3 bərabərsizliyinin tam həlləriƏdəd oxu −4-dən 5-ə qədər. −2,5 nöqtəsi boş, 3 nöqtəsi dolu, aralarında lime zolaq. Tam həllər −2, −1, 0, 1, 2, 3 nöqtələrlə qeyd olunub və 1-dən 6-ya qədər nömrələnib.−4−3−2−1012345−2,5123456
  1. Sol uc −2,5 tam ədəd deyil. Ondan böyük ən kiçik tam ədəd −2-dir: −3 < −2,5 olduğuna görə −3 həll deyil.
  2. Sağ uc 3 dolu nöqtədir (≤), deməli, 3 həlldir.
  3. Arada qalan tam ədədlər: −2, −1, 0, 1, 2, 3.

    6 tam həll

Nümunə 2Ən böyük və ən kiçik

|x| ≤ 3,6 bərabərsizliyinin ən böyük və ən kiçik tam həllini tapın.

|x| ≤ 3,6 bərabərsizliyinin tam həlləriƏdəd oxu −5-dən 5-ə qədər. −3,6 və 3,6 nöqtələri dolu, aralarında lime zolaq. Tam həllər −3-dən 3-ə qədər, 7 ədəd; ən kiçiyi −3, ən böyüyü 3.−5−4−3−2−1012345−3,63,61234567
  1. Modulu açırıq: |x| ≤ 3,6 ⇔ −3,6 ≤ x ≤ 3,6.
  2. 3,6-dan böyük olmayan ən böyük tam ədəd 3-dür, çünki 4 > 3,6.
  3. Həllər 0-a görə simmetrikdir, ona görə ən kiçik tam həll −3-dür. Aralarında −3-dən 3-ə qədər 7 tam ədəd var.

    ən böyük 3, ən kiçik −3

Nümunə 3İki şərtli modul

2 < |x| ≤ 5 bərabərsizliyinin neçə tam həlli var?

2 < |x| ≤ 5 bərabərsizliyinin tam həlləriƏdəd oxu −6-dan 6-ya qədər. İki lime zolaq: −5-dən (dolu) −2-yə (boş) və 2-dən (boş) 5-ə (dolu). Tam həllər −5, −4, −3, 3, 4, 5, cəmi 6.−6−5−4−3−2−10123456123456
  1. Bu iki şərtdir: |x| > 2 və |x| ≤ 5. Nöqtə 0-dan 2 vahiddən çox, amma 5 vahiddən çox olmayaraq uzaqdadır.
  2. Ədəd oxunda 0-ın hər tərəfində bir parça alınır: −5 ≤ x < −2 və ya 2 < x ≤ 5. ±2 boş, ±5 dolu nöqtədir.
  3. Sol parçada −5, −4, −3, sağ parçada 3, 4, 5 var.

    6 tam həll

6 · Diqqət

Modulun iki tərəfi var

Səhv düşüncə

|x| < 4 → 0, 1, 2, 3

Yalnız müsbət tərəf sayılıb: 4 ədəd.

Düzgün

−4 < x < 4 → −3, …, 3

Modul məsafədir, 0-ın hər iki tərəfində: 7 tam həll.

|x| < 4: yalnız sağ yarı yox, hər iki tərəf Yuxarıda səhv: yalnız 0, 1, 2, 3 sayılıb, qırmızı, 4 ədəd. Aşağıda düzgün: −4 ilə 4 arasında lime aralıq, uclar boş, tam həllər −3-dən 3-ə qədər, 1-dən 7-yə qədər nömrələnib.✗ yalnız sağ yarı1234✓ hər iki tərəf−5−4−3−2−10123451234567
Qırıq xətt 0 nöqtəsidir: düzgün şəkil ona görə simmetrikdir, səhv şəkildə isə sol yarı itib.

«−3 > x > 3» yazmaq olmaz. |x| > 3 üçün x eyni anda −3-dən kiçik və 3-dən böyük ola bilməz. Doğrusu iki ayrı bərabərsizlikdir: x < −3 və ya x > 3.

7 · Həyatda

Termometr nə qədər tərpənə bilər?

Yanvar gecəsi şəhərdə temperatur 0 °C ətrafında dəyişdi və 0 °C-dən 4 dərəcədən çox uzaqlaşmadı. Bunu modulla yazırıq: |t| ≤ 4, burada t — dərəcə ilə temperaturdur.

Termometr şkalasında |t| ≤ 4 Şaquli termometr şkalası −8 °C-dən 8 °C-yə qədər. −4 ilə 4 arasında lime sütun, uclar dolu. 0-dan 4-ə və 0-dan −4-ə mavi ölçü xətləri, hər biri 4 dərəcə. Tam dərəcələr −4-dən 4-ə qədər nöqtələrlə qeyd olunub və yuxarıdan aşağı 1-dən 9-a qədər nömrələnib. °C−8−6−4−2024681234567894°4°
Termometrin şkalası şaquli ədəd oxudur: yuxarı — isti, aşağı — soyuq. Lime sütun mümkün temperaturlardır.

|t| ≤ 4 ⇔ −4 ≤ t ≤ 4

Hansı göstəricilər mümkündür?
t|t||t| ≤ 4?
−5 °C5yox
−4 °C4bəli
0 °C0bəli
3,5 °C3,5bəli
4,5 °C4,5yox

Termometr yalnız tam dərəcələri göstərsəydi, −4-dən 4-ə qədər 9 göstərici mümkün olardı: hər tərəfdə 4 və bir də 0.

Şərti nümunədir: temperatur bu dərs üçün seçilib.

8 · Özünü yoxla

Bacarığını sına

Cavabı seç — düzgün olanda yaşıl, səhv olanda qırmızı işıqlanacaq. Həllinə də baxa bilərsən.

  1. Asan

    −1 < x ≤ 3 bərabərsizliyini ədəd oxunda göstərəndə hansı uc dolu çəkilir?

    Cavab variantları

    Düzdür! 3-ün yanında ≤ var.

    Yox. Hər ucun yanındakı işarəyə bax: < — boş, ≤ — dolu.

    Həllə bax

    −1-in yanında ciddi işarə (<) var — −1 həll deyil, nöqtə boşdur. 3-ün yanında ≤ var — 3 həlldir, nöqtə doludur.

  2. Asan

    |x| ≤ 6 hansı bərabərsizliklə eynigüclüdür?

    Cavab variantları

    Əla! 0-dan 6 vahidə qədər, hər iki tərəfdə.

    Yox. Məsafə 6-dan çox deyil: mənfi tərəfi unutma, iki şüa isə «≥» üçündür.

    Həllə bax

    |x| ≤ a ⇔ −a ≤ x ≤ a, burada a = 6: −6 ≤ x ≤ 6.

  3. Orta

    −3,2 < x < 2 bərabərsizliyinin neçə tam həlli var?

    Cavab variantları

    Düzdür: −3, −2, −1, 0, 1.

    Uclara bax: −3 > −3,2 olduğu üçün −3 həlldir, 2 isə boş ucdur.

    Həllə bax

    −3,2-dən böyük ən kiçik tam ədəd −3-dür. 2 daxil deyil (<), ən böyük tam həll 1-dir. Həllər: −3, −2, −1, 0, 1 — 5 ədəd.

  4. Orta

    |x| > 2 bərabərsizliyinin həllər çoxluğu ədəd oxunda necə görünür?

    Cavab variantları

    Əla! 0-dan 2-dən çox uzaq olan nöqtələr hər iki tərəfdədir.

    Yox. «>» 0-dan uzaq nöqtələr deməkdir — həm sağda, həm solda.

    Həllə bax

    |x| > 2 ⇔ x < −2 və ya x > 2: −2-dən sola və 2-dən sağa iki şüa, uclar boşdur.

  5. Çətin

    1 < |x| ≤ 4 bərabərsizliyinin neçə tam həlli var?

    Cavab variantları

    Düzdür: ±2, ±3, ±4.

    Hər iki tərəfi say, ±1 isə boş uclardır.

    Həllə bax

    İki şərt: |x| > 1 və |x| ≤ 4, yəni −4 ≤ x < −1 və ya 1 < x ≤ 4. Tam həllər: −4, −3, −2, 2, 3, 4 — 6 ədəd.

  6. Çətin

    |x| < −2 bərabərsizliyinin neçə həlli var?

    Cavab variantları

    Əla! Modul mənfi ədəddən kiçik ola bilməz.

    Sağ tərəfə bax: −2 mənfidir, modul isə məsafədir.

    Həllə bax

    Hər ədədin modulu 0-a bərabər və ya ondan böyükdür, ona görə heç bir modul −2-dən kiçik deyil. Bərabərsizliyin həlli yoxdur.

Xülasə

Yadda qalanlar

  • a < x < bx a ilə b arasındadır. Ciddi işarə — boş uc, qeyri-ciddi — dolu uc.
  • |x| < a ⇔ −a < x < a0-dan məsafəsi a-dan az olan nöqtələr: 0-ın ətrafında bir aralıq.
  • |x| > a ⇔ x < −a və ya x > a0-dan məsafəsi a-dan çox: iki şüa. Tam həlləri ədəd oxunda say.

Növbəti mövzu: 2.12 Rasional ədədlər üzərində əməllər və xassələri