• 2.36
  • 7-ci sinif
  • Funksiya

Funksiyanın verilməsi

Kvadratın tərəfi a məlumdursa, onun sahəsi S yalnız bir ədəd ola bilər. Belə asılılığı üç cür göstərmək olar: düsturla, cədvəllə və qrafiklə. Riyaziyyatda onun adı funksiyadır.

Bu dərsdə

  • hər x-ə yeganə y qaydası ilə ox diaqramının, cədvəlin və ədədlər cütünün funksiya olub-olmadığını müəyyən edəcəksən;
  • y = f(x) yazılışını oxuyacaq, arqumenti və funksiyanın qiymətini ayıracaq, düsturla qiyməti, qiymətə görə isə arqumenti tapacaqsan;
  • funksiyanı düstur, cədvəl və qrafik şəklində tanıyacaq, birindən digərinə keçəcək və qrafikdən qiymət oxuyacaqsan.
Kvadratın sahəsi S = a²: düstur, cədvəl və qrafik Solda kartda kiçik kvadrat, tərəfi a, sahəsi S və düstur S = a². Altında cədvəl: a = 1, 2, 3, 4 olanda S = 1, 4, 9, 16. Sağda koordinat müstəvisində (1; 1), (2; 4), (3; 9), (4; 16) nöqtələri və onlardan keçən əyri — S = a² funksiyasının qrafiki. Sa S = a² aS112439416 1234481216aS (4; 16)
  1. Kəşf et
  2. Tərif
  3. Laboratoriya
  4. Üç üsul
  5. Hesabla
  6. Diqqət
  7. Həyatda
  8. Özünü yoxla

1 · Kəşf et

Hər x-ə neçə y?

Kvadratın tərəfini biz özümüz seçirik: 1 sm, 2 sm, 3 sm… Sahə isə seçilmir — tərəfə görə hesablanır: S = a · a = a².

Bir kəmiyyətin hər qiyməti müəyyən qayda ilə o birinin qiymətini təyin edirsə, ikinci kəmiyyət birincidən asılıdır. Birinci dəyişən — sərbəst (asılı olmayan), ikinci — asılı dəyişəndir. Aralarındakı qanunauyğunluğa funksional asılılıq, qısaca funksiya deyilir. Burada a sərbəst, S asılı dəyişəndir.

Amma hər qayda funksiya deyil. Ədədləri oxlarla birləşdirək: hər ədəddən onun cavabına ox çəkirik. İki qaydanı müqayisə et.

Ox diaqramı: ədədə onun kvadratı qarşı qoyulurSoldakı çoxluqda −2, −1, 1, 2, sağdakında 1 və 4. Oxlar: −2-dən 4-ə, −1-dən 1-ə, 1-dən 1-ə, 2-dən 4-ə. Hər soldakı ədəddən bir ox çıxır; 1 və 4-ə ikişər ox gəlir. xx²−2−11214
✓ Funksiyadır. «Ədədin kvadratı»: hər ədəddən bir ox çıxır. −2 və 2 eyni 4-ə gedir — bu olar: iki x-in eyni y-si ola bilər.
Ox diaqramı: ədədə kvadratı bu ədəd olan ədədlər qarşı qoyulurSoldakı çoxluqda 1 və 4, sağdakında −2, −1, 1, 2. 1-dən 1-ə və −1-ə, 4-dən 2-yə və −2-yə qırmızı oxlar: hər soldakı ədəddən iki ox çıxır. xy² = x olan y14−2−112
✗ Funksiya deyil. «Kvadratı bu ədəd olan ədəd»: 4-ün kvadratı 4 olan iki ədədi var, 2 və −2. Bir x-dən iki ox çıxır — cavab yeganə deyil.

2 · Tərif

Funksiya nədir?

Yadda saxla

Funksiya — X çoxluğunun hər bir x elementinə Y çoxluğunun yeganə y elementini qarşı qoyan uyğunluqdur (qaydadır).

y = f(x)

Diqqət: qanunauyğunluğun funksiya olması üçün x-in hər qiymətinə y-in yalnız bir qiyməti uyğun gəlməlidir. Əks halda o, funksiya deyil.

y = f(x) yazılışının hissələri Böyük yazı y = f(x). y — funksiyanın qiyməti, asılı dəyişən; f — qayda (funksiya); x — arqument, sərbəst dəyişən. y=f(x) funksiyanın qiymətiasılı dəyişən qaydafunksiya arqumentsərbəst dəyişən Oxu:«iqrik bərabərdir ef iks»
y = f(x) yazılışında x sərbəst dəyişən — arqument, y asılı dəyişən — funksiyanın qiymətidir. Hərf f qaydanın adıdır; başqa hərflər də işlənir: g(x), h(x).

Funksiya ümumi şəkildə y = f(x) kimi yazılır və «iqrik bərabərdir ef iks» oxunur. Məsələn, kvadratın sahəsi üçün f(x) = x². Onda f(3) = 9 yazılışı «arqument 3 olanda funksiyanın qiyməti 9-dur» deməkdir; bu iki ədəd (3; 9) cütünü əmələ gətirir.

İki x — bir y

olar ✓

f(−2) = f(2) = 4: müxtəlif arqumentlərin qiyməti eyni ola bilər.

Bir x — iki y

olmaz ✗

Bir arqumentə iki qiymət uyğun gəlirsə, bu uyğunluq funksiya deyil.

f(a) nədir?

x = a → y

Düsturda x-in yerinə a yazıb hesablanan ədəd — funksiyanın a nöqtəsindəki qiyməti.

3 · Laboratoriya

Bir funksiya — üç üsul

Funksiya f(x) = x² − 2x düsturu ilə verilib. Arqumentə qiymət verib funksiyanın qiymətini hesablayırıq, cütləri cədvələ yazırıq, sonra hər cütü koordinat müstəvisində nöqtə kimi qururuq.

Arqumenti seç: düstur, cədvəlin sütunu və qrafikin nöqtəsi eyni cütü göstərəcək.

Funksiya laboratoriyasıf(x) = x² − 2x

Arqument x
f(x) = x² − 2x funksiyasının qrafiki Koordinat müstəvisində (−1; 3), (0; 0), (1; −1), (2; 0), (3; 3) nöqtələri və onlardan keçən əyri. Seçilmiş arqumentin nöqtəsi böyüdülür, ondan oxlara qırıq xətlər çəkilir. −2−11234−2−112340xy −13(−1; 3)(0; 0)1−1(1; −1)2(2; 0)33(3; 3)
Qrafikdə seçilmiş nöqtə, ondan absis və ordinat oxlarına qırıq xətlər.
Cədvəl: f(x) = x² − 2x
x−10123
y30−103
Arqument
x = −1
Düsturla
f(−1) = (−1)² − 2 · (−1) = 1 + 2 = 3
Cütlə
(−1; 3)
Qrafikdə
absisi −1, ordinatı 3 olan nöqtə
Diqqət et
Eyni qiyməti x = 3 də verir: iki arqument — bir qiymət. Bu, funksiyaya mane olmur.
Arqument
x = 0
Düsturla
f(0) = 0² − 2 · 0 = 0 + 0 = 0
Cütlə
(0; 0)
Qrafikdə
absisi 0, ordinatı 0 olan nöqtə
Diqqət et
Eyni qiyməti x = 2 də verir: iki arqument — bir qiymət. Bu, funksiyaya mane olmur.
Arqument
x = 1
Düsturla
f(1) = 1² − 2 · 1 = 1 − 2 = −1
Cütlə
(1; −1)
Qrafikdə
absisi 1, ordinatı −1 olan nöqtə
Diqqət et
Bu qiyməti cədvəldə başqa arqument vermir.
Arqument
x = 2
Düsturla
f(2) = 2² − 2 · 2 = 4 − 4 = 0
Cütlə
(2; 0)
Qrafikdə
absisi 2, ordinatı 0 olan nöqtə
Diqqət et
Eyni qiyməti x = 0 də verir: iki arqument — bir qiymət. Bu, funksiyaya mane olmur.
Arqument
x = 3
Düsturla
f(3) = 3² − 2 · 3 = 9 − 6 = 3
Cütlə
(3; 3)
Qrafikdə
absisi 3, ordinatı 3 olan nöqtə
Diqqət et
Eyni qiyməti x = −1 də verir: iki arqument — bir qiymət. Bu, funksiyaya mane olmur.

Qrafikdə beş nöqtədən başqa onları birləşdirən əyri də var: arqument kəsr ədəd də ola bilər, məsələn, f(0,5) = 0,25 − 1 = −0,75. Cədvəlimiz bu qiymətlərdən yalnız beşini götürüb.

Laboratoriyada yoxla:

  1. Hansı arqumentlərdə funksiyanın qiyməti 0-dır?
    Nə gördün?

    x = 0 və x = 2: f(0) = 0, f(2) = 4 − 4 = 0. Qrafikdə bunlar absis oxu üzərindəki iki nöqtədir. Bir qiymətə iki arqument — funksiya üçün normaldır.

  2. Qrafikdə x = 4 yoxdur. f(4) neçədir?
    Nə gördün?

    Düsturla: f(4) = 16 − 8 = 8. Nöqtə (4; 8) şəkildən kənardadır. Düstur istənilən arqument üçün qiymət verir, şəkil isə yalnız bir hissəni göstərir.

4 · Üç üsul

Funksiya necə verilir?

Funksiya bir neçə üsulla verilə bilər. Hər üsul eyni sualı cavablandırır: hansı arqumentə hansı qiymət uyğundur?

  • IDüstur şəklində

    y = x², f(x) = x² − 2x, S = a²

    Arqumentə qiymət verib funksiyanın qiymətini hesablayırıq — istənilən x üçün.

  • IICədvəl və ya ədədlər cütü

    {(−1; 3), (0; 0), (1; −1)}

    Cütdə birinci ədəd arqument, ikinci — qiymətdir: (x; y). Cədvəldə arqument birinci sətirdədir.

  • IIIQrafik şəklində

    nöqtələr, əyri, sınıq xətt

    Hər cüt (x; y) — absisi x, ordinatı y olan nöqtədir. Qrafik istənilən əyri ola bilər.

Funksiya sözlə də verilə bilər: «hər ədədə onun iki mislini qarşı qoy» — bu, y = 2x düsturunun sözlə deyilişidir.

Yadda saxla: bir üsuldan digərinə keçmək həmişə mümkün olmur. Düsturdan cədvəl və qrafik qurmaq asandır, amma ölçmə ilə alınmış cədvəlin çox vaxt düsturu olmur.

Lobya cücərtisinin boyu (ölçmə)
gün12345
boy, sm23569

Bu da funksiyadır: hər günə bir boy uyğundur. Amma ədədləri bir düstura salan qayda yoxdur — boyu yalnız ölçməklə bilirik.

5 · Hesabla

Qiymət, arqument, düstur

Dörd əsas iş: arqumentə görə qiyməti tapmaq, qiymətə görə arqumenti tapmaq, cədvəldən düstur yazmaq və uyğunluğun funksiya olub-olmadığını yoxlamaq.

Nümunə 1Qiyməti tap

f(x) = 3 − 4x funksiyası verilib. f(−2) və f(0,5) qiymətlərini tapın.

  1. Düsturda x-in yerinə −2 yazırıq, mənfi ədədi mötərizəyə alırıq: f(−2) = 3 − 4 · (−2).
  2. 4 · (−2) = −8, çıxanda işarə dəyişir: 3 − (−8) = 3 + 8 = 11.
  3. Eyni yolla: f(0,5) = 3 − 4 · 0,5 = 3 − 2 = 1.

    f(−2) = 11, f(0,5) = 1

Nümunə 2Arqumenti tap

g(x) = 0,5x + 4 funksiyasının qiyməti 1-dir. x-i tapın.

  1. Burada qiymət verilib, arqument axtarılır. Tənlik qururuq: 0,5x + 4 = 1.
  2. 0,5x = 1 − 4 = −3, deməli, x = −3 : 0,5 = −6.
  3. Yoxlayırıq: g(−6) = 0,5 · (−6) + 4 = −3 + 4 = 1. Düzdür.

    x = −6

Nümunə 3Cədvəldən düstur

Cədvəldəki funksiyanı düsturla yazın.

x12345
y2581114
  1. x 1 artanda y hər dəfə 3 artır: 2, 5, 8, 11, 14. Deməli, düsturda 3x var.
  2. x = 1 olanda 3x = 3, amma y = 2: 1 çıxmaq lazımdır. Ehtimal: y = 3x − 1.
  3. Bütün sütunları yoxlayırıq: 3 · 2 − 1 = 5, 3 · 3 − 1 = 8, 3 · 4 − 1 = 11, 3 · 5 − 1 = 14. Hamısı uyğundur.

    y = 3x − 1

Nümunə 4Funksiyadırmı?

Hansı uyğunluq funksiyadır: a) aşağıdakı cədvəl, b) {(−1; 0), (0; 0), (1; 0)}?

a)
x1223
y4567
  1. Yalnız arqumentlərə baxırıq: təkrarlanan x varmı və onun qiymətləri fərqlidirmi?
  2. a) x = 2 iki dəfə yazılıb, qiymətləri 5 və 6-dır: bir arqumentə iki qiymət — funksiya deyil.
  3. b) Arqumentlər −1, 0, 1 təkrarlanmır. Qiymətlərin hamısı 0-dır, bu, qadağan deyil.

    a) funksiya deyil; b) funksiyadır

6 · Diqqət

Təkrara harada baxılır?

Səhv düşüncə

{(1; 4), (2; 4)} funksiya deyil

«4 iki dəfə gəlir» — təkrara qiymətlərdə baxılıb.

Düzgün

{(1; 4), (2; 4)} funksiyadır

Təkrara yalnız arqumentlərdə baxılır: 1 və 2 fərqlidir, hər birinin bir qiyməti var.

Bir qiymət, iki arqument: f(x) = x² − 2x qrafikində y = 3 Eyni qrafik. Ordinatı 3 olan üfüqi qırıq xətt qrafiki iki nöqtədə kəsir: (−1; 3) və (3; 3). Hər x-dən yuxarıda qrafikin yalnız bir nöqtəsi var. −2−11234−2−112340xy 3 (−1; 3)(3; 3) y = 3: iki arqument
Laboratoriyadakı qrafik: qiyməti 3 olan iki nöqtə var, (−1; 3) və (3; 3). Bu, funksiyanı pozmur — hər x-in üstündə qrafikin yalnız bir nöqtəsi var.

f(2) ilə f(x) = 2 fərqlidir. f(2) — arqument 2 olanda qiymətdir: düsturda x-in yerinə 2 yazılır. f(x) = 2 isə qiyməti 2 olan arqumentləri soruşur: tənlik həll olunur və cavab bir neçə ədəd ola bilər.

Mənfi arqumenti mötərizəyə al. f(x) = x² üçün f(−3) = (−3)² = 9, −9 yox: kvadrata bütün ədəd, işarəsi ilə birlikdə yüksəldilir.

7 · Həyatda

Gəzintinin qrafiki

Aysel evdən kitabxanaya piyada gedir. Yolda 8-ci dəqiqədə dükana girir, 12-ci dəqiqədə yoluna davam edir. Evdən uzaqlığı s (metr) vaxtın t (dəqiqə) funksiyasıdır: hər anda Aysel yalnız bir yerdədir.

Ayselin gəzinti qrafiki: s məsafəsinin t vaxtından asılılığı Üfüqi ox t, dəqiqə, 0-dan 20-yə; şaquli ox s, metr, 0-dan 1400-ə. Sınıq xətt (0; 0) nöqtəsindən (8; 600)-ə qalxır, 8-ci dəqiqədən 12-ci dəqiqəyə qədər 600 m-də üfüqi qalır, sonra (20; 1400)-ə qalxır. Qırıq xətlər (4; 300) və (16; 1000) nöqtələrini oxlara birləşdirir. 048121620200400600800100012001400 t, dəqs, m dayanır
Funksiya qrafiklə verilib. Qırıq xətlər iki oxunuşu göstərir: s(4) = 300 və s(16) = 1000.
Qrafikdən oxunmuş cədvəl
t, dəq048121620
s, m030060060010001400
  • Qiyməti oxu: absis oxunda t-ni tap, yuxarı qrafikə qalx, sola ordinat oxuna bax: s(4) = 300 m.
  • Arqumenti oxu: ordinat oxunda 1000-i tap, sağa qrafikə, aşağı absis oxuna: t = 16 dəq.
  • Üfüqi hissə: 8-dən 12-yə qədər s dəyişmir — Aysel 4 dəqiqə dükandadır.

Tərsinə baxaq: t s-in funksiyasıdırmı? Yox: s = 600 m-ə 8-dən 12-yə qədər bütün anlar uyğundur — bir qiymətə çox cavab.

Şərti nümunədir: vaxtlar və məsafələr bu dərs üçün seçilib.

8 · Özünü yoxla

Bacarığını sına

Cavabı seç — düzgün olanda yaşıl, səhv olanda qırmızı işıqlanacaq. Həllinə də baxa bilərsən.

  1. Asan

    f(x) = 5 − x funksiyası üçün f(−3) neçədir?

    Cavab variantları

    Düzdür! 5 − (−3) = 5 + 3 = 8.

    Yox. −3-ü mötərizəyə al: 5 − (−3); mənfinin çıxılması toplamadır.

    Həllə bax

    x-in yerinə −3 yazırıq: f(−3) = 5 − (−3) = 5 + 3 = 8. «2» cavabı işarəni itirəndə, «−8» isə çıxmanın sırasını dəyişəndə alınır.

  2. Asan

    {(0; 2), (1; 2), (2; 2)} uyğunluğu haqqında hansı fikir doğrudur?

    Cavab variantları

    Əla! Arqumentlər 0, 1, 2 təkrarlanmır.

    Yox. Təkrara yalnız birinci ədədlərdə — arqumentlərdə baxılır.

    Həllə bax

    Arqumentlər 0, 1, 2 — hamısı fərqlidir, hər birinə bir qiymət (2) uyğundur. Qiymətlərin eyni olması funksiyaya mane olmur: bu, sabit qiymətli funksiyadır.

  3. Orta

    h(x) = 4x + 6 funksiyasının qiyməti 10-dur. Arqument neçədir?

    Cavab variantları

    Düzdür! 4x + 6 = 10, x = 1.

    Yox. Qiymət verilib — tənlik qur: 4x + 6 = 10, sonra 4-ə böl.

    Həllə bax

    4x + 6 = 10, 4x = 4, x = 1. Yoxlama: h(1) = 4 + 6 = 10. «46» — h(10)-dur, yəni 10 arqument kimi götürülüb; «4» isə 4-ə bölməni unudanda alınır.

  4. Orta

    Ayselin gəzinti qrafikinə görə o, evdən 700 m uzaqlıqda neçənci dəqiqədə olub?

    Cavab variantları

    Əla! 12-ci dəqiqədən sonra hər dəqiqə 100 m: 600 + 100 = 700.

    Yox. 700 m 600-dən çoxdur — qrafikin dükandan sonrakı hissəsinə bax.

    Həllə bax

    8-ci dəqiqəyə qədər Aysel 600 m gedib, 12-ci dəqiqəyə qədər dayanıb. 12-dən 20-yə 8 dəqiqədə 800 m gedir — dəqiqədə 100 m. 700 m-ə 12-ci dəqiqədən 1 dəqiqə sonra çatır: 13-cü dəqiqə. «10» yolun yarısının vaxtın yarısında keçildiyini güman edir, «9» isə ilk hissənin sürəti ilə hesablanır.

  5. Çətin

    g(x) = x² funksiyası üçün g(x) = 16 bərabərliyi hansı arqumentlərdə doğrudur?

    Cavab variantları

    Düzdür! Kvadratı 16 olan iki ədəd var.

    Yox. Mənfi ədədin kvadratı da müsbətdir; 256 isə g(16)-dır.

    Həllə bax

    x² = 16: 4² = 16 və (−4)² = 16. Deməli, iki arqument: 4 və −4. «256» g(16)-dır — qiymətlə arqument qarışdırılıb.

Xülasə

Yadda qalanlar

  • Hər x-ə yeganə yBu şərt ödənirsə, uyğunluq funksiyadır. İki x-in eyni y-si ola bilər, bir x-in iki y-si ola bilməz.
  • y = f(x)x — arqument (sərbəst dəyişən), y — funksiyanın qiyməti (asılı dəyişən). f(a) — x = a olanda qiymət.
  • Düstur · cədvəl · qrafikFunksiya düsturla, cədvəl və ya ədədlər cütü ilə, qrafiklə (və sözlə) verilir. Cüt (x; y) qrafikin nöqtəsidir.

Növbəti mövzu: 2.37 Xətti funksiya