• 2.4
  • 7-ci sinif
  • Statistika və ehtimal

Hadisənin ehtimalı

Çarxı fırladırsan. Onun 8 bərabər hissəsindən 3-ü yaşıldır. Ox yaşıl hissədə dayanacaqmı? Bunu əvvəlcədən bilmək olmur, amma şansı ədədlə yazmaq olur: 3 hissə 8 hissədən, yəni 3/8.

Bu dərsdə

  • təcrübənin mümkün və əlverişli hallarını sayıb hadisənin ehtimalını tapacaqsan;
  • ehtimalı kəsr, onluq kəsr və faizlə yazıb 0–1 şkalasında yerləşdirəcəksən;
  • nisbi tezliyi hesablayıb onunla gözlənilən sayı təxmin edəcəksən.
8 bərabər hissəli çarx: yaşıl hissənin ehtimalı 3/8 Çarx 8 bərabər sektora bölünüb: 3 yaşıl, 2 mavi, 2 narıncı, 1 qırmızı. Yuxarıdakı göstərici yaşıl sektoru göstərir. Yaşıl sektorlar 1, 2, 3 kimi nömrələnib. Kart: P(yaşıl) = 3/8. Çiplər: 3 əlverişli, 8 mümkün hal. Altda 0-dan 1-ə qədər ehtimal şkalası, 3/8 nöqtəsi 0 ilə 0,5 arasındadır. 1 2 3 P(yaşıl) = 3/8 3 əlverişli 8 mümkün 0 0,5 1 3/8
  1. Kəşf et
  2. Qayda
  3. Şkala
  4. Hesabla
  5. Nisbi tezlik
  6. Diqqət
  7. Həyatda
  8. Özünü yoxla

1 · Kəşf et

Zər atılır: nə baş verə bilər?

Oyun zərini bir dəfə atırıq. Ola biləcək nəticələr 6-dır: 1, 2, 3, 4, 5 və ya 6 xal. Hər təcrübənin, müşahidənin belə bir nəticəsi elementar hadisə adlanır. Zər düzgündürsə, heç bir üz o birilərdən üstün deyil: nəticələr eyniimkanlıdır və onlardan ikisi eyni vaxtda baş verə bilməz.

İndi bir hadisə seç və bax: 6 nəticədən hansıları onu «gətirir»?

Hadisəni seç
Zərin 6 üzü; seçilən hadisəyə uyğun üzlər yaşıl rənglənir və ✓ ilə işarələnir Altı zər üzü iki sırada: yuxarıda 1, 2, 3 xal, aşağıda 4, 5, 6 xal. Seçilmiş hadisə üçün əlverişli olan üzlər yaşıl olur və küncündə ✓ işarəsi görünür.

Tək xal: 1, 3, 5 — 6 nəticədən 3-ü uyğundur. Şans: 3/6 = 1/2.

3-ə bölünən xal: 3, 6 — 6 nəticədən 2-si uyğundur. Şans: 2/6 = 1/3.

7 xal: zərdə belə üz yoxdur — uyğun nəticə 0. Şans: 0/6 = 0.

7-dən kiçik xal: 6 nəticənin hamısı uyğundur. Şans: 6/6 = 1.

Yaşıl üzlər seçilmiş hadisəni gətirən nəticələrdir. Şansı tapmaq üçün onları sayıb bütün nəticələrin sayına böldük.

Hər dəfə eyni işi gördük: hadisəni gətirən nəticələri saydıq və bu sayı bütün nəticələrin sayına böldük. Bu ədəd hadisənin ehtimalıdır.

2 · Qayda

Ehtimal necə hesablanır?

Təcrübənin bütün eyniimkanlı nəticələri mümkün hallardır. Hadisənin baş verməsini təmin edən nəticələr isə həmin hadisə üçün əlverişli hallar adlanır. Hadisəni böyük hərflə (A, B, …) işarə edirik.

Yadda saxla

Ehtimal P hərfi ilə işarə olunur: A hadisəsinin ehtimalı P(A) və ya hadisənin adı ilə, məsələn, P(yağış) yazılır. Nəticələr eyniimkanlıdırsa:

P(A) = n(A)n /

n(A) — A üçün əlverişli halların sayı, n — bütün mümkün halların sayı.

Ehtimal kəsrinin hissələri Kəsrin surəti n(A) — əlverişli hallar, yəni A baş verən nəticələr. Məxrəci n — mümkün hallar, yəni bütün nəticələr. Nümunə: zərdə tək xal üçün 3 bölünür 6-ya. n(A) n əlverişli hallar A baş verən nəticələr mümkün hallar bütün nəticələr Zər, tək xal: 3 / 6 = 1/2
Surətdə yalnız hadisəni gətirən nəticələr, məxrəcdə isə hamısı sayılır.

Çarxa qayıdaq: 8 bərabər sektordan 3-ü yaşıldır, deməli P(yaşıl) = 38 / . Düstur yalnız nəticələr eyniimkanlı olanda işləyir: sektorlar müxtəlif ölçüdə olsaydı, onları sadəcə saymaq kifayət etməzdi.

Ədəd və ya faiz

1/2 = 0,5 = 50%

Ehtimalı adi kəsr, onluq kəsr və ya faizlə yazmaq olar: 3/8 = 0,375 = 37,5%.

Pul atanda

P(xəritə) = 1/2

50 qəpiklik pulun iki üzü var: «xəritə» və «neft buruqları». 2 mümkün haldan 1-i əlverişlidir.

3 · Şkala

Ehtimal 0 ilə 1 arasındadır

Əlverişli hallar heç vaxt mənfi olmur və bütün hallardan çox ola bilməz: 0 ≤ n(A) ≤ n. Buna görə ehtimal həmişə [0; 1] parçasına daxil olan ədəddir.

  • P = 0 (0%) — hadisə baş vermir. Belə hadisə mümkün olmayan hadisə adlanır: zərdə 7 xal.
  • P < 1/2 — az ehtimallı hadisə: çarxda yaşıl (3/8).
  • P = 1/2 — baş verməsi və verməməsi eyni ehtimallıdır: zərdə tək xal.
  • P > 1/2 — çox ehtimallı hadisə: zərdə 6-dan kiçik xal (5/6).
  • P = 1 (100%) — hadisə mütləq baş verir. Bu, yəqin hadisədir: zərdə 7-dən kiçik xal.

Ehtimal 1-ə nə qədər yaxındırsa, hadisənin baş verməsi bir o qədər gözləniləndir.

Ehtimal şkalası 0-dan 1-ə qədər Şaquli şkala: aşağıda 0 — mümkün olmayan hadisə, zərdə 7 xal. 3/8 — çarxda yaşıl. 1/2 — zərdə tək xal, eyni ehtimallı. 5/6 — zərdə 6-dan kiçik xal. Yuxarıda 1 — yəqin hadisə, zərdə 7-dən kiçik xal. 0 ilə 1/2 arası az ehtimallı, 1/2 ilə 1 arası çox ehtimallı zonadır. çox ehtimallı az ehtimallı 1 · yəqin zərdə 7-dən kiçik xal 5/6 zərdə 6-dan kiçik xal 1/2 · eyni ehtimallı zərdə tək xal 3/8 çarxda yaşıl 0 · mümkün olmayan zərdə 7 xal
Hər hadisə şkalada öz yerini tutur: 0 — heç vaxt, 1 — həmişə.

4 · Hesabla

Say, böl, ixtisar et

Hər məsələdə üç sual veririk: təcrübənin neçə mümkün halı var? Onlardan neçəsi əlverişlidir? Kəsri ixtisar etmək olarmı?

Nümunə 1Torbadan kürə

Torbada 4 qırmızı, 6 ağ və 2 göy kürə var. Baxmadan bir kürə çıxarılır. Onun ağ olması ehtimalı nədir? Göy olması ehtimalı nədir?

  1. Hər kürənin çıxma şansı eynidir: mümkün hallar n = 4 + 6 + 2 = 12.
  2. Ağ kürə üçün əlverişli hallar 6: P(ağ) = 6/12 = 1/2.
  3. Göy kürə üçün əlverişli hallar 2: P(göy) = 2/12 = 1/6.

    P(ağ) = 1/2, P(göy) = 1/6

Nümunə 2Nömrəli kartlar

1-dən 30-a qədər nömrələnmiş 30 kartdan biri təsadüfən çəkilir. Kartın nömrəsinin 4-ə bölünməsi ehtimalını tapın.

  1. Mümkün hallar: n = 30.
  2. 4-ə bölünən nömrələr: 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28 — 7 əlverişli hal.
  3. P = 7/30 — kəsr ixtisar olunmur; təxminən 0,23, yəni 23%-ə yaxın.

    P = 7/30

Nümunə 3İki zər

İki zər eyni vaxtda atılır. Xalların cəminin 8 olması ehtimalını tapın.

  1. Nəticə bir cüt ədəddir: (birinci zər; ikinci zər). Birinci zərin 6 nəticəsinin hər birinə ikincinin 6 nəticəsi uyğun gəlir: n = 6 · 6 = 36.
  2. Cəmi 8 olan cütlər: (2; 6), (3; 5), (4; 4), (5; 3), (6; 2) — 5 əlverişli hal. (2; 6) ilə (6; 2) fərqli nəticələrdir.
  3. P = 5/36 ≈ 0,14.

    P(cəm 8) = 5/36

İki zərin 36 nəticəsi: xalların cəmi cədvəli 6 sətir birinci zərin, 6 sütun ikinci zərin xallarıdır. Hər xanada iki xalın cəmi yazılıb. Cəmi 8 olan 5 xana yaşıl rənglənib: (2; 6), (3; 5), (4; 4), (5; 3), (6; 2). Onlar diaqonal boyunca düzülür. ikinci zər birinci zər 123456 123456 234567 34567 45679 567910 6791011 79101112 88888 8 8 8 8 8 5 xana 36 xanadan: 5/36
Sətir — birinci zər, sütun — ikinci zər, xanada — xalların cəmi. Cəmi 8 olan beş xana diaqonal boyunca düzülür.

5 · Nisbi tezlik

Təcrübə ehtimala yaxınlaşır

Ehtimal 1/2-dirsə, 10 atışda düz 5 dəfə «xəritə» düşəcəkmi? Yox. Dərslikdəki təcrübədə pul 10 dəfə atılıb və «xəritə» 6 dəfə düşüb.

Nisbi tezlik

n sınaqda A hadisəsi k dəfə baş veribsə, A-nın nisbi tezliyi:

P̃(A) = kn /

10 atışda: P̃(xəritə) = 6/10 = 0,6 — ehtimaldan (0,5) bir az fərqlənir.

Tutaq ki, sinif təcrübəni davam etdirdi və nəticələri topladı (aşağıdakı ədədlər nümunə üçündür):

Pul atma: «xəritə» neçə dəfə düşdü?
Atış sayı n«Xəritə» kTezlik k/n
1060,6
50230,46
100530,53
5002440,488
10005030,503
Atış sayı artdıqca tezlik 0,5-ə yaxınlaşır Qrafikdə üfüqi ox atış sayıdır: 10, 50, 100, 500, 1000. Şaquli ox 0,3-dən 0,7-yə qədər tezlikdir. Qırıq xətt 0,5 ehtimalını göstərir. Nöqtələr 0,6; 0,46; 0,53; 0,488; 0,503 — get-gedə qırıq xəttə yaxınlaşır. P = 0,5 0,7 0,5 0,3 10 50 100 500 1000 atış sayı 0,6
Az atışda tezlik 0,5-dən xeyli fərqlənə bilər; atış çoxaldıqca qırıq xəttə yaxınlaşır. Şaquli ox 0,3-dən başlayır ki, fərqlər görünsün.

Təcrübə sayını artırdıqca hadisənin baş vermə tezliyi ehtimalın qiymətinə yaxınlaşır. Buna görə ehtimalı sayaraq tapmaq mümkün olmayanda (məsələn, məhsulun qüsurlu çıxması, yağışın yağması) onu çoxlu müşahidədən alınan nisbi tezliklə təxmin edirlər.

6 · Diqqət

İki tipik səhv

Hər iki səhv eyni yerdən gəlir: mümkün halları düzgün saymamaq.

Səhv düşüncə

P(cəm 8) = 1/11

«İki zərin cəmi 2-dən 12-yə qədər 11 ədəddir» — amma bu 11 cəm eyniimkanlı deyil: cəm 2 bir yolla, (1; 1), cəm 7 isə altı yolla alınır.

Düzgün

P(cəm 8) = 5/36

Eyniimkanlı nəticələr 36 nizamlı cütdür; (3; 5) və (5; 3) ayrı-ayrı sayılır.

Səhv düşüncə

P(yaşıl) = 3/5

3 yaşıl sektoru yaşıl olmayan 5 sektora bölmək — bu, əlverişli halları əlverişsizlərlə müqayisədir, ehtimal deyil.

Düzgün

P(yaşıl) = 3/8

Məxrəcdə bütün mümkün hallar durur: 3 + 5 = 8 sektor.

7 · Həyatda

Hava proqnozu və keyfiyyət yoxlaması

Sinoptiklər sabahın havasını əvvəlki müşahidələrə, yəni statistik məlumatlara əsasən qiymətləndirirlər. «Sabah yağış ehtimalı 70%-dir» o deməkdir ki, P(yağış) = 0,7: belə şəraitli günlərin təxminən 10-dan 7-si yağışlı keçib. 0,7 > 1/2 — yağış çox ehtimallıdır, amma yəqin deyil.

Yağış ehtimalı 70%: oxşar 10 gündən təxminən 7-si yağışlı İki sırada 10 xana. 7 xanada mavi yağış damcısı, 3 xanada narıncı günəş var. Altda yazı: 7/10 = 0,7 = 70%. 7 / 10 = 0,7 = 70%
Proqnozdakı faiz nisbi tezliyə əsaslanır: oxşar günlərin 70%-i yağışlı olub.
Nümunə 4Keyfiyyətin yoxlanması

Zavodda təsadüfən seçilmiş 500 telefon yoxlanıldı, onlardan 4-ü qüsurlu çıxdı. a) Qüsurlu telefonun nisbi tezliyini tapın. b) 20 000 telefondan təxminən neçəsi qüsurlu ola bilər?

  1. Nisbi tezlik: 4/500 = 1/125 = 0,008, yəni 0,8%.
  2. Çox telefon yoxlandığı üçün bu tezliyi ehtimalın təxmini kimi götürürük: 20 000 · 0,008 = 160.

    a) 0,8%; b) təxminən 160

8 · Özünü yoxla

Bacarığını sına

Cavabı seç — düzgün olanda yaşıl, səhv olanda qırmızı işıqlanacaq. Həllinə də baxa bilərsən.

  1. Asan

    Torbada 3 qırmızı və 9 yaşıl kürə var. Baxmadan çıxarılan kürənin qırmızı olması ehtimalı nədir?

    Cavab variantları

    Düzdür! 12 kürədən 3-ü qırmızıdır.

    Yox. Məxrəcdə bütün kürələr olmalıdır: 3 + 9 = 12. Surətdə isə qırmızılar.

    Həllə bax

    n = 3 + 9 = 12, n(qırmızı) = 3. P = 3/12 = 1/4. 1/3 qırmızıları yaşıllara bölməkdir, 3/4 isə yaşıl kürənin ehtimalıdır.

  2. Asan

    Hansı hadisə mümkün olmayan hadisədir?

    Cavab variantları

    Düzdür! Zərdə 7 xallı üz yoxdur: P = 0.

    Yox. Mümkün olmayan hadisə heç vaxt baş vermir — onun əlverişli halı yoxdur.

    Həllə bax

    «Xəritə» düşməsinin ehtimalı 1/2-dir. 6-dan çox olmayan xal hər atışda düşür — bu yəqin hadisədir (P = 1). 7 xal üçün əlverişli hal yoxdur: P = 0/6 = 0.

  3. Orta

    1-dən 20-yə qədər nömrələnmiş 20 kartdan biri çəkilir. Nömrənin 3-ə bölünməsi ehtimalı nədir?

    Cavab variantları

    Əla! 6 əlverişli hal 20-dən.

    Yox. 3-ə bölünən nömrələri bir-bir say və bütün kartların sayına böl.

    Həllə bax

    3, 6, 9, 12, 15, 18 — 6 əlverişli hal. P = 6/20 = 3/10. 1/3 «hər üçüncü ədəd» təxminidir (20 üçə bölünmür), 3/7 isə 6-nı bölünməyən 14 karta bölməkdir.

  4. Orta

    Çarx 10 bərabər sektora bölünüb, onlardan 4-ü narıncıdır. Oxun narıncı sektorda dayanması ehtimalı faizlə neçədir?

    Cavab variantları

    Düzdür! 4/10 = 0,4 = 40%.

    Yox. Əvvəl kəsri yaz: 4/10, sonra onu faizə çevir.

    Həllə bax

    P = 4/10 = 0,4 = 40%. 4% — sektorların sayını faiz sanmaqdır, 60% isə narıncı olmayan sektorların ehtimalıdır.

  5. Çətin

    İki zər atılır. Xalların cəminin 4 olması ehtimalı nədir?

    Cavab variantları

    Əla! (1; 3), (2; 2), (3; 1) — 3 hal 36-dan.

    Yox. 36 nizamlı cütdən cəmi 4 olanları say; (1; 3) və (3; 1) ayrı hallardır.

    Həllə bax

    Mümkün hallar 36. Cəmi 4: (1; 3), (2; 2), (3; 1) — 3 hal. P = 3/36 = 1/12. 1/18 = 2/36 — (1; 3) ilə (3; 1)-i bir saymaqdır; 1/11 — 11 cəmi eyniimkanlı saymaqdır.

  6. Çətin

    Basketbolçu 40 atışdan 30-da topu səbətə saldı. Bu tezliyə görə növbəti 200 atışda təxminən neçə dəfə salacaq?

    Cavab variantları

    Düzdür! 200 · 0,75 = 150.

    Yox. Əvvəl nisbi tezliyi tap (30/40), sonra onu 200-ə vur.

    Həllə bax

    Nisbi tezlik 30/40 = 0,75. Təxmini say: 200 · 0,75 = 150. 75 — tezliyi (75%) say sanmaqdır, 30 — atış sayının dəyişdiyini nəzərə almamaqdır.

Xülasə

Yadda qalanlar

  • P(A) = n(A)/nƏlverişli hallar bölünür bütün eyniimkanlı mümkün hallara.
  • 0 ≤ P(A) ≤ 10 — mümkün olmayan, 1 — yəqin hadisə; 1/2 = 0,5 = 50%.
  • P̃(A) = k/nNisbi tezlik çox təcrübədə ehtimala yaxınlaşır və onu təxmin etməyə imkan verir.

Növbəti mövzu: 2.5 Hadisələrin cəmi