• 2.32
  • 7-ci sinif
  • Müxtəsər vurma düsturları

İki ifadənin kvadratları fərqi

Kvadrat kağızın küncündən kiçik kvadrat kəsin. Qalan hissənin sahəsi a2 − b2-dır. Onu iki parçaya bölüb yerini dəyişsəniz, düzbucaqlı alınır və sahəsi (a − b)(a + b) olur.

Bu dərsdə

  • a2 − b2 şəklində olan ikihədlini tanıyıb (a − b)(a + b) hasilinə ayıracaqsan;
  • iki ifadənin cəmi ilə fərqinin hasilini mötərizəni uzun-uzadı açmadan çoxhədli kimi yazacaqsan;
  • düsturu ağılda hesablamada, tənliklərdə və hədləri ikihədli olan ifadələrdə tətbiq edəcəksən.
Kvadratdan kiçik kvadrat kəsilir, qalan hissə düzbucaqlıya çevrilir Solda tərəfi a olan kvadrat; sağ yuxarı küncündən tərəfi b olan kvadrat kəsilib, qalan sahə a² − b²-dır. Qalan fiqur iki parçadır: mavi düzbucaqlı (a − b) × a və yaşıl düzbucaqlı b × (a − b). Ox göstərir ki, yaşıl parça 90° döndərilib sağa köçürülür və mavi parçanın üstünə qoyulur. Sağda eni a − b, hündürlüyü a + b olan düzbucaqlı alınır. Altda: a² − b² = (a − b)(a + b). b² S = a² − b² b a a − b b 90° (a − b)(a + b) a + b b a a − b a² − b² = (a − b)(a + b)
  1. Kəşf et
  2. Qayda
  3. Vuruqlara ayır
  4. Hasili aç
  5. Diqqət
  6. Tənliklər
  7. Həyatda
  8. Özünü yoxla

1 · Kəşf et

Kəs, döndər, yenidən qur

Tərəfi 10 xana olan kvadrat torun küncündən tərəfi b xana olan kvadratı kəsək. Qalan fiqurun sahəsi 102 − b2 = 100 − b2 xanadır. İndi onu iki düzbucaqlıya bölək: mavi parça yerində qalır, yaşıl parça isə 90° döndərilib mavinin üstünə qoyulur.

Kəsilən kvadratın tərəfi b:
10 × 10 kvadratdan b × b kvadrat kəsilir və qalan hissə düzbucaqlıya çevrilir Solda tərəfi 10 xana olan kvadrat; sağ yuxarı küncündən tərəfi b xana olan kvadrat kəsilib (qırmızı qırıq xətt). Qalan fiqur mavi (10 − b) × 10 və yaşıl b × (10 − b) parçalarından ibarətdir. Sağda yaşıl parça 90° döndərilib mavinin üstünə qoyulub: eni 10 − b, hündürlüyü 10 + b olan düzbucaqlı. Yuxarıda hər iki sahə yazılıb və bərabərdir. 100 − 4 = 96 8 · 12 = 96 4 2 10 8 2 8 2 10 100 − 16 = 84 6 · 14 = 84 16 4 10 6 4 6 4 10 100 − 36 = 64 4 · 16 = 64 36 6 10 4 6 4 6 10 100 − 64 = 36 2 · 18 = 36 64 8 10 2 8 2 8 10

b = 2: kəsilən kvadrat 2 · 2 = 4 xana, qalan sahə 100 − 4 = 96. Düzbucaqlı 8 × 12: 8 · 12 = 96. Deməli, 10² − 2² = (10 − 2)(10 + 2).

b = 4: kəsilən kvadrat 4 · 4 = 16 xana, qalan sahə 100 − 16 = 84. Düzbucaqlı 6 × 14: 6 · 14 = 84. Deməli, 10² − 4² = (10 − 4)(10 + 4).

b = 6: kəsilən kvadrat 6 · 6 = 36 xana, qalan sahə 100 − 36 = 64. Düzbucaqlı 4 × 16: 4 · 16 = 64. Deməli, 10² − 6² = (10 − 6)(10 + 6).

b = 8: kəsilən kvadrat 8 · 8 = 64 xana, qalan sahə 100 − 64 = 36. Düzbucaqlı 2 × 18: 2 · 18 = 36. Deməli, 10² − 8² = (10 − 8)(10 + 8).

1 xana = 1 vahid kvadrat. Solda: kvadrat və kəsilmiş künc (qırmızı). Sağda: eyni iki parçadan qurulan düzbucaqlı. Xanalar itmir, yalnız yerini dəyişir.

Hansı b-ni seçsən də, düzbucaqlının eni 10 − b, hündürlüyü 10 + b olur. Deməli, 102 − b2 = (10 − b)(10 + b). Yuxarıdakı böyük şəkildə 10 əvəzinə istənilən a götürülüb: qalan sahə a2 − b2 = (a − b)(a + b). Dərslikdə fiqur diaqonal boyunca iki trapesiyaya kəsilir — o yol da eyni düzbucaqlını verir.

2 · Qayda

Kvadratlar fərqi düsturu

Yadda saxla

İki ifadənin kvadratlarının fərqi bu ifadələrin cəmi ilə fərqinin hasilinə bərabərdir:

a2 − b2 = (a − b)(a + b)

Eynilikdə tərəflərin yerini dəyişək: iki ifadənin cəmi ilə fərqinin hasili bu ifadələrin kvadratları fərqinə bərabərdir.

(a + b)(a − b) = a2 − b2

Vuruqların yeri fərq etmir: dərslikdə (a + b)(a − b), cavablarda isə (a − b)(a + b) yazılır.

(a − b)(a + b) hasilinin vurma cədvəli Sətirlərdə a və −b, sütunlarda a və +b. Xanalarda hasillər: a², +ab, −ab, −b². +ab və −ab üstündən xətt çəkilib, çünki cəmi sıfırdır. Altda: (a − b)(a + b) = a² − b². × a +b a −b a² +ab −ab −b² +ab − ab = 0 (a − b)(a + b) = a² − b²
Hər həddi hər həddə vururuq. Ortadakı iki hasil əks işarəlidir və silinir — kənar hədlər qalır.

Düstur sahə şəklinə baxmadan da isbat olunur. Vurma ilə:

(a − b)(a + b) = a2 + ab − ab − b2 = a2 − b2.

Qruplaşdırma ilə (dərslikdəki kimi): ortaya −ab + ab = 0 əlavə edirik və ortaq vuruğu çıxarırıq:

a2 − b2 = a2 − ab + ab − b2    = a(a − b) + b(a − b) = (a + b)(a − b).

Sahə şəkli yalnız a > b > 0 üçün çəkilə bilir, bu isbatlar isə göstərir ki, düstur istənilən a və b üçün, hətta onlar ifadə olanda da doğrudur.

Kvadratlar fərqini necə tanıyaq?

  1. İfadə iki həddən ibarətdir.
  2. Hər hədd birhədlinin və ya ədədin kvadratıdır.
  3. Hədlər arasında «−» işarəsi var.

Birhədlinin kvadratı

36p2 = (6p)2,   k6 = (k3)20,09 = 0,32,   125 / = (15 / )2

Əmsalın kvadrat kökünü al, dəyişənin üstünü 2-yə böl.

3 · Vuruqlara ayır

Fərqdən hasilə

Ardıcıllıq həmişə eynidir: hər həddi kvadrat kimi yaz → a və b-ni tap → (a − b)(a + b) yaz → vurmaqla və ya ədəd qoymaqla yoxla.

Nümunə 1Sadə hal

16p2 − 121 ikihədlisini vuruqlarına ayırın.

  1. 16p2 = (4p)2, 121 = 112. Deməli, a = 4p, b = 11.
  2. Düsturu tətbiq edirik:

    (4p)2 − 112 = (4p − 11)(4p + 11)

  3. Yoxlama: p = 3 olanda 16 · 9 − 121 = 23 və (12 − 11)(12 + 11) = 23.

    (4p − 11)(4p + 11)

Nümunə 2Onluq əmsal və qüvvət

0,25x4 − 9y2 ikihədlisini vuruqlarına ayırın.

  1. 0,25 = 0,52 və x4 = (x2)2, ona görə 0,25x4 = (0,5x2)2; 9y2 = (3y)2.
  2. Fərq və cəm yazırıq:

    (0,5x2 − 3y)(0,5x2 + 3y)

Nümunə 3Əvvəlcə ortaq vuruq

2t3 − 50t ifadəsini vuruqlara ayırın.

  1. Hədlər kvadrat deyil, amma ortaq vuruq var: 2t3 − 50t = 2t(t2 − 25).
  2. Mötərizədə kvadratlar fərqidir: t2 − 52 = (t − 5)(t + 5).
  3. Ortaq vuruğu itirmirik:

    2t(t − 5)(t + 5)

Nümunə 4Hədlər ikihədlidir

(2n + 5)2 − (n + 1)2 ifadəsini vuruqlara ayırın.

  1. Burada a = 2n + 5, b = n + 1 — bütöv ikihədlilər. Onları mötərizədə saxlayırıq:

    ((2n + 5) − (n + 1)) ·((2n + 5) + (n + 1))

  2. Mötərizələri açırıq; qarşısında «−» olan mötərizədə hər işarə dəyişir: 2n + 5 − n − 1 = n + 4, 2n + 5 + n + 1 = 3n + 6.
  3. Yoxlama: n = 1 olanda 72 − 22 = 45 və 5 · 9 = 45.

    (n + 4)(3n + 6)

İstəsən ikinci vuruqdan 3-ü də çıxara bilərsən: 3(n + 2)(n + 4).

4 · Hasili aç

Cəm ilə fərqin hasili

Vuruqlarda eyni iki ifadə varsa — birində cəm, o birində fərq — dörd hasil yazmağa ehtiyac yoxdur: birinci ifadənin kvadratından ikincinin kvadratını çıxırıq.

Nümunə 5Əmsal da kvadrata

(0,4a − 3b2)(0,4a + 3b2) hasilini çoxhədli şəklində yazın.

  1. Birinci ifadə 0,4a, ikinci 3b2.
  2. Hər birini bütövlükdə kvadrata yüksəldirik: (0,4a)2 = 0,16a2, (3b2)2 = 9b4.

    0,16a2 − 9b4

Nümunə 6Hədlər qarışıq yazılıb

(−4x + y)(y + 4x) hasilini çoxhədli şəklində yazın.

  1. Toplananların yerini dəyişirik: −4x + y = y − 4x. Vuruqlar: (y − 4x)(y + 4x).
  2. İki vuruqda eyni işarəli olan y-dir — o, a-dır; işarəsini dəyişən 4x isə b-dir.

    y2 − 16x2

5 · Diqqət

Fərqin kvadratı kvadratlar fərqi deyil

Səhv

(h − 3)2 = h2 − 9

Kvadrata yüksəldəndə orta hədd itib.

Düzgün

(h − 3)2 = h2 − 6h + 9

Kvadratlar fərqi isə başqa hasildir: h2 − 9 = (h − 3)(h + 3).

(10 − 3)² = 49, amma 10² − 3² = 91 Hər iki şəkil 10 × 10 kvadratdır. Solda yalnız 7 × 7 kvadrat qırmızı rənglənib: (10 − 3)² = 49. Onun yanında iki narıncı 3 × 7 zolaq var, hər biri 21. Sağda küncündən 3 × 3 kəsilmiş fiqur yaşıl rənglənib: 10² − 3² = 91. 91 = 49 + 21 + 21. (10 − 3)² = 49 49 21 21 zolaqlar unudulub 10² − 3² = 91 9 91 100 − 9
1 xana = 1 vahid. 102 − 32 = 91 sahəsi (10 − 3)2 = 49 kvadratından iki zolaq qədər böyükdür: 91 − 49 = 2 · 3 · 7 = 42.

Səhv

(2w + 7)(2w − 7) = 2w2 − 49

Yalnız w kvadrata yüksəldilib, 2 unudulub.

Düzgün

(2w)2 − 72 = 4w2 − 49

Birhədli bütövlükdə kvadrata yüksəlir: əmsal da, dəyişən də.

Kvadratlar cəmi bu düsturla ayrılmır. r2 + 16 üçün yoxlayaq: (r + 4)(r − 4) = r2 − 16, (r + 4)2 = r2 + 8r + 16 — heç biri r2 + 16 deyil. Düsturda hədlər arasında yalnız «−» olur.

6 · Tənliklər

Tənlik və ən kiçik qiymət

Kvadratlar fərqini vuruqlara ayırınca hasil alınır. Hasil sıfırdırsa, vuruqlardan biri sıfırdır — bunu 2.26-da öyrənmişik.

Nümunə 7İki kök

4z2 − 81 = 0 tənliyini həll edin.

  1. Sol tərəfi vuruqlara ayırırıq: (2z)2 − 92 = (2z − 9)(2z + 9) = 0.
  2. Vuruqlardan biri sıfırdır: 2z − 9 = 0 və ya 2z + 9 = 0.
  3. z = 4,5 və ya z = −4,5. Hər ikisinin kvadratı 20,25-dir, ona görə iki kök var.

    Cavab: 4,5; −4,5

Kökü olmayan tənlik

m2 + 16 = 0

m2 mənfi olmur, ona görə m2 + 16 ≥ 16. Tənliyin kökü yoxdur (∅).

Ən kiçik qiymət (ƏKQ)

(4y + 3)(4y − 3)

Düsturla: 16y2 − 9. 16y2 ≥ 0 və y = 0 olanda 0-dır, ona görə ƏKQ −9-dur.

Ən böyük qiymət (ƏBQ)

(1,5 − 2y)(1,5 + 2y)

2,25 − 4y2: çıxılan 4y2 ən azı 0-dır, ona görə ƏBQ 2,25-dir (y = 0).

7 · Həyatda

Ağılda hesab: ortadakı ədədi tap

İki vuruq yuvarlaq bir ədəddən eyni məsafədədirsə, onların hasili kvadratlar fərqidir. Məsələn, 68 və 72 ədədləri 70-dən 2 vahid uzaqdır.

68 və 72 ədədləri 70-dən 2 vahid uzaqdır Ədəd oxunda 66-dan 74-ə qədər bölgülər. 70 yaşıl nöqtədir; 68 və 72 mavi nöqtələrdir. 70-dən sola ox −2, sağa ox +2 yazılıb. 66 67 68 69 70 71 72 73 74 −2 +2
Ortadakı ədəd a = 70, məsafə b = 2: 68 = 70 − 2, 72 = 70 + 2.

68 · 72 = (70 − 2)(70 + 2)    = 702 − 22 = 4900 − 4 = 4896

9,7 · 10,3 = (10 − 0,3)(10 + 0,3)    = 100 − 0,09 = 99,91

472 − 432 = (47 − 43)(47 + 43)    = 4 · 90 = 360

Sonuncu hesabda kvadratları ayrıca tapmaq (2209 və 1849) lazım olmadı.

Ədəd sadədirmi? 391 ədədinə yaxın tam kvadrat 400-dür: 391 = 400 − 9 = 202 − 32.

391 = (20 − 3)(20 + 3) = 17 · 23

Deməli, 391 sadə ədəd deyil. Dərslikdə də ədədi sadə vuruqlara ayırmaq üçün belə ipucu verilir: ədədi iki natural ədədin kvadratları fərqi şəklində yaz.

8 · Özünü yoxla

Bacarığını sına

Cavabı seç — düzgün olanda yaşıl, səhv olanda qırmızı işıqlanacaq. Həllinə də baxa bilərsən.

  1. Asan

    25w2 − 1 ikihədlisini vuruqlarına ayırın.

    Cavab variantları

    Düzdür! 25w2 = (5w)2, 1 = 12.

    Yox. Fərqin kvadratında orta hədd olur, 25-in isə kökünü almaq lazımdır: 25 = 52.

    Həllə bax

    25w2 − 1 = (5w)2 − 12 = (5w − 1)(5w + 1).

  2. Asan

    (c − 0,3)(c + 0,3) hasilini çoxhədli şəklində yazın.

    Cavab variantları

    Əla! 0,32 = 0,09.

    Yox. Cəm ilə fərqin hasilində orta hədd yoxdur və 0,3 · 0,3 = 0,09, 0,9 deyil.

    Həllə bax

    (c − 0,3)(c + 0,3) = c2 − 0,32 = c2 − 0,09.

  3. Orta

    Ağılda hesablayın: 1012 − 992.

    Cavab variantları

    Düzdür: 2 · 200 = 400.

    Yox. Fərqi (2) və cəmi (200) tap və onları vur — kvadratlar fərqi (101 − 99)2 deyil.

    Həllə bax

    1012 − 992 = (101 − 99)(101 + 99) = 2 · 200 = 400.

  4. Orta

    (−2a + b)(b + 2a) hasilini çoxhədli şəklində yazın.

    Cavab variantları

    Bəli! İki vuruqda eyni işarəli olan b-dir, ona görə b2 birinci yazılır.

    Yox. Əvvəl yaz: (b − 2a)(b + 2a); işarəsini dəyişən 2a-dır və o, bütövlükdə kvadrata yüksəlir.

    Həllə bax

    (b − 2a)(b + 2a) = b2 − (2a)2 = b2 − 4a2.

  5. Çətin

    x2 − 0,36 = 0 tənliyinin bütün köklərini tapın.

    Cavab variantları

    Düzdür! İki vuruq — iki kök.

    Yox. 0,36 = 0,62 (yarısı deyil), və x + 0,6 = 0 vuruğu da kök verir.

    Həllə bax

    (x − 0,6)(x + 0,6) = 0, ona görə x = 0,6 və ya x = −0,6.

  6. Çətin

    (y + 6)2 − (y − 2)2 ifadəsini vuruqlara ayırın.

    Cavab variantları

    Əla! 8 · (2y + 4) = 16(y + 2).

    Yox. İkihədliləri mötərizədə saxla: (y + 6) − (y − 2) = 8, çünki «−» mötərizədəki −2-ni +2 edir. Hədləri ayrı-ayrı kvadrata yüksəltmək olmaz.

    Həllə bax

    ((y + 6) − (y − 2)) · ((y + 6) + (y − 2)) = 8 · (2y + 4) = 16(y + 2).

Xülasə

Yadda qalanlar

  • a2 − b2 = (a − b)(a + b)Soldan sağa — vuruqlara ayırmaq, sağdan sola — cəm ilə fərqin hasilini çoxhədliyə çevirmək.
  • İki kvadrat, arada «−»Əmsalın kökünü al, üstü 2-yə böl. Kvadratlar cəmi bu düsturla ayrılmır.
  • a və b — bütöv ifadəİkihədli hədləri mötərizədə saxla; tənlikdə iki əks kök olur.

Növbəti mövzu: 2.33 İkihədlinin kuba yüksəldilməsi