• 2.45
  • 7-ci sinif
  • Həndəsə

Konqruyent üçbucaqlar

Kağızdan kəsilmiş iki üçbucaq: biri düz durur, o biri döndərilib. Onlar eynidirmi? Birini götür və o birinin üzərinə qoy. Tamamilə üst-üstə düşürsə, üçbucaqlar konqruyentdir: ΔABC ≅ ΔDEF.

Bu dərsdə

  • iki üçbucağın nə vaxt konqruyent olduğunu üst-üstə qoyma ilə izah edəcəksən;
  • uyğun təpələri, tərəfləri və bucaqları cizgi və qövslərə görə tapıb yazılışı düzgün sırada yazacaqsan;
  • yazılışdan altı bərabərliyi oxuyub tərəf, bucaq və perimetr tapacaqsan.
  • 1-ci hərflər
  • 2-ci hərflər
  • 3-cü hərflər
ABC və döndərilmiş DEF üçbucağıSolda ABC, sağda 150 dərəcə döndərilmiş DEF üçbucağı. Eyni sayda cizgi bərabər tərəfləri, eyni sayda qövs bərabər bucaqları göstərir. DEF-in surəti ABC-nin üzərinə qoyulur və tamamilə üst-üstə düşür: A ilə D, B ilə E, C ilə F. Altda yazılış: üçbucaq ABC konqruyentdir üçbucaq DEF.ABCDEFΔABC ≅ ΔDEFA ↔ DB ↔ EC ↔ F

DEF-in surəti sürüşür, 150° dönür və ABC-nin üzərinə düşür: bütün təpələr, tərəflər və bucaqlar üst-üstədir. Eyni sayda cizgi bərabər tərəfləri, eyni sayda qövs bərabər bucaqları göstərir.

  1. Üst-üstə qoy
  2. Tərif və yazılış
  3. Hərflərin sırası
  4. Hesabla
  5. Diqqət
  6. Həyatda
  7. Özünü yoxla
  8. Yekun

1 · Kəşf et

Hansı təpə A-nın üzərinə düşür?

Uzunluqları bərabər olan parçalar, dərəcələri eyni olan bucaqlar, tərəfləri bərabər olan kvadratlar konqruyentdir — bunu artıq bilirsən. Üçbucaqlarda da yoxlama eynidir. Vərəqi yarıdan qatlayıb üzərindəki üçbucağı kəssən, iki üçbucaq alınar və biri o birinin üzərinə tam oturar.

İndi DEF-i ABC-nin üzərinə qoyaq. DEF-i yalnız sürüşdürüb döndəririk: seçdiyin təpə A-ya, ondan sonrakı təpə AB şüasına düşür.

A-nın üzərinə qoy
DEF üçbucağını ABC-nin üzərinə qoymaqABC üçbucağı və onun üzərinə qoyulmuş DEF surəti. Seçilmiş təpə A-nın üzərinə, ondan sonrakı təpə AB şüası üzərinə düşür. Yalnız D A-nın üzərində olanda üçbucaqlar tamamilə üst-üstə düşür; başqa hallarda qırmızı punktir surət ABC-dən çıxır.DEFDEFDEFABC

Tam üst-üstə düşür. D A-nın, E B-nin, F C-nin üzərindədir. DE AB-ni, EF BC-ni, DF AC-ni tam örtür, bucaqlar da bir-birinə oturur.

Üst-üstə düşmür. E A-nın üzərindədir, amma EF tərəfi AB-dən qısadır: F B-yə çatmır, D isə ABC-dən kənara çıxır.

Üst-üstə düşmür. F A-nın üzərindədir, amma FD tərəfi AB-dən xeyli qısadır və E ABC-dən yuxarı çıxır.

Üç yerləşmədən yalnız biri işləyir. O, hansı təpənin hansının üzərinə düşdüyünü də deyir: A ilə D, B ilə E, C ilə F uyğun təpələrdir.

2 · Qayda

Konqruyent üçbucaq nədir?

Tərif

İki üçbucağı bir-birinin üzərinə qoyduqda bütün uyğun nöqtələri üst-üstə düşərsə, bu üçbucaqlar konqruyent adlanır. Başqa sözlə, iki üçbucağın uyğun tərəfləri və uyğun bucaqları konqruyentdirsə, bu üçbucaqlar konqruyentdir.

Konqruyentlik «≅» işarəsi ilə yazılır:

ΔABC ≅ ΔDEF

Bu yazılış altı bərabərlik deməkdir:

  • AB ≅ DE
  • ∠A ≅ ∠D
  • BC ≅ EF
  • ∠B ≅ ∠E
  • AC ≅ DF
  • ∠C ≅ ∠F
Konqruyent ABC və DEF üçbucaqlarının işarələriAB və DE üç cizgi, BC və EF iki cizgi, AC və DF bir cizgi ilə işarələnib. A və D bucaqlarında iki qövs, B və E bucaqlarında bir qövs, C və F bucaqlarında üç qövs var. Hər tərəfin qarşısındakı bucaq eyni sayda işarə daşıyır.ABCDEF
Eyni sayda cizgi — konqruyent tərəflər, eyni sayda qövs — konqruyent bucaqlar. Təpənin rəngi onun yazılışdakı yeridir.

Yazılışda hərflərin yeri uyğunluğu göstərir: hər iki üçbucağın 1-ci hərfləri (A və D) uyğun təpələrdir, 2-ci hərfləri (B və E) və 3-cü hərfləri (C və F) də. Uyğun tərəf eyni yerlərdəki hərflərdən qurulur: AB 1-ci və 2-ci hərflərdir, ona görə onun cütü DE-dir.

Diqqət

Konqruyent üçbucaqlarda konqruyent tərəflər qarşısında konqruyent bucaqlar, konqruyent bucaqlar qarşısında konqruyent tərəflər durur.

∠A ≅ ∠D ⇒ BC ≅ EF

Fiqurda: iki qövslü A-nın qarşısında iki cizgili BC durur.

Perimetrlər bərabərdir

PABC = PDEF

Uyğun tərəflər bərabərdir, deməli onların cəmi də.

«Bərabər» və «konqruyent»

Həndəsədə «bərabər fiqur» əvəzinə çox vaxt «konqruyent fiqur» deyilir. Konqruyent fiqurların forması və ölçüləri eynidir; yalnız yeri və vəziyyəti fərqli ola bilər.

3 · Qayda

Hərflərin sırası niyə vacibdir?

Konqruyent üçbucaqlarda uyğunluğun nizamı gözlənilməlidir. Aşağıda ΔABC ≅ ΔMPK, amma MPK güzgü kimi çevrilib və döndərilib. Üçbucağın şəkildə harada durduğuna yox, hərfin yazılışdakı yerinə bax.

ΔABC ≅ ΔMPK
ABC-də element seç
ABC və çevrilmiş MPK üçbucağıSolda yuxarıda ABC, sağda aşağıda güzgü kimi çevrilib döndərilmiş MPK üçbucağı. Uyğun təpələr eyni rəngdədir: A və M mavi, B və P narıncı, C və K yaşıl. Seçilən tərəf və ya bucaq hər iki üçbucaqda qalın göstərilir.ABCMPK

AB — 1-ci və 2-ci hərflər. MPK-da 1-ci və 2-ci hərflər M və P-dir: AB ≅ MP (üç cizgi).

BC — 2-ci və 3-cü hərflər, onların cütü P və K: BC ≅ PK (iki cizgi).

AC — 1-ci və 3-cü hərflər, onların cütü M və K: AC ≅ MK (bir cizgi).

∠A — 1-ci hərf, cütü M: ∠A ≅ ∠M (iki qövs).

∠B — 2-ci hərf, cütü P: ∠B ≅ ∠P (bir qövs).

∠C — 3-cü hərf, cütü K: ∠C ≅ ∠K (üç qövs).

Seçilən element hər iki üçbucaqda qalın göstərilir.

ΔABC ≅ ΔMPK olduğu məlumdursa
DoğrudurDoğru deyil
AB ≅ MPAB ≅ PK
BC ≅ PKBC ≅ MK
AC ≅ MKAC ≅ MP
∠A ≅ ∠M∠A ≅ ∠P
∠B ≅ ∠P∠B ≅ ∠K
∠C ≅ ∠K∠C ≅ ∠M

Eyni konqruyentliyi başqa sıra ilə də yazmaq olar, təki cütlər pozulmasın: ΔBCA ≅ ΔPKM, ΔACB ≅ ΔMKP. Amma ΔABC ≅ ΔPMK artıq başqa iddiadır və doğru deyil.

4 · Hesabla

İşarələrdən və yazılışdan hesablayırıq

Nümunə 1Yazılışı tamamla

Şəkildəki işarələrə görə ΔRST ≅ Δ? yazılışını tamamlayın.

RST üçbucağı və çevrilmiş XYZ üçbucağıRST üçbucağında R bucağı iki qövs, S bir qövs, T üç qövs; RS üç cizgi, ST iki cizgi, RT bir cizgi. Sağdakı çevrilib döndərilmiş üçbucaqda Y bucağı iki qövs, Z bir qövs, X üç qövs; YZ üç cizgi, ZX iki cizgi, YX bir cizgi.RSTYZX
  1. Bucaqları qövslərinə görə cütləyirik: iki qövs — R və Y, bir qövs — S və Z, üç qövs — T və X.
  2. Uyğun təpələr yazılışda eyni yerdə durur: R 1-ci yerdədir, ona görə 1-ci yerə Y yazılır; sonra S-in cütü Z, T-nin cütü X.
  3. Cizgilərlə yoxlayırıq: RS (üç cizgi) və YZ, ST (iki cizgi) və ZX, RT (bir cizgi) və YX — hamısı uyğun gəlir.

    ΔRST ≅ ΔYZX

Nümunə 2Tərəflər və perimetr

ΔEFG ≅ ΔUVW, EF = 6 sm, FG = 8,5 sm, UW = 4,5 sm. UV və VW tərəflərini və UVW üçbucağının perimetrini tapın.

  1. Uyğun təpələr: E ↔ U, F ↔ V, G ↔ W.
  2. UV 1-ci və 2-ci hərflərdir, onun cütü EF: UV = EF = 6 sm. VW 2-ci və 3-cü hərflərdir: VW = FG = 8,5 sm.
  3. P = UV + VW + UW = 6 + 8,5 + 4,5 = 19 sm. EG = UW = 4,5 sm, ona görə EFG-nin perimetri də 19 sm-dir: konqruyent üçbucaqların perimetrləri bərabərdir.

    UV = 6 sm, VW = 8,5 sm, P = 19 sm

Nümunə 3Ortaq tərəf

ABCD dördbucaqlısında BD diaqonalı çəkilib və ΔABD ≅ ΔCBD. ∠ABD = 40°, ∠ADB = 35°. C və ABC bucaqlarını tapın.

ABCD dördbucaqlısı və BD diaqonalıBD diaqonalı ABCD-ni ABD və CBD üçbucaqlarına bölür. ABD bucağı 40 dərəcə, ADB bucağı 35 dərəcədir; C bucağı sual işarəsi ilə göstərilib. BD hər iki üçbucağın ortaq tərəfidir.40°35°?ABCDortaq tərəf
  1. Uyğun təpələr: A ↔ C, B ↔ B, D ↔ D. BD hər iki üçbucaqdadır və özünə uyğundur: BD ≅ BD.
  2. 2-ci yerdəki təpələrin bucaqları: ∠CBD ≅ ∠ABD = 40°. 3-cü yerdəkilər: ∠CDB ≅ ∠ADB = 35°.
  3. 1-ci yerdəkilər: ∠C ≅ ∠A. ABD üçbucağında ∠A = 180° − (40° + 35°) = 105°, deməli ∠C = 105°.
  4. B-dəki bütöv bucaq iki hissədən ibarətdir: ∠ABC = 40° + 40° = 80°.

    ∠C = 105°, ∠ABC = 80°

5 · Diqqət

Üç tez-tez edilən səhv

Cütləri şəkildəki yerə görə seçmək

Səhv

AC ≅ MP

ΔABC ≅ ΔMPK-da MP 1-ci və 2-ci hərflərdir, AC isə 1-ci və 3-cü.

Düz

AC ≅ MK

Cütü yazılışdakı yer verir: 1-ci ilə 3-cü hərflər.

Çevrilmiş üçbucağı konqruyent saymamaq

Səhv

MPK güzgü əksidir, konqruyent deyil

Üçbucağın şəkildəki vəziyyəti konqruyentliyə təsir etmir.

Düz

çevir, sonra üzərinə qoy

Sürüşdürmək, döndərmək və vərəqi arxası üstə çevirmək ölçüləri dəyişmir. Qatlanmış vərəqdən kəsilən iki üçbucaq da bir-birinin güzgü əksidir.

Bucağın qarşısındakı tərəfi səhv seçmək

Səhv

∠A qarşısında AB

AB A təpəsindən keçir — o, ∠A-nın tərəfidir.

Düz

∠A qarşısında BC

Qarşıdakı tərəf təpəyə toxunmur. ΔABC ≅ ΔDEF-də ∠A ≅ ∠D, ona görə BC ≅ EF.

6 · Həyatda

Körpüdə və damda

Polad dam və körpü fermaları eyni şablonla kəsilmiş üçbucaqlardan yığılır. Hissələr konqruyent olduğu üçün hamısı bir çertyojla hazırlanır və istənilən birini o birinin yerinə qoymaq olar.

Körpü ferması: konqruyent üçbucaqlarKörpünün ferması beş üçbucaqdan yığılıb: üçü yuxarıya, ikisi aşağıya baxır. Hamısı eyni şablonla kəsilib. 1 nömrəli üçbucaq ortaq tərəfinin ortası ətrafında 180 dərəcə dönür və 2 nömrəli üçbucağın üzərinə tamamilə düşür.12
Başla: 1 nömrəli üçbucaq qonşusu ilə ortaq tərəfinin ortası ətrafında 180° dönür və 2 nömrəli üçbucağın üzərinə tam düşür. Aşağı baxan üçbucaqlar yuxarı baxanların döndərilmiş surətidir.

Ustaya bir hissənin ölçüləri bəllidirsə, qalanlarını ayrıca ölçməyə ehtiyac yoxdur: konqruyent hissələrin uyğun tərəfləri və bucaqları bərabərdir.

7 · Özünü yoxla

Bacarığını sına

Cavabı seç: düz olanda lime, səhv olanda qırmızı işıqlanacaq. Həllə də baxa bilərsən.

  1. Asan

    ΔABC ≅ ΔZXY. B bucağı hansı bucağa konqruyentdir?

    Sual 1 variantları

    Düzdür! B 2-ci hərfdir, ZXY-də 2-ci hərf X-dir.

    Əlifbaya yox, yerə bax: B yazılışda neçənci hərfdir?

    Həllə bax

    ΔABC ≅ ΔZXY: A ↔ Z, B ↔ X, C ↔ Y. Deməli, ∠B ≅ ∠X.

  2. Asan

    ΔGHK ≅ ΔUVW. Hansı bərabərlik doğrudur?

    Sual 2 variantları

    Düzdür! GK 1-ci və 3-cü hərflərdir, UW də.

    Tərəfin hərfləri yazılışda hansı yerlərdədir? O biri üçbucaqda eyni yerlərdəki hərfləri götür.

    Həllə bax

    G ↔ U, H ↔ V, K ↔ W. Deməli, GH = UV, HK = VW, GK = UW.

  3. Orta

    ΔABC ≅ ΔFED. ABC üçbucağında C bucağının qarşısındakı tərəf FED üçbucağının hansı tərəfinə bərabərdir?

    Sual 3 variantları

    Düzdür! ∠C-nin qarşısında AB durur, AB-nin cütü FE-dir.

    Əvvəl ∠C-nin qarşısındakı tərəfi tap (C-yə toxunmayan tərəf), sonra onun cütünü.

    Həllə bax

    ∠C-nin qarşısında AB durur. A ↔ F, B ↔ E, deməli AB = FE. Diqqət qaydası ilə yoxlama: ∠C ≅ ∠D və ∠D-nin qarşısında da FE durur.

  4. Orta

    İki konqruyent üçbucaqdan birinin perimetri 24 sm-dir. İkinci üçbucağın iki tərəfi 7 sm və 9 sm-dir. Onun üçüncü tərəfi neçə santimetrdir?

    Sual 4 variantları

    Düzdür! Perimetrlər bərabərdir: 24 − 7 − 9 = 8.

    Konqruyent üçbucaqların perimetrləri bərabərdir: ikinci üçbucağın perimetri də 24 sm-dir.

    Həllə bax

    İkinci üçbucağın perimetri də 24 sm-dir: 7 + 9 + x = 24, x = 8 sm. Belə üçbucaq var: 7 + 8 > 9.

  5. Çətin

    ΔABC ≅ ΔBAC olarsa, hansı mütləq doğrudur?

    Sual 5 variantları

    Düzdür! AC 1-ci və 3-cü hərflərdir, BAC-da 1-ci və 3-cü hərflər B və C-dir.

    Yazılışı yerbəyer oxu: A ↔ B, B ↔ A, C ↔ C. 1-ci və 3-cü hərflər hansı tərəfləri verir?

    Həllə bax

    A ↔ B, B ↔ A, C ↔ C. AC tərəfinin cütü BC-dir, deməli AC = BC; həmçinin ∠A = ∠B. Belə üçbucaq bərabəryanlıdır, AB isə onun oturacağıdır.

8 · Yekun

Üç nəticə

  • Üst-üstə düşürsə — konqruyentSürüşdür, döndər və ya çevir: bütün uyğun nöqtələr üst-üstə düşürsə, üçbucaqlar konqruyentdir.
  • Yer uyğunluğu verirΔABC ≅ ΔMPK-da 1-ci ↔ 1-ci, 2-ci ↔ 2-ci, 3-cü ↔ 3-cü; altı bərabərlik buradan oxunur.
  • Qarşı-qarşıyaKonqruyent bucaqların qarşısında konqruyent tərəflər durur; konqruyent üçbucaqların perimetrləri də bərabərdir.

Növbəti mövzu: 2.46 Üçbucaqların konqruyentliyinin birinci əlaməti — altı bərabərliyin hamısını yoxlamadan konqruyentliyi necə bilmək olar?