• 2.48
  • 7‑ci sinif
  • Həndəsə

Üçbucaqların konqruyentliyinin üçüncü əlaməti

Dörd çubuğu mismarla birləşdir: çərçivə yana əyilir. Üç çubuq isə yerindən tərpənmir. Səbəb budur: üçbucağın üç tərəfi onun formasını və ölçüsünü tam müəyyən edir.

Bu dərsdə

  • üç tərəfi uyğun olaraq konqruyent olan üçbucaqların konqruyent olduğunu (TTT) tətbiq edəcək və üçbucağın niyə tərpənmədiyini izah edəcəksən;
  • uyğun təpələri tərəflərin uzunluqlarından tapacaqsan;
  • şəkildə TBT, BTB və TTT arasından lazım olanı seçəcək, üç bucağın kifayət etmədiyini göstərəcəksən.
  • qısa tərəf · 1 cizgi
  • orta tərəf · 2 cizgi
  • uzun tərəf · 3 cizgi
Dörd çubuqlu və üç çubuqlu çərçivəSolda mismarlarla birləşdirilmiş dörd bərabər çubuqdan kvadrat çərçivə, sağda uzunluqları 5, 7 və 8 dm olan üç çubuqdan üçbucaq. Hər ikisi sağdan itələnir: kvadrat sola əyilib geri qayıdır, üçbucaq tərpənmir.4 çubuq3 çubuq5 dm7 dm8 dməyilirtərpənmir
  1. Üç uzunluq
  2. III əlamət
  3. Üç bucaq
  4. Uyğunluq
  5. Hansı əlamət?
  6. Əsaslandır
  7. Diqqət
  8. Həyatda
  9. Özünü yoxla
  10. Yekun

1 · Kəşf et

Üç uzunluq — neçə üçbucaq?

Uzunluqları 8 sm, 5 sm və 7 sm olan üç çubuğumuz var. 8 sm‑lik çubuğu AB kimi qoyaq. Üçüncü təpə A‑dan 5 sm aralıdır, yəni A mərkəzli 5 sm radiuslu qövsün üzərindədir; B‑dən isə 7 sm aralıdır, yəni B mərkəzli 7 sm radiuslu qövsün üzərindədir. İki qövs yalnız iki nöqtədə kəsişir. Radiusları yerini dəyişsək, daha iki nöqtə alınır.

Üçüncü təpəni seç
Üç uzunluqdan dörd yerləşməAB = 8 sm. A və B mərkəzli 5 sm və 7 sm radiuslu qövslər AB-nin hər iki tərəfində kəsişir: C₁, C₂ (A-dan 5 sm) və C₃, C₄ (B-dən 5 sm). Seçilmiş üçbucaq rənglənib, qalanları qırıq xətlə göstərilib; hər birində 5 və 8 sm-lik tərəflər arasındakı bucaq 60°-dir.60°5 sm7 sm60°5 sm7 sm60°5 sm7 sm60°5 sm7 sm8 smC₁C₂C₃C₄AB
Lövhə 1AB = 8 sm, qövslər 5 sm və 7 sm1 sm = 36 vahid

ΔABC₁: AC₁ = 5 sm, BC₁ = 7 sm. 5 və 8 sm‑lik tərəflər arasındakı bucaq ∠A = 60°‑dir. Bu, bizim üçbucağımızdır.

ΔABC₂: vərəqi AB boyunca qatla — C₂ C₁‑in üzərinə düşür. Bu, eyni üçbucağın güzgü əksidir: yenə AC₂ = 5 sm, ∠A = 60°.

ΔABC₃: 5 və 7 sm yer dəyişib: BC₃ = 5 sm. Üçbucağı AB‑nin ortasından keçən perpendikulyar boyunca qatla — A B‑yə, C₃ C₁‑ə düşür. Bucaq indi B‑dədir: ∠B = 60°.

ΔABC₄: AB‑nin ortası ətrafında 180° döndər — A B‑nin, C₄ C₁‑in yerinə gəlir. Yenə 5 və 8 sm arasında 60°.

Dörd yer, amma bir üçbucaq: hər biri o birinin üzərinə qoyula bilir. Üç uzunluq üçbucağın yerini dəyişə bilər, formasını və ölçüsünü yox.

2 · Qayda

III əlamət: üç tərəfə görə

Yadda saxla

Bir üçbucağın üç tərəfi uyğun olaraq digər üçbucağın üç tərəfinə konqruyentdirsə, bu üçbucaqlar konqruyentdir (III əlamət).

Bu əlamətə TTT (Tərəf, Tərəf, Tərəf) əlaməti də deyilir.

AC ≅ A₁C₁, BC ≅ B₁C₁, AB ≅ A₁B₁ ⇒ ΔABC ≅ ΔA₁B₁C₁
ΔABC və ΔA₁B₁C₁Solda ΔABC: AC = 5 (bir cizgi), BC = 7 (iki cizgi), AB = 8 (üç cizgi). Sağda döndərilmiş ΔA₁B₁C₁ eyni cizgilərlə.578ABC578A₁B₁C₁
Lövhə 2Eyni sayda cizgi — konqruyent tərəflər
İkinci üçbucaq döndərilib, amma cizgilər uyğunluğu göstərir: bir cizgi — 5 sm, iki cizgi — 7 sm, üç cizgi — 8 sm.

Niyə doğrudur?

A₁B₁‑i AB‑nin üzərinə qoy. C₁ A‑dan 5 sm, B‑dən 7 sm aralıdır, yəni Lövhə 1‑dəki iki qövsün kəsişməsindədir. Belə nöqtə ya C‑dir, ya da onun AB boyunca güzgü əksi. Hər iki halda üçbucaqlar üst‑üstə düşür.

Üçbucağın dayanıqlığı

Çubuqların uzunluğu dəyişmirsə, TTT‑yə görə üçbucağın bucaqları da dəyişə bilməz. Ona görə üç çubuqlu çərçivə tərpənmir.

Dörd tərəf kifayət deyil

Tərəfi 4 sm olan kvadrat və tərəfi 4 sm olan romb — dörd tərəf eynidir, bucaqlar fərqlidir. Hero‑dakı dördbucaqlı çərçivə də belə əyilir.

3 · Müqayisə

Üç bucaq kifayət deyil

Bəs üç bucaq bərabər olsa? Aşağıdakı üç üçbucağın hər birində bucaqlar 50°, 70° və 60°‑dir. Onlar eyni formadadır, amma ölçüləri fərqlidir — birini o birinin üzərinə qoysaq, üst‑üstə düşməzlər.

Bucaqları eyni olan üç üçbucaqA təpəsindən çıxan üç iç-içə üçbucaq: AB₁ = 3 sm, AB₂ = 4,5 sm, AB₃ = 6 sm. Hər birində ∠A = 50°, ∠B = 70°, ∠C = 60°, tərəfləri isə fərqlidir.B₃C₃B₂C₂B₁C₁A50°70°60°
Lövhə 3Eyni bucaqlar, fərqli tərəflər1 sm = 50 vahid
  • ΔAB₁C₁: AB₁ = 3 sm
  • ΔAB₂C₂: AB₂ = 4,5 sm
  • ΔAB₃C₃: AB₃ = 6 sm

Üç bucağın bərabərliyi yalnız formanı verir, ölçünü yox. Ona görə hər konqruyentlik əlamətində ən azı bir tərəf var: TBT‑də iki, BTB‑də bir, TTT‑də üç.

Eyni formalı, fərqli ölçülü fiqurları yuxarı siniflərdə «oxşar» adlandıracaqsan.

4 · Uyğunluq

Təpələri uzunluqlardan tap

TTT‑də bucaq verilmir, ona görə uyğun təpələri tərəflərdən tapırıq. Hər təpə iki tərəfin görüşdüyü yerdir: eyni uzunluqlu iki tərəfin görüşdüyü təpələr uyğundur.

Nümunə 1Hansı təpə hansına?

ΔDEF‑də DE = 7 sm, EF = 9 sm, DF = 4 sm. ΔXYZ‑də XY = 4 sm, YZ = 7 sm, XZ = 9 sm. Üçbucaqlar konqruyentdirmi? Konqruyentliyi düzgün hərf sırası ilə yazın və bərabər bucaqları göstərin.

ΔDEF və ΔXYZΔDEF: DF = 4 sm (bir cizgi), DE = 7 sm (iki cizgi), EF = 9 sm (üç cizgi). ΔXYZ güzgü kimi çevrilib və döndərilib: XY = 4 sm, YZ = 7 sm, XZ = 9 sm, eyni cizgilərlə.4 sm7 sm9 sm4 sm7 sm9 smDEFXYZ
Lövhə 4ΔXYZ çevrilib və döndərilib1 sm = 22 vahid
  1. Uzunluqları düzək: hər iki üçbucaqda 4, 7 və 9 sm. DF = XY, DE = YZ, EF = XZ — III əlamətə (TTT) görə üçbucaqlar konqruyentdir.
  2. D‑də 4 və 7 sm‑lik tərəflər görüşür. ΔXYZ‑də 4 sm (XY) və 7 sm (YZ) Y‑də görüşür: D ↔ Y.
  3. E‑də 7 və 9 sm görüşür: YZ və XZ — Z‑də, E ↔ Z. F‑də 9 və 4 sm: XZ və XY — X‑də, F ↔ X.
  4. Yoxlama: ən uzun tərəfin qarşısındakı bucaqlar uyğun olmalıdır. EF = 9 sm D‑nin, XZ = 9 sm Y‑nin qarşısındadır — D ↔ Y düzdür.

    ΔDEF ≅ ΔYZX; ∠D = ∠Y, ∠E = ∠Z, ∠F = ∠X

5 · Hansı əlamət?

TBT, BTB, yoxsa TTT?

Əlaməti şəkildəki nişanlar seçir. Eyni iki üçbucağa beş fərqli nişan dəsti qoyaq. Bucaq qövsünün rəngi və sayı qarşısındakı tərəfin rəngi və cizgi sayı ilə eynidir.

Nişan dəstini seç
ΔGHJ və ΔUVW üzərində nişanlarSolda ΔGHJ, sağda güzgü kimi çevrilib döndərilmiş ΔUVW. Seçilmiş dəstdə konqruyent tərəflər eyni sayda cizgi, konqruyent bucaqlar eyni sayda qövs daşıyır.GHJUVW
Lövhə 5ΔGHJ və ΔUVW: nə verilib?

TTTGH = UV, HJ = VW, GJ = UW — üç cüt tərəf. III əlamətə görə ΔGHJ ≅ ΔUVW.

TBTGH = UV, HJ = VW və onların arasındakı ∠H = ∠V. I əlamətə görə ΔGHJ ≅ ΔUVW.

BTBGH = UV və ona bitişik iki bucaq: ∠G = ∠U, ∠H = ∠V. II əlamətə görə ΔGHJ ≅ ΔUVW.

Əlamət deyilGH = UV, HJ = VW, ∠G = ∠U. ∠G GH və GJ arasındadır, GH və HJ arasında deyil — bu nişanlar TBT vermir.

Əlamət deyilÜç bucaq bərabərdir, amma heç bir tərəf verilməyib. Lövhə 3‑də gördük: ölçü fərqli ola bilər.

Üç əlamət yanaşı
ƏlamətNə konqruyent olmalıdırŞəkildə nişanlar
I · TBTiki tərəf və onların arasındakı bucaq2 tərəf + qövs onların görüşdüyü təpədə
II · BTBbir tərəf və ona bitişik iki bucaq1 tərəf + qövslər onun iki ucunda
III · TTTüç tərəf3 tərəf, bucaq lazım deyil

6 · Əsaslandır

Şəkildə üçbucaqları tap və əsaslandır

Nümunə 2Evin fasadı

ABCDE beşbucaqlısında AD = BC, DE = CE və AE = BE‑dir (AE və BE parçaları çəkilib). ∠ADE = 124° olarsa, ∠BCE‑ni tapın.

Evin fasadı ABCDEBeşbucaqlı ABCDE: AD və BC bir cizgi, DE və CE iki cizgi, AE və BE üç cizgi. ΔADE və ΔBCE rənglənib; ∠ADE = 124°, ∠BCE sual işarəsi ilə.124°?ABDCE
Lövhə 6ΔADE və ΔBCE
Mühakimə
TəsdiqSəbəb
AD = BCşərtə görə (bir cizgi)
DE = CEşərtə görə (iki cizgi)
AE = BEşərtə görə (üç cizgi)
ΔADE ≅ ΔBCEüçbucaqların konqruyentliyinin III əlamətinə (TTT) görə
∠BCE = ∠ADE = 124°konqruyent üçbucaqların uyğun bucaqlarıdır
  1. Uyğunluq cizgilərdən: A‑da bir və üç cizgi görüşür, ΔBCE‑də onlar B‑də görüşür, deməli A ↔ B. Eyni qayda ilə D ↔ C, E ↔ E.
  2. ∠ADE D‑dədir, D‑yə C uyğundur: ∠ADE = ∠BCE.

    ∠BCE = 124°

7 · Diqqət

Üç tez‑tez edilən səhv

Uyğunluğu əlifba sırası ilə yazmaq

Səhv

ΔDEF ≅ ΔXYZ

Bu yazılışa görə DE = XY olmalıdır, amma 7 sm ≠ 4 sm.

Düz

ΔDEF ≅ ΔYZX

Hər təpəni onda görüşən iki tərəfin uzunluğu ilə tanı (Nümunə 1).

Əlamətin adını qarışdırmaq

Səhv

2 tərəf + aradakı bucaq ⇒ II əlamət

II əlamətdə (BTB) bir tərəf və ona bitişik iki bucaq olur.

Düz

2 tərəf + aradakı bucaq ⇒ I əlamət (TBT)

Dərslikdəki MİSAL‑da (səh. 195) belə addım «II əlamət» adlandırılıb — düzgün adı I əlamətdir.

Üç bucağı əlamət saymaq

Səhv

∠A = ∠D, ∠B = ∠E, ∠C = ∠F ⇒ ≅

Üç bucaq yalnız formanı verir (Lövhə 3).

Düz

ən azı bir tərəf lazımdır

Məsələn, bir tərəf və ona bitişik iki bucaq — BTB.

8 · Həyatda

Üçbucaq formanı saxlayır

Bir şey yük altında əyilməməlidirsə, ustalar onun içində üçbucaq düzəldir: üç tərəf bərkidiləndə bucaqlar da bərkiyir (TTT).

Rəf dirsəyiDivara bərkidilmiş rəf, altında divar, rəf və çəp dayaqdan ibarət üçbucaq dirsək; rəfin üstündə kitablar.dayaq
Lövhə 7Rəf dirsəyi
Divar, rəf və çəp dayaq üçbucaq yaradır. Kitabların ağırlığı rəfi aşağı əyə bilmir.
Taxta darvazaİki dirək arasında dördbucaqlı taxta darvaza; aşağı sol küncdən yuxarı sağ küncə çəp taxta, çərçivəni iki üçbucağa bölür.
Lövhə 8Taxta darvaza
Dörd taxtalı çərçivə əyilərdi. Çəp taxta onu iki üçbucağa bölür, darvaza formasını saxlayır.
Qatlanan nərdivanYuxarıda birləşən iki ayaq və onları ortadan birləşdirən kəmər; ayaqlar və kəmər üçbucaq yaradır.kəmər
Lövhə 9Qatlanan nərdivan
İki ayaq və kəmər üçbucaqdır. Kəmər açılanda üçüncü tərəf qalmır və ayaqlar aralanıb sürüşə bilər.

9 · Özünü yoxla

Bacarığını sına

Cavabı seç: düz olanda lime, səhv olanda qırmızı işıqlanacaq. Həllə də baxa bilərsən.

  1. Asan

    ΔPQR‑in tərəfləri 3 sm, 5 sm və 6 sm‑dir. Tərəfləri hansı olan üçbucaq ΔPQR ilə konqruyentdir?

    Sual 1 variantları

    Düzdür! Sıra fərqlidir, uzunluqlar eynidir — TTT.

    Üç uzunluğun hamısı eyni olmalıdır: nə biri fərqli, nə də hamısı iki dəfə böyük.

    Həllə bax

    5, 6, 3 sm — eyni üç uzunluqdur, TTT‑yə görə konqruyentdir. 3, 5, 7‑də bir tərəf fərqlidir; 6, 10, 12 isə eyni formalı, iki dəfə böyük üçbucaqdır.

  2. Asan

    ΔABC və ΔDEF‑də AB = DE, AC = DF və ∠A = ∠D‑dir. Üçbucaqlar hansı əlamətə görə konqruyentdir?

    Sual 2 variantları

    Düzdür! ∠A AB və AC‑nin arasındadır.

    Neçə tərəf və neçə bucaq verilib? Bucaq hansı tərəflərin arasındadır?

    Həllə bax

    İki tərəf (AB, AC) və onların arasındakı ∠A verilib — bu I əlamətdir (TBT). TTT üçün BC = EF də lazım olardı; BTB‑də isə iki bucaq olur.

  3. Orta

    ΔMNP‑də MN = 10 sm, NP = 12 sm, MP = 7 sm; ΔSTV‑də ST = 12 sm, TV = 7 sm, SV = 10 sm. Hansı yazılış düzdür?

    Sual 3 variantları

    Düzdür! M ↔ V, N ↔ S, P ↔ T.

    Hərfləri əlifba ilə yox, təpədə görüşən iki tərəflə uyğunlaşdır.

    Həllə bax

    M‑də 10 və 7 sm görüşür; ΔSTV‑də 10 (SV) və 7 (TV) V‑də görüşür: M ↔ V. N‑də 10 və 12: SV və ST — S‑də, N ↔ S. P‑də 12 və 7: ST və TV — T‑də, P ↔ T. Cavab ΔMNP ≅ ΔVST.

  4. Orta

    Dörd çubuqlu menteşəli çərçivəyə iki qarşı küncünü birləşdirən beşinci çubuq bərkidildi. Çərçivə niyə daha əyilmir?

    Sual 4 variantları

    Düzdür! Üç tərəfi sabit olan üçbucaq formasını dəyişmir (TTT).

    Diaqonal çubuq çərçivəni hansı fiqurlara bölür?

    Həllə bax

    Diaqonal dördbucaqlını iki üçbucağa bölür. Hər üçbucağın üç tərəfi çubuqdur, uzunluqları dəyişmir, ona görə TTT‑yə görə bucaqları da dəyişə bilməz. Bucaqlar 90° olmaya da bilər — darvaza nümunəsinə bax.

  5. Orta

    İki üçbucağın hər birinin bucaqları 40°, 60° və 80°‑dir. Bu üçbucaqlar haqqında nə demək olar?

    Sual 5 variantları

    Düzdür! Bucaqlar formanı verir, ölçünü yox.

    Lövhə 3‑ə bax: bucaqlar eynidir, tərəflər fərqlidir.

    Həllə bax

    Heç bir tərəf verilməyib. BTB üçün bərabər bir tərəf də lazımdır. Bucaqları 40°, 60°, 80° olan kiçik və böyük üçbucaq çəkmək olar.

  6. Çətin

    ΔABC‑də AB = 3 sm, BC = 5 sm, AC = 7 sm və ∠B = 120°. ΔKLM‑də KL = 7 sm, LM = 3 sm, KM = 5 sm. ΔKLM‑in hansı bucağı 120°‑dir?

    Sual 6 variantları

    Düzdür! B‑də 3 və 5 sm görüşür, ΔKLM‑də onlar M‑də görüşür.

    B ikinci hərf olduğu üçün L‑i seçmə: B‑də hansı iki tərəf görüşür?

    Həllə bax

    Uzunluqlar eynidir (3, 5, 7), TTT‑yə görə üçbucaqlar konqruyentdir. B‑də AB = 3 və BC = 5 görüşür. ΔKLM‑də 3 sm (LM) və 5 sm (KM) M‑də görüşür, deməli B ↔ M və ∠M = ∠B = 120°. Yoxlama: ∠B ən uzun tərəfin (AC = 7) qarşısındadır, ∠M də KL = 7‑nin qarşısındadır.

10 · Yekun

Üç nəticə

  • Üç tərəf — bir üçbucaqÜç tərəfi uyğun olaraq konqruyent olan üçbucaqlar konqruyentdir (III əlamət, TTT). Ona görə üçbucaq tərpənmir.
  • Təpəni iki tərəfi ilə tanıEyni uzunluqlu iki tərəfin görüşdüyü təpələr uyğundur; əlifba sırası yox.
  • Nişanlar əlaməti seçir3 tərəf — TTT, 2 tərəf + aradakı bucaq — TBT, tərəf + bitişik 2 bucaq — BTB. Üç bucaq əlamət deyil.

Növbəti mövzu: 2.49 Bərabəryanlı və bərabərtərəfli üçbucağın xassələri — orada bu əlamətlər üçbucağın öz hissələrini müqayisə etməyə kömək edəcək.